湖南省岳阳汨罗市弼时片2023-2024学年九年级下学期第一次联考数学试题（含答案解析）

湖南省岳阳汨罗市弼时片2023-2024学年九年级下学期第一

次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-2024的相反数是（）

A.-2024B.2024------D.------

20242024

【答案】B

【分析】

本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是

0,据此求解即可.

【详解】解：-2024的相反数是2024,

故选：B.

2.如图所示的几何体，其俯视图是（）

【答案】C

【分析】

根据俯视图是从上往下看得到的图形，直接判断即可.

【详解】解：根据题意得：其俯视图是

故选：C

【点睛】本题考查了三视图，解题关键是明确俯视图是从上往下看到的图形.

3.下列运算中，正确的是（）

235232366

A.a+a=2aB.a-^-a—aC.a-a—aD.（a?）=a

【答案】D

【分析】

根据合并同类项，负整数指数幕，同底数幕相乘，塞的乘方，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、/和03不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；

B、〃？/a-i,故本选项错误，不符合题意；

C、ai-ai=a5,故本选项错误，不符合题意；

D、（°2丫=],故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幕，同底数幕相乘，幕的乘方，熟练

掌握相关运算法则是解题的关键.

A.20°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】利用平行线的性质，得出NA的同位角/。。石的大小，再借助外角的性质，得

出NC的大小，

【详解】M;"：AB//CD,ZA=45°,

ZDOE=ZA=45°,

,.•/。0£是4£。。的外角，ZC=ZE,

：.NC=±/DOE=4X45°=22.5°.

22

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质及外角的性质，较简单，关键把握/DOE=NC+/E

即可.

5.某校6名学生参加课外实践活动的时间分别为：3,3,6,4,3,7（单位：小时）,

这组数据的众数和中位数分别为（）

试卷第2页，共22页

A.6和7B.3和3.5C.3和3D.3和5

【答案】B

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的

平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据.

【详解】解：将数据从小到大排列：3、3、3、4、6、7,

出现次数最多的是3,

因此众数为3,

3处在第3位，4处在第4位，该数据的平均数为±=3.5,

2

因此中位数为：3.5,

故选：B.

【点睛】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，

位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多

的数据，是解题的关键.

6.下列命题中错误的是（）

A.若a=6,则片=尸B.两直线平行，内错角相等

C.长度相等的弧所对圆周角相等D.对顶角相等

【答案】C

【分析】根据等式的性质，平行线的性质和等弧的概念以及对顶角的性质进行判断即可.

【详解】解：A.若则/=〃，原说法正确；

B.两直线平行，内错角相等，原说法正确；

C.长度相等的弧所对圆周角不一定相等，原说法错误；

D.对顶角相等，原说法正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了命题,等式的性质，平行线的性质和等弧的概念以及对顶角的性质，

解题的关键掌握以上知识点.

7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出

七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如

果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱.问：共有几个人?”

设有x个人共同买兔，依题意可列方程为（）

A.5（x-ll）=7（x+13）B.5（x+ll）=7（x-13）

C.7x+ll=5x—13D.7x-ll=5x+13

【答案】D

【分析】根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可.

【详解】解：根据每人出七钱，那么多了十一钱，

可得买兔所需的钱为

根据每人出五钱，那么少了十三钱，

可得买兔所需的钱为5x+13,

A7x-ll=5x+13,

故选：D.

【点睛】本题考查了列一元一次方程，解题关键是找等量关系.

8.如图，四边形A2CD内接于（。，OCL弦80,若/BCO=62。，则一A的大小为（）

A.62°B.56°C.52°D.50°

【答案】B

【分析】由垂径定理CB=8,即C3=C。；由等腰三角形的性质可得

ZDCO=ZBCO=62°,即4CD=124。，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答.

【详解】解：

CB=CD，

：.CB=CD,

•/OCLBD,

：.ZDCO=ZBCO=62°,

：.=124°,

,/四边形ABCD为「O的内接四边形，

ZA=180°-ABCD=180°-124°=56°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对

角互补是解答本题的关键.

