广东省2023-2024学年高考模拟数学试卷含解析

广东省2023-2024学年高考模拟数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数＞=2cos?-1的图像向左平移加（加>0）个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则心的

最小值为（）

71e兀71

A.-B.一C.—D.兀

342

2.若函数/（x）=e、的图象上两点"，N关于直线,》的对称点在g（x）=ax-2的图象上，则a的取值范围是

()

A.1-0°，1B.(-00,e)C.0,-D.(0,e)

3.设全集为R,集合A={x[0<x<2},3=卜上21},则A&5）=

A.1x|0<x<1}B.1x|0<x<11C.1x|l<%<2jD.{x[0<x<2}

4.已知三棱锥D-ABC的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点，则三棱锥Q-ABC的体积的最大值为（）

24〃816

A.-B.-C.—D.—

3333

5.已知函数/（%）的定义域为[0,2],则函数g（x）=（（2x）+j8—2、的定义域为（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

2

6.如图，在A45C中，AN=-NC,尸是BN上一点，若=+则实数f的值为（）

33

N

a

2X(Y<0)

7.已知函数，(x)=--\且关于X的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根，则实数4的取值范围

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(1,-H»)C.(0,+oo)D.[-oo,l)

8.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额了(单位：亿元)的折线图.则下列结论中表述不无碉的是()

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…，7)

建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型亍=99+17$,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为

256.5亿元.

9.一个正三角形的三个顶点都在双曲线必+02=1的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数。的取值

范围是()

A.(3,+co)B.C.卜0°,D.(—co,—3)

10.设平面a与平面夕相交于直线,直线。在平面a内，直线沙在平面广内，且6，加贝!”是“aLZ?”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

11.执行如图所示的程序框图，若输入a=lnl0,b=lge,则输出的值为()

A.0B.1C.2IgeD.21gl0

12.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,高为0,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表

面积为（）

A.46兀B.4万C.47271D.3万

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）

①因为sin[x+（J/sinx,所以"不是函数y=sinx的周期;

3

②对于定义在R上的函数若/（-2）w/（2）,则函数“X）不是偶函数;

③“MAN”是“/。82”＞这2山，成立的充分必要条件；

④若实数。满足/V4,则aW2.

14.已知复数2=。+初（a/eR）,且满足上=9+，（其中i为虚数单位），贝！]。+匕=——.

15.已知｛%,｝是等比数列，且〉O,a2a4+2a3a5+a4a6=25,贝!）%+%=，%的最大值为

16.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知a>0,b>0,c>0设函数f（力=|尤-耳+|x+c|+。，xeR.

（1）若a=Z?=c=l,求不等式/（x）>5的解集；

⑵若函数/（光）的最小值为1,证明：六+。+M>18（“+6+。）.

18.（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲

击”的新征程.4城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.

近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的

相关数据如下：

来4城市发展的理由人数合计

1.森林城市，空气清新200

自然环境300

2.降水充足，气候怡人100

3.城市服务到位150

人文环境4.创业氛围好300700

5.开放且包容250

合计10001000

（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;

（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再

选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；

（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的

理由的700人中有400名男性；请填写下面2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文

环境”的选择有关？

自然环境人文环境合计

男

女

合计

n(ad-bc\

附：K2=7-------77——------------r，n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(Kfk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)已知集合A={1,2,•7},nvN*，n>2,将4的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

；M),其中记集合中元素的个数为右，左，k<m,规定空集中元素的个数为

(MVM2,mm=2".eN*0.

(1)当”=2时，求％+々++%”的值；

(2)利用数学归纳法证明：不论“522)为何值，总存在有序集合组(加],加2，、加,”)，满足任意ieN*，1，

都有-%+1|=1.

20.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单

位.已知曲线。的极坐标方程为〃=2cos仇直线/的参数方程为一一.(，为参数，a为直线的倾斜角).

y=tsma

⑴写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C有唯一的公共点，求角a的大小.

21.(12分)己知函数/(x)=e*-2x-cosx.

(1)当XC(-CQ,0)时，求证：f(x)>0；

(2)若函数g(x)=/(九)+l〃(x+l),求证:函数g(x)存在极小值.

22.(10分)设函数/(x)=|x+3],g(x)=|2%-l|.

(1)解不等式/(%)<g(x);

(2)若2/(%)+8(幻>就+4对任意的实数工恒成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为y=cos[x+f],要想在括号内构造工变为正弦函数，至少需要向左平移四个单位

I4J24

长度，即为答案.

