四川省遂宁市2024届高三第二次诊断性考试数学（理）试题（含答案与解析）

遂宁市高2024届第二次诊断性考试

数学（理科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

_l+3i.

1.复数2Ji1,则忖=（）

A.V13B.V5C.2D.6

2.某公司收集了某商品销售收入了（万元）与相应的广告支出x（万元）共10组数据（七,匕）

（z=l,2,3,---,10）,绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.

他肖售收入W万元

60

50-

40-.•*

30-・・A

2Q

-5^1.01.5202530354.04.55.055广售支出

x/方元

若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A.决定系数火2变小B.残差平方和变小

C,相关系数厂的值变小D.解释变量X与预报变量y相关性变弱

3.[x2--|的展开式中的系数为（）

x

A.80B.40C.10D.-40

—1

4.已知数列｛氏｝满足q=2,an+i=—一~-(“wN*)，则2024=()

%+1

11

A.B.——C.1D.2

23

5.已知。，£分别为A48C的边4S,NC的中点，若£>£=（3,4）,5（-2,-3）,则点C的坐标为

()

A.（4,5）B.(1』)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

x+y—4«0,

6.已知平面区域Q=<x—jv—20,圆C：X—Q『+（y—6）2=1,若圆心CeQ,且圆。与〉轴相切,

x>0,

则Q+6的最大值为（）

A.10B.4C.2D.0

7.某校甲、乙、丙、丁4个小组到45,。这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基

地，则每个基地至少有1个小组的概率为（）

2148

ABCD

9-3-9-9-

8.已知函数/（%）=0052%+5由2%,则下列说法中，正确的是（）

A./（x）的最小值为-1

B./（x）在区间一；,：上单调递增

（）的图象关于点。。对称

C./X

D./（X）的图象可由g（x）=V2cos2x的图象向右平移三个单位得到

8

9.如图，菱形48cZ）的对角线4C与5。交于点O,环是的中位线，4。与所交于点G,已知

!尸£尸是△0以"绕川旋转过程中的一个图形，且尸七平面48C7）.给出下列结论:

①BD//平面PEF；

②平面尸NC，平面ABCD；

③二面角P-EF-C的平面角是直线0P与平面ABCD所成角的2倍.

其中所有正确结论的序号为()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

10.已知函数/(x)=(ax+l)e"给出下列4个图象:

其中，可以作为函数/(x)的大致图象的个数为()

A.1B.2C.3D.4

22

11.已知片(一。,0),凡(c,0)分别是双曲线C：1-今=1(。>0)>0)的左、右焦点，过片的直线与圆

ab

(x—gc)2+/=02相切，与C在第一象限交于点P,且尸轴，则C的离心率为()

A.3B.275C.2D.加

1

12.已知a,b,c均为正数，且一=2a—log2（tz+1）~,b={b~-）4",c=,H---,则a,b,c的

a2e-2c

大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4,6,8},B={3,4,5,6},则立（幺。8）=

14.已知/(x)=ex-x,则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为.

15.已知等差数列｛%｝的公差为符，集合^二任比二^^^^^^^^有且仅有两个元素，则这两个元素

的积为.

16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情

况，统计了如下数据：

文化艺术类体育锻炼类合计

男100300400

女50100150

合计150400550

(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中，设置了一

项“投壶”活动.已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投

中的概率为《，乙每只投中的概率为:，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为求J的分布

3/

列和数学期望.

附表及公式:

P(K、k。)0.150100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2n(ad-bcf

n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

18.如图，在三棱锥尸―NBC中，M为/C边上的一点，ZAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=~

3

AB=2PC=V6>PA=43-

p

(1)证明：平面尸8A/_L平面NBC；

向

(2)若直线PN与平面NBC所成角的正弦值为且二面角尸-ZC-8为锐二面角，求二面角

5

8—4P—C的正弦值.

