天津市部分区2023-2024学年高三年级下册质量调查数学试卷（一）（含答案解析）

天津市部分区2023-2024学年高三下学期质量调查数学试卷

（一）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U={-2,-1,。,1,2},A={-2,1},B={-2,0,1},贝i]&A）B=（）

A.{-2}B.{-2,1}C.{0}D.{-2,0,1}

2.设尤eR,则“x<0”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3

3.已知4=3°—b=l°g4>c=，则"'"c的大小关系为（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

4.已知{%}为等差数列，前〃项和为S〃，且q=2,S3=«2+18,则。4=（）

A.54B.45C.23D.18

6.)

C./(x)=cos|^|D./(x)=|cos2x|

7.已知变量尤和y满足经验回归方程y=-0.6x+10.4,且变量x和y之间的一组相关数

据如表所示，则下列说法错误的是（）

X681012

y7m43

A.变量尤和y呈负相关B.当x=10时，y=4.4

C.7«=5.6D.该经验回归直线必过点（9,5）

8.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，该圆锥的底面半径为2,侧面展开

图是一个圆心角为2号九的扇形，则球。的表面积等于（）

,12171c8171_12171c8171

A.------B.——C.-------D.——

2288

22

9.以双曲线土一匕=1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线

49

/=2/（。＞0）于A,8两点.已知|钻|=4&,则抛物线的焦点到准线的距离为（）

455

A.一或4B.-C.一或4D.4

333

试卷第2页，共4页

二、填空题

10.已知i是虚数单位，化简±7的结果为__________.

1+21

11.在[盯-j16的展开式中，5的系数为.(结果用数字表示)

12.已知过点(-2,0)的直线与圆f+(y_1)2=]2相交于A,B两点,若|明=40,则

直线的方程为.

13.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率

为85%,乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合

格品的概率为；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的

概率为.

14.已知平行四边形ABC。的面积为NBAD=W，且BE=2EC.若尸为线段OE

上的动点，且”=/LAB+」A。，则实数2的值为/明的最小值为.

15.己知定义在(0,+向上的函数满足〃x)=〃5x),当xe[l,5)时，/(x)=lnx.

若在区间[L25)内，函数g(x)=/(x)-依有三个不同零点，则实数”的取值范围

为.

三、解答题

16.在“WC中，角A,B,C的对边分别为a,b,J已知6=0,sinA=J^sinC，

„_572

cosB=-----.

8

⑴求〃的值；

(2)求cosC的值；

⑶求sin(2C+5)的值.

17.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABC。为菱形，ZBAD=60°,£L>J_平面ABC。,

FBJ_平面ABCD,DE=AD=2BF=2.

⑴求证：CF〃平面ADE；

(2)求直线DF与平面AEF所成角的正切值；

(3)求点C到平面AEF的距离.

18.已知数列｛g｝的前"项和为九q=1,S„+1=S„+O„+l(neN*),数列也｝为正项

等比数列，瓦瓦=1,以是12々与5&的等差中项.

⑴求｛q｝和也｝的通项公式：

⑵若%=]"二：("©N*),求数列｛g｝的前n项和Mn；

“n+3—"〃+2

b

(3)设dn=(-1)"-an+e-旨4T)("eN*),求数列｛4｝的前〃项和Tn.

22

19.已知椭圆,+==1(。＞6＞0)的右焦点为歹，左、右顶点分别为A,B,离心率

为正，过点尸且与尤轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.

2

(D求椭圆的方程；

⑵若A/为直线/：x=l上一动点，且直线AM,5M分别与椭圆交于P,。两点(异于A,

3两点)，证明：直线P。恒过一定点.

20.设函数/(%)=%2+。％.

⑴求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

⑵设函数g(x)=/(x)-依(aeR)

(i)当x=l时,g(x)取得极值，求g(x)的单调区间;

(ii)若g(x)存在两个极值点占，%，证明：g(W)_g(X)＞、_q

x2—x,a2

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由交集和补集的定义求解即可.

