高中物理必修二第六章机械能复习总结

第六章机械能

知识网络:

§1功和功率

知识目标

一、功的概念

1、定义：力和力的作用点通过位移的乘积.

2.做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移

3、公式：W=FScosa(a为F与s的夹角).

说明：恒力做功大小只与F、s、a这三个量有关.与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等

其他因素无关，也与物体运动的路径无关.

4.单位：焦耳(J)1J=1N•m.

5.物理意义：表示力在空间上的积累效应，是能的转化的量度

6.功是标量，没有方向，但是有正负.正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表示能的转移

方向.

①当0Wa<90°时W>0,力对物体做正功；

②当a=90°时W=0,力对物体不做功；

③当90°<aW180°时W<0,力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功，这两种说法是从二个角度

来描述同一个问题.

二、注意的几个问题

①F：当F是恒力时，我们可用公式W=Fscos。运算；当F大小不变而方向变化时，分段求力做的功；

当F的方向不变而大小变化时，不能用W=Fscos0公式运算(因数学知识的原因〕，

我们只能用动能定理求力做的功./

②s：是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移来表述时，在许多问题上学生往I—rrp

往会产生一些错觉，在后面的练习中会认识到这一点，另外位移s应当弄清是相对哪夫右〃

一个参照物的位移

③功是过程量：即做功必定对应一个过程(位移〕，应明确是哪个力在哪一过程中的功.

④什么力做功：在研究问题时，必须弄明白是什么力做的功.

【例1】如下图，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S,那么力F做的功为

解析：力F做功W=2Fs.此情况物体虽然通过位移为S.但力的作用点通过的位移为2S,

所以力做功为2FS.答案：2Fs

【例2】如下图，质量为m的物体，静止在倾角为a的粗糙的斜面体上，当两者一起向

右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？物体m所受重力做的功

是多少？摩擦力做功多少？斜面对物体m做功多少？

解析：物体m受力如下图，m有沿斜面下滑的趋势，f为静摩擦力，位移S的方向同速

度v的方向.弹力N对m做的功％=N•scos190tl+a)=一mgscosas/na,重力G对

m做的功W2=G,scos90°=0.摩擦力f对m做的功W3=fscosa=mgscosasina.斜面对

的作用力即N和f的合力，方向竖直向上，大小等于mg(m处于平衡状态〕,那么：

w=F合scos900=mgscos900=o

答案：—mgscosas/na,0,mgscosas/na,0

扩展与研究：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：①看力与位移

之间夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB的拉力与B球

的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB的拉力与A球的速度方向就是钝角。为

直角时，力对物体不做功，上例中0A与A球的拉力与A球速度方向就是直角。②看物体间是否有能量

转化。假设有能量转化，那么必定有力做功。此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。

规律方法

1、功的计算方法

1.由公式W=Fscosa求解

两种处理方法：

①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosa,即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直F方向

上的两个分位移S1和S2,那么F做的功W=Fsi=Fscosa.

②W等于力F在位移s方向上的分力Feosa乘以物体的位移s,即将力F分解为沿s方向和垂直s方向

的两个分力Fi和Fz,那么F做功W=Fis=Fcosas.

注意：这种方法只能用来计算恒力做功（轨迹可以是直线也可以是曲线）

2、多个力的总功求解

①用平行四边形定那么求出合外力，再根据w=F.scosa计算功.注意a应是合外力与位移s间的夹

角.

②分别求各个外力的功：Wi=Fiscosai,W2=FzSCOsa2......再求各个外力功的代数和.