试卷第4页，共22页

9.如图，。。的半径OD，弦AB于点C,连接AO并延长交。O于点E,连接EC.若

AB=8,CD=2,则EC的长为（）

A.2V15B.8C.2A/10D.2^/13

【答案】D

【详解】解：。。的半径弦AB于点C,AB=8,：.AC=AB=4.

设。。的半径为r,则OC=r—2,

在放△AOC中，：AC=4,OC=r~2,

/.O^=AC2+OC2,即幻=42+。一2尸,解得x5.

AE=2r=10.

连接BE,

是。的直径，ZABE=90°.

在MAABE中，；AE=10,AB=8,/.BE=VAE2-AB2=V102-82=6-

在吊△BCE中，•:BE=6,BC=4,CE=JBE?+BC?=府+4?=2岳•

10.如图，抛物线y=or2+bx+c的顶点坐标为（1,〃）.下列结论：①abc<0；②8a+c

<0；③关于尤的一元二次方程办2+&+0="-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两

点、P（X/,yi）和。（X2,J2）,若X7<1<X2,且X/+X2>2,则其中正确的结论

共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】结合题意，根据抛物线开口方向和对称轴即可判断选项①;根据抛物线对称性，

得9a+36+c=0,根据抛物线对称轴的性质，得b=-2a,结合抛物线开口方向的性质，

通过计算即可判断②；根据抛物线图像和一元二次方程的性质分析，即可判断③；根据

顶点坐标及抛物线对称性，即可判断出④；从而得解.

【详解】：抛物线开口向下，

•・•顶点坐标(1,〃)，

・•・对称轴为直线1=1,

2a

：・b=-c>0,

abc<0,故①正确；

•・,点A(-1,0)关于直线x=l的对称点为(3,0),

9〃+3b+c=0,

":b=-2a,

3〃+c=0,

8Q+C=8Q-3c=5〃

/.8a+c<0,故②正确,

顶点坐标(1.n)

，抛物线N+bx+c="有唯一的解，当尸w-1时，与抛物线有两个交点，故③正确，

XI<1<X2,且X/+X2>2,

\X2-1|>|%7-1|

:抛物线开口向下，抛物线关于尤=1对称，

时，y随x的增大而增大，x>l时，y随x的增大而减小，

.\yi>y2,故④正确，

试卷第6页，共22页

，结论正确的是①②③④共4个.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数

图像的性质，从而完成求解.

二、填空题

11.若分式2三有意义，则》的取值范围是_____.

x-1

【答案】XW1

【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可.

【详解】解：•••分式三有意义，

x-1

X-1HO,

解得XH1.

故答案为：XW1.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解

题的关键.

12.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千

米，将数9500000000000用科学记数法表示应为.

【答案】9.5xlO12

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为axlO”，〃为正整数，

且比原数的整数位数少1,据此可以解答.

【详解】解:9500000000000=9.5xlO12.

故答案为：9.5xl012

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般

形式为axlO",其中1＜忖＜10,〃是正整数，正确确定。的值和〃的值是解题的关键.

13.解分式方程一^=3的解是_____

x+2x+4

【答案】-1

【分析】

两边同时乘最简公分母（x+2）（尤+4）化为整式方程，解整式方程并检验即可.

【详解】

解：两边同时乘最简公分母（无+2）（x+4）整理得：x+4=3x+6,

解得A-l,

经检验X=-1是方程的解，

故答案为：X=-l.

【点睛】

本题考查了解分式方程，题目简单，但要注意验根.

14.在一个不透明的袋子里,装有2个红球和3个白球,这些球除颜色外没有任何区别，

现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是—.

【答案】|

【分析】根据题意，确定出符合条件的可能数，和出现的总可能数，利用概率定义求解

即可.

【详解】根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，共5个，

2

摸到红球的概率为：j.

