2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷（3月份）(含答案)

2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学一模试卷（3月份）

一、选择题

1.（3分）在中，ZC=90°，sinA=A()

5

AB-3c.AD

-i5-i

2.（3分）一圆的半径为3,圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.以上都不对

3.（3分）2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为（）

A.O.6X1()13元B.60X1()11元

C.6X1012元D.6义1。13元

4.（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）

C.D.

5.（3分）某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示:

尺寸（cm）160165170175180

学生人数（人）13222

则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（）

A.165cm,165cmB.170cm,165cm

C.165cm,170cmD.170cm,170cm

6.（3分）能说明命题“对于任何实数m间＞是假命题的一个反例可以是（）

A.a=lB.a=yj~2C.a=—D.a=-2

3

7.（3分）如图，用一个半径为30cm,面积为300ircW的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆

1

锥的底面半径r为（）

C.20cmD.5ncm

8.（3分）如图，在O。中，E是直径AB延长线上一点，若CE=2BE,则NE的余弦值为（）

9.（3分）如图，△ABC和都是等边三角形，点G在CA的延长线上，若BE+CG=10,幽=3,则

BE2

AF的长为（）

A.1B.Ac.9D.2

35

10.（3分）已知二次函数（x+m-1）（x-m）（a#0）的图象上有两点A（xi,yi）和8（兀2,”）（其中

X1<X2),则()

A.若q>0,当％i+x2〈l时，a(yi->2)<0

B.若〃>0,当xi+x2〈l时，a(yi-y2)>0

C.若QVO,当xi+x2>-1时，a(yi-”)<0

D.若tz<0,当xi+x2>-1时，a(ji-y2)>0

2

11.（3分）二次根式A/2X+1有意义的条件是.

12.（3分）袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红

球的概率为.

13.（3分）如图，五边形A2CDE是的内接正五边形，AF是O。的直径°.

14.（3分）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8我，则a的值是

主视图左视图

俯视图

15.（3分）已知点（3,机），（5,n）在抛物线y=a/+6x（a,b为实数,a<0）上，设抛物线的对称轴为直

线％=£,若〃<0Vm.

16.（3分）如图，在等边三角形ABC中，点。，CA上的点，且BE交于点、P.连接CP,若。尸，

AP时；设△A3C的面积为Si,四边形CQPE的面积为S2,则一s92=

Si

3

三、解答题

17.（1）计算：（cz+1）~+a（2-a）.

（2）解不等式：3尤-5<2（2+3x）.

18.（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机

抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分尤均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等

级：基本合格（60Wx<70）（70^x<80）,良好（80Wx<90）,优秀（90WxW100）（部分信息未给出）.

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图.

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

19.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，AABC的顶点在格点上.

（2）在网格中找一格点F,使^DEF与△A8C全等，直接写出满足条件的所有F点坐

标;

4

（3）利用全等的知识，仅用不带刻度的直尺，在网格中作出△ABC的高S

20.图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为/,底座A8固定，始终与平台/垂直，连杆长度为

60cm,点、B,C是转动点,与CD始终在同一平面内，张角NA8C可在60°与120°之间（可以达到

60°与120°）,CD可以绕点C任意转动.

（1）转动连杆2C,机械臂使张角NABC最大，如图2,求机械臂臂端。到操作台/的距离。E的长.

（2）转动连杆8C,机械臂CD要使机械臂端。能碰到操作台/上的物体M

21.甲，乙两车从甲地驶向2地，并各自匀速行驶，并且甲在途中休息了0.5〃，如图是甲（km）与时间尤（〃）

的函数图象.

（1）求出根=,a—.

（2）求甲车休息之后的函数关系式.

（3）当乙车到达B地时，甲车距B地还有多远？

（1）若图象经过点（-2,4）,判断图象经过点（2,4）吗？请说明理由；

（2）设该函数图象的顶点坐标为（m,〃）,当6的值变化时，求他与w的关系式；

（3）若该函数图象不经过第三象限，当-6WxWl时，函数的最大值与最小值之差为16

23.根据以下素材，探索完成任务.

如何确定木板分配方案？

5

素材1我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们

打算推销自己的手工制品.他们以每块

15元的价格买了100张长方形木板，每

块木板长和宽分别为80cm

素材2现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）.把剩余五个矩

形拼制成无盖长方体收纳盒（阴影是余料），给部分盒子配上盖子.

图1_____________________图2

素材3义卖时的售价如标签所示：I无盖收纳盒2。元/个||有盖收纳盒28元/个

问题解决

任务1计算盒子高度求出长方体收纳盒的高度.

任务2确定分配方案1若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但

不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分

酉己？请给出分配方案.

任务3确定分配方案2为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余

料（阴影部分）利用起来，并以5元/个的价格

销售.请确定木板分配方案，使销售后获得最

大利润.

