第六部分三角函数解三角形(教案)

课题解三角形课型复习课课时3教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。A(保底)B（标准）C(培优)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。教材分析教学重点正弦定理的探索、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教材分析本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。学情分析适当安排一些作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题考点分析本章知识是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形的面积公式，考题灵活多样。选择和填空题型以考查用正、余弦定理解三角形为主，难度不大。解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化，或用以解决实际问题，难度中等。教学设计教学内容设计意图可能出现的问题与对策教学过程【知识网络】1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．6、简单的判断三角形 设、、是的角、、的对边，则：=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则；=3\*GB3③若，则．7、讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则从而1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解已知条件所用定理一般步骤一边和两角（a，B，C）正弦定理（1）由内角和定理求出角A；（2）由正弦定理求出b和c。（有解时只有一解）两边和夹角（a，b，C）余弦定理正弦定理(1)由余弦定理求出第三边c(2)由正弦定理求出小边所对角(3)由内角和定理求出另一角（有解时只有一解）三边（a，b，c）余弦定理（1）由余弦定理求出角A，B（2）由内角和定理求出C（有解时只有一解）两边和其中一边的对角（a，b，A）正弦定理余弦定理（1）由正弦定理求出B（2）由内角和定理求出C（3）再利用正弦定理或余弦定理求c（可有两解、一解或无解）【典例解析】题型1：正、余弦定理例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理， 因为＜＜，所以，或①当时，，②当时，，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积例2．在中，，，，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3．在△ABC中，分别是的对边长，已知成等比数列，且，求的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC中，若，则的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5：三角形中求值问题例5．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；当sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)时,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值为eq\f(3,2)。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。【课内练习】1．在中，下列等式总能成立的是（）1．D2．在中，若，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形2．C提示：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.3．中，分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果成等差数列，∠B=30°，的面积为，那么b等于（）A. B.1+C. D.2+3．B提示：∵成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.4．若的内角满足，则()A.B．C．D．4．A提示：由得，又，所以5．中，内角成等差数列，边长，求边及面积．解：由成等差数列，得又，由余弦定理得：即：，解得当时，当时，6．在中，分别为角的对边，已知的面积为，且．求的值．解：由，得，由及余弦定理得：，即：由得：，即：解方程组得，所以7．已知△ABC中，，△ABC外接圆半径为.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.【解三角形课后练习】A组1．在△ABC中，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件1．C提示：2．在△ABC中，若，则△ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2．D提示：由已知得，即：所以3．是三边长，若满足等式，则角的大小为（）3．C提示：由余弦定理可得4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、，，若，，由=．4．2提示：由正弦定理可得5．在△ABC中，，，△ABC面积，由=．6．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：=.证明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，∴==.7．，求角B的大小并判断得，解得：， 化简得：，所以【解三角形课后练习】B组1．在△ABC中，已知，则△ABC是（）A正三角形B正三角形或直角三角形C直角三角形D等腰三角形1．A提示：本题要注意2．在△ABC中，，则△ABC的周长为（）A．B．Ｃ．Ｄ．2．Ｄ提示：利用正弦定理可得3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、，且BC边上的高为，则的最大值为（）A．BC2D43．A提示：由得所以5．则∠C的度数是_______.5．45°提示：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.6．在解：（1）因为（2）又，当且仅当时，故的最大值是通过回顾正弦