19.已知A48C的内角HB,C的对边分别为a,b,c,且tan8+tanC='.

ccosB

(1)求角C；

(2)若CD是/ZC8的角平分线，CD=4C，A48C的面积为18』，求c的值.

20.在直角坐标系X。中，设b为抛物线C：必=2川(°>0)的焦点，M为C上位于第一象限内一

点.当赤•赤=0时，△OEM的面积为1.

(1)求。的方程；

(2)当声.历^=-3时，如果直线/与抛物线C交于A,B两点，直线M4,的斜率满足

kMA-kMB=-2,试探究点M到直线/的距离的最大值.

21.已知函数/(x)=e'-办-2.

(1)若/(x)在区间(0」)存在极值，求。的取值范围;

(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求a的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题记分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

x=]+2cosa

22.在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为彳一个.(。为参数).以坐标原点为极点，

y=2sma

X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为Psin[9—孚

(1)求C的普通方程和/的直角坐标方程;

（2）设直线/与x轴相交于点A,动点3在。上，点〃满足而=标，点M的轨迹为E,试判断曲线

C与曲线£是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知b,c均为正数，且a+b+c=3.

1o

（1）是否存在。，b,c,使得一+——e（O,5）,说明理由；

ab+c

（2）证明：,3+a+j3+b+A/3+CW6.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

_l+3i.

1.复数之1-i1,则忖=（）

A.V13B.45C.2D.V2

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可.

,l+3i__（l+3i）（l+i）.

［详解］因为2=-1~~^7.~~^―1=_1+1，

所以目=J5,

故选：D.

2.某公司收集了某商品销售收入了（万元）与相应的广告支出x（万元）共io组数据（七,%）

（i=1,2,3,…,10）,绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.

他肖售收入y/万元

60

50

40-.••

30-*Z4

2d

1.01.52025303：54.04.55.055广售支出

力方元

若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A.决定系数火2变小B.残差平方和变小

C,相关系数厂的值变小D.解释变量x与预报变量了相关性变弱

【答案】B

【解析】

【分析】从图中分析得到去掉A点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的

概念和性质作出判断.

【详解】从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回归效果更好，

故决定系数灭2会变大，更接近于1,残差平方和变小，

相关系数厂的绝对值，即卜会更接近于1,由图可得x与夕正相关，故,会更接近于1,

即相关系数厂的值变大，解释变量x与预报变量V相关性变强，

故A、C、D错误，B正确.

故选：B.

3.1必_2］的展开式中一的系数为（）

A.80B.40C.10D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定厂的值，代入即可求解.

【详解】由二项式、2二］展开式的通项公式为心=q（x2尸（二y=（_2）'«/°曰，

X）X

令10—3「=4,可得外=2,

所以展开式中%4的系数为（—2）2•C：=40.

故选：B.

i1CL—1

4.已知数列｛%｝满足q=2,4+1=------------（〃eN*），则。2024=（）

%+1

C11

A.-3B.——C.-D.2

23

【答案】A

【解析】

【分析】列举出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.

an-1

【详解】因为％=2,

an+1

/一11%—11

所以"2二二3%--------------

%+12

_。3—1_Q

%.7——3,a5

。3+1

又2024=4x506,所以。2024=%=-3

故选：A

5.已知。，£分别为的边4S,NC的中点，若无=（3,4）,5（-2,-3）,则点C的坐标为

()

A.（4,5）B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.

【详解】因为D,E分别为4S,ZC的中点,

所以瑟=2反=（6,8）,

设C(x,y),又8(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8)

x+2=6x=4

即《_°,解得<

[y+3=8b=5

故选：A

x+)/-4<0,

6.已知平面区域x—y—2<0,圆C：x-af=1,若圆心CEQ,且圆。与〉轴相切,

x>0,

则Q+Z）的最大值为（）

A.10B.4C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与〉轴相切，得到C（a,A）在直线x=l上运动，此时利

