福建省漳州市高三毕业班第二次质量检测数学试题

漳州市2024届高三毕业班第二次质量检测

数学试题

本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核

对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知集合A,8,若4=卜|1。84心1},且A8=（0,3],则集合B可以为（）

A.{y|y=A/3-X}B.{x[y=J3-x}C.lx\2'<8）D.xX<0>

iIx—3

【答案】B

【解析】

【分析】计算求得集合A,根据选项计算求得集合由A3=（0,3],依次判断即可.

【详解】因为log4X<l,所以0<xW4,所以集合A=（0,4].

对于A选项，3={y|y=JE}=[0,+s）,则A8H（0,3],所以A选项不合题意；

对于B选项，B={x\y=y/3-x）=（-co,3],则A3=（0,3],所以B选项符合题意；

对于C选项，B={x|2l<8}=（-w,3）,则A5^（0,3],所以C选项不合题意；

xX—3H0,

对于D选项，不等式——W0等价于（、解得8=[0,3）,则A5^（0,3],所以D选项不合

x-33）<0,

题意.

故选:B.

2.若三。€[0,+8）,COS1<7〃为真命题，则实数加的取值范围为（）

A.m>lB.加>1C.m>—\D.m>—1

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，只需7〃>(COSa)min即可.

【详解】若三。e［0,+»),cosa<7〃为真命题，则根〉(cosa)min.

因为cos(Z在［0,+00)上的最小值为-1,所以加>—1,

故选：D.

3.已知向量a=(—1,根)，向量人=(",—2),向量c=(LD,若a与〃共线，匕10,则()

A.m=-lB.n=—2

C.m+n=3D.m—n=l

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于机,〃的方程组，求解即可.

【详解】因为d与匕共线，所以(-l)x(—2)—加〃=0,解得痴=2.

又b，c，所以〃xl+(—2)xl=0,解得”=2,所以%=1,所以和+“=3.

故选：C.

4.公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖迪的“开立圆术”.祖胞在求球的体积时，使用一个原

理：“累势既同，则积不容异”.“累”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高

处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个

平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖迪原

理”.3D打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D打印技术打印了一个“睡

美人城堡”.如图，其在高度为九的水平截面的面积S可以近似用函数5(3=无(9-4,人«0,9］拟合,

则该“睡美人城堡”的体积约为()

A.27兀B.817CC.10871D.243兀

【答案】D

【解析】

【分析】根据祖瞄原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为9,高为9的圆锥的体积近似相等，

利用锥体的体积公式可求得该“睡美人城堡”的体积.

【详解】如下图所示：

圆锥PO的高和底面半径为9,平行于圆锥P0底面的截面角圆锥P0的母线PB于点C,

设截面圆圆心为点O',且则=OO'=9—力，

易知△PO'Cs△尸03,贝|］上PO'=匕O'）C，即9Z_-h=匕O'匕C，可得。c=9—为，

PO0B99

所以，截面圆圆。的半径为9一"，圆O'的面积为兀（9一人）2,

又因为S（/z）=兀（9—域,

根据祖迪原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为9,

高为9的圆锥的体积近似相等，

1,

所以该“睡美人城堡”的体积约为一X兀义92><9=243兀，

3

故选：D.

5.甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A,B,C,。四个社区中随机选择一个

社区，设事件加为“甲和乙至少一人选择了A社区"，事件N为“甲和乙选择的社区不相同”，则

P（N\M）=（）

5675

A.-B.-C.-D.一

6789

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型、条件概率计算公式即可得解.

【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有42=16（种），

事件/发生的情况共有16-32=7（种），事件"和事件N同时发生的情况共有6种,

6

所以。3也）=爷篝=3=：.

16

故选：B.

137r一八

6.若锐角。满足百cos2，-&sin=0,则cos—+26>)

、2V2c1DV3

3333

【答案】A

【解析】

【分析】借助三角恒等变换公式化简原式计算可得cose-sinJ=3,结合二倍角的正弦公式与诱导公式计

3

算即可得.

