2024高考数学（文科）押题解析【全国卷】

2024高考数学（文科）押题解析【全国卷】【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数为纯虚数，则实数a等于()A.-1 B.0 C.1 D.22.设全集，集合，，则()A. B. C. D.3.已知向量a，b满足，，则()A.4 B.3 C.2 D.04.设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知数列是等差数列，前n项和为，若，，则()A.10 B.15 C.20 D.406.中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为()（单位：厘米）A.8 B.9 C.10 D.117.已知，若恒成立，则k的最大值为()A.4 B.5 C.24 D.258.若双曲线（，）的左，右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q.当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为()A. B.C. D.9.堑堵即底面为直角三角形的直棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》.如图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体）.已知鳖臑体积为6，，，则阳马中AC与DF夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是()

A. B. C. D.11.设函数在R上满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.12.已知椭圆的离心率为，左顶点是A，左､右焦点分别是，，M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交点为N.若，则直线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元.14.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，，且，，则__________.15.已知为锐角，，则__________.16.已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数k的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.（1）求的面积；（2）若，求b.18.（12分）为了了解手机用户对手机操作系统A的期待程度，某公司随机在20000人中随机抽取了100人调查，记录他们的期待值，将数据分成，，…，6组，其中期待值不低于60的称为非常期待A系统，现整理数据得到如下频率分布直方图.（1）试估计样本中期待值在区间内的人数；（2）请根据所提供的数据，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待A系统与性别有关；非常期待不非常期待合计男55女20合计100（3）为了答谢用户对A系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中用分层抽样的方法抽出六名代表参加A系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率.19.（12分）如图，PA是三棱锥的高，线段BC的中点为M，且，.（1）证明：平面PAM；（2）求A到平面PBC的距离.20.（12分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若的极大值为5，求实数a的值.21.（12分）已知抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（异于坐标原点O）.（1）若，证明：直线过定点；（2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交C于M，N两点，试问是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线C和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积.23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.

答案以及解析1.答案：A解析：因为为纯虚数，所以解得.故选A.2.答案：D解析：由得，则，所以.当时，，则，所以.故选D.3.答案：B解析：.4.答案：B解析：由可得；由可得.故由推不出，而由能推出，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.5.答案：C解析：法一：由题易知，，，，成等差数列，又，，则.法二：因为，，所以，即，所以.6.答案：B解析：此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面面积为，设高为h，由台体体积公式，得，即，解得.所以其高约为9厘米，故选B.7.答案：C解析：，所以，，当且仅当，即时等号成立，即，由题意可得：，又，解得，故k的最大值为24.故选C.8.答案：B解析：，，又，，双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，即的最小值为b，即，不妨设直线OQ为，，点，，的中点为，将其代入双曲线C的方程得，即，解得，又，，，故双曲线C的方程为.故选B.9.答案：C解析：将该三棱柱补全为长方体，如图，则AC与DF的夹角即为AC与CG的夹角，即为.易知，.由，即，解得.易得，，，由余弦定理得.10.答案：C解析：的最小正周期为T，由题图可得，，所以，，，得，，又，所以，所以.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，故.当时，，因为在上恰有3个零点，所以，得，故选C.11.答案：B解析：因为函数满足，且在R上是连续函数，所以函数是偶函数.令，则是奇函数，且在R上是连续函数，则，因为当时，成立，即，所以在上单调递减，又在R上是连续函数，且是奇函数，所以在R上单调递减，则，，，因为，，，所以，所以，故选B.12.答案：A解析：因为离心率为，故可设，，故，故椭圆方程为：，而，，故，因，故.故直线与x轴不垂直也不重合，故可设，，则，由可得，因在椭圆内部，故恒成立，且，故，因，故，此时，，故M在第一象限，符合条件，的斜率为.13.答案：解析：由表可计算，，因为点在回归直线上，且，所以，解得，故回归方程为，令得，故答案为：.14.答案：128解析：由得，，所以，，因此，所以，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.15.答案：解析：为锐角，，.，..16.答案：解析：当时，，两者不相等，不是方程的实根，当时，，令，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，其中，当时，，画出的图象，如下：要想方程恰有5个不等实根，需要满足.17.答案：（1）（2）解析：（1）由，得，即.又，所以.由，得或（舍去），所以，则.（2）由，及正弦定理，知，所以，得.18.答案：（1）40（2）有的把握认为是否非常期待A系统与性别有关（3）解析：（1）因为样本中期待值不小于60的频率为，所以样本中期待值小于60的频率为0.4，所以样本中期待值在区间内的人数为.（2）因为样本中非常期待A系统的人数为，所以非常期待A系统的男用户人数为40.样本中女用户人数为.列表如下：非常期待不非常期待合计男401555女202545合计6040100，所以有的把握认为是否非常期待A系统与性别有关.（3）样本中非常期待A系统的男用户人数与女用户人数之比为，故所抽6人包括4男2女.记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n.从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女记为事件M，从6人中抽取2人包含的样本点有AB，AC，AD，Am，An，BC，BD，Bm，Bn，CD，Cm，Cn，Dm，Dn，mn，共15种，事件M包含的样本点有Am，An，Bm，Bn，Cm，Cn，Dm，Dn，共8种，所以从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女的概率.19.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为，线段BC的中点为M，所以.因为PA是三棱锥的高，所以平面ABC.因为平面ABC，所以.因为平面平面，，所以平面PAM.（2）法一：设A到平面PBC的距离为d，则在中，.在中，.因为PA是三棱锥的高，所以，解得，所以A到平面PBC的距离为.法二：在平面PAM中，过A点作于点H，如图所示，因为平面，平面PAM，所以.因为，平面，平面，，所以平面PBC.在中，.所以在中，，所以，所以A到平面PBC的距离为.20.答案：（1）见解析（2）解析：（1），，且.①若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.②若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.③若，则，为常数函数，不具有单调性.综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，为常数函数，不具有单调性.（2）由（1）可得当时，在处取得极大值，但，不符合题意；当时，在处取得极大值，所以，解得，符合题意.综上可得.21.答案：（1）证明见解析（2）存在，解析：（1）证明：将点代入，得，即.联立得，设，，则，.因为，所以恒成立，则，所以的方程为，故直线过定点.（2