用数形结合确定6的取值即可得到结论

【详解】作出如图所示的可行域（阴影部分），

由于圆C与夕轴相切，CeQ,所以。=1,故。（。力）在直线x=l上运动，

X=]x—1

联立《“八得＜.，即幺（1，3），

x+y-4=0[y=3

a+b-1+b,故当6最大时，a+b最大,

故当圆心在幺（1,3）时，此时b最大时为3,故a+6的最大值为4,

故选：B

7.某校甲、乙、丙、丁4个小组到/,B,C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基

地，则每个基地至少有1个小组的概率为（）

2148

A.—B.—C.-D.一

9399

【答案】C

【解析】

【分析】根据分组分配以及分步乘法技术原理即可求解个数，由古典概型概率公式求解即可.

【详解】每个小组选择一个基地，所有的选择情况有34=81种,

每个基地至少有1个小组的情况有C：C；A；=36,

364

故概率为二=X，

819

故选：C

8.已知函数/(x)=cos2x+sin2x,则下列说法中，正确的是()

A./(x)的最小值为-1

JTJT

B./(x)在区间—上单调递增

/(x)的图象关于点m,0

C.对称

D./(X)的图象可由g(x)=0cos2x的图象向右平移g个单位得到

8

【答案】D

【解析】

【分析】根据辅助角公式得/(x)=V^sin(2x+：),即可根据三角函数的性质求解ABC,根据函数平移，以

及诱导公式可判断D.

［详解］/(x)=cos2x+sin2x=V2sin(2x+,

/(x)的最小值为—应，故A错误，

口一了％时，2x+二厂了彳卜卜T所以函数在不单调，故B错误;

/W=V2sin(2x^+^)=V2,故/⑴的图象关于》=巴对称，c错误，

I"x48

兀

将函数g(x)=\/^cos2%的图象向右平移7个单位得

8

=V2sinf2x+^U/(x),故D正确.

故选：D.

9.如图，菱形4BCD的对角线/C与AD交于点。，斯是△BC。的中位线，NC与E尸交于点G,已知

!尸£尸是△(7_£：尸绕斯旋转过程中的一个图形，且尸©平面45CZ).给出下列结论:

①BD//平面PEF；

②平面尸/C，平面ABCD；

③二面角P-EF-C的平面角是直线OP与平面ABCD所成角的2倍.

其中所有正确结论的序号为（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】借助线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理与二面角及线面角的定义逐项判断即可得.

【详解】对①，由斯是△BCD的中位线，椒EFIIDB,又E/u平面尸ER,

D8O平面尸斯，故80//平面PEP,故①正确；

对②，连接尸/、PC、PG,菱形/BCD中，AC1BD,即CGJ_,

由折叠的性质可知，PGLEF,即尸G_L8£）,

又AC、PGu平面尸4C,ACcPG=G,故8£）工平面04C,

又BQu平面/8C。，故平面尸平面/6C。，故②正确；

对③，连接尸0,由E尸是△BCD的中位线，故G为0C中点，

故尸G=GC=G。，即ZP0G=ZGP0,ZPGC=ZGP0+ZG0P=2ZG0P,

由CGLEE,PGLEF,故NPGC为二面角尸—C的平面角，

由平面尸/C，平面ABCD,故点P在平面ABCD的投影必在线段0C上，

故NGOP为直线0P与平面/BCD所成角，故③正确.

B

故选：A.

10已知函数/(x)=(ax+l)e",给出下列4个图象:

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】对。的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.

【详解】由题意知，/(x)定义域为R,

当。=0时，/(x)=e\由指数函数的单调性可知函数/(x)单调递增，可对应①;

工=一"1<0,所以当工£(-8,一"1］时,

当Q>0时,=(ax+Q+l)e",令/'(x)=0可得:

a\a)

当xe]-"L+e]时，/(x)>0,所以，函数/(x)先减后增，且当x〈一工时,

\a)a

/(x)<0,此时可对应②;

当〃<0时,当(x)=(ox+a+l)e",当/<x)=0时尤=一七口，当xe一空时，/,(x)>0,当

“e时'/'(x)<0,所以‘函数/1(X)先增后减’

当。<一1时，x=-"-<0,且此时0<-工<1,所以可对应③，

aa

当一1<。<0时，x=—3二已〉0,此时一一〉1,所以可对应④.

aa

故选：D.