【详解】13A/3COS20—yflsin—，]=0,

所以石(cos?6,-sin2e)-(cose+sin。)=0,

即[指(cos0-sin8)-1](cos8+sin8)=0,

解得cos6-sin9=或cos0+sine=0,

3

又。为锐角，所以cos"sine=q,贝u(cos"sin8)2=L

12

即1—sin26=—,解得sin20=W,

33

所以cos[^^+2〃]=-sin2〃=-g.

故选：A.

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，等比数列抄"｝的公比与｛4｝的公差均为2,且满足仇=4+1,

4=4+1，则使得b6>Sn成立的n的最大值为()

A.6B.7C,8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】先求得q，4由此求得%,由此解不等式包＞5“，求得正确答案.

【详解】由题意得。4=%+6,4=4仇.

又仿=1+1,b3-a4+l,所以a1+7=4(4+1),解得4=1，

所以仇=2,所以a=2",an=2n-l,所以S,=〃2.

若《〉S"，则64＞川.又〃eN*，则〃的最大值为7,

故选：B.

Inx—,%＞0

8.已知函数/(%)=：x,则函数g(x)=/(/(%)T)的零点个数为()

—|x+1|+1,%0

A.3B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】令/(%)—1=，，求出方程/⑺=0的根，再结合图象求出/(x)=f+l的解的个数即可.

【详解】依题意，函数g(x)=/(/(x)—1)零点的个数，即为方程了(/(X)—1)=。解的个数，

令=则/(。=0,当/>0时，lnf-1=0,令/z«)=ln/-L/>0,

tt

函数y=In/,y=—；在(0,+s)上单调递增，于是函数h(t)在(0,+8)上单调递增，

又力(1)=-1<0,A(e)=l-->0,则存在%e(l,e),使得/78)=0；

e

当，<0时，—上+1|+1=。，解得，=0或—2,

Inx--,%>0

作函数了(%)=《%的大致图象，如图：

—1%+1|+1,

又/(%)—1=/,则/(%)=/+1,

当/=0时，/。)=1,由y=/(x)的图象知，方程/(x)=l有两个解；

当/=—2时，/(幻=-1,由y=/(x)的图象知，方程/(%)=-1有两个解；

当/=%,%e(l,e)时，/(%)=。+1,由y=/(x)的图象知，方程/(x)=%+1有一个解，

综上所述，函数g(©=/(/(x)-1)的零点个数为5.

故选：B

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出人尤)=0的解；(2)图象法：作出函数7U)

的图象，观察与X轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它

们的公共点个数.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/经过抛物线C:y2=2px(0>O)的焦点，且与。交于A,B两点，以线段A3为直径的1。与

C的准线相切于点尸(-2,-1)，则()

A.直线/的方程为4x+y-8=0B.点。的坐标为1]

_17

C.。的周长为万兀D.直线4x+2y+9=0与c。相切

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，根据题意得到抛物线方程，设出直线/的方程x=次+2,联立抛物线方程，得到两

根之和，两根之积，根据=0列出方程，求出/=-1，得到直线方程；B选项，求出点。的纵坐

4

17

标为-1,从而代入4x+y-8=0求出横坐标，得到B正确；C选项，由焦点弦公式得至川=万，求出

。的半径和周长；D选项，利用圆心到直线距离公式和半径相比，得到答案.

【详解】A选项，依题意，抛物线C的准线方程为x=—2,即x=—3=—2,所以p=4,

2

即抛物线C的方程为y2=8x,则抛物线C的焦点为(2,0).

