葫芦岛市重点中学2024届数学高二年级上册期末考试试题含解析

葫芦岛市重点中学2024届数学高二上期末考试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在四面体O—ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,。为的中点，E为的中点，则OE可用向量

〉。7表示为()

]-171-]-171-

A.—ct~\—b~\—cB.-ci-\—b~\—c

222244

]-171-1-1-1f

C.—a+—b+—cD.一ci~\—b~\—c

424442

2.日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知"水净化到纯净度为九％时

4000

所需费用(单位：元)为c(x)=(80<x<100).那么净化到纯净度为95%时所需净化费用的瞬时变化率是()

100-X

元/t.

A.120B.160

C.-160D.-100

22

3.已知圆。1：/+丫2=〃和椭圆。2：=+与=1(。〉6〉0).直线y=履与圆G交于A、A两点，与椭圆。2交于

ab

OB

B、81两点.若上eH时,的取值范围是(1,2],则椭圆的离心率为()

OA

,1

A.一RD叵.---

22

3

---D.-

24

4.若等轴双曲线C过点（1,3），则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）

B.V2

C忑D.2

5.执行如图所示的程序框图，若输出的T的值为;，则输入的f的值可能为。

A.96B.97

C.98D.99

6.已知双曲线£的渐近线为y=±2x,则其离心率为（）

A.75B.占

2

C.2D.4或逐

7.与向量a=平行，且经过点（4,-4）的直线方程为（）

236220

A.y=—x---B.y=——x------

7777

7°7

C.y——x—18D.y=——％+10

22

22

8.双曲线C：土—匕=1的实轴长为（）

24

A.2&B.72

C.4D.2

9.已知尤>0,y>0,若2x+y=8孙，则孙的最小值是。

A.巫B.正

42

11

c.一D.-

84

10.命题“若X>1,则无>。”的否命题是（）

A.若%>1,则％W0B.若xWl,则％(0

C.若则％<0D.若％21,则x<0

11.已知椭圆C的焦点为耳（—1,0）,B（L0）,过独的直线与。交于A,5两点.若|A川=2|工间，|Aa二|3耳|,

则。的方程为

222

A.—+y2=1

232

2222

。土+匕=1D.土+匕=1

4354

12.等比数列｛%｝的前〃项和为％前〃项积为力%-4=6,。5-。3=12,当（S+正最小时,〃的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若方程/+/一2%-2y+左=0表示的曲线是圆，则实数的左取值范围是.

22

14.已知。为坐标原点，A、5分别是双曲线C:二-2=1的左、右顶点，M是双曲线。上不同于A、5的动点,

43

直线AM、与y轴分别交于点尸、Q两点，贝!印|。。|=

15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多

类，下图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,5,12,22称为五边形数，则三角形数的第10项为.

五边形数的第"项为

16.并且倾斜角是直线y=6x的倾斜角的2倍，则直线I的方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知二项式，x+十］的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.求:

（1）〃的值；

（2）展开式中x项的系数；

（3）展开式中所有含x的有理项

18.（12分）平行六面体A3CD—A6'CZ>',

（1）若AB=4,AD=3,A4'=3,ZBAD=90°,ZBAA=60°,ZDAA=60°,求AC'长；

（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2,且它们彼此的夹角都是60°,则AC与所成角的余弦值

19.（12分）已知公差不为。的等差数列｛4｝,前“项和为S”，首项为q=2,且%+1,%+L%+1成等比数列•

（1）求4和S.；

（2）设以=（一1）"%+1,记雹=4+与++bn,求&

20.（12分）在等差数列｛。“｝中，a2+a6=-20,前10项和%=—145

（1）求列｛为｝的通项公式；

（2）若数列｛4+2｝是首项为1,公比为2的等比数列，求｛包｝的前8项和

21.（12分）如图，四棱锥P-ABC。的底面是正方形，平面B钻，平面A3CD,P3=A3,E为的中点

（1）若N尸54=60。，证明：AErPDx

（2）求直线AE与平面PA。所成角的余弦值的取值范围

22.（10分）某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛，设

牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为生,%…•（参考数据：1.08屋1.8509，1.089®1.9990,

