2024年新高考地区数学地市选填压轴题好题汇编（二十三）含答案

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十三）

一、单选题

1.（2024广东l模）已知函数可力的定义域为R,且满足++l）=2,/z（2-九）是偶函数，

103

用（2）=0,若nsZ,则Z%⑺=（）

n=-103

A.202B.204C.206D.208

2.（2024高三糊南阶段练习）设方程2"log2x|=l的两根为毛，x2（x,<x2）,贝。（）

A.0<x,<1,x2>2B.石>——

*2

C.0<x^x2<1D.xy+x2>3

2222

3.（2024福建•二模）已知椭圆毛+斗=1（。>6>0）与双曲线二-4=1（加>0,〃>0）有共同的焦点片，

abmn

TT

F2,且在第一象限内相交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为G，%若/居Pg=2，则4仁的最小

值是

A.|B.交C.BD.-

2222

4.（2024高三糊南长沙阶段练习）求值：2cos40+cos80=（）

sin80

A.V3B.走C.-y/3D.

33

5.（2024怏西安康二模）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表

达.《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图

（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数/（x）,若存在圆C,使得了（无）的图象能

将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数.下列说法正确的是（）

①对于任意一个圆，其太极函数有无数个

②/(%)=1叫(2"+1)+；%是元2+(,+1)2=1的太极函数

2'

③太极函数的图象必是中心对称图形

④存在一个圆C,"X)=sinx+cosx是它的太极函数

A.①④B.③④C.①③D.②③

6.已知定义在上的函数Ax)满足：

®/(0)=/(l)=0;

②对所有无,ye[0,1],且"y,有

若对所有无,ye[0,1],\f(x)-f(y)\<k,则k的最小值为

A.-B.一C.—D.一

242万8

7.(2024高三淅江杭州专题练习)已知三棱锥S-A8C中，

NSAB=/ABC=*SB=4,AB=2,BC=6,SA和BC所成的角为:，则该三棱锥外接球的表面积是

()

A.1271B.16兀C.24兀D.32兀

8.已知等差数列｛%｝中，%+q=2记2〃eN*,则数列低｝的前8项和为

4T

()

A.0B.4C.8D.16

1

9.(2024高三蜥江中介段练习)若3sinO+cosO=&5,则+的值为()

tan

A.-7B.-14C.-D.|

77

22

10.(2024高三江苏镇江开学考试)已知过坐标原点。且异于坐标轴的直线交椭圆二+2=1(4>5>0)

ab

于两点，。为OP中点，过。作X轴垂线，垂足为B,直线MB交椭圆于另一点N,直线的斜

率分别为匕，%,若秘2=_:,则椭圆离心率为()