【详解】因为全集。={-2,-1,0,1,2},A={-2,1},

所以乐A={-1,0,2},所以@4）lB={0}.

故选：C.

2.A

【分析】解出不等式Y-x>0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.

【详解】由一一尤>0,解得x>l或x<0,

故“x<0”是“x2-x>0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

【分析】由幕函数和对数函数的单调性即可得出答案.

【详解】因为0=logJ<6=log43<log44=l,

=20-3>1,a=303>1,

因为y=了。3在（0,+力）上单调递增，

所以2妙<3a3,所以6<c<a.

故选：B.

4.C

【分析】设等差数列{%}的公差为d,依题意由等差数列求和公式及通项公式求出d,从而

得解.

【详解】设等差数列{%}的公差为d,

因为4=2,邑=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,解得d=7,

所以。4=G+3d-2+3x7=23.

故选：C

5.A

答案第1页，共15页

【分析】求出函数/(尤)的定义域，分析函数/(X)的奇偶性以及该函数在区间(。,1)上的函

数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数〃耳=弓号的定义域为(《,0)50,内)，

且“无)=若:，===所以，函数〃x)为偶函数,

Z+22+22+2

排除BC选项；

当0<x<l时，lnx<0,则〃x)=Jn［=21n：<0,排除D选项.

2-f-22"f"2

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；

(2)从函数的值域，判断图象的上下位置.

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(5)函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.D

【分析】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.

【详解】对A：〃O)=sin|O|=O,d3=sin4=lw/(O),故〃x)=sinW不以为周期，

故A错误；

对B：/^+^=|sin(2x+n)|=|sin2x|=/(%),故/(x)=|sin2x|以£为周期，

当，时，2%£15,可J'由，=sm;r在上单调递减,

且产sinx>0,故/(x)=|sin2x|在，，I上单调递减，故B错误；

对C：/(0)=cos|0|=l,/^=cos||=0^f(0),故〃x)=cos|x|不以为周期，故C错

误；

对D：/^+=|cos(2x+7T)|=|cos2x|=/(X),故/(x)=|cos2x|以T为周期，

当尤eg,：］时，由丫=8$%在gg］上单调递减，

但〉=COSX<0,故时，f(x)=|cos2x|=-cos2x,

答案第2页，共15页

7171

故/(x)=|cos2乂在上单调递增，故D正确.

故选：D.

7.C

【分析】对A：借助回归方程的斜率即可得；对B：将x=10代入方程计算即可得；对C、

D：借助线性回归方程必过点(元，可计算即可得.

【详解】对A：由y=-0.6x+10.4可得左=-0.6＜。，故变量x和y呈负相关，故A正确;

对B：当x=10时，y=-0.6x10+10.4=4.4,故B正确;

6+8+10+127+m+4+3m+14

对C：由表可得元==9,y=

444

故m^^4-14.=-0.6x9+10.4,解得m=6,故C错误;

4

对D：由元=9,9="6=5,故D正确.

4

故选：C.

8.B

【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上,

可得。在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得

任一琦+户=片,代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.

/,--c---4--元--,ft

【详解】底面周长为C=2w=4兀，则母线长度1经，

3

则圆锥的高为用=〃—/=4人，

由圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，

故。在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，

设球。的半径为R,则有(/LR)2+/=R2,即(4夜-R『+4=R"

解得尺=逑，故球。的表面积等于S=4兀甯=4兀x(%但］=—.

4I4J2

故选：B.

9.A

【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆

答案第3页，共15页

与双曲线都关于X轴对称，则两点关于无轴对称，从而可求得点A的坐标，代入抛物线

方程即可得解.

