云南省保山市2023届高三二模测数学试题（解析版）

保山市2023年第二次高三质量监测

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号

在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

2-bi

1.如果复数l+2i（其中i为虚数单位，6为实数）为纯虚数，那么1+历的模长等于（）

A.72B.2C.1D.g

【答案】A

【解析】

2-bi2-2b—人一4

【分析】根据复数的运算法则，求得-----=-------+------i，根据题意求得匕=1,结合复数模的计算公

l+2i55

式，即可求解.

2-bi_(2-M)-(l-2i)_(2-2/?)+(-Z>-4)i2-2b-b-4.一

【详解】由复数的运算法则得---------十因为复

l+2i―(l+2i).(l-2i)—55

2-bi2-2b-b-4

数-----为纯虚数，所以------=0且------片0,解得3=1，

l+2i55

所以1+历=i+i,所以|i+i|=J5.

故选：A.

2.定义集合运算：A+B={z\z=x+y,x^A,y^B},设人={1,2},B={1,2,3],则集合A+3的所

有元素之和为()

A.14B.15C.16D.18

【答案】A

【解析】

【分析】由集合的新定义计算即可.

【详解】由题设知A+B={2,3,4,5},

，所有元素之和为2+3+4+5=14,

故选：A.

3.已知向量q,6满足。力=0，则a.b在a方向上的投影向量为()

A.-aB.2aC.2bD.a

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量定义可得答案.

【详解】由己知条件得：。力=0，

/|/•--\\a\a-b\-a\a\-a-b

又a一人在a方向上的投影向量为a吉•"5cos(a—仇叫==备a—=a.

\a\'\a\\a\\a\\a\

故选：D.

4.足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传

接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，

如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第4次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为

()

A.18种B.21种C.27种D.45种

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分为两种情况讨论：①第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲，第三次甲再传给

其余三人，第四次再将球传给甲；②第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲之外的2人，第三次依

然将球传给除甲之外的2人，第四次再将球传给甲，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，分为两种情况讨论：

①第一次甲将球传给其余三人，有C；=3种情况，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，有C；=3

种情况，第四次再将球传给甲，此时共有3x3=9种情况；

②第一次甲将球传给其余三人，有C；=3种情况，

第二次将球传给甲之外的2人，有C；=2种情况，

第三次依然将球传给除甲之外的2人，有C；=2种情况，

第四次再将球传给甲，有1中情况，

此时共有3x2x2=12种情况，

由分类计算原理可得，第四次传球后，求又回到甲的脚下的传球方式，共有9+12=21种.

故选：B.

5.折纸艺术大约起源于公元1世纪的中国，6世纪传入日本，后经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合

在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺

术性的思维活动.现有一张半径为6,圆心为0的圆形纸片，在圆内选定一点尸且|。尸|=4,将圆翻折一

角，使圆周正好过点P,把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到。，P两点距离之和最小的点为如

此反复，就能得到越来越多的折痕，设M点的轨迹为曲线C,在C上任取一点。，则△QOP面积的最大

值是（）

A.272B.2y/5C.2百D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线C,再利用椭圆的性质计算即可.

【详解】如图所示，设折痕为直线，，点尸与尸'关于折痕对称，/OP'=M,在/上任取一点8,由中垂

线的性质可知：|/叫+忸。|=忸。[+忸O曰。当且仅当M、8重合时取等号.

即折痕上到。，P两点距离之和最小的点为S.\PM\+\MO\=lOP'l=6>|OP|=4.

故〃的轨迹是以。，P为焦点，且长轴长为2a=6的椭圆，焦距2c=|。"=4,c=2,

故短半轴长8=石，所以当。为椭圆上（下）顶点时，△QOP面积的最大值为gx2cxZ；=2石.

故选：B.

6.已知正方体ABC。—A/CQ],。为上底面4与。12所在平面内的动点，当直线。。与的所成角

为45。时，点。的轨迹为(

A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆

【答案】C

【解析】

【分析】建系，利用空间向量结合线线夹角分析运算.

【详解】以点。为原点，DA>DC，DR为x,y,z的正方向，建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为1,则。(0,0,0),4(LO,1)，设Q(x,y,l),

可得DQ=(x,y,l),Z)4=(1,0,1),

因为直线。。与所成角为45。，

化简可得y2=2x,

则8s八二'

所以点。的轨迹为抛物线.

7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是

数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1

的项，其余各项依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的第56项为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知，去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数构成一个首项为1,公差为1的等差数列,

求解即可.