1.0810-2.1589.）

（1）写出一个递推公式，表示。用与耳之间的关系；

（2）将（1）中的递推关系表示成a,,”一女=「（。“—左）的形式，其中左，r为常数；

（3）求S9=4+g+。3+-+49的值（精确到1）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】利用空间向量的基本定理，用a,b-c表示向量OE

【详解】因为。是的中点，E是的中点，

OD=-（OB+OC）,OE=-（OA+OD）=-OA+-（OB+OC）=-a+-b+-c

2224244

故选：B

2、B

【解析】由题意求出函数的导函数，然后令尤=95即可求解

【详解】因为c(x)=400°(80<x<100),

100—x

40004000

所以d(x)=(.100-2―

(100-x)2

4000

贝!|c'(95)==160,

(100-95)2

故选：B

3、C

【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得\O忌B\e（l,a—],结合已知有a7=2,进而求椭圆

\OA\bb

C2的离心率.

【详解】由题设,圆与椭圆的如下图示:

又Ze火时，在的取值范围是（1,2],结合圆与椭圆的对称性，不妨假设A3在第一象限,

...左从0逐渐增大至无穷大时，-OJB\e（la,-],故a7=2,

OA|bb

.cyja2-b2A/3

••e——=-----=—

aa2

故选：C.

4、A

【解析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.

【详解】设等轴双曲线C的标准方程为―一丁2=左化#0）,

因为点（1,6）在双曲线上，所以F—（若『=左，解得左=—2,

22

所以双曲线C的标准方程为=

22

故上顶点(o,、历)到其一条渐近线y=X的距离为d

故选：A

5、D

【解析】根据程序框图得出T的变换规律后求解

2

【详解】当r=l时，7；=---1=-3,

1-2

当/=2时,T=--——1=--,

221-(-3)2

721

当/=3时,

T=-l=2

当好4时,4

1--'

3

可得输出的T关于t的变换周期为4,而99=3+4x24,故，=99时，输出T的值为

3

故选:D

6、D

【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.

b

【详解】当双曲线焦点在X轴上时，渐近线为y=±-X,故离心率为

a

叵,

当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为y=±-x故离心率为

b92

故选：D.

7、A

【解析】利用点斜式求得直线方程.

【详解】依题意可知，所求直线的斜率为方2，

所以所求直线方程为丁+4=^(%—4),即丁=^工—T

故选：A

8、A

【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.

2222

【详解】因为双曲线会-%=1的实轴长为2”，而双曲线'—亍=1中，储=2,所以其实轴长为2&

故选：A

9、C

【解析】对2x+y使用基本不等式，这样得到关于孙的不等式，解出孙的最小值

【详解】因为尤＞0,y＞0,由基本不等式得：2%+'22，而，所以8肛221而，解得：孙2：,当且仅当2x=y,

8

即X=L,y=L时，等号成立

4-2

故选：C

10、B

【解析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定

【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定

所以命题''若尤＞1,则无＞0”的否命题是若xKl,则无＜0；

故选：B

11、B

【解析】由已知可设怩到=〃，则闾=2〃，忸£|=|AB|=3〃，得|的|=2〃，在中求得cosN耳=；,

再在△4片月中，由余弦定理得〃=且，从而可求解.