【例】物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力R,经ts后撤去迪，立即再对它施一水

平向左的恒力Fz,又经ts后物体回到原出发点，在这一点过程中，3、F?分别对物体做的功用、W?间的

关系是U

A.Wi=W2；B.W2=2WI；C.W2=3WI；D.W2=5WI；

【解析】认为Fi和Fz使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为％=W?而误选A;

而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。这都反映了学生缺乏一种物理思想：那就是如何架起

两段物理过程的桥梁？很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初

速度”。由于此题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中AV的矢量性，必然会出现错

误，错误得到其结果V2=0,而误选A,其原因就是物体的运动有折返。

解法1：如图,A到B作用力为储，BCD作用力为F2,由牛顿第二定律

F=ma,及匀减速直线运动的位移公式§=丫戊一匀加速直线运动的

速度公式vo=at,设向右为正，AB=S,可得：口

222

一S=vot—/^a2t=（ait）t—%a2t:S=0+%ait1—^ait=ait—//3

・333'

A至IjB过程Fi做正功，BCB/过程F2的功抵消，B,到D过程Fz做正功，即W1=后F-L-T

FiS,W2=F2S,・・・W2=3WI,

2

解法2：设F2的方向为正方向，Fi作用过程位移为S,Fi对物体做正功，由动能定理：FiS-74mvio

2

在F2作用的过程中，F2的位移为一S,与F2同向，物体回到出发点时速度为V2,由动能定理得：F2S=^mv2

V,

一%mv/。/.—=由牛顿第二定律得R;-F2=m―—―;=--一;.二匕二--一•二・

F2V2ttF2VJ+V2V2-+v2

V2=2VI,W2=3WI

拓展：假设该物体回到出发点时的动能为32J,那么&、F?分别对物体做的功用、W?是多少？

由动能定理得：AEK=WI+W2=32J,WI/W2=FI/F2,，WF8J；W2=24JO

3、变力做功问题

①W=F・scosa是用来计算恒力的功，假设是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W=

Fscosa计算.

②有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比方重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径

无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或

往返运动时，这类力（大小不变〕的功等于力和路程（不是位移）的积.

③根据功和能关系求变力的功.如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等

④根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.

⑤求出变力F对位移的平均力来计算，当变力F是位移S的线性函数时，平均力下=小三.

⑥作出变力F随位移，变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功.

【例】面积很大的水池，水深为H,水面上浮着一正方体木块，木块边长为a。，

密度为水密度的％,质量为明开始时，木块静止，如下图，现用力F将木块缓

慢地压到水池底，不计摩擦，求：匕-用.二:半M

(1)从木块刚好完全没人水中至u停止在池底的过程中，池水势能的改变量.卜二-二-二-二-二-二一二-二1二一二一二-二寸

(2)从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功.，-二-二-二-二-二-二-二-斗二五-二-二，

解析：⑴木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池二二二二二二二二二二二二中二二二二m

底到达水面，因木块的密度为水的冗长度的为,故相同体积的水的质量为2m,,二三;二二二二二二二土二二二二二二m

故池水势能的改变量为△Ep=2mg(H-a);""匕:二十:二门

(2)因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好完全没

入水中时，图中原来划线区域的水被排开,相当于这局部水平铺于水面,这局部水的质量为m,其势能的改

变量为：

木块势能的改变量为:AE木=mg^H=-gmga

根据动能定理，力F做的功为:W=AE水+AE木=%1«2.

(2)又解：从开始到木块完全没入水中的过程，力F所做的功为变力功.也可画

出Fs图象，做功在数值上等于Fs图线与位移S轴所围图形的面积的数值，在压

下木块过程中，力F与位移s成正比，从开始到完全没入水中，力F的位移为工。，

2

作出F-s图象如图,，据图象可求得做功W=-X-amg=-mga.

224

③摩擦力的做功

A、静摩擦力做功的特点

门)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

(2)在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有

机械能转化为其他形式的能.

(3)相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

B.滑动摩擦力做功的特点

如下图，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V。从木板的左端滑上木板，当

木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S,小木块相对木板滑动了d,那么由动能定理知：

滑动摩擦力对木块所做功为：W木块=-f(d+S)……①

滑动摩擦力对木板所做功为：W«=fs……②------------........