【详解】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,

可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列，则(=

可得当〃=10,所有项的个数和为55,第56项为12,

故选：B.

8.若函数〃x)=41nx+l与函数g(x)=L%2—2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为

—,+00

3

【答案】A

【解析】

【分析】先求得公切线方程为y=3x+41n/—3,联立方程组，结合A=0,得到+，令

t.--------

a3-41nZ

4p|1V+41nr-l

，求得环（A=，Jt，令0（f）=/+41nf-1,求得0,⑺>0和0。）=0,

（3-41nZ）

得到函数/I0)的单调性和最小值Mf)min=3,进而得到即可求解.

【详解】由函数"x)=41nx+l,可得/(x)=±

X

因为〃>0,设切点为”,4111，+1),则

44

则公切线方程为y—41n/—l=7(x—/),即y=：%+41n%—3,

与y=_X2—2x联立可得—x2—|2H—|x_41n/+3=0,

aa\t)

所以A=(2+\-4x-x(3-41nZ)=0)整理可得］—［彳+^

\tJci——--------

a3-41nr

a>Q3

又由《,可得3—41n，>0,解得n4>

%>0u<r<e

42I1V+41nr-l

令'其中0</<e八可得〃«)=

W)=

3-41nZ(3-4In?)2

A-

令0«)=/+41IV—1,可得夕'(0=1+—>0,函数在0,e4上单调递增，且0(1)=0,

tI)

当0</<1时，0（。<0,即〃'（“<0,此时函数力（，）单调递减，

当i</<，时，巾0）>0，即〃W>o,此时函数人（。单调递增，

所以"⑺1ran=/z（l）=3,且当/f0+时，MO.—，所以函数〃（/）的值域为［3,+8）,所以且a>0,

解得即实数。的取值范围为（0,；］.

故选：A.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.在图中，G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G",是异面直线的

图形有（）

【答案】BD

【解析】

【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.

【详解】对A,连接GM,G,M中点，又AB//HN,:.GMHHN,故直线G",

MN共面，故A错误；

对B,已知和GM是异面直线，故G”,是异面直线，故B正确；

对C,如图，连接GM,G,M为中点，又AB11HN,:.GMIIHN,故直线G",MN

共面，故C错误;

B

对D,直线GH,MN既不平行又不相交，故直线G",MN是异面直线，故D正确.

故选：BD.

10.已知二项式(3«-工］的展开式中各项系数之和是128,则下列说法正确的有()

A.展开式共有7项

B.所有二项式系数和为128

C.二项式系数最大项是第4项

D.展开式的有理项共有4项

【答案】BD

【解析】

【分析】由题意先得〃=7,再根据二项式定理及其性质一一判定即可.

【详解】因为二项式［3。-工］的展开式中各项系数之和是128,所以令x=1,可得〃=7,因为“=7,

所以展开式共有8项，故A不正确；

因为〃=7,所以所有二项式系数和为27=128,故B正确；

因为〃=7,所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，故C不正确；

7—3左

设展开式通项为=&♦(—1)匕7-仙工丁，k=0,l,2,・,7,当k=1,3,5,7时，对应的空是有理数,

即对应项为有理项，故D正确.

故选：BD.

11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”粕型杂交水稻，

成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食

供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高(单位：

cm)服从正态分布X〜N(17.4,2.632),且84.135%的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高

不低于12.14cm即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说

法正确的是（）

附：参考数据与公式：若X~N（〃,/），则尸（〃—bVXV〃+b）”0.6827,

P（/z—2cr<X<〃+2cr）a0.9545,P（/z—3cr<X<//+3cr）«0.9973.

A.幼苗株高优质种植标准约为14.77cm

B.此地杂交水稻合格率约为0.97725

C.采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布

D.采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用二项分布、正态分布的性质及正态分布的三段区间概率公式计算即可.

【详解】由题意，得X〜N（17.4,2.632）,则〃=17.4,a-2.63,

'10.6827

而P（X〉—H---------=0no.8/l411；

・•・当〃-bp17.4-2.63=14.77时，满足84.135%的幼苗株高指标值符合优质种植标准的题意,即优质种

植标准的质量指标值约为14.77,故A正确；

n9545

由尸（XN12.14）=P（X»〃—2b）土0.5+，^—=0.97725,可知每件产品的质量指标值不低于12.14

的事件概率约为0.97725,故B正确；

记这1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本指标值不低于12.14的件数为J,

则4~6（1000,〃），其中夕a0.97725,故C错误；

恰有左株指标值不低于12.14的事件概率尸（4=k）=（4x^（1-，

贝U，1、=7/I\>1,解得左<1001，a978.22725,

P^=K-1）KX（l-p）

,当0WkW978时，尸（4=左—1）<尸（4=左），当979WZW1000时，。（4=左一1）>尸（4=左），由此

可知，指标值不低于12.14的数量最有可能是978株，故D正确，

故选：ABD.