22

【详解】双曲线:-二=1的右顶点坐标为（2,0）,焦点为卜屈,0卜

渐近线方程为y=±弄，即3尤土2y=0,

焦点（屈,0）到渐近线3x+2y=0的距离为啜?=3，

所以题中圆的方程为（》-2）2+丁=9,

22

因为圆（x-2）2+V=9和双曲线=l的图象都关于无轴对称，

所以两点关于x轴对称，

不妨设点A在第一象限，设A（冷％）（芯>0,%>0）,则

贝IJ|AB|=2M=4&,所以％=2百，

因为点A在圆（x—2）2+丁=9上，

所以（玉-2）+8=9,解得西=1或3,

所以4（1,20）或小3,2四），

当A（l,2拒），贝！|8=2p,解得0=4,

当川3,2夜），则8=6p,解得p=1,

4

综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为|■或4.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于x轴对称，得出48两点关于x轴对称，求得

点A的坐标，是解决本题的关键.

答案第4页，共15页

10.2+i

【分析】根据负数的除法运算计算即可.

5i5i(l-2i)

【详解】丘=鬲岛r2f

故答案为：2+i.

11.-540

【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对"-B，有小=C〉•(-3)*•婷=(-31,

4a

令2-不=-2,解得％=3,有(=(_3)晨尤-2=_540/.

故答案为：-540.

12.%=-2或3x+4y+6=0

【分析】分直线斜率不存在与斜率存在的情况，设出直线方程进行讨论，结合点到直线

的距离公式算出弦心距，结合勾股定理计算即可得.

【详解】当直线A3斜率不存在时，直线A5为尤=-2,

贝U有(y-l)2=12-(-2)2=8,HPy=+25/2+1,

则\AB\=|(2A/2+1)-(-2>/2+1)|=4A/2,符合题意；

当直线AB斜率存在时，设直线45为〉=笈(％+2),即依—y+2左=0,

由x2+(y-1)?=12可得圆心为(0,1),半径为2有,

—\-l+2k\

11

则圆心到直线AB的距离为d=.o,

“2+1

则有［苧］=产一屋=12-442-4左+1,3

——---------=8o,即Hn*=一；，

F+14

3

即—%—y+2x0,即3x+4y+6=0.

4

故答案为：％=—2或3%+4y+6=0.

13.0.255/—/需

200

【分析】借助独立重复事件的概率公式与全概率公式计算即可得.

答案第5页，共15页

【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为：

C；X0.85X(1-0.85)=0.255,

在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为：

0.6x0.85+0.4x0.8=0.83.

故答案为：0.255；0.83.

14.-/0.55

2

【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据

条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可.

12

因为BE二2EC,所以AE—AB=2(AD-AE),BPAE=-AB+-AD,

又AF=2AB+*A。,所以AP=2AB+*AO=2(AE+E8)+9AD=XAE+(°—2㈤A。，

66663

571

由。，尸，石共线，则＞1+4=1,解得丸=不

作AGL3C,以G为原点建立平面直角坐标系，

设3(-0,0)且。＞0,贝。A(。,百a),而YABCD的面积为，

则忸(71=9,故--a,。]。1—，石。：£[---a,。],

则AB=(-。,_耳),4。=[9,0]=4歹=-AD+-AB=a\,

\)\a)62

贝=f-+—O2=§十4一522,仅■•6?-5二5,

II2J4a27a2

当且仅当乌=a2=＞a=75时取“=”，

a

故答案为：g；5.

15.

答案第6页，共15页

Inx,1<x<5

【分析】根据题意得到/(x)=,XuX画出函数图像，计算直线>=◎与函数相切和

In—,5<x<25

[5

过点(25,ln5)时的斜率，根据图像得到答案.

【详解】函数〃x)满足/(x)=〃5x),当xe[l,5)"(x)=lnx,

所以当xe[5,25),[1,5),"x)=H=ln],

lnx,l<x<5

故xg(x)=/(x)-<2T=0,:.f(x)=ax,

In—,JSx<23

15

画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数g(x)=/(x)-ax有三个不同零点，

则直线>=◎应在图中的两条虚线之间，

上方的虚线为直线与〃x)=ln/5Wx<25)相切时，

下方的虚线是直线>="经过点(25,ln5)时，

当直线'=◎与〃x)=ln](54尤<25)相切时，

尸(x)=：，设切点为P[)，ln]1,

…一,ln^-0„11

则斜率a=_L=^^,,lnE=L,x0=5e，止匕时。=电，

尤°xo-O5"

当直线>=◎经过点(25,ln5)时，。=%=芸，

故答案为:D

lnx,l<x<5

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先求出=5<X<25,再画出函数图像，计

算直线>=办与函数相切和过点(25,ln5)时的斜率，根据图象得到答案.