所以，木块动能增量为：AEK木块=—f[d+s)……③_________匚二]；

Z/ZZ/Z/Z/〃〃〃〃/

木板动能增量为：AEK木板=fs.....④卜s+dT

由③④得：AEK木块+AEK木板=一fd.....⑤

⑤式说明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这局

部减少的能量转化为内能。

故滑动摩擦力做功有以下特点：

1)滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

2)一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；

二是机械能转化为内能。转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

3)滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程(不是位移)的乘积

［例6］如下图，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的

初速度V。在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为口，设从开始运动的

一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为帖和肌，在这一周

内摩擦力做的总功为Ws,那么以下关系式正确的选项是〔）

A.Wi>W2B.Wi=W2C.W3=0D.W3=WI+W2

解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大小、方向均不变的力）A

做功的情况，通常由w=Fscosa求解.对于变力〔特别是方向发生变化的力）做功的图5-6

情况，一般由功能转换关系求解.对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，

物体（或系统）的能量如何发生变化，变化了多少.

小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的

向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动

的速率逐渐减小，向心力减小即N减小，而f=nN,滑动摩擦力f也减小，即由以下关系：

N=Fn=mv2/Rm,R不变，v减小，那么N减小，

f=nNN减小，那么f减小

W=-fJIRf减小，那么W减小

所以%>肌

Wi.W?都为负功，因此W3=Wi+Wz.答案:AD

**求功的思路共有四条：（1）由功的定义.恒力做功；（2）由能量关系求解；（3）由功率的定义；

（4）由动能定理求解.

§2功率

知识目标

一、功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢.

二、单位：瓦［w）,千瓦（kw）；

三、标量

四、公式:P=W/t=Fv

1.P=W/t所求的是这段时间内平均功率.

2.P=Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率.

3.P=Fv应用时，F、v必须同向，否那么应分解F或v,使二者同向.这里的P=Fv实际上是Fvcos。、

。为F、v夹角.

4.我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P,这里指的是牵引力的功率，不

可认为是机械所受合外力的功率.

五、发动机铭牌上的功率，是额定功率，也就是说该机正常运行时的最大输出功率，该机工作时输出功

率要小于或等于此值.

规律方法

1、功率的计算方法

【例1】如下图，质量为1kg的物体与平面间摩擦系数口=0.1〔g取lOm/s?）,在2N水平拉力作用

下由静止开始运动了2s,求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各

为多少？---------F

解析：a=—~—=lm/s2.s=%at2=2m.v=at=2m/s—____

my=/，，，/

外力F做功功率.平均值为：pi=W/t=Fs/t=2W2s末即时功率为：P「=Fv=4W

z

摩擦力做功功率.平均值：Pz=fs/t=lW2s末即时功率为：P2=fv=2W

重力与支持力N由P=Fvcos。知：功率都为0.

答案：外力F平均功率和即时功率分别为2W、4W；摩擦力平均功率和即时功率分别为1W、2W；重力和

支持力功率都为0.

点评：〔1)明确是什么力做功功率；［2)清楚是平均功率还是即时功率.

［例2］如下图，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率

为多少？

错解：由机械能守恒定律可知到达底端速度v72gh,所以此时功率P=mgv=mg42gh：

提示：这里没有注意到mg与v的夹角，应当为P=mgsin。\2gh

点评：做题时注意力跟速度的夹角.(1)匕

【例3】一个小孩站在船头，按应当为图5—15两种情况用同样大小力拉绳，［.氐7,

经过相同的时间t〔船未碰撞)，小孩所做的功Wi、W2及在时间t内小孩拉一—三h：彳

绳的功率P|、P2的关系为()了父一J

A.Wi>w2,Pi=p2B.Wi=w2,PI=P2二｝

C.W1<W,P1<PD.W1<W,Pi=P

2222图5—15

提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除对人做功外，

又对另一只小船也做了功，所以的>W1.由于所用时间一样，所以B>P］.

答案：c

点评：应弄清哪一个力对哪一个物体做功，其功率是什么

2、两种功率0

【例4】长为L的细线一端固定在。点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被：,

拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如下图，现将球由静止释放，它由：/

A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是()：

A.一直在增大B.一直在减小C.先增大后减小D.先减小后增大

解析:小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B位置时，速度到达最大%=屈1,方向

水平向左，与重力夹角为90°,PB=0,由于两个极端位置瞬时功率均为0,故可判断C正确.