22

11.已知片(一c,0),g(c,0)分别是双曲线C：餐-七=1(。>0,6>0)的左、右焦点，过片的直线与圆

ab

(x—gc)2+/=02相切，与C在第一象限交于点P,且尸轴，则c的离心率为()

A.3B.2A/5C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质得到垂直关系求得闪N|,结合直角三角形中正切的定义得到关于。，“c的齐次式即

可得解.

【详解】设圆心为直线与圆相切于点N,

贝U=C,\F,M\=c+；c=gc,故闺N|=J闺=^c，

由于0所以Xp=c,故二一4=ing=C,

aba

匕

\PF,\y

因此在Rtk耳工,由tanNP£G==—=—jc=-

闺闻2c叵°

故s/sb2-Aac=0，即Me1-4ac-#>£=0=>V5e2-4e-J^=0ne=J^.

故选：D

12.已知a,b,c均为正数，且工=2a—log,(a+1)2,b=(b2--)4b-l,c=-^+—,则a,b,c的

a2e2c

大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】可将所给式子变形成2=log,(a+l)、b--=41-b1c

c---=-r=c-e1-c,则可构造相

2a2b2ce

应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.

11

【详解】由——2tz—log(tz+1)9,可得。----=log(^+1),

a22a2

由6=(〃—‘必修，可得b—，=4i,

22b

,c1号/日1c-

由。=不丁+丁可用c一丁=F=c-e,

e2c2ce

令=x/(x)=l+^7>0,故/(x)在(0,+。)上单调递增,

令g(X)=10g2(X+l),g'(x)=(x+l)ln2>0,故g(x)在上单调递增，

令〃(%)=4「“，A,(x)=-41-xln4<0,故〃(x)在(0,+e)上单调递减,

令//(x)=xe1~x,贝I]“(x)=el~x-xe1-x=(l-x)e1-x,

则xe(0,l)时，〃'(x)>0,xe(l,+<»),〃'(x)<0,

故〃(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+")上单调递减，

11I1

/(l)=l-1=pg(l)=log2(l+l)=l,A(l)=4-=l,z/(l)=lxe-=l,

i7i7

12

/(2)=2--=-,g(2)=log2(2+l)=log23e(l,2),A(2)=4-=-,〃⑵=2**=)

。为函数/(x)与函数g(x)的交点横坐标，6为函数/(X)与函数〃(x)的交点横坐标，

C为函数/(X)与函数〃(X)的交点横坐标，结合函数图象可得b<c<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用所给式子，将其变形成a-L=log,(a+1)、b--=^\

2alb

1c

c--=从而可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.

2ce

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={2,4集,8},5={3,4,5,6},则一(4。3)=

【答案】{1,7,9}

【解析】

【分析】借助集合交并补的概念计算即可得.

【详解】由幺={2,4,6,8},5={3,4,5,6},故={2,3,4,5,6,8},

故d(ZU8Hl，7,9}.

故答案为：{1,7,9}.

14.已知〃x)=eX-x,则曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为.

【答案】J=(e-l)x

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算即可得.

【详解】/'(x)=e-l,则/'⑴=9—l=e—1,又/(l)=eJl=e—1,

故切线方程为y_(e—l)=(e—：Q(x_l),即y=(e—l)x.

故答案为：j=(e-l)x.

15.已知等差数列{4}的公差为与，集合S={x|x=cosa",〃eN*}有且仅有两个元素，则这两个元素

的积为.

【答案】一工##—0.5

2

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

【详解】氏=q+(几一］)d=ax,

(2兀2兀

则cosa=cos

nI313

-2--71--3.