122

11.（2024•高三江苏南京开学考试）斜率为;的直线/经过双曲线Y二-3=1（〃>0力>0）的左焦点耳，与

2ab

双曲线左，右两支分别交于4B两点,以双曲线右焦点F?为圆心的圆经过4B,则该双曲线的离心率为

（）

A.72B.V3C.V5D.巫

3

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

12.（2024高三辆南长沙中介段练习）双曲线=l的右支上一点尸在第一象限，耳，B分别为双

曲线C的左、右焦点，/为工的内心，若内切圆/的半径为1,则△尸耳£的面积等于（）

A.24B.12C.—D.—

33

[|x-l|,x<2/、1

13.（2024高三•江苏无锡开学考试）已知函数〃x）=I$，若方程/的实根个

2（x-3）-1,x>22

数为（）

A.4B.8C.10D.12

14.（2024陕西咸阳模拟预测）已知圆。1：（%-6『+'2=产（0〈尸<4）与圆6：1+百『+：/=（4-r）2交

点的轨迹为"，过平面内的点尸作轨迹"的两条互相垂直的切线，则点尸的轨迹方程为（）

A.x2+y2=5B.x2+y2=4

C.X2+/=3D.X2+/=-

2

22

15.（2024•高三河北保定开学考试）已知A是左、右焦点分别为的椭圆已上+匕=1上异于左、

43

右顶点的一点，C是线段A£的中点，。是坐标原点，过巴作AE的平行线交直线CO于B点，则四边形

AKBF2的面积的最大值为（）

A.2B.-C.这D.这

442

22

16.（2024高三•山西晋城开学考试）已知％工分别为椭圆c：t+匕=1的两个焦点，尸为椭圆上一

43

点，则|P周2+怛工「+3户用户用的最大值为（）

A.20B.16C.64D.24

tana2

贝Usin[2a+?)=

17.(2024高三•山西晋城开学考试)已知二3）

tan^+-j

V27V2「J照

ARD

1010—10-4

18.（2024高三•山西阶段练习）在棱长为4的正方体ABC。-中，E是8的中点，尸是CQ上

的动点，则三棱锥A-DE尸外接球半径的最小值为（）

A.3B.273C.V13D.岳

7112

19.（2024高三•山西阶段练习）已知e是自然对数的底数，a=-^,b=c92sin-,c=—,则（）

21nV7ieIn2

A.a>b>cB.c>a>bC.a>obD.b>0a

20.（2024•高三唾庆阶段练习）将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入A,B,C三个盒

子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且

A盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（）

A.28B.24C.18D.12

二、多选题

21.（2024•高三广东阶段练习）已知O为坐标原点，点尸为抛物线C：V=4x的焦点，点P（4,4）,直线

/：%=冲+1交抛物线。于/,B两点（不与。点重合），则以下说法正确的是（）

A.|FA|>1B.存在实数相，使得〈二

112

C.若”=23八贝IJ加=±也D.若直线以与尸5的倾斜角互补，则加=-2

4

22.（2024•广东一模）将圆柱0。2的下底面圆。1置于球。的一个水平截面内，恰好使得。］与水平截面圆

的圆心重合，圆柱0。2的上底面圆。2的圆周始终与球。的内壁相接（球心。在圆柱。。2内部）.已知球。

3

的半径为3,00,=-.若R为上底面圆Q的圆周上任意一点，设R。与圆柱。02的下底面所成的角为

a,圆柱的体积为V,则（）

A.a可以取到fo,jj中的任意一个值

B.V=cos2cr(1+2sin6z)

C.V的值可以是任意小的正数

8171

D.%ax=

4

23.（2024高三糊南阶段练习）已知体积为2的四棱锥P-ABC。，底面ABC。是菱形，AB=2,

PA=3,则下列说法正确的是（）

___7T

A.若尸A_L平面ABC。，则N2AD为一

6

B.过点「作「。人平面ABCD,若AO_LB。，则BD_LPC

JT

c.PA与底面ABC。所成角的最小值为；

D.若点尸仅在平面ABC。的一侧，且ABLAD,则尸点轨迹长度为36万

24.（2024高三糊南长沙中介段练习）已知函数〃尤）=（x+D（e'-x-1）,则下列说法正确的有

A.有唯一零点

B.〃尤）无最大值

C.在区间（L+8）上单调递增

D.x=0为〃x）的一个极小值点

25.（2024•高三•山东济南•期末）已知函数〃x）的定义域为凡且〃x+y）=〃x）+〃y）+l,”1）=。，

则（）

A.f（O）=-lB.有最小值

C.7（2024）=2023D.“"+1是奇函数

26.（2024•高三•山东德州•期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线

反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该

2

点与两焦点连线的夹角.已知用，鸟分别为双曲线。：5-产=1的左，右焦点，过C右支上一点

⑹作双曲线的切线交无轴于点也交y轴于点N,则（）

A.平面上点8（4』）,|4巴|+a川的最小值为质_2右

B.直线MN的方程为啊）-3%=3

C.过点耳作耳”，AM,垂足为a,则I。叫=2（。为坐标原点）

D.四边形A耳叫面积的最小值为4

1a

27.（2024高三淅江杭州专题练习）数列｛«„｝满足«„+1=--6)3+6(〃=1,2,3.,则()

A.当q=3时，｛%｝为递减数列，且存在MeR,使%>/恒成立

B.当％=5时，｛%｝为递增数列，且存在M46,使恒成立

C.当q=7时，｛%｝为递减数列，且存在M26,使4>/恒成立

D.当q=9时，｛4｝递增数列，且存在MeR,使。“<M恒成立

28.（2024高三•吉林•阶段练习）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图,

在堑堵ABC42c中，P是网的中点，AAi=AC=BC=2,若平面a过点P,且与平行，贝。（）

A.异面直线AG与CP所成角的余弦值为巫

10

B.三棱锥G-ACP的体积是该“堑堵”体积的;