设直线/方程为x=iy+2,4(%,%)，5(%2，%)，

联立《2,消去无整理得83—16=0,A=64/+64>0恒成立，

y=8羽

则%+%=阮%%=-16,

则=M％+%)+4=8/+4,=4,

又因为线段A5为。的直径，。与。的准线相切于点尸(-2,-1),

所以AP,BP=(―2-石,-1—%)•(—2-9,—1—%)

=(2+%)(2+/)+(1+%)。+%)=。,

整理得4+2(%+/)+%々+1+%+%+%%=0，

即4+2(8厂+4)+4+1+8f—16=0,

即(期+1)2=0,解得。=一工，所以直线/的方程为4x+y—8=0,所以A正确；

4

B选项，因为OP垂直于准线，且尸(-2,-1),所以点。的纵坐标为T,

9

代入直线/的方程4x+y—8=0,即4x—1—8=0,解得x=—,

4

可得点所以B错误；

1717

C选项，根据抛物线的定义可得|43|二%+%2+4=5，所以。。的半径为了，

17

所以。的周长为一兀，所以C选项正确；

2

9

4x--2+9

D选项，圆心。1到直线4x+2y+9=0的距离为48亚17,

=----<——

2石54

所以直线4x+2y+9=0与〔。相交，不相切，所以D错误.

故选：AC.

【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，

(1)V=2px中，过焦点P的直线与抛物线交于A,3两点，则以4尸,6尸为直径的圆与y轴相切，以

A5为直径的圆与准线相切；

(2)好=2。》中，过焦点P的直线与抛物线交于A3两点，则以4尸,5尸为直径的圆与x轴相切，以

AB为直径的圆与准线相切.

10.关于函数/(x)=J5sin17—的图象与性质，下列说法正确的是()

5兀

A.%=——是函数/(九)图象的一条对称轴

2

B.、刀］是函数Ax)图象的一个对称中心

I-XJT

C.将函数y=&cos5的图象向右平移,个单位长度可得到函数y=/(x)的图象

D.当xe(0,2兀)时，/(x)e(-l,l)

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦型函数的解析式判定函数的相关性质时，一般先将相位角。尤+。中的。化成正值，再将其

看成整体角z,最后结合正弦函数y=sinz的图象的相关性质判断即得.

【详解】/(x)=V2sin1j=-72sin

XTT5JTSir

对于A项，令------=k7i+~,kwZ,则x=2E+—,左eZ,当左=0时，x=—,

24222

5兀

所以x=—是函数，(幻图象的一条对称轴，故A项正确；

2

对于B项，令------=kit,keZ,则％=---,keZ,当左二—1时，x——,

2422

所以一5'°是函数,⑺图象的一个对称中心，故B项正确;

显然将函数y=V2cos|的图象向右平移:个单位长度可得到函数y=V2cos的图象，即函

数人力的图象，故C项正确;

对于D项，/(x)=&sin+一£当xe(0,2兀)时，'9-：卓

结合正弦函数的图像可知函数"X)的值域为(-L&],故D项错误.

故选:ABC.

11.已知数列｛4｝的前〃项和为"，若q=%=4,且对V"之2,”6曰都有40-凡_])=,+1，则

()

A.⑸―2Sa｝等比数列B.$6=128

4,〃=1[4,n=1

C.0二〈£*D.(=〈*

”[2n+1-4,H>2,neN”[2,l,n>2,neN

【答案】BD

【解析】

【分析】由邑一21=0可判断A选项；推导出S"=2S,i(〃22,"eN*),可知数列⑸｝为等比数列，确

定该数列的首项和公比，可求出数列｛S,｝的通项公式，可判断B选项；由4与S”的关系求出数列｛4｝的

通项公式，可判断D选项.

【详解】因为S2—2S]=(4+—2<2[=4x2—2x4=0,

所以｛S“—2S,i｝不是等比数列，所以A选项错误；

由46-S〃T)=S“+i，得S.+]-2S“=2Sn-4S〃T=26,n>2,neN*，

以及§2-251=0,可得S3-252=0,S4-2S3=0,L,

以此类推可知，S〃—2S“T=0（〃22,〃eN*）,则S“=2S,i（〃22,〃eN*）,

又H=4=4,所以数列｛S“｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以S"=4x2"T=2向，所以§6=26M=27=128,所以B选项正确；

n+1nn

当〃22时，an=Sn-Sn_,=2-2=2,

f4,n=1

当”=1时，q=Si=4,q=4不满足a“=20,故cz-，

2,n>2,HeN

所以C选项错误，D选项正确，

故选：BD.