2

故答案为：y.

【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键.

15.如图，在ABC中，AB^AC,。是BC边上的中点，若AB=13,AD=12,则BC

的长为-.

【答案】10

【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到BD=CD,然后利用勾股

定理求解即可.

【详解】：在‘ABC中，AB=AC,。是边上的中点，

AAD1BC,BD=CD,

VAB=13,AD=12,

BD=^AB--AD1=5>

BC=2BD=10.

故答案为：10.

试卷第8页，共22页

【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上

知识点.

16.若占，x?是关于x的一元二次方程/一2025x+l=0的两个根，则代数式占-2芯々+々

的值为—.

【答案】2023

【分析】由根与系数的关系得到占+尤之=2025,占々=1，将代数式变形代入计算即可.

【详解】解：尤2是一元二次方程f-2025尤+1=0的两个实数根，

:.药+/=2025,玉工2-1，

X

xx-2再入2+2

=2025-2x1

=2023.

故答案为：2023.

【点睛】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合解题是一种

经常使用的解题方法.

17.如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB、AC,若

SC=100m,ZB=60°,ZC=45°,则游客中心A到观景长廊BC的距离AO的长约为—

【答案】64

【分析】分别在RtAD3和RtADC中，利用锐角三角函数可得2D=空AD,

3

CD=AD,再由BD+CE>=gC=100m,即可求解.

【详解】解：在RtAD3中，/3=60。,

BD=-^-=ad=^-AD,

tanBtan6003

在RtADC中，NC=45。，

AD

CD=-^-=AD,

tanCtan45°

,/BD+CD=BC=100m,

**•-----AD+AD=100m,

3

解得：AD=150-50^^64m.

故答案为：64

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

18.如图，8C为，ABC外接圆。的直径，点/为,ABC的内心，连接AM并延长交G。

于点。，①若Z4BC=3O。，O的直径为4,则扇形AOC的面积为；

【答案】A/3—1/-1+A/3

【分析】①首先根据圆周角定理得到NAOC=60。，然后利用扇形面积公式求解即可；

②作MELAC交AC于点E,作交AD于点「根据三角形内心的性质求出

ME=2+2^~4=y[3-l,进而得到=&-0,然后利用勾股定理和等腰

2

直角三角形的性质得到DM=2四，进而求解即可.

【详解】①：ZABC=3。。，AC=AC

：.ZAOC=2ZABC=60°

:。的直径为4,

。的半径为2,

60°x%x222%

扇形AOC的面积为

360°T

②如图所示，作MELAC交AC于点E,作CVLAD交AO于点R

VZABC=3O°,AC=2,ZBAC=90°

试卷第10页，共22页

BC=2AC=4

AB=VBC2-AC2=2c

■:点、M为AfiC的内心，

/.ME是、ABC内切圆的半径，

.2+26-4A,

•・ME=--------------=、/3—1,

2

；点、M为MC的内心，

•••AD是ZBAC的角平分线，

AZC4D=45°,AM=^/2ME=>/6-^2,

'：CF±AD

：./ACT=45°

•••△ACF是等腰直角三角形

•/AC=2

AF=CF=y[2

AC=AC

：.ZADC=ZABC

CD=2CF=20

DF=7CD2-CF2=R

：.AD=AF+DF=y/2+^[6

：.DM=AD-AM=母+a-距-@=2也

A。v2+A/6

故答案为：>^3-1.

【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性

质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

三、解答题

19.计算：已）一囱+3tan30°+2一斗

【答案】1

【分析】根据负整数指数累，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简计算即可.

【详解】Qj-79+3tan30O+|V3-2|

=2-3+行+2-6

=1.

【点睛】本题考查了负整数指数嘉，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，

熟练掌握运算法则是解题的关键.

20.先化简，再求值：fl二1+£=4，其中a=4.

(a+2)a+2a

a4

【答案】4,7

a-13

【分析】先根据分式的加减，计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性

质化简，最后将字母的值代入求解.