点评:物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动，力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因

此，在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式P=Ftcosa

来进行分析和计算.

【例5】跳绳是一种健身运动。设某运发动的质量是50kg,他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃

中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5,那么该运发动跳绳时克服重力做功的平均功率是

—o(g取lOm/s"

解析：把运发动每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。每次跳跃总时间

17

T=60/180=l/3s.每次腾空的时间t=±(1-*)=0.02s。

35

每次腾空高度h=%g(t/2)M4X10X(0.02/2)2=0.05m„

每次腾空上升时克服重力做的功W=mgh=50X10X0.05=25Jo

把每次跳跃总时间T内的触地过程、下落过程舍弃，简化成在T内就是单一竖直上升克服重力做功

的过程，故可解出P=W/T=25/(1/3)=75W„

3、汽车起动问题分析

(1)当以恒定功率运动时，做加速度越来越小的变加速直线运动，a=£一工，当F牵=f时，加速度a

vmm

=0,此时的速度为最大速度.所以VFp/f,以后机车做匀速直线运动。

(2)欲使汽车从静止开始做匀加速直线运动，一开始不能用额定功率，功率必须随着速度增加而增加，

使P/v=F恒定；这种运动持续一段时间后.汽车又做加速度越来越小的加速运动，最后到达最大速度

Vm,所以求匀加速直线运动的时间不可用t=Vn/a,必须用v=P额/F,而t=v/a,由此得：t=P额/Fa

［例7］质量为1kg的机械与平面间摩擦力f=2N,其额定功率为12W,要使它以a=Im/s?的加速度做

匀加速直线运动，问做这种运动的最长时间为多少？

错解：Vn,=P/f=6m/s,t=Vm/a=6s

解析：以上做法错在何处，我们进行如下的分析：要使a=lm/s2,必须F=f+ma=3N

要使F=3N速度最大为v=P/F=4m/s所以做匀加速直线运动的时间为t=v/a=4s

这里可做这样的检验：当速度大于4m/s时，不妨设为5m/s；F=P/v=2.4N,那么加速度a=(F—f)

/m=0.4m/s2,显然不是匀加速直线运动了，所以一旦速度大于4m/s时，由于功率不再增加，加速

度那么变小，做的是加速度越来越小的加速直线运动，直到加速度为零，之后做匀速运动.答案：4s

【例】一辆汽车在平直的公路上以速度V。开始加速行驶，经过一段时间t,前进了距离s,此时恰好到

达其最大速度股.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒定为F,那么在这段

时间里，发动机所做的功为[)

V+V

A、Fvmt；B、Pt；C、％mv：+Fs—%mv()2；D、Ft°"；

2

解析：汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力做功，根据P=W/t可求得

/

W=Pt,P=Fv=Fvm,所以W=Fvmt；根据能量守恒：W+%mv，=%mv；+Fs

所以W=%mv；+Fs—/mv/；答案：ABC

思考：为何用5=皿=风士匕^，得至=Ha士'不正确？错在哪里？

22

【例】质量为m=4000kg的卡车，额定输出功率为P=60kWo当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶

100m,升高5m,所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10m/s2.

试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000N不变在坡路上行驶？

(2)卡车在坡路上行驶时能到达的最大速度为多大？这时牵引力为多大？

(3)如果卡车用4000N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4m/s,那么卡车在这一段路

程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

分析:汽车能否保持牵引力为8000N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车假设一

直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv解。此题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同

学在得到F>f+mgsin。后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000N不变上坡；而没有考虑到

汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。

解：分析汽车上坡过程中受力情况如下图：牵引力F,重力mg=4X10“N,f=kmg=4X103N,支持力N,

依题意sin9=5/100o

(1)汽车上坡时,假设F=8000N,而f+mgsin0=4X103+4X104Xl/20=6X103N,即F>f+mgsin6,

汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率，

所以，汽车不能保持牵引力为8000N不变上坡。

(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力

F=f+mgsin0=6X10,N时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为vm,那么P=Fv=(f+mgsin