12.在正四棱柱ABC。—A/G，中，"=2延，£,口分别为棱A5,CCX中点，过，，£,

尸三点作该正四棱柱的截面a,则下列判断正确的是（）

A.异面直线E尸与直线8用所成角的正切值为更

2

B.截面a为六边形

C.若AB=2,截面a的周长为20+3厉

D.若AB=2,截面e的面积为1b叵

6

【答案】AD

【解析】

【分析】A项，通过作图得出面直线所与直线8片所成角，即可求出角度正切值；B项，通过作图即可得

出截面a的形状；C项，求出截面与四棱柱相交的5边的各边长，即可得出截面的周长；求出S和SKD、H

的面积，即可得出截面面积.

【详解】由题意，

设AB=2,则用=4,

对于A选项，异面直线所与直线8及所成的角，即为直线所与直线CG所成的角，

连接EC,如下图，则NEFC即为直线所与直线CG所成的角或其补角.

易得EC,CG，在Rt△所。中，FC=1CC1=2,ECEEB'BC?=亚，

所以tanNEFC=g£=好，所以A选项正确；

FC2

对于B选项，如下图，延长。C交。/于点”，连接交于点/,延长H石交94于点K，连接

RK交A4于点1,连接口，EJ,

则五边形D.FIEJ即为平面DXEF截该四棱柱得到的截面,

即截面0为五边形，所以B选项错误;

HCFC

对于c选项，易知志―=不方Dp=2逝,所以HC=CD=2,即。H=4.

rlDDD,

AFKA1?72

又——二——二—,所以KA=_,所以K0=_+2=_

HDKD4333

又_2_="，所以C/=LKD=±,所以B/=2—3=2,

KDHD2333

半所以班=由讲

FI=^FC2+CI2

3

在RtAKDQ中，KD[=^KD?+DD；=

KJAJKA13i—

又K==—=—，所以DJ=_KDI=而,AJ=1,

11

KD】DD{KD44

所以JE=JA/2+AE?=友，

2而而

所以截面a的周长为2R+f7+E/+JE+DJ=2后+------+-----+忘+厉=3忘+2厉,

33

所以C选项错误;

因为=#3,所以KD]=KH,所以为等腰三角形.

又D[H=4氏,所以FH=gD[H=26,

连接KF,

则KF=^KH2-FH2=汉可,

3

所以S

A£7]/l21233

易知八KDIHSAIFH,所以白以=；,则叵，

4,FH

SK0tH-3

同理可得5灯尸=典，所以截面a的面积为SK»"—S犷"―SK犷=业7,所以D选项正确；

AJc6Lrri.KJ匕

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据平面的性质求截面戊形状，进而求截面夕的周长和面积.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知椭圆C：——=1,meZ,则。的离心率为.（写出一个符合题目要求的即

6—m2m—3

可）

【答案】也（填也，姮，立1三者中任何一个即可）

2257

【解析】

【分析】按焦点位置分类讨论求解即可.

【详解】①当椭圆。的焦点在x轴上时，

3

可得6>2机—3>0,解得一<相<3.

2

又meZ,所以相=2,此时椭圆C的方程为二+丁=1,

4

则/=4,k=1,所以/=〃2—）2=3,则〃=2,c=J§\离心率e=

2

故椭圆C离心率为走；

2

②当椭圆。的焦点在>轴上时，可得2加一3>6-机>0,解得3</n<6.

又meZ,所以加=4或加=5.

22

当m=4时，此时椭圆C的方程为？-+土=1,

52

则/=56=2,所以。2=/-2=3,

V3_V15

则a=亚,c=^3，离心率e=

故椭圆。的离心率为

当771=5时，此时椭圆。的方程为工+/=1,

7

则6=7力2=1,所以02=4—52=6,

综上所述，c离心率为也或姮或立2

257

GA/15,32三者中任意一个即可.)