【详解】解：fi--

1〃+2J〃+2〃

a+2-1a(i+2)

a+2(a+l)(a—1)

_a+\〃(a+2)

a+2(a+l)(a—1)

a

a-11

,44

当a=4时，原式=---=—.

4—1J

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

21.如图，在.ABC中，AB=AC,D、E、尸分别是AB、BC、AC边的中点，求证：四

边形ADEF是菱形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出DE//AC,

DE=^AC,EF//AB,EF=；AB,从而得出四边形AD£F是平行四边形，结合

AB=AC得出EF=DE,即可得证.

【详解】证明：「点"E分别是AB、3c边的中点，

试卷第12页，共22页

DE//AC,S.DE=-AC,

2

同理，EF//AB,且跖=

四边形ADEF是平行四边形

又:AB=AC,

:.EF=DE,

平行四边形AZJEF是菱形.

22.某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学

校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的

不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：

各类社团人数条形统计图

各类社团人数扇形统计图

(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列

表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率.

【答案】(1)调查学生人数200人，补图见解析

(2)愿意参加劳动社团的学生人数900人

(3)作图见解析，P(同一社团)=|

【分析】(1)用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再

用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；

(2)用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；

(3)根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3

种.再根据概率公式，即可求解.

【详解】(1)解:调查学生人数：80+40%=200人，

科普类人数：200-40-50-80=30人，

补全条形统计图，如图:

(2)解：愿意参加劳动社团的学生人数：3600x砺=900人;

(3)解：根据题意，画出树状图，如下图：

甲阅读美术劳动

/'/1\/1\

乙阅读美术劳动阅读美术劳动阅读美术劳动

共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种.

，恰好选中同一社团的概率为13=；1.

【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件;

解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

23.如图，一次函数％=幻+6经过点A(0,4),B(4,0),与反比例函数为=§(无>。)的

图象交于点C(L"),D两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求△AOD的面积.

【答案】(1)一次函数的解析式为％=-》+4,反比例函数解析式为%=；(X>0)

(2)6

【分析】(1)首先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后求出点C的坐标，然后

试卷第14页，共22页

k

代入%=?(x>0)即可求出反比例函数解析式；

(2)连接0。，联立一次函数和反比例函数求出点。的坐标，然后利用三角形面积公

式求解即可.

【详解】(1)•••一次函数%=%F+b经过点A(0,4),3(4,0),

b=4b=4

,解得

h=—1

**•/=r+4；

将代入y=-x+4得，n=3

：.C(l,3)

将C(l,3)代入%=§(x>0)得，左2=3

3

•"%=—(x>。)；

3

.•.将％=3代入%=,(x>0)得，%=1

/.0(3,1)

S

VAOD=^xA0xxD=1x4x3=6.

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解

析式是解题关键.

24.某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日

销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x

元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求w与x之间的函数关系式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润

最大？最大利润是多少元？

(3)如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多

少元？

【答案］⑴y=_5x+150(xZ20)；

(2)w=-5x2+240x-2700,该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大

值为180元；

(3)每天的销售利润最大值为160元.

【分析】(1)根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量

为5(无一20)千克，进而再根据题意列出函数解析式即可；

(2)根据“总利润=(售价一进价)x销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质

即可得答案；

(3)根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得a的取值范围，再由二次

函数的性质求最大值.

【详解】(1)根据题意得，y=50-5(x-20)=-5x+150,

gPy=-5x+150(x>20)；

(2)根据题意得，w=(x-18)(-5%+150)=-5x2+240%-2700,

即w与x之间的函数关系式为W=-5X2+240X-2700(20WxW30),

又—5<0,

b

；.当》=-丁=24时，w有最大值，最大值为180.