9),Vm；

v=-------------==10〃z/s,F=f+mgsin0=6X10，N

"f+mgsin06000

[3)假设牵引力F=4000N,汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，P=Fv=4000X12=48

X103Wo整个过程中平均功率为P=Fv=4000x-----=32X103W

2

§3动能动能定理

知识目标

一、动能

如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量.物体由于运动而具有的能.Ek=W,

其大小与参照系的选取有关.动能是描述物体运动状态的物理量.是相对量。

二、动能定理

做功可以改变物体的能量.所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量.W1+W2+W3+……=%mv『一

'/4mvo2

1.反映了物体动能的变化与引起变化的原因一一力对物体所做功之间的因果关系.可以理解为外力对

物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小.所以正功是加号，负功是减号。

2.“增量”是末动能减初动能.AEK>0表示动能增加，AEK<0表示动能减小.

3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理.由

于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能(比方内能)的转化.在动能定理中.总功指各外力对

物体做功的代数和.这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等.

4.各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和.

5.力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式.但动能定理

是标量式.功和动能都是标量，不能利用矢量法那么分解.故动能定理无分量式.在处理一些问题时，

可在某一方向应用动能定理.

6.动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的.但它也适用于变为及物体作

曲线运动的情况.即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用.

7.对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物.〔通常以地面为参照物)。

三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理

设物体的质量为m,在恒力F作用下，通过位移为S,其速度由V。变为v“

那么：根据牛顿第二定律F=ma……①根据运动学公式2as=v,2—M……②

22

由①②得：FS=^mvi—!4mv0

四.应用动能定理可解决的问题

恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律

及运动学公式求解要简单的多.用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问

题、曲线运动等问题.

【例1】如下图，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为口，物体与转轴间距离为R,物体

随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀[

速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？|

解析：物体开始滑动时，物体与转台间已到达最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力口mg.xl

根据牛顿第二定律口mg=mv7R........①由动能定理得：W=!4mv2②

由①②得：W=%umgR,所以在这一过程摩擦力做功为为口mgR

点评：(1)一些变力做功，不能用W=FScosO求，应当善于用动能定理.

[2)应用动能定理解题时，在分析过程的根底上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考

虑整个过程的功量及过程始末的动能.假设过程包含了几个运动性质不同的分过程.即可分段考虑，也

可整个过程考虑.但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功.计算

时要把各力的功连同符号〔正负)一同代入公式.

【例2】一质量为m的物体.从h高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Ah后静止，求阻力做功为

多少？

提示：整个过程动能增量为零，那么根据动能定理mg(h+Ah)-Wf=0

所以Wf=mg(h+Ah)答案：mg(h+Ah)

规律方法

1、动能定理应用的根本步骤

应用动能定理涉及一个过程，两个状态.所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；

两个状态是指初末两个状态的动能.

动能定理应用的根本步骤是：

①选取研究对象，明确并分析运动过程.

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做

多少功？求出代数和.

③明确过程始末状态的动能Eki及EK2

④列方程W=EK2—Ek”必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解.

【例3］总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质

量为m,中途脱节，司机觉察时，机车已行驶了L的距离，于是立即

关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定

的，当列车的两局部都停止时，它们的距离是多少？

解析：此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简

单.先画出草图如下图，标明各局部运动位移〔要重视画草图)；对

车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.FL—u(M—m)gSF

一%(M—m)vo2

对末节车厢，根据动能定理有一limgS2=—/mvo?而AS=Si—S?由于原来列车匀速运动，所以F=nMg.以

上方程联立解得AS=ML/(M—m).

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方

便.最根本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方

程解方程组.

2、应用动能定理的优越性

(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到

终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就

是说应用动能定理不受这些问题的限制.

(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定

理求解简捷.可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解.可

以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意

识.

(3)用动能定理可求变力所做的功.在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscos

a求出变力做功的值，但可由动能定理求解.

【例4】如下图，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上/—ZZ——7

做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R,当拉力逐渐减小到/

F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R,那么外力对物体所做的功的Z__24=—/

大小是：丁

解析:设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为V”那么有F=mv//R……①

2

当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2,那么有F/4=mv2/2R……②

在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为%mv-=-%FR

所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A选项正确.