2

【详解】法一：如图，由已知可设同同=〃,^\AF^=2n,\BF^=\AE\=3n,由椭圆的定义有

2a=\BF\+\BF^=An,:.\AF^=2a-\AF^=2n.在中，由余弦定理推论得

+9n9n

cosZFAB=^'-'=1.在△4片居中，由余弦定理得4/+4〃2—2・2〃・2〃2=4,解得〃=且

2・2n-3〃332

_22

2a=4〃=2A/3,:.a=,/.b2=a2—c1=3—1=2,.,.所求椭圆方程为――+=1,故选B

32

法二：由已知可设出3卜〃，则|A闾=2〃，忸娟=|A@=3〃，由椭圆的定义有

2〃=忸耳|+忸引=4〃，=2a—^AF2^=2n.在耳鸟和△BFJg中，由余弦定理得

4〃2+4—2・2〃•2•cos/AFF=4”？

221',又NA鸟耳，/8鸟耳互补，.•.cosNAEG+cosNB6片=0,两式消去

+4-2•〃•2•cos/BF2K=9n2

cosNA名片，cosNB月耳，得3/+6=11"2，解得

n=./.2a—4〃=2^/^,a=A/3,/.b2=a2—c2=3—1=2,.'.所求椭圆方程为+-^―=1,故选B

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻

辑推理等数学素养

12、B

rr'"2一8〃

【解析】根据等比数列相关计算得到q=2,4=1,进而求出S〃与7“，代入后得到—一=22,利用指数函

⑸+于

数和二次函数单调性得到当〃=4时，取得最小值.

2

3

【详解】显然4由题意得：a?(/T)=6,a2q-a2q=12,两式相除得：q=2,将4=2代入?一1)=6,

___.—1-2"n(n-l)

解得：出=2,所以4=1,所以s,=工了=2"-1,=1X2X22X23Xx2”T-2一1，所以

T22rr—^>n

—J=^^=2丁，其中y=2'单调递增，所以当九=4时,七二网取得最小值.

(S,+l)52万

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13-.(-8,2)

【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解

【详解】由题意(—2)2+(—2)2—4女〉O,k<2

故答案为：(-°0,2)

14、3

【解析】求得A3坐标，设出M点坐标,求得直线AM,BM的方程，由此求得P,Q两点的纵坐标,进而求得|。耳•.

【详解】依题意A(-2,0),5(2,0),

设〃（％为），则手-。=1片-44端

直线AM的方程为>=』7a+2）,则%=卫、，

x0+2x0+2

直线aW的方程为y=』7（x—2）,则均=二当，

x0-2玉）一2

所以|。斗|02,含，裳,3.

故答案为：3

15、①.55②.

2

【解析】对于三角形数，根据图形寻找前后之间的关系，从而归纳出规律利用求和公式即得，对于五边形数根据图形

寻找前后之间的关系，然后利用累加法可得通项公式.

【详解】由题可知三角形数的第1项为1,第2项为3=1+2,第3项为6=1+2+3,第4项为10=1+2+3+4,L,因此，

第10项为1+2+3++10=10x（1+10）=55；

2

五边形数的第1项为4=1,第2项为2=5,第3项为%=12,第4项为%=22,…，因此，a.-4=3"+1,

所以当时，％=q+（%_q）+（%—%）++（。〃_。〃一1）

=1+4+7++（3〃-2）---------————,

3〃2—n3/—

当〃=1时也适合，故氏=37，即五边形数的第〃项为号3n.

故答案为：55；叱三.

2

16、y=-y/3x

【解析】先求出直线y=Gx倾斜角，从而可求得直线/的倾斜角，则可求出直线/的斜率，进而可求出直线/的方

程

【详解】因为直线>=&的斜率为6,

所以直线y=6x的倾斜角为(，

所以直线/的倾斜角为日，

所以直线I的斜率为tan—=-石，

3

因为直线/经过网6-3),

所以直线/的方程为y+3=—有(x—百)，即丁=—氐，

故答案为：y=—>/3x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4(2)54

(3)第1项81/,第3项54x,第5项一

【解析】(1)由题可得2"+240=4",解方程即得；

(2)利用二项展开式的通项公式，即得；

3

(3)利用二项展开式的通项公式，令4-一reZ,即求

2

【小问1详解】

由已知，得2"+240=4",即(2"『一2"-240=0,

所以2"=16或2"=—15(舍)，

/.n=4

【小问2详解】

设展开式的第厂+1项为心=C：(3x)jj=3〜等

3

令4—r=l,得r=2,

2

则含X项的系数为32=54

【小问3详解】

3

由(2)可知，令4——rGZ,则有厂二0,2,4,

2

所以含X的有理项为第1项81/,第3项54%,第5项%-2

18、(1)底;

⑵近

6

【解析】⑴由AC=AB+AD+AA'，可得=|AB|2+|AD|2+\AA'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA',