参考答案与试题解析

一、选择题

1.(3分)在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=A()

5

A.9B.AC.AD.旦

3354

【解答】解：在中，ZC=90°A,

5

/.sinA=-^-=—,

AB5

6

・•・设5c=4〃，AB=2a,

；•AC=VAB2-BC2=V（7a）2-（4a）3=3a'

tanA=区>=圭=邑，

AC3a3

故选：B.

2.（3分）一圆的半径为3,圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.以上都不对

【解答】解：：由题意可知d=4,厂=3,

：.d>丫.

.•.直线与圆相离.

故选：C.

3.（3分）2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为（

A.0.6X1013元B.60X1（）11元

C.6X1012元D.6X1（）13元

【解答】解：将6万亿用科学记数法表示为：6X1012.

故选：C.

4.（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）

【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形.

故选：A.

5.（3分）某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示：

7

尺寸（cm）160165170175180

学生人数（人）13222

则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（）

A.165cm,165cmB.170cm,165cm

C.165cm,170cmD.170cm,170cm

【解答】解：由表格可知，165c机出现了3次，则这10名学生校服尺寸的众数是165cm；

这10名学生校服尺寸按从小到大排列是：160、165、165、170、175、180,

则这10名学生校服尺寸的中位数是170+17°，=170的；

2

故选：C.

6.（3分）能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是（）

A.a=lB.a—y/2C.a——D.a—-2

3

【解答】解：当。=-2时，\a\=-a,

说明命题“对于任何实数。，是假命题，

故选：D.

7.（3分）如图，用一个半径为30c徵，面积为30（）710加2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆

10cmC.20cmD.5ncm

【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、I,圆锥形容器底面半径为，，

则由题意得R=30,由lR/=300n得/=20TT；

2

由8irr=/得r=10cm；

故选：B.

8.（3分）如图，在。。中，E是直径48延长线上一点，若CE=2BE,则NE的余弦值为（）

8

c

\oLE

A.3B.Ac.3D.4

5543

【解答】解：连接。c,

：CE切OO于点E,

：.CE1OC,

：.ZOC£=90°,

:.od+c医=0卢,

•：CE=2BE,

：.BE=1CE,

6

OC=OB=OE-BE=OE-」CE,

2

(OE-且CE)2+CE8=OE2,

2

整理得CE(ACE-OE)=o,

7

VCET^O,

C.1.CE-OE=3

4

：.OE^^-CE,

4

.3=生=畀4

0E旨5

ZE的余弦值为工,

5

故选：B.

9.（3分）如图，△ABC和都是等边三角形，点G在CA的延长线上，若BE+CG=10,幽=3,则

BE2

AF的长为（

9

G

BE

A.1B.Ac.9D.2

35

【解答】解：过点G作垂足为点H,

G

设BE=2x,

•：BE+CG=T3幽=2,

BE8

ACG=10-2x,AG=3x,

：.AC=CG-AG=10-5xf

•・,AABC和△CDE都是等边三角形，

：.BC=AC=IO-5x,CD=DE=CE=BC-BE=10-7x,

♦：GB=GE,GHLBE,

:.BH=HE=x,

：.CH=CE+HE=10-6x,

*：ZGHC=90°,ZC=60°,

；・NHGC=3U°,

：.CH=1CG,

2

10

.*.10-5X=A(10-3x),

2

»»x=1,

：.AG=3x=2,CG=10-2x=8,

：.GD=CG-0)=4,

/ABC=/DEC,

:,AB〃DE,

:•△GDFSXGDE,

・

••-A-F-----A-G-,

DEDG

即更旦

35

.'.AF=—.

5

故选：C.

10.(3分)已知二次函数(x+m-1)(x-m)(〃W0)的图象上有两点A(xi,yi)和3(12,>2)(其中

X1<X2)?则()

A.若q>0,当xi+x2〈l时，a(yi-")<0

B.若Q>0,当xi+x2〈l时，a(yi-y2)>0

C.若a<Of当xi+x2>-1时，〃(yi-")<0

D.若4V0,当xi+x2>-1时，a(yi-”)>0

【解答】解：•二次函数(x+m-1)(x-m)(aWO),

・・y=4日寸,xi=1一根,17=根,

・••二次函数y=q(x+m-1)(x-m)的对称轴为直线x=1-—十二=工,

62

当a>2时，当XI+X2<3时，

.勺+'2<1

7~~2

Ayi-y6>0,

(yi-”)>0；

当a<0时，当X6+X2>-1时，

.x5+x2、7

••---------d>

22

ii

当--<—~丝时，V6<y2,

822''

则a(yi-j2)>0；

当上2_上邑>工时，yi>y2,

23

则a(j5-y2)<0；

故选：B.