12.已知函数/卜+三）为奇函数，g（x）的图象关于直线x=］对称，若/（x）+g（x）=sinx,贝U

()

A.函数为奇函数

B.函数g(x)的最大值是乎

C.函数〃龙)图象关于直线工=-5对称

6

D,函数的最小值为一日

【答案】BC

【解析】

【分析】先利用条件求出函数7(%)和g(x)的表达式，再结合三角函数的图象性质逐一判断即可.

【详解】由题+=]为奇函数，故+=]=一/[三+=]等价于；一x]=一/⑴，由

15)

可得g仔_x]=g(x)，

g(x)的图象关于直线x=g对称，

_〃x)+g(x)=d(x[+g]'2兀).(2n)

-sm-

KTjLT/

.「2兀)

sinx+sin----x5sin[x+5同理〃+不中一。

%”一

故g(x)的最大值是当且函数了(

%)图象关于直线x=-6对称，

函数了(%)的最小值为-；，

故选：BC.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知角戊的顶点为坐标原点，始边与天轴的非负半轴重合，点4(—L2)在角a的终边上，贝hin2cr=

4

【答案】-1##-0.8

【解析】

【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.

y_2_2

【详解】根据三角函数的定义可知sin。=

M+9+226，

由二倍角公式得sin2tz=2sin。cos。=一1.

4

故答案为：一3.

14.春节(SpringFestival),即中国农历新年(ChineseNewYear),俗称"新春""新岁""岁旦"等，又称"过

年,，“过大年，，，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节.某商

家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一

件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有种.

【答案】36

【解析】

【分析】先分为3组再排列，利用分步乘法计数原理得解.

【详解】先选取2人作为一组，领取相同礼品，共有3组安排三种不同的礼品，

由分步乘法计数原理知，共有C〉A；=36种.

故答案为：36

15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角都小于120。时，费马点

与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角，即该点所对三角形三边的张角相等均为120°.根据以上性质，

已知A(-1,0),5(1,0),C(0,2),M为，ABC内一点，当到+|A叫+|MC|的值最小时，点M的坐标

为,此时sin/MBC=.

【答案】①•卜岑:②.2岳］,非

【解析】

【分析】根据费马点定义及已知坐标确定M位置，进而求出其坐标，由—,利用差

角正弦公式求sin/WBC.

【详解】由题设，△ABC是等腰三角形，且AC=3C,根据已知坐标得示意图如下：

Ao\BX

根据费马点定义知：M在AB中垂线0c上，且△AMB是顶角为120。的等腰三角形,

所以NM4B=30。，故OM=^OA=B，则"(0,走)，

211

由ZMBC=ZOBC—ZMBO,而sinZOBC=,cosZOBC=-j=,sinAMBO——,cosZMBO

所以sinZMBC=sinZOBCcosZMBO—cosZOBCsinZMBO

__2\z_V_3____1_\z_1—_2_V_1_5__-V__5

百2百2—10

故答案为:

16.对于函数/(%),若在其图象上存在两点关于原点对称，则称了(龙)为“倒戈函数”，设函数

/(x)=3'+tanx—2m+l(meR)是定义在［-1,1］上的“倒戈函数”，则实数机的取值范围是.

4

【答案】1〈根《—

3

【解析】

【分析】根据新定义得到存在&e［-L1］,%片0，使/(一%)=-/(/)，转化为4口—2=3f+3』有解,

建立不等式求解即可.

【详解】因为函数〃x)=3、+tanx—2m+l(meR)是定义在［-1,1］上的“倒戈函数”，

所以存在天两片0,使/(一与)=一/(%)，

即一3~,—tanXg+2m—1=3A(l+tan(—)—2/77+1,

所以4m—2=/+!22,当且仅当t=1,即/=0时取等号，

t

所以%>1,当。=工或f=3时，(4m-2)=3+-=—,所以加<土

3v7max333

4

所以l<m«—.

3

4

故答案为：1<加工一

3

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知S“是数列｛4｝的前"项和，q=l,.