说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法.

3、应用动能定理要注意的问题

注意1.由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的根底上推

导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物

来确定.

注意2.用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由

W=Fscosa求出变力做功的值.此时可由其做功的结果一一动能的变化来求变为F所做的功.

【例6】如下图质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为

4kg,木板与水平面间动摩擦因数是0.02,经过2s以后，木块从木板另一端以lm/s相对于地的速度滑

出，g取10m/s,求这一过程中木板的位移.V。,

解析：设木块与木板间摩擦力大小为fi,木板与地面间摩擦力大小为fz..

对木块：一fit=mvt一mvo,得fi=2N|

对木板：〔fi—f?)t=Mv,f2=u(m+M)g...................................I,

得v=0.5m/s对木板：出―f2)s=%M/,得S=0-5m答案：0.5m

§4机械能守恒定律

知识目标

一、机械能

1.由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能.如重力势能、弹性势能、分子势能、

电势能等.

(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为EP=-mgh.式中h是物体到零重力势能面的高

度.

(2)重力势能是物体与地球系统共有的.只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的

值，假设物体在零势能参考面上方高h处其重力势能为Ek一mgh,假设物体在零势能参考面下方低h

处其重力势能为EP=-mgh,“一”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选

择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的.通常在不明确指

出的情况下，都是以地面为零势面的.但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量

与零势面如何选取无关.在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量.

【例1】如下图，桌面高地面高H,小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，?

那么小球触地的瞬间机械能为(设桌面为零势面)〔)II卡

解析：这一过程机械能守恒，以桌面为零势面，Ett=mgh,所以着地时也为mgh,有的

学生对此接受不了，可以这样想，Ew=mgh,末为Esie-Amv2—mgH,而%mv^mg(H+h)由此两式可得：E

*=mgh答案：A

13)弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能.高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但

往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能.

2.重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量WGAEPMEP初一EP末，克服重力做功等

于重力势能的增加量W克=AEPJ^EP末一EP初

特别应注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化.

3、动能和势能〔重力势能与弹性势能)统称为机械能.

二、机械能守恒定律

1、内容：在只有重力(和弹簧的弹力)做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的

总量保持不变.

2.机械能守恒的条件

(1)对某一物体，假设只有重力(或弹簧弹力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代数和为零)，

那么该物体机械能守恒.

(2)对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传

递，机械能也没有转变为其他形式的能，那么系统机械能守恒.

3.表达形式：EK1+EPi=Ek2+EP2

(1)我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程

式.此表达式中日是相对的.建立方程时必须选择适宜的零势能参考面.且每一状态的&都应是对同

一参考面而言的.

(2)其他表达方式，AEP=-AEK,系统重力势能的增量等于系统动能的减少量.

(3)AEa=-AEb,将系统分为a、b两局部，a局部机械能的增量等于另一局部b的机械能的减少量，

三、判断机械能是否守恒

首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如

水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克

服内部阻力做功，将局部机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少.

(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况〔包括内力和外力)，明确各力做功的情况，假设对物体

或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，那么机械能守恒；

(2)用能量转化来判定：假设物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，

那么物体系机械能守恒.

VO

3.当除了系统内重力弹力以外的力做了功，但做功的代数和为零，但系统的机械能

不一定守恒.如图5—52所示，物体m在速度为vO时受到外力F作用，经时间t速m

度变为vt.〔vt>vO）撤去外力，由于摩擦力的作用经时间t/速度大小又为vO,这

图5-52

一过程中外力做功代数和为零，但是物体m的机械能不守恒。

【例2】对一个系统，下面说法正确的选项是（）

A.受到合外力为零时，系统机械能守恒

B.系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C.只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D.除重力弹力以外的力只要对系统作用，那么系统的机械能就不守恒

解析：系统受到合外力为零时，系统动量守恒，但机械能就不一定守恒，C对

【例3】如下图，在光滑的水平面上放一质量为M=96.4kg的木箱，用细绳跨过定

滑轮0与一质量为m=10kg的重物相连，木箱到定滑轮的绳长AO=8m,0A绳与水平

方向成30°角，重物距地面高度h=3m,开始时让它们处于静止状态.不计绳的质量

及一切摩擦，gmlOm/s2,将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多

大？

解析：此题中重物m和水箱M动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等.