故答案为：—(可以填-,--

27

14.在二项式—2］的展开式中，第三项为常数项，展开式中二项式系数和为。，所有项的系数和为

b,贝1。一/7=.

【答案】63

【解析】

【分析】由二项式定理的展开式通项公式和条件先求得”的值，再根据展开式的二项式系数和与所有项的系

数和的含义分别求解即得.

令r=2,则可得〃一3x2=0,所以〃=6,所以二项式—2］的展开式中二项式系数和a=26=64,

令x=l,可得所有项的系数和6=(—I,=1,则。一。=64—1=63.

故答案为：63.

15.已知复数Z-Z2满足4+2%=-3—i,上2-zj=1,贝1|22+2i|的最大值为.

【答案】A^O+I##I+7W

【解析】

【分析】设4=x+yi,根据题意求得z—根据复数的几何意义求得Z2对应点的轨迹，再根据几何意义求

目标式的最大值.

【详解】令复数4=x+yi,x,yeR,则彳=x—yi,

所以4+2%=3x-yi=-3—i,所以％=-1,y=l,即马=一1+1

又因为肉-二=1,即在复平面内，复数Z2所对应的点的轨迹是以(-M)为圆心，1为半径的圆.

又点(-U)到点(0,-2)的距离为J(—1—0)2+(1+23=回,

所以卜+2胃的最大值为痴+1.

故答案为：V10+1.

16.已知广(无)是定义域为R的函数/(x)的导函数，曲线关于(1,0)对称，且满足

f(x)-f(6-x)=3-x,则了(2022)+/(2028)=；1(一2025)=.

【答案】①.—2025；②.--##0.5

2

【解析】

【分析】构造函数g(x)=/(x)+T，根据已知条件判断g(x)的奇偶性和周期性，从而求得

g(2022)+g(2028),进而去求了(2022)+/(2028)；再结合g'(x)的周期性，从而求得/''(—2025).

【详解】因为曲线了(无一1)关于(L0)对称，

所以曲线一(X)关于坐标原点对称，即函数/a)为奇函数.

又因为九GR,所以/(。)=。，f(0)-f(6)=3,所以"6)=-3.

因为了(尤)_/(6_盼=3-％,整理得/(尤)+2=/(6—乃+三，

Y

令g(x)=/(%)+5，则函数g(x)为R上的可导奇函数，g(0)=0,且g(x)=g(6-尤).

又g(6-x)=-g(x-6),所以g(x)=-g(x-6)=g(12),

所以函数g(x)的图象关于直线％=3对称，且12为函数g(x)的一个周期，

所以g(2022)+^(2028)=^(168x12+6)+^(169x12+0)=g(6)+g(0)=/(6)+j=0,

则了(2022)+/(2028)=g(2022)—-+g(2028)--=-2025.

因为g(x)=g(6-x)=-g(九—6),所以<(x)=-g'(6-x)=-g'(x-6),

所以g，(3)=一>(3)=—g'(—3),所以g'(3)=_g<3)=—g'(—3)=0.

又g(x)=g(x-12),所以g'(x)=g,a—12),所以函数g'Q)也是以12为周期的周期函数.

YI

因为F(x)=g(x)—5,所以1(x)=g'(x)—5,

所以r(2025)=^(2025)-1=g，(169xl2-3)-1=g，(—3)—g=—g.

因为/(x)+/(—x)=0,所以广(x)-7(一x)=0,即为(t)w广(x),

所以「(-2025)=1(2025)=.

故答案为：-2025；

2

Y

【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性和周期性；处理问题的关键一是构造函数g(x)=/(x)+5；

二是能够数量掌握函数奇偶性和周期性的判断方法；三是准确的进行求导；属综合困难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

C

17.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足a,+i—-^="+l(〃eN*),且应为电，%的等比中项.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设7；为数列的前九项和，证明：T>-.

1%%J8n

【答案】(1)an=2n,〃eN*

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)借助｛4｝与S“的关系与等比中项的性质计算即可得；

(2)借助裂项相消法可求得7；,结合函数的单调性即可得证.

