人教版初三(上)数学第75讲：用函数观点看一元二次函数(教师版)

用函数观点看一元二次函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解二次函数与一元二次方程的关系；2、掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题；3、掌握并运用二次函数解题.1．二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是方程的一个根。2.二次函数图象与一元二次方程根的关系二次函数的图象与轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个_______实数根，有两个_______实数根。3．实际应用在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最_________或最_______。参考答案：1.2.相等的不等的3.大值小值1、二次函数与一元二次方程的关系【例1】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有关系．考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【解析】由于球的飞行高度与飞行时间的关系是二次函数．所以可以将问题中的值代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中的值．解：（1）解方程．

．

．∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．（2）解方程．

．

．∴当球飞行2s时，它的高度为20m．（3）解方程．

．∵∴方程无解．即球的飞行高度达不到20.5m．（4）解方程

．

．

．∴当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出．4s时球落回地面．画出二次函数h=20t−5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案．总结：一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程．.练1.（2014春•天津市校级月考）已知二次函数，且，则一定有（）A. B.C. D.【解析】由，可知抛物线开口向下，又当时，，所以抛物线有在x轴上方的图象，必与x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，，即可求解.解：中，∴抛物线的开口向下又当时，，∴抛物线有在第二象限的点。它的示意图如图。∴抛物线与x轴有两个交点。令，得方程有两个不相等的实数根∴故选A。练2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0()A．没有实根B．只有一个实根C．有两个实根，且一根为正，一根为负D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2.【解析】结合图象，抛物线与x轴交点个数，即可得到一元二次方程根的关系.解：由图象可得，抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，且一根小于1，一根大于2.故选D.2．二次函数图象与一元二次方程根的关系【例2】二次函数(1)y＝x2+x−2；(2)y＝x2−6x+9；(3)y＝x2−x+1的图象如下图所示．（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？【解析】如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.解：（1）抛物线y＝x2+x−2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是−2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程x2+x−2=0的根是−2，1．（2）抛物线y＝x2−6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程x2−6x+9=0有两个相等的实数根3．（3）抛物线y＝x2−x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2−x+1=0没有实数根．总结一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0的一个根．（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．练3.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．【解析】将点代入函数解析式，即可求解.解：∵将P(1，0)点代入二次函数得，∴a＋b＋c=0.练4.（2014春•江宁区校级月考）一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点()A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点.【解析】将一次函数与二次函数联立方程组，转换成关于x的一元二次方程，利用△即可求解.解：由题意得，，∴∴.∴方程有两个不相等的实数根，即一次函数与二次函数有两个交点.故选B.3．实际应用【例3】利用函数图像求方程的实数根（精确到0.1）.【解析】通过描点法作出函数图象，即可求解．解：作的图象，如下图，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.∴方程的实数根为练5.（2015•烟台市一模）已知二次函数，其中为常数，且满足。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方，还是在x轴下方？【解析】欲确定抛物线的开口方向，要看，还是，由，可知，得知抛物线开口向下；又，得知抛物线与y轴交点在x轴上方；再由，得知抛物线与x轴有两个交点解：∴∴抛物线开口向下；又∵，∴抛物线与y轴的交点在x轴上方；令，得∴抛物线与x轴有两个不同的交点。练6.二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是()A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0C．a＜0，△＞0 D．a＜0，△＜0.【解析】结合二次函数开口方向即与x轴的交点的性质，即可求解.解：由题可知，要使二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值，需开口向下，即a<0；且抛物线与x轴无交点，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0无解∴△＜0.故选D.【例4】已知抛物线与x轴交于A（，0），B（，0）（）。（1）求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C，且，求的值.【解析】（1）将二次函数转化为一元二次方程，由，求出的范围；由，得出同号；再由，得出两点在原点左侧．（2）由，得出，再由，求出的解。解：（1）∵抛物线与x轴交于两点，且，令，得∴的取值范围是，且。又同为负数。∴点都在原点左侧。（2）同为负数，由，得∴∵∴练7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．【解析】先求出方程的两个根，再结合过已知点坐标，代入解析式即可求解．解：由题意可得，x2＋x－2＝0（x-1）（x+2）=0∵将点（2,8）代入∴∴∴即为二次函数的解析式.练8．（2015•泰安市一模）当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为【解析】根据函数顶点坐标公式，即可求解．.解：根据二次函数图象可知，y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为∴∴.【例5】已知：抛物线。（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C。试问：是否存在实数，使与相似？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）只要证即可；（2）设法判定与的形状，求出点A、B、C的坐标，再判定当两个三角形相似时，求出的值．解：（1）令，得抛物线与x轴只有一个公共点，∴∴当时，抛物线与x轴只有一个公共点。（2）∵抛物线与y轴负半轴交于点C，当时，，∴点C的坐标为（0，），.当时，得∵点A在点B的左边，∴A、B两点的坐标分别是是等腰直角三角形。要使与相似，只需∴这样的值存在，且.练9．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若a＞0，则函数解析式为()A． B．C． D．【解析】将与坐标轴的交点代入解析式，即可求解．解：∵二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)∴又与x轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)∴故选B.练10．m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点?【解析】转化成一元二次方程，根据无交点，计算△<0，即可求解．解：(m－1)x2＋2mx＋m－1=0∵无交点，即方程无解∴∴∴．【例6】．某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润.【解析】若每件商品提高x元，那么每件利润为元，每天销售量为件，每天所得利润为y元，可列出函数解析式．解：设每件提高x元（）∴每件获得利润为元。每天可销售件，设每天获利润y元，则∴当时，y的值最大。即当定价为每件14元时，获得利润最大，每天最大利润为360元.练11．当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点，有一个交点，无交点？【解析】转化为一元二次方程求根的个数，即可求解．解：令，得∴当时，，抛物线与x轴有两个交点；当时，，抛物线与x轴有一个交点；当时，，抛物线与x轴无交点.练12．（2015秋•秦皇岛市期末）已知二次函数（）的图象经过O（0，0），A（1，），B（，14）和C（2，m）四点，求这个函数的解析式及m的值.【解析】将点坐标代入函数解析式，即可求解．解：∵函数图象经过O（0，0），A（1，），B（，14）三点，∴解得∴解析式为又图象过C（2，m）点，练13．（2014秋•燕山区期末）已知二次函数（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0）.求B点坐标.【解析】（1）计算一元二次方程△的值，即可求解；（2）将A点坐标代入函数解析式，再转化为求一元二次方程的根.解：（1），∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点。（2）把（1，0）代入，得，当时，∴B点坐标为（－2，0）当时，∴B点坐标为（）.1．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．2．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根4．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．5.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：x－10123y－2121－2(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个______．① ②③ ④_________________________________________________________________________________________________________________________________________