【详解】

由题可知，y=2cos2|^|+^-l=cos=对其向左平移:个单位长度后，

+―+—I—c°s[%+耳J=—sin%,其图像关于坐标原点对称

故加的最小值为巴JT

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

2、D

【解析】

由题可知，可转化为曲线g(©=«x-2与y=lnx有两个公共点，可转化为方程依-2=In.x有两解，构造函数

2+InX

h(x)=-----利用导数研究函数单调性，分析即得解

【详解】

函数/(x)=e，的图象上两点M,N关于直线y=X的对称点在y=InX上,

即曲线g(x)=ax-2与y=lnx有两个公共点,

即方程依-2=lnx有两解,

2+lnx-“r

即。=------有两解,

人，/、2+lnx

令/z(x)=---------,

x

.,,—1—Inx

贝!]h(x)=-----z-,

则当0<x<-时，h'(x)>0；当x>—时，〃'(x)<0,

故X=J时/I(x)取得极大值/?(g)=e,也即为最大值，

当xf0时，当xf+co时，/z(x)->0,

所以0<a<e满足条件.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

3、B

【解析】

分析：由题意首先求得CR§,然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得:CRB={X\X<1},

结合交集的定义可得：

An(CfiB)={0<%<1}.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4、C

【解析】

由题可推断出ABC和5CD都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥O-ABC的体积最大，则需满足/i=0£),

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB^OC,故ABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

x2+y2^42>2xy,又梃°=；孙，所以却孙当且仅当时，取最大值%要使三

5S<4,x=y=205AABC

11Q

棱锥体积最大，则需使高f8=2,此时匕…二六会小丁4><2=3'

故选:C

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

5、A

【解析】

0<2x<2

试题分析：由题意，得｛。，解得OWxWl,故选A.

考点：函数的定义域.

6、C

【解析】

—.2-

由题意，可根据向量运算法则得到AP=gmAC+(1-m)AB,从而由向量分解的唯一性得出关于，的方程，求出

f的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN—AB^=mAN+(l—m^AB,

2—2—■2—

又，AN=-NC,所以AN=gAC,：.AP=-mAC+(1-机),

l-m=t

1--51

又AP=fAB+qAC,所以,21»解得

3—m=—66

[53

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

7、B

【解析】

根据条件可知方程/(%)+X-。=o有且只有一个实根等价于函数y=/(X)的图象与直线y=-X+a只有一个交点，

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线y=-x+a只有一个交点，作出图象如图,

由图可知，<2>1,

故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

8、D

【解析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于3选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到

37x4=148,故描述正确.对于。选项，令/=10代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元，故。选项描述不正

确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

9、D

【解析】

因为双曲线分左右支，所以a<0,根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1+乙

将其代入双曲线可解得.

【详解】

因为双曲线分左右支，所以。<0,

根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(i+f,与将其代入双曲线方程得：

(1+1)2+a(^-t)2=1,

_-2

即"匚；，由r>0得a<—3.

-a+1

3

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10、A

【解析】

试题分析：aJ-p,b±m又直线a在平面a内，所以a_Lb,但直线-,不一定相交，所以"a_L0"是"a_Lb"

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

11、A

【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【详解】

输入a=lnl0,b=lge,

因为lnlO>l>lge,所以由程序框图知，

输出的值为。一工=In10———=lnl0-lnl0=0.

bIge

故选:A

【点睛】

本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

12、B

【解析】

根据正四棱锥底边边长为2,高为0,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.

【详解】

如图所示：

因为正四棱锥底边边长为2,高为0,

所以如=也,SB=2,

0到S3的距离为，=SOxOB=1,

SB

同理。到SC,劈，口的距离为1,

所以。为球的球心，

所以球的半径为：1,

所以球的表面积为4万.

故选：B

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、@@④

【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.

对②,根据偶函数满足的性质判定即可.

对③,举出反例判定即可.

对④，求解不等式a1<4,再判定即可.

【详解】

解：因为当时，6加+(wsinx.

所以由周期函数的定义知y不是函数y=sinx的周期,

故①正确；

对于定义在R上的函数/(%)，

若/(-2)=/(2)，由偶函数的定义知函数〃尤)不是偶函数，

故②正确；

当M=1,N=O时不满足log2M>log2N,

则“M>N”不是“log2M>/ogzN,”成立的充分不必要条件，

故③错误；

若实数。满足4,

则-2<a<2,

所以aW2成立，

故④正确.

•••正确命题的序号是①@④.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.

14、-8

【解析】

计算出力=切+42=—b+切，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.

【详解】

iz=ai+bi2--b+ai>所以。=11=-9,所以。+力=一8.

故答案为：-8

【点睛】

此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.

2

15、5

2

【解析】

2

a2a4+2a3a5+a4ci6=25=>a；+2a3a5+a；=25=>(a3+a5)=25,an>0a3+a5=5

，aj=%%W(叫(幺了='/<"I，即明的最大值为:

16、2

【解析】

根据A8为焦点，得c=2；又|AC|—忸C|=2a求得。，从而得到离心率.

【详解】

A8为焦点=2。=4=>c=2

C在双曲线上，贝!