【小问1详解】

s

因为%+i一一-=n+l,所以〃a”+i=S“+〃(〃+l),①

n

当2时，(〃一1)4=3〃_1+〃(九一1),②

①一②得几。计1_(几—1)。〃=册+2几，化简可得4+1-%=2,n>2,

且当〃=1时，=2满足上式，

所以数列｛%｝是公差为2的等差数列，

由题可得。2。8=4，故(弓+2)(弓+14)=(q+6)2,解得q=2,

所以a'=6+("-l)x2=2",neN*:

【小问2详解】

1_1

证明：令勿

44+12〃.25+1)41〃〃+1

所以北=4+4+伪+,+2

又函数y=l――匚在(0,+8)上单调递增，所以7；27；=1

X+18

JT7T

18.如图，在四边形A3CD中，ZDAB=-,B」,且」WC的外接圆半径为4.

26

⑴若BC=4应，AD=2y/2>求」ACD的面积；

(2)若。=——，求5C—AD的最大值.

3

【答案】(1)4；(2)述.

3

【解析】

【分析】(1)在三角形ABC中，根据正弦定理求得ACNC钻，再在三角形ADC中，利用三角形面积公

式即可求得结果；

(2)设立D4C=6>,在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,A。，从而建立BC—A。关于。的

三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.

【小问1详解】

因为8=JRC的外接圆半径为4,所以/^=8,解得AC=4.

6sinB

在-ABC中，BC=4亚,则———=4应=8,解得sinNC45=4l.

sinZCABsinZCAB2

又NC43e[o,3],所以NCAB=2；

TT7T

在.ACD中，AC—4,X.DAC=——X.CAB——,AD=2^/^，

所以5AAm=LX4X2A/^X立=4.

ZX/iCL/2，2

【小问2详解】

设/n4c=e,仪0,3.

27r7T

又。=一，所以NACD=——0.

33

TTTT

因为NZMB=2,所以NC4B=t—夕

2~2

ACAD

在△ZMC中，AC=4由正弦定理得

sinDsinZACD

.„4A/3.

=4cos，-------sin，

3

ACBC

在中，AC=4,由正弦定理得

sin3sinZCAB

4BC

即丁一,（兀d解得BC=8sin1―，=8cos。,

2（2）

^BC-ADJC^+^0\

、3,

八71

又同呜,所以，+

717rIT

当且仅当。,即，时,sin['+§）取得最大值1，

326

所以3C—的最大值为更.

3

19.如图，在四棱锥P-A6CD中，底面ABCD为矩形，侧面B4D_L底面ABCD,侧棱Q4和侧棱P£）

与底面A3CD所成的角均为60°,AD=2AB=2,。为A。中点，E为侧棱P3上一点，且0E〃平面

PCD.

（1）请确定点E的位置；

(2)求平面AOE与平面R4B所成夹角的余弦值.

【答案】(1)点E的位置为PB的中点；

【解析】

【分析】(1)构造与平面PC。平行的平面OE7L通过证明平面平行证明线面平行，从而求得点E的位置；

(2)以。为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再求平面夹角的余

弦值即可.

【小问1详解】

取的中点尸，连接。尸，则OF7/CD,

过点F作EF〃PC,交PB于点、E,则E为尸3的中点.

因为OFHCD,且。产,平面PC。，CDu平面PC。，所以OF〃平面PCD

因为EFHPC,即仁平面PC。，尸Cu平面PC。，所以瓦〃平面尸CD.

又OFcEF=F,。”"<=面.0,所以平面。瓦7/平面PCD.

又O£u平面OE7L所以OE〃平面PC。,

所以点E的位置为PB的中点.

【小问2详解】

因为侧面PAD，底面ABCD,

所以侧棱PA和侧棱与底面ABCD所成的角分别为NQAE)和/PDA,

则/己4。=/?。4=60°,所以_PZM为等边三角形,

连接PO,则PO1底面A3CD.