二.填空题

11.（3分）二次根式J2x+1有意义的条件是—x>1—•

【解答】解：根据二次根式有意义，得：2x+128,

解得：了2-—.

2

故答案为X2-9.

2

12.（3分）袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红

球的概率为8.

一8一

【解答】解：从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率=$.

8

故答案为工.

8

13.（3分）如图，五边形ABCDE1是。。的内接正五边形，AF是的直径54°.

【解答】解：尸是OO的直径,

，盲=命,

,/五边形ABCDE是。。的内接正五边形,

•*-BC=DE-ZBA£=108°，

••.BF=EF«

AZBAF=AzBAE=54°,

2

12

；./BDF=NBAF=54°,

故答案为：54.

14.（3分）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8愿，则a的值是2.

主视图左视图

a

H—3—*1

【解答】解：•••由左视图知底面正三角形的高为2、笈,

正三角形的边长为4,

表面积中两正△的面均为4/3,

•..正三棱柱的表面积为24+373,

；.24=(4+6+4)a,

解得：a—1

故答案为8.

15.（3分）已知点（3,m）,（5,n）在抛物线>=办2+法（a,6为实数，a<0）上，设抛物线的对称轴为直

线尤=f,若“<0<相—<f<—

-22―

【解答】解：由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为（0,（23

\'a<2,

抛物线开口向下,

•点（3,机），〃）在抛物线（a,b为实数，n<6<m,

：.3<2t<2,

22

故答案为:旦</<$.

22

16.（3分）如图，在等边三角形4BC中，点。，C4上的点，且5D=CE,BE交于点P.连接CP,若CP,

s

A尸时2；设△ABC的面积为Si,四边形CAPE的面积为8,则—2=2

—S1—7—

13

B

【解答】解：・・・△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAE=ZACZ)=60°,

•：BD=CE,

：.AC-CE=BC-BD,

即AE=CD,

在△ABE和△CA。中，

'AE二CD

<NBAE=NACD，

AB=AC

AAABE^ACAD(SAS),

：.ZCAD=ZABEf

：.ZAPE=/BAP+NABP=ZBAP-^ZR\E=ZBAE=60°,

：.ZDPE=\S0°-ZAPE=180°-60°=120°,

：.ZDPE+ZDCE=nQ°+60°=180°,

・・・C、D、尸、E四点共圆，

VAPXPC,

：.ZDPC=ZAPC=90°,

即点尸恰好落在以AC为直径的圆上，点尸也落在以。。为直径的圆上,

14

B

图1

VZAPE=60°,

：.ZCPE=3Q°,

如图1,连接OE

则NCED=90°,ZCDE=ZCPE=30°,

,CD—9

CE

'：AE^CD,

-AE_7

CE

&泌s°;如图2,过点D作DF//AC,

设Si=a,

图2

•/CD=5,

CE

•CD=9

BD

：.BD=1.BC2LBC,

73

・

••Sc/\ADC=—6a

3f

15

同理CE=1AC,

3

•*.S/^CDE=—S^ADC=—X&=^-a,

3339

•.•胆=5,

CE

S/\ADE=2s△CDE=2X_^-6f=^.d,

96

'：DF//AC,

:.△DFPs/\AEP,ADFB^/\CEB.

•DF=BD=1,DP=DF=DF=1

••而BC3"APAE6CEi

•-D•P-_—3J

AD7

SADPE=—SAADE=AX^-a=-^-a,

37963

/.Se=SADPE+S&CDE=-^-a+--^-a,

6377

2

.S4.ya_2

••--.......—,

S〔a7

故答案为：7,2.

7

三、解答题

17.(1)计算：(a+1)2+a(2-a).

(2)解不等式：3尤-5<2(2+3尤).

【解答】解:(1)(a+1)2+fl(2-a)

=cr+2a+6+2a-a2

=8a+l；

（2）3x-7<2（2+8%）

3尤-5<3+6x,

移项得：3x-8x<4+5,

合并同类项，系数化4得：x>-3.

18.（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机

抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等

级：基本合格（60Wx<70）（70W尤<80）,良好（80Wx<90）,优秀（90WxW100）（部分信息未给出）.

16

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图.

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人?

【解答】解：⑴304-15%=200（人），

200-30-80-40=50（人），

（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°X里=144°.

200

（3）这次测试成绩的中位数是80-90.这次测试成绩的中位数的等级是良好.

（4）1500X＜上=300（人），

200

答：估计该校获得优秀的学生有300人.

19.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，AABC的顶点在格点上.

17

yjk

（1）写出△ABC的面积3；

（2）在网格中找一格点F使△OEF与△ABC全等，直接写出满足条件的所有厂点坐标（3,-1）,（0,

（3）利用全等的知识，仅用不带刻度的直尺，在网格中作出△ABC的高CH

【解答】解：（1）AABC的面积为/x（8+2）X4—|-XIX4-X5X2=6_7_2=3.