①V〃eN*，4+a“+i=4”；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选

一个补充在横线处，并求解：

(1)求a”；

s

(2)设d=——(«eN*),求数列也｝的前6项和76.

anan+l

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)a.=2n-l

⑵目

13

【解析】

【分析】(1)选①，分析可知数列｛%")、｛外力(4eN*)均为公差为4的等差数列，求出4的值，可求

得。21、。2上(左WN*)的表达式，可得出数列｛4｝的通项公式；

选②，求得邑的值，可得出数列的公差，即可求得s“，再由%二1C可求得数列

2LnJ[Sn-Sn_vn>2

｛4｝的通项公式；

(2)求出数列｛%｝的通项公式用裂项相消法即可求解.

【小问1详解】

选条件①：V“eN*，。”+。"+1=4〃，则a“+i+%+2=4("+1),

两式作差得4+2—4=4(“+1)—4八=4,

即数列｛〃201｝，｛%）（左£N*）均为公差为4的等差数列,

于是％左一1=+4（左一1）=4k—3=2（2左一1）—1,

又生+4=4,所以。2=3,

于是a2k~4+4（左一1）=4左一1=2•（2左）一1,

所以%=2〃-1.

选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6,

则县+盘+邑=3x2=6,

1232

所以*=2,又H=q=l,所以邑=1,

21

所以［现的公差为d'普-工=2-1=1,

InJ21

S

所以」L=l+（〃—1）=〃，则S“=〃2,

n

I2*42

当2时，an-Sn-Sn_x=n-（n-1）=2n-l

又q=1满足an=2n-l,

所以对任意的〃wN*，4=2〃—1.

【小问2详解】

解法「由⑴得冷―二-3

n2

则优S"

aa

nn+l(2"-1)(2"+1)

I(%2T*J41_____M

4(2〃-1)(2〃+1)48(2〃-12n+l)

T-b+b+

nx2n48LI3J135)

nnn2+〃

-----1-----7-----------C-------------

44(2H+1)4n+2

所以『六

解法二由⑴得S/（…）/。+2"1）="2

"22

2

,Snn

则“%a“+i（2n-l）（2n+l）

•'•"=4+4++b6

21

"13'

18.如图，在三棱锥A—BCD中，△BCD是等边三角形，ZADB^ZADC,/是边的中点.

（1）求证：BC±AD；

2冗

（2）MA=3,BC=26平面ABC与平面5CD所成二面角为可，求直线3D与平面ACD所成角

的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）连接M。，根据题意证得结合线面垂直判定定理，证得平

面AWD,进而证得BC_LA£）；

（2）过M作MD的垂线，由5cl平面AWD,以"为原点建立空间直角坐标系，根据题意求得平面

ACD的一个法向量〃0）和3。=（3,百,0）,结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：如图所示，连接因为△3CD是等边三角形，所以=

在△A3。和ACD中，因为NADB=NADC,AD=AD,

所以△ABD且△ACD,所以AB=AC,

又因为又是6C边的中点，所以BC_LM4,BCLMD.

因为MAMD=M,M4u平面AMD,Affi>u平面AWD,所以3cl平面AMD,

又因为ADu平面4WD，所以6C_LAZX

小问2详解】

解：在©AMD中，过/作的垂线，交AD与点、N,

由（1）可得3cl平面AWD,以M为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

2兀

又由跖4=3,3C=26，且平面ABC与平面5CD所成二面角为三，

因为BCLMD,所以/AMD为平面ABC与平面BCD所成二面角的平面角,

2兀7L

即NAMD=——，所以NAMz=—,

36

可得A--,0,^-,B（0,-73,0）,C（0,V3,0）,£＞（3,0,0）,M（0,0,0）,

（22J

设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),且AC=,CD=g,—60)

KC=1+底一亭z=°

则令x=l,则＞=石，z=6，所以〃

n-CD=3x-也y=0

又因为=（3,6,0）,

,,BD-n^21

设直线与平面ACD所成角为9，贝(Isin。=cos{BD,n)=——n—=-----

'/BD\\n7

可得cos。=2"，即直线6D与平面ACD所成角的余弦值为2".

77

X

19.中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技

术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某

味中药的药用量无（单位：克）与药物功效y（单位：药物功效单位）之间具有关系y=10]-*.

（1）估计该味中药的最佳用量与功效；

（2）对一批含有这味中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2,估计

这批合成药的药物功效y的平均值.

【答案】（1）该药物使用量为5克时可达最大功效25.

（2）20

【解析】

【分析】（1）根据用量X与功效y之间具有关系y=10x—九2,结合二次函数的性质，即可求解；

（2）根据题意求得一^%=6,-Yx,2-%2=4,结合则＞=一£（10%-k），即可求解.