以。为坐标原点，分别以OF,OD,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

因为AD=2相=2,

1h、

所以。(0,0,0),A(0,-l,0),B(l,—1,0),P(0,0,A/3),E—,——

fl1@

则

AB=(1,0,0),PA=(0,-l,-V3),OE=2，-2'V04=(0,—1,0).

\7

设平面AOE的法向量为u=(x,y,z),

-y=0,

OA,4=0,

则《即《11V3

OE•"=(),—x——yd-----z=n0,

〔222

不妨令Z=6，则x=—3,所以M=（—3,0,、行）.

设平面的法向量为v=(a,b,c),

PAv=0,\0-b-s/3c=0,

则nl〈即on＜

AB-v=0,[a=0,

不妨令c=J5,则b=—3,所以v=(0,—3,、万).

设平面AOE与平面RIB所成夹角为。，

八\u-v\31

则cose=---------=-r=—尸二—,

|M|-|V|2百x2g4

所以平面AOE与平面所成夹角的余弦值为工.

4

20.2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新

能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要

经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有

三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞

测试中结果为优秀的概率为良好的概率为工；在续航测试中结果为优秀的概率为自，良好的概率为

235

2

二，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为短

（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；

（2）求离散型随机变量J的分布列与期望.

3

【答案】（1）—

10

（2）分布列见解析，数学期望为Tg

【解析】

【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案；

（2）得到随机变量J的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.

【小问1详解】

记事件A为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为i分（/=1,3,5）”,

则P(A)=jNA)［，=

记事件及为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i分«=1,3,5)”,

797?1

则尸(。)二，

P(B3)=-,PW=1---1=-.

记事件C为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，

则p(0=尸(A4)+尸(A4)+尸(4区)+尸(A&)

111112123

=—X——|-—X——|——X——|——X—=——,

2535656510

3

则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为历.

【小问2详解】

由题知离散型随机变量J的所有可能取值分别为2,4,6,8,10,

P(^=2)=-x-=—,

6530

“八11122

P&=4)=-x—+—x—=—,

356515

“八1112123

=6)=—x-+-x—+-x—=—,

25653510

pc=8)=mi+gi=g,

P(^=10)=|x|=l,

则离散型随机变量J的分布列为

自246810

12311

P

30151035

所以数学期望石(4)=2、2+4、2+6X3+8><』+10*'=些.

3015103515

21.已知函数/(x)=xe*-lnx-x+a有两个不同的零点为，巧一

(1)求实数。的取值范围;

(2)证明：InX[+Inx2+1<0.

【答案】(1)(-oo,-l)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)方程/(x)=0变形为产皿―(lnx+x)=—a,令/(%)=x+lnx,xe(O,+s),利用单调性

转化方程e'-/=-a有两个不等的实根Jt2,引入函数g«)=e'-由导数确定其性质(单调性与极

值)后可得结论；

⑵记％=g(%)/2=g(Z)，可设：<0<G，则g(%)=g&),引入函数〃⑺=g«)-g(T)，

t>Q,由单调性证得。<一,2，即a+/2<0，再转化为不，%的不等式ln(x1K2)+(%+W)<0，由基本不

等式菁+%22Jjqx?，从而有21n64+2北兀*<0,即InJ%%+,七马<0，不等式变形为

,利用函数Kx)=x+lnx的单调性得出，/<娶，平方后取对数

<0<

即证得题设不等式成立.

【小问1详解】

函数/(x)=xe*-lnx-x+a有两个不同的零点，

即方程xe*—Inx—x+a=0有两个不相等的正根，

即方程ex+lnx-(Inx+x)=-a有两个不相等的正根.

令/(x)=x+lnx,xe(0,+oo),

易知*%)在(0,+8)上单调递增,t(x)eR,

令/=/(%)eR,则问题等价于方程e'—f=—a有两个不等的实根彳，t2.

令g«)=e'T,?eR,则g'(/)=e'-l,

令g'(r)=e'—1=0,解得t=0,

当fe(-oo,0)时，gr(t)<0,当/e(0,+oo)时，g'(t)>。，

所以函