专题. 平方差公式（直通中考）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题1.15平方差公式（直通中考）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022·四川广元·统考中考真题）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y22．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值为（

）A．13 B．8 C．－3 D．53．（2021·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．4．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）下列运算正确的是（

）A．B． C． D．5．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．6．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（

）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定7．（2020·湖南郴州·统考中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A． B．C． D．8．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（

）A．205 B．250 C．502 D．5209．（2020·河北·统考中考真题）若，则（

）A．12 B．10 C．8 D．610．（2012下·江苏·七年级统考期中）为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（

）A．增加6ｍ2 B．增加9ｍ2 C．减少9ｍ2 D．保持不变填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023下·山西太原·七年级校考阶段练习）计算：（a+1）（a﹣1）=．12．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．13．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．14．（2021·四川德阳·统考中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为．15．（2021上·河南信阳·八年级统考期末）计算：．16．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则．17．（2019·浙江衢州·统考中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为.18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：．20．（8分）（2023·浙江金华·统考中考真题）已知，求的值．21．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．22．（10分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．23．（10分）（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．（1）用含，的代数式表示中能使用的面积___________；（2）若，，求比多出的使用面积．24．（12分）（2018·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．参考答案：1．C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．2．A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．解：∵∴∴故选：A．【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．3．D【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可．解：A、，计算错误，不符合题意；B、，计算错误，不符合题意；C、，计算错误，不符合题意；D、，计算正确，符合题意．故选：D．【点拨】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．4．C【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据同底数幂的乘法判断B，根据幂的乘方判断C，根据平方差公式判断D．解：A.不是同类二次根式，不能合并，选项说法错误，不符合题意；B.，选项说法错误，不符合题意；C.，选项说法正确，符合题意；D.，选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了合并同类二次根式、同底数幂的乘法、幂的乘方、平方差公式，关键注意平方差公式．5．C【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．解：A选项中：，因此错误；B选项中：，因此错误;C选项中：，因此正确；D选项中：，因此错误；故选：C．【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．6．C【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为所以面积变小了，故选C．【点拨】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．7．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．解：由图可知，图1的面积为：x2-12，图2的面积为：（x+1）（x-1），所以x2-1=（x+1）（x-1）．故选：B．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．8．D【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．解：设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为由这两个奇数得到的“幸福数”为观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4即故选：D．【点拨】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．9．B【分析】利用平方差公式变形即可求解．解：原等式变形得：．故选：B．【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．10．C解：设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2；将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3，面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C．11．a2﹣1【分析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可．解：（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，故答案为：a2﹣1.【点拨】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题.12．10【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．解：a2﹣b2+2b+9故答案为：10【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．13．3【分析】观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴，故答案为：3．【点拨】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．14．6【分析】根据平方差公式即可求出答案．解：当a+b=2，a-b=3时，a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．故选：6．【点拨】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．15．4041【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．解：===4041故答案为：4041．【点拨】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．16．15【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．解：∵，，∴故答案为15【点拨】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．17．3【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案．解：∵，，∴.故答案为3【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答．18．【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．解：依题意，当，，则第1个一个智慧优数为当，，则第2个智慧优数为当，，则第3个智慧优数为，当，，则第4个智慧优数为，当，，则第5个智慧优数为当，，则第6个智慧优数为当，，则第7个智慧优数为……时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，列表如下，观察表格可知当时，时，智慧数为，时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为，第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为故答案为：，．【点拨】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．19．【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．解：．【点拨】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．20．【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解：．当时，原式．【点拨】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．，6【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答．解：，，；当时，原式．【点拨】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．22．；2【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．解：当时，原式．【点拨】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．23．（1）；（2）50【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．（1）解：中能使用的面积为，故答案为：．（2）解：中能使用的面积为，则比多出的使用面积为，，，，答：比多出的使用面积为50．【点拨】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关