其周期为四,而〃eN*，即cos%最多3个不同取值，

T

集合S=｛x|x=cosa",〃eN*｝有且仅有两个元素，设5=｛凡为，

则在cos%,cosan+l,cos%+2中,cos%=cosa,,+i#cos。什？或cos%#cosan+l=cosa„+2,

或cosan=cos4+2丰cosan+l,又cosan=cosan+i,即cosan+i=cosan+2丰cosan+x,

所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为cos3,cos[。+g),

于是有cos。=cos(8+g),即有9++=2E,左eZ,解得，=E-g■，左eZ,

不相等的两项为cose,cos[e+t^,

..,/7兀、「/77T、47rlJ兀、727兀17〜

故ab—COS(ATI——)COS[(ATI——)H——]——COSz(ATI——)coskit——coskitcos————,左wZ.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一

项，从而求得答案.

16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为.

[答案]现况

9

【解析】

【分析】设圆锥高为〃，底面半径为厂，推出r=4/「小，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函

数的最值，即可根据侧面积公式得到结果.

【详解】设圆锥高为力(0(力＜4),底面半径为一，则22=(//-2『+/,”2=4〃—〃2,

:.V=-Tir2h=-/7(4/7-/z2)=-7t/!2--/73,

3333

QQ

：.V'=-7lh-Tlh2,令『=0得/Z=—或力=0(舍去)，

33

QQ

当时，r＞0,函数忆是增函数；当一＜力＜4时，r＜o.函数厂是减函数，

33

因此当〃=§，r=逑时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大.

33

故侧面积为Tiry/r2+A2

故答案为：必叵

9

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情

况，统计了如下数据：

文化艺术类体育锻炼类合计

男100300400

女50100150

合计150400550

(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中，设置了一

项“投壶”活动.已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投

中的概率为g,乙每只投中的概率为若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为求J的分布

列和数学期望.

附表及公式:

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.010

院2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2<ad-bcf

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

【答案】(1)有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，

(2)分布列见解析，期望为之

3

【解析】

【分析】(1)根据表中数据计算卡方，即可求解，

(2)根据独立事件的概率乘法公式即可求解概率，进而可求解分布列以及期望.

【小问1详解】

零假设：没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关,

_550x(100xl00-50x300)2_275台819>2706

150x400x150x40072

故有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关,

【小问2详解】

4的可能取值为0,1,2,3,4,

故J的分布列为:

01234

j_13j_1

P

9336636

i13115

数学期望E（J）=O+—+—+—+-

318293

回

18.如图，在三棱锥尸—NBC中，M为/C边上的一点，AAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=—

3

AB=2PC=V6-PA=B

（1）证明：平面PAW_L平面Z8C；

（2）若直线PN与平面NBC所成角的正弦值为且二面角尸-ZC-8为锐二面角，求二面角

5

8—4P—C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）结合题意，借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得.

（2）借助题目所给线面角，可计算出各边长度，建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.

【小问1详解】

"3尸C等

因为在△P4C中，ZAPC=90°,

所以zc=£2,又因为/尸腿4=90。，所以4尸•尸C=/C-9,

2

则0W=l,AM=42>

在4BM中，由余弦定理可得收=y/AB2+AM2-2AB-AM-cosZCAB=2，

所以2四2+8加2=人炉，于是8河，BM1AC,

又尸M,PMcBM=M,PM、BMu平面PBM,

所以平面P又因为ZCu平面48C,所以平面尸团〃，平面48c.