C.当平面a截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于豆1

2

D.当平面a截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2万

29.（2024高三辆南株洲•期末）已知点4-2,0）,8（2,0）,N（0,-应）动点M满足直线AM和的斜率之

积为-J,记点"的轨迹为曲线C,过坐标原点的直线交C于尸，。两点，点尸在第一象限，PELx轴，垂

足为E,连接QE并延长交C于点G,则（）

22

A.曲线C的方程为：上+二=1B./QG为直角三角形

42

c.△PAN面积最大值为2D...PQG面积最大值为孩

30.（2024高三江苏镇江开学考试）正方体A4G2-ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定

一个四面体，所有这些四面体构成集合V，则（）

A.V中元素的个数为58

B.V中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2

C.V中每个四面体的外接球构成集合。，则。中只有1个元素

D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体

31.（2024高三江苏镇江开学考试）已知函数〃x）=sin_r+|cos2H，则下列说法正确的是（）

A.2兀是“X）的一个周期

B.7（x）的最小值是-2

C.存在唯一实数。«0,2）,使得+是偶函数

D.〃x）在［0,可上有3个极大值点

32.（2024•高三江苏南京开学考试）如图，该几何体是由正方形ABC。沿直线AB旋转90得到的，已知

点G是圆弧CE的中点，点，是圆弧。尸上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）

A.不存在点使得CHL平面BOG

B.存在点H,使得平面AHE//平面BOG

C.存在点使得直线EH与平面BOG的所成角的余弦值为在

3

D.不存在点使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为:

33.（2024•高三江苏无锡开学考试）如图，在正方体ABC。-44GQ中，E为棱BC上的动点，F为棱

片8的中点，则下列选项正确的是（）

A.直线aA与直线石尸相交

B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面人2尸的射影是点下

C.不存在点E,使得直线Aj与直线E/所成角为30

D.三棱锥E-AD尸的体积为定值

34.(2024全国一模)设a为常数，/(0)=/(x+y)=f{x}f{a-y)+f(y)f(a-x),贝。().

A./(a)=1

B.y(x)=；成立

C.f(x+y)=2f(x)f(y)

D.满足条件的不止一个

35.(2024高三河北保定开学考试)如图，在三棱锥P-ABC中，NAC。=60。,2AC=BC=P3=PC,

平面PBC工平面ABC,。是BC的中点，PD=4也，则()

A.三棱锥尸-ABC的体积为必8

3

7T

B.P4与底面ABC所成的角为:

4

C.PA=8

D.三棱锥尸-AC。的外接球的表面积为善

36.(2024•高三河北保定开学考试)已知/(x+1)是奇函数，〃x)的图象关于直线％=-!对称，则下列

结论正确的为()

A.〃x)是周期为4的周期函数

B.〃x-5)为偶函数

C.的图象关于点(-3,0)对称

D.45)=0

37.(2024高三•山西晋城开学考试)设函数/(尤)的定义域为R,且满足

/(x+2)+/(x)=0,/(-x)+/(x)=0,当尤e(O,l］时，f(x)=x\nx,则()

A.7(x)是周期为4的函数

B./(2024)=0

C.〃尤)的取值范围为

ee_

D.'(刈=1在区间0,岩内恰有1011个实数解

38.(2024高三•山西晋城开学考试)已知函数〃同=史方号,其导函数为尸(“，且/⑴=1,记

g(x)=xf(x),则下列说法正确的是()

A.fx0恒成立

B.函数g(x)的极小值为0

C.若函数y=g(x)r〃在其定义域内有两个不同的零点，则实数加的取值范围是(0,1)

D.对任意的％展€(2,+6),都有)(%)；/(%)

39.(2024高三•山西阶段练习)如图，在四棱锥尸-ABCQ中，底面ABCD是边长为2的菱形，

ZDAB=60,侧面PAD为正三角形，且平面尸4O_L平面ABCZ),贝!!()

