一阶微分方程(二)-可降阶的二阶微分方程

1.求可分离变量微分方程的解的步骤：分离变量；将原方程化为对两端积分；求积分；即为微分方程的隐式解.2.齐次型微分方程的解法：即则即并回代令代入原方程得：求此可分离变量方程的解，复习1若令其它换元法：如方程：令则于是即它的通解为：若将该方程变形为：这是一个一阶线性微分方程.26-2一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程的标准形式:例如线性的;非线性的.称为一阶线性齐次方程.称为一阶线性非齐次方程.1.定义：或当当特点：它是关于的一次方程.自由项.3齐次方程的通解为1.线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)42.一阶线性非齐次方程的解法：讨论两边积分非齐次方程通解形式.与齐次方程通解相比:设为即令的解.设是5的解.设是积分得将代入原方程得化简得即6积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定实质:未知函数的变量代换.函数的方法.叫常数变易法.7例1求解微分方程解这是一个一阶非齐次线性方程.它对应的齐次方程为分离变量得：积分得：即再用常数变易法，把换成新函数则代入原方程得整理得积分得则原方程的通解为即令为原方程的解,8例2求解微分方程解这是一个一阶非齐次线性方程.它对应的齐次方程为分离变量得：积分得：即再用常数变易法，把换成新函数即令则代入原方程并整理得满足条件的特解.所以则原方程的通解为又则得于是所求特解为9解分离变量：两边积分得通解：再用常数变易法求的解，设是原方程的解，则将代入原方程：例3求方程的通解.先求的解，(用常数变易法)10另解:用公式一阶线性方程的解法:1.常数变易法2.公式法所以原方程的解为：将代入原方程：11常数变易法的求解步骤：要求大家熟练掌握则一阶线性微分方程的解法有：公式法常数变易法观察法1.求出相应的齐次方程的通解2.将上式中的常数C

变为函数u(x)3.代入原方程(非齐次方程)求出4.得非齐次方程的通解：即12两边求导得解解此微分方程所求曲线为例3如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ

之长，数值上等于阴影部分的面积，求曲线方程.得由依题意有13分析：例4求方程的通解.可变形为：它不是线性方程.设想：把x当成函数，把y当成自变量.原方程可变为：这是关于未知函数的一阶线性方程.代入公式：所以所求通解为：解14三、贝努利(Bernoulli)方程1.定义：形如的方程.2.解法：变形为令从而有代入原方程得这是关于的一阶线性微分方程.求出通解后将代入即得的通解.15例5

解微分方程:解所求通解为则令166-3可降阶的高阶方程的解法

型解所以原方程通解为特点：解法：接连积分n次，得通解．不显含未知函数y及例1求方程的通解.17特点：解法：代入原方程,得这是一阶微分方程.

型令不显含未知函数y.18解代入原方程分离变量,得两端积分,得原方程通解为例2求方程的通解.设即即即19特点：

型解法：代入原方程,得这是一阶方程.不显含自变量x.令20解代入原方程得所以原方程通解为例3求方程的通解.设则即由可得212.线性非齐次方程1.齐次方程常数变易法：通解为:▲一阶线性方程小结的通解为：令齐次通解非齐次特解22解法：特点：型接连积分