【小问2详解】

因为二面角尸—/。一8为锐二面角，

平面PBM1平面ABC,平面PBMn平面ABC=BM,

过点尸作PNA平面ABC于N点，则N点必在线段BM上,

连接4N,可知NP4N为PN与平面48C所成的角，

h3

在Rt^R4N中，sinZZW=—>PA=6，得PN=二,

55

34

在RtZ\PMN中，PM=\,PN=父得MN=三,

则N（0,O,O）,5（0,2,0）,P（0，g，|］，/（0,0,0），

则有益=卜血,2,0）,=疯=卜拒,0,0）,

设平面氏4尸、平面M4P的法向量分别为行=（Xi，M，zJ,M=（x2,j2,z2）

_yp2,x^+2%=0-=0

令X［=也,%=3,可得应=（也,1,2）,n=（0,3,-4）,

设二面角B-AP-C的平面角为3,

所以"。5。|=普［=,,即sin，=匹，

11\m\\n\77

故二面角8—/尸-C的正弦值为这.

7

19.已知△45。的内角4,B,。的对边分别为b,c,HtanB+tanC=

ccosB

(I)求角c；

(2)若。是N4C8的角平分线，CD=4拒，A48C的面积为18』，求c的值.

TT

【答案】(1)c=-

3

(2)c=6A/3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得tanC=g，即可求解，

(2)由5=工。65由。，可得ab=72,根据等面积法可求。+6=6,由余弦定理即可求c的值.

2

【小问1详解】

由tanB+tanC=""可得

ccosB

sin5sinC_GsinZsinBcosC+cos5sinC_GsinZsin(5+C)_百sinZ

cos5cosCsinCcosBcosBcosCsinCcosBcosScosCsinCcosB

sin/y/3sinA...nA1A/3

n----------=----------;;sin/w0,cos5w0,/.------=-----，

cos5cosCsinCcosBcosCsinC

故sinC=百cosC，进而tanC=△，

由于Ce(O,兀)，所以C=g

【小问2详解】

由面积公式得S,=—aftsinC==\8c,解得ab=72,

"csr222

S"BC=S-BCD+S“CD，18凤口Ssin30。+$•CDsin30。，

gp|cZ)-sin30°(a+^)=18V3,;.a+6=18,

又；=72,c2=a2+b2-2。6cosc=a1+b~-ab=(a+Z>)2-3ab=182-3x72=108,

c=6A/3•

20.在直角坐标系xQy中，设歹为抛物线C：V=2.(p>0)的焦点，〃为C上位于第一象限内一

点.当赤.历时，△OEM的面积为1.

（1）求。的方程;

(2)当声.砺=-3时，如果直线/与抛物线C交于A,B两点，直线M4,MB的斜率满足

kMA-kMB=-2,试探究点M到直线/的距离的最大值・

【答案】⑴y2=4x

(2)2^17

【解析】

【分析】(1)结合题意计算即可得；

(2)设出点M-,t,由题意计算可得儿f(4,4),设出直线联立曲线，借助韦达定理计算可得直线/恒过

14J

定点N(6,-4),则当儿时，点M到直线/的距离有最大值.

【小问1详解】

由题意得尸已。],由赤.砺=0，MF1OF,即/gp],

从而△。断的面积则P=2,

所以，抛物线。的方程为/=4x；

【小问2详解】

设〃—,t(/>0),则狼=1一五,V,OF=(1,0),

___./

由"F•。尸=—3，得1一一=一3，即f=4，

4

所以，此时川(4,4),

由题意可知，/斜率必不等于0,于是可设/：x=my+n,

[x=my+n

由〈2,,可得y-4my-4n=0,

b=4x

上述方程的判别式满足△=(-4〃?)2-4.(-4/7)>0,即加2〉_〃，

根据韦达定理有：必+%=4M，=一4〃,

必-4%-4=二

44

因为kMT勺勿=—2,所以E_4W_4"

M+4歹2+4

Z-Z-

于是必为+4（%+%）+24=0,

所以，一4〃+16加+24=0,即〃=4加+6,

故直线/的方程为、=段+4加+6,即％-6=冽（歹+4）,

所以直线/恒过定点N（6,-4）,

则当MN，/时，点M到直线/的距离有最大值，

且最大值为\MN\=^（4-6）2+[4-（-4）]2=2^/17.