根据题意，m,M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh=%iv［+%MvM

从题中可知，。距M之间的距离为h/=0asin30°=4m

当Hl落地瞬间，0A绳与水平方向夹角为a,那么cosa=-----二4/5

OA-h

而m的速度Vn,等于VM沿绳的分速度，如图5—55所示，那么有V„=VMCOSa

所以，由式①一③得VM=痣m/s答案：V6m/s图5-55

五.机械能守恒定律与动能定理的区别

机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间关系，且守恒是有条件的，而动能定理揭示的

是物体动能的变化跟引起这种变化的合外力的功间关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应

这两个状态间经历的过程中做功情况.

规律方法

1、单个物体在变速运动中的机械能守恒问题

［例6］从某高处平抛一个物体，物体落地时速度方向与水平方向夹角为6,取地面处重力势能为零，

那么物体落下高度与水平位移之比为.抛出时动能与重力势能之比为.

解析：设平抛运动的时间为t,那么落地时，gt=votan。即gt2=vottan9

所以2h=stan9所以h/s=tan9/2

由于落地的速度v=vo/cos。又因为%mVo2+mgh=1^mv2

2222

所以mgh=%mvo/cos9—!4mv0所以%mv（）/mgh=cot2。

【例7】如下图，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径

为R,B为最低点，D为最高点.一个质量为m的小球以初速度V。沿AB运动，刚好能通过最高点D,那

么（）

uc

A.小球质量越大，所需初速度V。越大Wi\

B.圆轨道半径越大，所需初速度V。越大丁号

C.初速度V。与小球质量m、轨道半径R无关“R

AB

D。小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度V。

解析：球通过最高点的最小速度为v,有mg=mv7R,这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守

恒，在最低点的速度vo应满足,/imvo2=mg2R+^mv2,v（>=）5gR答案:B

2、系统机械能守恒问题

［例8］如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点

D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度到达h=10m,求小球抛出的速度和位置.

解析：小球从A到D的逆运动为平抛运动，由机械能守恒，平抛初速度均为mgh—mg2R=%

2’2g(h-2R)=lQm/s

mvD;vD-

所以A到D的水平距离为s=vDt==10m

2

由机械能守恒得A点的速度Vo为mgh=!4mvo;v0=^2gh=10yf2m/

由于平抛运动的水平速度不变，那么VD=VoCos9,所以，仰角为

Vr

0=arccos-=arccos—=450

%A/2c

【例9】如下图，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有

扰动时，某一端下落，那么铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？

解析：由题目的表达可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光

滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，那么机械能守恒，这个题目我们

用机械能守恒定律的总量不变表达式除兄和增量表达式AEk一△庆分别给

出解答，以利于同学分析比拟掌握其各自的特点.

11)设铁链单位长度的质量为P,且选铁链的初态的重心位置所在水平面为Ifljf

参考面，那么初态a=0

滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4,EP/=-PLgL/4

Ek2=%Lv?艮fl终态E尸—PLgL/4+%PLv2：

由机械能守恒定律得E2=EI有-PLgL/4+%PLv?=0,所以v=JgL/2

(2)利用AEP二一AEK,求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4,重力势能减少一AEP二PLgL/4,

动能增量AEK及PL/,所以V=JgL/2

点评(1)对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固

定不变的，能否确定其重心的位里那么是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规那么物

体常以重心的位置来确定物体的重力势能.此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视

作对折来求重心，也可分段考虑求出各局部的重力势能后求出代数和作为总的重力势能.至于零势能参

考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜.

(2)此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时

重力势能的减少，然后利用公£「=一八匕求解。

【例10］一根细绳不可伸长，通过定滑轮，两端系有质量为M和m的小球，且M=2m,开始时用

手握住M,使M与离地高度均为h并处于静止状态.求：［1)当M由静止释放下落h