B.在棱PB上存在点使得AM」平面PBC

C.平面PAD与平面PBC的交线平行于平面ABC。D.C到平面尸8。的距离为姮

5

40.（2024•高三•山西阶段练习）已知定义域为R的函数的导函数为f（x）,若函数〃4x+l）和

（（x+2）均为偶函数，且尸（2）=-1,/⑴=1,则（）

2023202420232024

A.沙⑴=TB.沙⑺=0C.£/（/）=2023D.斗⑺=。

Z=11=11=1Z=1

41.（2024高三建庆阶段练习）如图，已知双曲线C：W-1=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

ab

耳（-3,0）,乙（3,0）,点A在C上，点3在V轴上，48,2三点共线，若直线跖的斜率为6,直线A耳的斜

率为-述，则（）

11

3

B.C的离心率为不

C.网=16

D.48月的面积为16石

三、填空题

42.（2024淅江模拟预测）已知平面向量入b、2、%,满足心。，忖=2忖，c=a+b，|e|=h若

—_1_2

a-6a-e+8=0»则。十一耳。的最大值是.

43.（2024福三•山东荷泽开学考试）已知cos（a+£）=-；,cos«+cos/?=l,贝lj

a-Ba+Bsin（a+〃）

cos-------cos--------=_____,—；--=____.

22sina+sin/?

44.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆

的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形

的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图,已知锐角—ABC外接圆的半径为2,且三条圆弧沿-ABC三边

翻折后交于点P.若"=3,则sin/PAC=_________；若AC:A8:BC=6:5:4,贝1]PA+PB+PC的值

45.（2024高三•上海宝山•期中）如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形,

不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去,

形成一条无穷伸展的等边折线.设第〃条线段与第力+1条线段所夹的角为Q（〃eN*，2e（O,7i））,则

46.（2024全国模拟预测）已知圆锥S。的母线SA=5,侧面积为15兀，则圆锥S。的内切球半径

为；若正四面体A-BCiA能在圆锥SO内任意转动，则正四面体A-与C2的最大棱长为.

47.（2024泗川资阳模拟预测）若函数〃x）=e'+cosx+（a-l）x存在最小值，则。的取值范围是.

48.（2024高三•山东青岛•期中）已知四边形/8CZ）,耳,eN*）为边2C边上一点，连接交5。于

E/zeN*）,点E“满足2（1+〃“）耳阳-EQ=（%+「2）E”8,其中｛6｝是首项为1的正项数列，

49.（2024•高三江苏苏州阶段练习）过抛物线;/=6x的焦点尸的直线交抛物线于48两点，C在抛物

线的准线上，则/ACB的最大值为；若△ACB为等边三角形，则其边长为.

50.（2024•高三江苏镇江开学考试）如果函数〃x）在区间［a,b］上为增函数，则记为了⑶"，函数

〃尤）在区间［。，目上为减函数，则记为外孙洲.已知尤+2,则实数机的最小值为；函数

f（x）=2x3-3ax2+12x+l,且/（叫闾J（无产司,则实数。=.

51.（2024高三江苏镇江开学考试）已知AB是圆锥尸。的底面直径，C是底面圆周上的一点，

PC=AB=2,AC=6,则二面角A-PB-C的余弦值为.

f〃+In〃=3

52.（2024高三江苏南京开学考试）已知实数机，〃满足।,2』”，则,9=______.

［l+ln/77=e

53.（2024•高三江苏无锡开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设

A（尤”%）,3（々，%），则A,B两点间的曼哈顿距离4（48）=|再-%|+|%-力|•已知〃（4,6）,点N在圆

C:Y+y2+6x+4y=0上运动，若点?满足d（M,P）=2,则归陷的最大值为.

54.（2024•高三河北保定开学考试）对于函数若在定义域内存在实数x,满足，=

则称为“局部反比例对称函数”.若〃x）=$3一g加+（苏一3卜+5的导函数尸⑺是定义在区间

［2,+8）上的“局部反比例对称函数”，则实数〃z的最大值与最小值之差为.

55.（2024•高三何北保定开学考试）已知平面向量Z,6是非零向量，（2。-B），（2a+B）,向量b在向量.

a.b

方向上的投影向量为一a，则答=_____；向量24的夹角为_____.

\a\"

56.（2024全国•高考真题）如图在平面四边形48co中，ZA=NB=4=75。,BC=2,则48的取值范围

是.

金---------------<,

57.（2024高三•山西阶段练习）锐角二ABC的内角A的对边为。，若..ABC的面积是/,则•「子的

cosBcosC

最小值是.