,i7

n=ni=ln/=1n;=1

【小问1详解】

解：由题意，某味中药的药用量X与药物功效y之间具有关系y=10x—V，

可得丁=10工一/=一（大一5）2+25，所以当x=5时，y皿侬=50—25=25，

即该药物使用量为5克时可达最大功效25.

【小问2详解】

解：由题意，得％=—£%=6,52x,2-X2=4,所以—£X；=40,

,i,i

n=n=ni=i

则,V=!才（10七—x；）X；=60-40=20,

n

ni=li=l〃z=l〃z=l

这批合成药的药物功效平均值为20.

20.如图，在平面四边形A3CD中，AB=1,BC=3,AD=CD=2.

（1）当四边形A3CD内接于圆。时，求角C；

（2）当四边形A3CD面积最大时，求对角线3D的长.

7T

【答案】(1)c=-

3

(2)币.

【解析】

【分析】(1)根据A+C=7l,结合余弦定理求解即可；

(2)将四边形A3CD的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性

质即可求解.

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BD2^AB2+AD2-2ABADCOSA=12+22-2xlx2xcosA.

22222

BD=BC+CD-2JBC-CO-COSC=3+2-2X3X2XCOSC;

所以5—4cosA=13—12cosC

又四边形A3CD内接于圆。，

所以4+。=兀，

所以5-4cos(〃-C)=13-12cosC,

化简可得cosC=g,又Ce(0,7i),

所以C=2jr.

3

【小问2详解】

设四边形A3CD的面积为S,

则SuSMM+SisnLAB.AD.sinA+LBC.crrsinC,

/\r\mJ/\nl,1J

又BD2=AB?+AD--2AB•AD•cosA=BC~+CD2-2BC-CD-cosC-

-11

S=—x1x2sinA+—x2x3sinCrS=sinA+3sinC,

所以｛22，即《

l2+22-2xlx2cosA=22+32-2X2X3COSC已=3cosC—cosA^

平方后相加得平+4=io+6sinAsin。-6cosAcosC，即$2=6-6cos(A+C),

又A+Ce(0,27i),

所以a+c=7i时，s?有最大值，即s有最大值.

此时，A=7l-C,代入2=3（300。一（30574得。0$。=」.

2

又Ce（O,兀），所以C=1

在△BCD中，可得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosC=22+32—2x2x3xcos—=7,即_g£）=不■

3

所以，对角线3D的长为J7.

2

r2

21.已知双曲线及土—>2=i的左、右焦点分别为《，F2,A是直线/：y=——x上不同于原点。的一

33

个动点，斜率为匕的直线A耳与双曲线E交于M,N两点，斜率为左2的直线人工与双曲线E交于尸，。两

点.

11

（D求1+厂的值；

收k2

（2）若直线OM,ON,OP,。。的斜率分别为屹用，k0N,kOP,k0Q,问是否存在点A,满足+

kON+kOP+kOQ=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由・

【答案】（1）-3

⑵存在‘或

【解析】

【分析】⑴设—|力”0）,利用斜率公式求解；

（2）设A/（%，X）,N（X2，%），P（X3，%），Q（X4，％），直线皿方程为y=%（x+2）,与双曲线方程联立，结

2k2k11

合韦达定理得到kOM+kON=2*，k°p+kOQ=2-_，结合7r=-3求解.

/1/CjI-L/1/v2十XK、/C2

【小问1详解】

2

解：双曲线R'72=1的左、右焦点分别为片（_2,0）,鸟（2,0）,

设£,一§,«w0）,

--?-0

2t,同理可得.=一“，。、.

k丁3(772)3(-2)

.j_+J__3(r+2)_3(?-2)__6?__3

区k22t2t2t

【小问2详解】

设〃(%,％)川(%,%),尸(毛,%),。(%%)，

直线4月方程为y=%(x+2),

代入双曲线方程可得：(1-3^2)%2-12后x-12片一3=0,

上,12k；皿-12k；-3

所以罚+尤2=巧/，贝[七%2=]_「2，

则…。N-

%1X2

匕(玉+2)/+勺(尤2+2)%

占龙2

2klx1x2+2匕（々+玉）

XxX2

24k；

c,1-3片

=2k.+-------,

1-12婷-3

1-3片

2kl

%+1

2

同理乜+kOQ=2，

/IIVQI_L

2kl2ko

即=o,

即（勺+左2）（4桃2+1）=0'

k]+k?=0或k[k2