X|AC|=yjAB2+BC2=5=>2a=2=a=]

e=-=2

a

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(―8,—27(2,+8)；(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.

(2)利用绝对值三角不等式可得“+>+c=l,然后使用柯西不等式可得结果.

【详解】

(1)由。=/?=0=1,所以/(X)=|x—+卜+1|+1

由/⑺>5

当xW-l时，则=-元+1>5=>尤<-2

所以％<—2

当-L<x<l时，则/(x)=l-x+l+;v+l>5nxe0

当X21时，则/(》)—x—1+1+%+1>5%>2

综上所述：xe(-oo,-2)u(2,-H»)

(2)由卜一。|+卜+42k=|z?+d

当且仅当(％-b)(x+。)W0时取等号

所以/(%)=|x—Z?|+|x+c|+6Z>|Z?+c|+tz

由。>0,b>0,c>0,加n(%)=1，

所以4+Z?+C=l

LL”a+Z?b+cc+a

所以一^=1

222

149a+bb+cc+

令7=-----------1----------

a+bb+c22

2

14

----------1----------

a+bb+c

a+bb+cc+a

-----------1------------1----------

222V2J

根据柯西不等式,则72二18

1219

当且仅当,即0=0,Q=：,C=(取等号

a+bb+cc+a

由a>0,b>0,c>0

故T>=18,又a+>+c=l

14Q

贝!|-----1------1---------->18(a+Z7+c)

a+bb+cc+a

【点睛】

本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.

4

18、(1)120(万)(2)y(3)填表见解析；有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关

【解析】

⑴在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个，根据频率公式即可求得结果.

(2)由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的

基本事件数，即可求得结果.

(3)计算K12的*4值，对照临界值表可得答案.

【详解】

(1)400x当_=120(万)

1000

(2)从所抽取选择“自然环境”作为来4城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森

林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清

/、C：xC：+C；4

新”，则,P(A)=4；—1=

(3)2x2列联表如下

自然环境人文环境合计

男100400500

女200300500

合计3007001000

,1000x(100x300-200x400)1000

K2=--------------------------L=上？h47.619>10,828，

300x700x500x50021

所以有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.

【点睛】

本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力，难度较易.

19、(1)4；(2)证明见解析.

【解析】

(1)当〃=2时，集合4共有2z=4个子集，即可求出结果;

(2)分类讨论，利用数学归纳法证明.

【详解】

(1)当〃=2时，集合4共有22=4个子集，所以。1+%++勺=4；

(2)①当〃=2时，m=2?=4,由⑴可知，4+4++/=4,

此时令=1,%=2,。3=1，=0，

满足对任意，V3«eN*),都有=1,且％=°；

②假设当n=左(左22)时，存在有序集合组(必,区,满足题意，且4*=0，

则当〃=左+1时，集合4的子集个数为=22个，

因为2-2&是4的整数倍,所以令4*+1=1，匍+2=2,%*+3=1，叼+4=0,

且%+广4%4(14，"-4)恒成立，

即满足对任意i<2人+1—1,都有—4/=1，且与+i=0，

综上，原命题得证.

【点睛】

本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.

777T

20、(1)当时，直线/方程为x=-l；当aw—时，直线/方程为

22

j=(x+l)tana；X2+J2=2X(2)3或区.

66

【解析】

(1)对直线/的倾斜角分类讨论，消去参数/即可求出其普通方程；由夕2=f+/,Pcos8=x,即可求出曲线C的

直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件』=0,即可求解.

【详解】

7T

⑴当a=—时，直线/的普通方程为*=一1；

2

TT

当。时，消去参数，得

2

直线I的普通方程为J=(x+l)tana.

由〃=2cos09得p2=2p3s仇

所以X2+y2=2X9即为曲线C的直角坐标方程.

⑵把％=—l+，cosa,y=£sina代入x2+y2=2x,

整理得Z2—4/cosa+3=0.

3

由4=16cos2“-12=0,得cos2a=—,

4

所以cosa=/^或cosa=--，

22

故直线/的倾斜角a为?或苧.

oo

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.

21、(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)求导得/'(x)=e'—2+sinx,由，<e°=1，且sin尤—L,0,得至！J/'(x)<0,再利用函数/(x)在(-8,0)上

单调递减论证.

(2)根据题意g(x)=e*-2x—cosx+ln(x+l),x>-1,求导，令人(x)=g'(x)=e"+—-—+sinx-2,易知

x+1

〃(0)=0；h'(x)=ex--~~工j

+COSX,易知当时，h'(x)>0,/z(x)=g'(x)>g'(0)=0；当xe(—l,0)

(x+1)2

_9_

时，函数/(X)单调递增，而〃'(0)=1,又〃'ei°+cos100<0,由零点存在定理得3xe

AA