58.（2024高三•山西阶段练习）已知抛物线E:/=4y与圆C:/+（y_i）2=i6的公共点为AB,则

\AB\=；若P为圆C的劣弧AB上不同于A,8的一个动点，过点尸作垂直于x轴的直线/交抛物线E于

点N,/不经过原点，则ACPN周长的取值范围是.

2x,x<0

59.（2024高三•重庆阶段练习）已知函数〃力=21nx，^（x）=x2+2x+l-22,ZeR,若关于x

-------,x>0

、x

的方程/（g（X））=2有6个解，则2的取值范围为.

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(二十三)

一、单选题

1.(2024广东l模)已知函数可力的定义域为R,且满足++l)=2,/z(2-%)是偶函数,

103

%(2)=0,若〃EZ,则£h(n)=()

n=-103

A.202B.204C.206D.208

【答案】c

【解析】因为/z(x+l)+/z(x-l)=2,所以〃(x+2)+/7(x)=2①，即有7i(尤+4)+/z(x+2)=2②,

由①②得到〃(x+4)=〃(x),所以函数〃(尤)的周期为4,

又右(2-元)是偶函数,所以/z(2+x)=/z(2-x),得到/?(x)=/z(4-x)=/i(-x),即函数〃(％)为偶函数，

又由/7(X+2)+/Z(X)=2,得至lj/i⑴+力(3)=2,42)+/7(4)=2,/?(0)+/?(2)=2,

103103

又Zz(2)=0,所以/i(O)=2,故工h(n)=2^h(n)+/z(0)=2x25x4+/z(0)+2(/J(1)+/z(2)+A(3))=206,

n=-103n=l

故选：c.

2.(2024高三糊南事介段练习)设方程2"|log2x|=l的两根为不，马(不<々)，则()

%2>2B.石>——

%2

C.0<xrx2<1D.工1+冗2>3

【答案】C

X

【解析】由题意得，。＜再＜々，由2yiogR=i得Mg?)=0,

如图画出函数y=|log2x|和y=的图象，两个函数有2个交点,

令〃x)=|log2x|_(J(x>。)，贝丫⑴=一;<。，/⑵=1一；=；>0,d=l_jg>0,

由了［；｝〃1)<0,〃1).〃2)<0得&X2e(l,2),故A错；

得降2司-隧2小=]£|

0,

由Xeg』］,x2e(l,2),得log29+。2占=［；］<0,

即log2X/2<。，所以。<无述2<1,故C对，B错，

由司©［；/)，x2e(l,2),所以%+%<3,D错误.

TT

F2,且在第一象限内相交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为，，%若/月Pg=g,则G4的最小

值是

A.|B.立C.直D.-

2222

【答案】C

【解析】设共同的焦点为(-c,0),(c,0),设|P3=s,|PFj=f,运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的

余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值.设共同的焦点为(-G。)，90),

设周=s,1P巴卜f,

由椭圆和双曲线的定义可得s+，=2a,s-t=2m,

角军得s=a+zn,t=a-m,

TT

在巴中，ZFtPF2=~,

可得闺段2=|%『+|P周2-2归周尸周.cosN^P月，

即为4c2=(〃+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,

232

即有「a+=m-=4,

cc

13

即为w+三=44,

qe2

可得q.qN弓，当且仅当4=豆。时，取得最小值日，

故选C.

4.(2024高三糊南长沙阶段练习)求值：2cos40+cos80=()

sin80

A.V3B.3C.-V3D.

33

【答案】A

［解析］2cos40+cos802cos(120-80)+cos80

sin80sin80

2(cosl20cos80+sinl20sin80)+cos80V^sin80亦

sin80sin80

故选：A.

5.（2024陕西安康•二模）宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表

达.《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图

（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数/（X）,若存在圆C,使得了（无）的图象能

将圆C的周长和面积同时平分，则称/（x）是圆C的太极函数.下列说法正确的是（）

①对于任意一个圆，其太极函数有无数个

②〃月=1（^（2，+1）+白是*2+6+1）2=］的太极函数

22

③太极函数的图象必是中心对称图形

④存在一个圆C,/（x）=sinx+cosx是它的太极函数

A.①④B.③④C.①③D.②③

【答案】A

【解析】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分,

所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确

对于②：/(-x)=log](2^+1)-1x=log]1+2X)1

-----------X

X

22522

2X+1

f(x)-f(-x)=\ogL^--^+x=r+%=0,所以关于y轴对称，不是太极函数，故②错误;

2X

对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心.