2a

答:W与龙之间的函数关系式为：W=-5X2+240X-2700，该水果售价为每千克24元时，

每天的销售利润最大，最大值为180元；

(3)由题意得，—5X+150N40,

解得，x<22,

20<x<22.

w=-5x2+240%-2700,

V-5<0,开口向下，

试卷第16页，共22页

20VxV22在对称轴左侧，w随尤的增大而增大，

...当x=22时，w有最大值，最大值为：w=160,

答：商家每天销售利润的最大值是160元.

【点睛】本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实

际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，解题的关

键是在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若

在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性求

最值.

25.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4y/2,D,E分别为AB,AC的中点，F为DE

的中点，连接AE

(1)如图1,过P作于G,交BC于H,直接写出线段A尸与S的数量关系；

(2)将AAOE绕点A顺时针旋转到如图2所示位置，过尸作FGLBD于G,过C作DE

的平行线与直线PG交于点H,得到线段也，CH.

①(1)中的结论是否成立？请说明理由；

②从图2的位置开始将AAOE绕点A顺时针旋转，当。，E,H共线时，直接写出四

的长度.

【答案】(1)”=CW;

⑵①成立，理由见解析；②2a-2或26+2;

【分析】(1)连接即，根据三角形的中位线定理，可得到四边形EMC是平行四边形，

即可证明；

(2)①连接CE,并延长交BD于点I,可证明△AEC和小ADB全等，再证明四边形CEFH

是平行四边形，即可得到结论；②分两种进行分类讨论，利用勾股定理算出FC的长，

即可表示出fT?的长；

【详解】(1)结论：AF=CH；

证明：连接即，

A

E是AB、AC的中点，

.,.OE是△ABC的中位线，DEBC,

又；G、尸是AADE的中点,

：.GHAC,

四边形EFHC是平行四边形，

：.EF=CH,

又AADE是等腰直角三角形,

：.AF=EF,

；.AF=CH；

(2)①成立.

理由：连接CE,并延长交8。于点/.

由旋转的性质可知：/EAC=NDAB,

AE=AD

在AAEC和AAOB中，\ZEAC=ZDAB,

AC=AB

.♦.△AEC经△AZZB(SAS),

：.ZDBA=ZECA,

：.ZBIC=ZBAC=9Q°,

：.GHIC,

又,：CHDE,

四边形CEFH是平行四边形,

CH=EF,

又'：AF=EF,

：.AF=CH,故结论成立；

试卷第18页，共22页

②2e-2或24+2;

第一种情况：当。、E、X三点共线时，如图所示,

：.AF±CD,

又-：AB=AC=472，AD=AE=272,

：.AF=DF=EF=2,

FC=yjAC2-AF2=2币，

又,：CH=AF=2,

；.四的长为2行-2；

第二种情况：当。、E、”三点共线时，如图所示,

又,：CH=AF=2,

FH=FC+CH=24+2,

综上所述，FH的长为2"-2或2r+2.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形，勾股定理

以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是添加辅助线构造全等三角形，第

三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题.

26.如图1,已知二次函数,=加+云+。(。>0)的图象与x轴交于点A(-l,0)、3(2,0),

与y轴交于点C,且tan/。4c=2.

⑴求二次函数的解析式;

(2)如图2,过点C作CD〃x轴交二次函数图象于点。，P是二次函数图象上异于点。

的一个动点，连接尸8、PC,若SAPBC=S^BCD，求点尸的坐标；

⑶如图3,若点P是二次函数图象上位于8C下方的一个动点，连接。尸交8c于点。.设

点尸的横坐标为t,试用含r的代数式表示:|的值，并求的最大值.

【答案】⑴>=/-了-2；

(2)P(1+V2,V2)或(1-0,-G

【分析】(1)在R3A0C中求出0C的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交

点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；

(2)可分为点尸在第三象限和第一象限两种情况：当点尸在第三象限时，设点尸(历

“a-2),可表示出△3C。的面积，作尸E〃AB交8C于E,先求出直线8C,从而得

到£点坐标，从而表示出APBC的面积，根据S/BC=S〃2C£),列出方程，进一