故答案为：5.

（2）如图，点尸和尸均满足题意，

则满足条件的所有厂点坐标为（3,-1）,2）.

故答案为：（3,-1）,6）.

（3）如图，CH即为所求.

20.图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为/,底座固定，始终与平台/垂直，连杆长度为

60cm,点、B,C是转动点，与C£）始终在同一平面内，张角NA2C可在60°与120°之间（可以达到

60°与120°）,CD可以绕点C任意转动.

（1）转动连杆BC,机械臂CD,使张角ZABC最大，如图2,求机械臂臂端D到操作台I的距离DE的长.

18

(2)转动连杆BC,机械臂CD,要使机械臂端D能碰到操作台/上的物体M

【解答】解：(1)过点8作垂足为尸,

则AB=£y=50c〃z,NABF=/BFC=90°,

VZABC=120°,

ZCBF^AABC-ZABF^120°-90°=30°,

在RtZXBCF中，BC=60cm,

：.CF=BC-sm30°=60xA=30(.cm),

2

；.CE=CF+CF=30+50=80(cm),

.\DE=CE-CD=80-40=40(cm),

机械臂臂端D到操作台/的距离DE的长为40cm；

(2)当N43C=60°时，此时，如图：

过点C作CG，/,垂足为G,垂足为X,

在RtABHC中，BC=60cm,

BH—BCtcos60°=60*亘=30Cem'),

2

CH=BC・sin60°=60x2^=30%,

3

19

.•.AG=//C=30«cro,

VAB=50cm,

：.AH=AB-BH=50-30=20(cm),

：.CG=AH=20cm,

在RtZkC£)G中，C£)=40c〃z,

；•DG=VCD7-CG2=V452-232=20^3，

：.AD=AG-DG=3Q爬-2073(cm),

物体M离底座A的最近距离为10V7cm,

BD=BC+CD=60+40=100(cm),

在RtAABD中，AB50cm,

AD=VBD2-AB2=V1022-532=50M，

物体M离底座A的最远距离为5072cm.

21.甲，乙两车从甲地驶向2地，并各自匀速行驶，并且甲在途中休息了0.5/z,如图是甲(km)与时间x(/i)

的函数图象.

(1)求出m=1,a—40.

(2)求甲车休息之后的函数关系式.

(3)当乙车到达3地时，甲车距3地还有多远？

20

【解答】解：(1)由题意得：

771=1.5-6.5=1.

1204-(5.5-0.4)=40,

•**a=40.

故：a—40,m—1；

(2)设甲车休息之后的函数关系式y=fcv+6,

将(1.2,40)和(3.5

[5.5k+b=40

13.3k+b=120，

解得P=4°

Ib=-20

故甲车休息之后的函数关系式为：y=40x-20；

(3)设乙车行驶的路程y与时间尤的关系为y^ax+m,

将(2,0)和(6.5

(2a+m=2

13.5a+m=120

解得卜=8°,

lm=-160

故乙车的解析式为：y=80x-160,

将y=260代入y=80x-160,

得尸祖，

5

将元=21■代入y=40x-20,

4

得y=190,

甲车距8地：260-190=70初

22.已知函数y=/+Z?x+3/?(b为常数).

(1)若图象经过点(-2,4),判断图象经过点(2,4)吗？请说明理由；

(2)设该函数图象的顶点坐标为(m,n),当人的值变化时，求相与〃的关系式；

(3)若该函数图象不经过第三象限，当-时，函数的最大值与最小值之差为16

【解答】解：(1)把点(-2,4)代入＞=X3+法+3/7中得：

4-8/7+38=4,

解得b=2,

二・此函数表达式为：

21

当x=2时，y=8,

・•・图象经过点（2,4）；

（2）•.•抛物线函数丁=/+灰+3/?（。为常数）的顶点坐标是（m,几）,

•_b=m12b-b，

24

:.b=-2m,

22

把b=-8m代入1乙="得〃=一乙4m-cm8_6m.

44

即n关于m的函数解析式为n=-m2-7m.

（3）才巴x=0代入>=/+/?%+76得y=3/?,

•・,抛物线不经过第三象限，

・・・3心6,即心0,

'：y=jr+bx+Sb=（无+电）2-f+36,

24

,,2

抛物线顶点（-上，-、+5b）,

54

：-two,

2

.•.当-二+3627时，

4

解得6W12,

，0WF2,-6W-2

3

,3

.•.当-6WxWl时，函数最小值为y=--,

4

把x=-6代入y—x4+bx+3b得y=36-3b,

把x=4代入y=^+bx+3b得y=4+4b,

,5

当36-36-（-2_+36）=16时，

4

解得6=20