16.(1)2夜

答案第7页，共15页

(2)1

⑶当

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得;

（2）利用余弦定理计算可得;

（3）首先求出sinC,从而由二倍角公式求出sin2C、cos2C,最后由两角和的正弦公式计

算可得.

［详解］（1）因为sinA=V2sinC，

由正弦定理可得。=J5c，

又b=V2，cosB=-----，

8

由余弦定理cos8="+02一”=述，即2c2十02一（夜）=5后，解得c=2或c=—2（舍去）,

2*82后8

所以Q=A/2C=2V2•

(2)由余弦定理cosC=-+♦一二=R拒)+(0)一，2=3.

2ab~2x2忘x夜~4

(3)由(2)可得sinC=J1-cos?C二旦,

4

所以sin2c=2sinCcosC=2x^-x—=^^~，

448

cos2C=2cos2C-l=2x(-I-1=-,

⑷8

又sin5=V1-cos2B=，

8

所以sin(2C+5)=sin2CcosB+cos2CsinB

3A/75721V14V14

=-----x-------F—x-----=------.

88884

17.(1)证明见解析

⑵渔

3

(3)还

2

答案第8页，共15页

【分析】(1)首先建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行.

(2)先求出平面AEV的法向量，再利用空间向量线面角的求法，即可求解.

(3)利用点到平面的距离公式求解即可.

【详解】(1)取BC的中点连接因为四边形ABC。为菱形，ZfiAD=60°,

所以△3CD为等边三角形，所以D以，3c.因为4D〃3C,所以ZM/LAD.

因为ED_L平面ABCD,所以ZM,DW,£)E两两垂直.

如图，以。为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

因为A(2,0,0),8(1,后0),C(-1,60),E(0,0,2),。(1,鬲)2

所以CV=(2,0,1),AE=(-2,0,2),砺==百,-1),

显然平面ADE的法向量为根=(0,1,0),因为b-根=0，

所以CF，相，又CP<z平面ADE,所以B〃平面ADE.

(2)设平面AEF的法向量为4

n,-AE=0,-2玉+2Z[=0,

由<得</T八

%-EF=0,$+-Z]=0.

令%=1,则4=1,必=0,所以4=(1,0,1),加'=(1,后1),

।一।IDF-YLIo/7n

所以cos»£%〉==

1।斗同J2xj55

所以直线。尸与平面AEF所成角的正弦值为叵.

5

直线DF与平面AEF所成角的正切值为逅.

3

(3)CA=(3,-A/3,0),所以点C到平面加印的距离为：

答案第9页，共15页

33^2

d=l^-^l

|n,|422

所以点。到平面的的距离为述.

2

18.⑴。“="，/=2)3

H+4

⑵M“二8—

2”T

1n

1---i---1--,孔为偶数

2"+1-12

⑶(=

1

=1-一口为奇数

2n+1-1

【分析】（1）根据5“+「5”=4.得到｛4｝是以4=1为首项，|为公差的等差数列，即可求

出｛%｝的通项，设正项等比数列也,｝的公比为4（4>0）,由等比中项的性质求出％，再由等

差中项的性质求出q,即可求出加“｝的通项；

（2）由（1）可得％=宾，利用错位相减法计算可得；

（3）由（1）可得为=（-1）""+六-二工，利用裂项相消法及分组求和法计算可得.

【详解】⑴因为S.M=S“+q,+l（〃eN*）,

所以S“+i-S,=q,+l,即4+产。“+1,所以

所以｛%｝是以4=1为首项，1为公差的等差数列，所以

设正项等比数列也｝的公比为1（4>0）,由贴4=睨=1，解得4=1或打=T（舍去）,

又仇是12仇与54的等差中项，所以124+5&=22,即125+50=2&42,

即r+5=2q2,解得“=2（负值舍去），

q

所以勿=回>3=2"-3.