但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误;

对于④：曲线〃x)=sinx+cosx=V^sin]x+T存在对称中心，

所以必是某圆的太极函数，故④正确.

故选：A.

6.已知定义在上的函数Ax)满足：

®/(0)=/(l)=0;

②对所有X，ye[0,1],且xxy,有|/(x)-/(y)|<

若对所有尤,丁€[0,1],|/(尤)_/(刈<%,则k的最小值为

A.-B.-C.—D

2427r-I

【答案】B

【解析】不妨令04x<y41,贝

法一:2|/(x)-/(y)|=|/(x)-/(O)+/(x)-/(y)-[/(y)-/(l)]|

^|/M-/(O)|+|/(x)-/(y)|+|/(y)-/(l)|

<||^-0|+1|x-y|+||^-l|=1x+1(^-%)+1(y-l)=|)

即得|〃x)T(y)|<；，

,0V%«—

2

另一方面，当0,时，〃x)={,符合题意,

-<x<l

2

当〃一万时,

故人工二

法二：当＜5时，—

当x-y4时，|〃x)T(y)|=[〃x)-〃o)]-[〃3/⑴』

^|/M-/(i)|+|/(j)-/(o)|

故U

4

考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.

7.(2024高三淅江杭州专题练习)已知三棱锥S-A8C中，

ZSAB^ZABC=^,SB=4,AB=2,BC=^l3,SA和BC所成的角为:，则该三棱锥外接球的表面积是

()

A.12兀B.16KC.24兀D.32兀

【答案】B

【解析】将三棱锥S-ABC放入长方体ABCD-EFGH中，S在棱上面，

并以A为原点，AB,A2AE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

由题意ZSAB=NABC=三,SB=4,AB=2,BC=C,

2

所以SA=116—4=25

IT

因为&4和BC所成的角为AD/IBC,

所以4£1=26$山工=3,£'5=2g85工=6,

33

而底面三角形外接圆圆心为AC中点a,设球心。到平面ABC的距离为h,

则A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,G,0）,S（0,6,3）,oJl,g,o1,0，¥，/z,

I2JI2,

所以。4=,OS=—1,——,3—/z,

22

\7\7

则由|QA|=ON=RnR2=（+]+/=；+]+（3—切2,

3

解得"=5，R2=4,从而S=4兀尺2=16兀，

即该三棱锥外接球的表面积是16兀.

故选：B.

8.已知等差数列｛4｝中，&+%=2记2="1,"eN*,则数列出｝的前8项和为

（）

A.0B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】由等差数列性质得a,,+%“=%+%

a=S±l=%T+2=]+^,

"a.7对T%-]

2

设％=~，当1VwV8,“wN*时，

%-1

「+r=2।2=2%+%-2=2%+.-2

"9fan-la9_n-1（o„-l）（a9_„-l）（q,-1乂%_“-1）'

故4+4+4++々

222

-1H--------F1H---------\~-+1H---------=8+C]+Q++%

Q]—1a?—1%—1

=8+（q+%）+（。2+。7）+（。3+。6）+（。4+。5）=8

故选：c

9.（2024高三淅江阶段练习）若3sin6+cos6=W，则叫"豆厂二的值为（）

12

A.-7B.-14C.-D.-

77

【答案】B

【解析】一方面由题意3sin<9+cos<9=而,且注意到sin?e+cos?e=1,

解得sin”亚,cos”典

联立得10sin2e-6质sin6+9=0

1010

八sin。-

所以tan6=------=3,

cos。

c兀

2tan—

jrLt兀Y

另一方面不妨设左=12113>0,且tan—=1=8

o1-tan2-

8

所以有/+2了一1=0,解得尤=-1+&或x=-l-亚（舍去），即了=12119=—1+0,

O

3+（-1+&）（2+@*（4+3回

由两角和的正切公式有tanY=罂篇-（7+572）,

l-3（-l+V2）（4-3后）x（4+3⑹

=-7-5V2+5A/2-7=-14.

故选：B.

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10.（2024高三江苏镇江开学考试）已知过坐标原点。且异于坐标轴的直线交椭圆二+当