再利用数量积运算性质即可得出；

⑵以A3,AD,AA为一组基底，设AC与所成的角为氏由cos©=cos（AC,3。）

【小问1详解】

uuuuum9

AB-AD=Q>AB-AAf=4x3xcos60=6»ADAA=3x3xcos60=-,

AC'=AB+AD+A4'，

...=\ABI2+|ADI2+|AA,|2+2AB-AD+2AB-A4'+2AD-AA'

=16+9+9+0+12+9=55,

.-.|AC|=^；

【小问2详解】

,•*AC=AB+AD>BD'AD'-AB=AA1+AD-AB

:.ACBD'=^AB+ADy^AA'+AD-AB^ABAA'-^AB^+ADAA'+^AD^=2x2x2xcos60=4,

V|AC|2=|AB+AD|2=|AB|2+2AB-AD+|AD|2=22+2X2X2XCOS60+22=12,

A\AC\=2百，

V|BD,|2=\AA+AD-AB\=|A4,|2+|AD|2+|AB|2+IAA-AD-2AA,-AB-2AD-AB

=3X22-2X2X2XCOS60=8,.,.即］=2应，

|AC-5^1\/6

设AC与5。所成的角为e,则cosecos(AC,

国,町252正

._/<、-3〃+〃

19、(1)an—3n—1,Sn=-

-叶为奇数

2

⑵4=5

三,〃eN*,〃为偶数

I2

【解析】(1)由题意解得等差数列｛%｝的公差d,代入公式即可求得a“和S“；

(2)把“分为奇数和偶数两类，分别去数列｛%｝的前"项和Tn.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝公差为2,由题有(出+以=(4+1)(%+1)，

即3+3>=3(32+3),解之得。=3或o,又d±G,所以4=3,

诉NJ1'/a1c(4+4)〃3/+〃

所以a,=%+^n-l)a=3n-l,Sn=-----?=——-—・

【小问2详解】

%=(T)%+1=(T)"(3〃T)+1，

当〃为正奇数，(―l)"a”+(—1)"+7向=—(3〃—1)+3(〃+1)—1=3,

4=4+2++灯=(-4+%)+(-%+%)++(.~an-2+an-l)~an+n

々〃

=3x-n-1(g3〃—1)+,九=—+]

当〃为正偶数，Tn=b｛+b2++/?〃=(一6+?)+(—/+4)++(—%一1+%)+〃=3x,+〃=-^-,

七N*,n为奇数

2

初，及cN*,n为偶数

2

20、(1)an=-3n+2.(2)347.

【解析】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,解方程组＜

(2)先求出d=2"T+3〃-2,再分组求和得解.

【详解】解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

4+4=2%+6d——20,

则

Si。=lOtZj+45d=—145.

n——]

解得1，所以%=%+(n-l)tZ=-3n+2

d——3.

(2)由题意，%+b〃=lx2〃T=2〃T,所以2=2力+3几—2

所以｛2｝的前8项和为(1+2+2?+…+27)+(l+4+7+…+22)=1^_+^^^=255+92=347

21、(1)证明见解析；

⑵[T-1]-

【解析】(1)取AB的中点F,连接力7,。7.先证明P尸，AE,DF±AE,即证隹，平面PD尸，原题即得证;

(2)分别取以,尸。的中点G,H,连接AH,证明NE4H为直线AE与平面上4。所成的角，设正方形ABC。的

/2_L1

边长为1,R4=x(0<x<2),在Rf_AHE中,cosZEAH=^-=AVR,即得解.

AEy/5

【小问1详解】

解：取A3的中点F,连接比；

因为P5=AB,/PR4=60°,则为正三角形，所以

因为平面上钻，平面ABC。，则PF，平面ABC。

因为AEu平面ABC。，则/用，AE.①

因为四边形ABC。为正方形，E为BC的中点，则

RtDAF^RtABE,所以NADF=NB4石，

从而ZADF+NEAD=ZBAE+NEAD=/BAD=90°,

所以DFLAE.②

又PF。尸=尸,尸”。尸u平面PDF,

结合①②知，AEL平面PDF,所以AELPD

【小问2详解】

解：分别取丛金。的中点G,H,则GH〃AD,GH=-AD