〃〃+2n+2n+2

（2）由（1）可得％=

TT

b,l+3-bn+22"_2'2'

,_3451n+2

所以M"=r+^+^+L+l^^

.M345n+2

所fiCh以〒n=kg+叁T+L+----

T

答案第10页，共15页

M31111n+2

所以丁n才+"+”H----------------

2'i2"

1___

2+^1_9=4_贮

,12"2"

1---

2

H+4

所以此=8-尹

(3)由(1)可得4(T""+(%_2&_1)=(T)/+(2用_2)(2"+一)

2〃

=(-•〃+

=(—1)H-nd--------

')2〃一1

+2—3+4++(-l)n-1.(n-l)+(-l)n-n]

当〃为偶数时司=(1-2〃+[j+{(T+2)+(—3+4)++[-(«-1)+«]}

=1--^―+j

2"+1-12

1

当〃为奇数数时北=1-+1(-1+2)+(-3+4)++[-(n-2)+(n-l)]-n|

2n+1-l

1n-111〃+1

=1---------n=l-----：----------

2rt+1-l22"+1-12

1-1+(伪偶数

z—1Z

综上可得看=

1”奇数

=1-

2n+1-l

19.⑴工+匚1

42

(2)证明见解析

【分析】(1)依题意可得竺=2、e=-=^,即可求出。、b、c,从而得到椭圆方程;

aa2

(2)设直线P。的方程为x=7犯+r,P(%,yJ，联立直线与椭圆方程，

消元，列出韦达定理，由三点共线得到年=。，普=±，从而得到三=一上7,

3M+2-1X2-2再+2x2-2

答案第11页，共15页

再代入韦达定理整理得到山。+2)«-4)+(/-4乂疗+2)%=0,从而求出r的值，即可求出直

线过定点坐标.

r_+2_=i

【详解】(1)设网C,0),由“2b2~,解得b2，

y=±—

9=cta

所以更=2,又e=£=正，a2=b2+c2,解得〃=2,°=后,

aa2

22

所以椭圆方程为上+匕=1.

42

(2)由⑴可得A(-2,0),2(2,0)，设M。，%)，

设直线PQ的方程为x=+Q(%,%)，「(石，另)，

x=my+1

由“整理得（m2+2）/+2mty+/一4=0,

=1

[42

所以△=4筋2-4（疗+2）（产—4）=8（2疗—产）+32>0,即产<2疗+4,

所以外+%=-与\r2-4

m+2m2+2

因为A、M、P三点共线，B、M、。三点共线,

所以等已，子愿，

3芯+2-1x2-2

所以上=-占，即3%仁一2)+%&+2)=0,

-A/iI乙乙

所以3%（多+，-2）+%（吵+/+2）=0,

即4?孙％+3（，-2）%+«+2）%=。，

所以4m・■^^+3（/-2）%+«+2）[-=

m+21m+2）

整理得见/+2）。-4）+（"4乂京+2）%=0,

因为当为变化时，上式恒成立，

m(?+2)(Z-4)=0

所以/八/；0\八，解得仁4，

1一4乂疗+2)=0

所以直线PQ的方程为》=四+4,令y=0,则x=4,所以直线P。过定点(4,0).

答案第12页，共15页

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下:

(1)“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一

般性证明;

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系

或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为

坐标的点即为所求点;

(3)求证直线过定点(1,%),常利用直线的点斜式方程或截距式kH+方

来证明.

20.(l)y=3尤-2

⑵⑴单调增区间为(L+8),单调减区间为。1

(ii)证明见解析

【分析】(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

(2)(i)g，⑺=2i+：=2♦/+1(尤>0),x=l时，g(x)取得极值，所以g”)=0,

求出“，进而可求出函数的单调区间；

(ii)g，(x)=2x2~^X+1(x>0),g(x)存在两个极值点,即方程g'(x)=0,在(。,+8)上有

A>0

两个不等实根，所以XR>0,而号等价于也二叱>±,构造函数

[i>0…