江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题＋答案

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的

A.1倍B.更倍C.1倍D.立信

2244

2.已知办是两个不共线的单位向量，向量5=23+〃赏eR),则“久>0且">0"

是“\0+3)>0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知等差额列｛6｝的前"项和为S"，S4=1,*=4,贝1」4，+41(+。19+0;0=

A.7B.8C.9D.10

4.设i为虚数单位，若复数匕@为纯虚数，则。=

1+i

A.-1B.1C.0D.2

5.甲、乙、丙、丁四人参加书法比骞，四人对于成绩排名的说法如下.甲说：“乙在丙之前”,

乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名若

四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为

A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名

6.已知P为抛物线V=4｝上一点，过P作圆/+Q-3)、=1的两条切线，切点分别为A,B,

贝iJcosN4P5的最小值为

7.若全集为U,定义集合/与5的运算：J®B={x|xe/(JB旦xeAClB},贝ij(.4®5)®5=

A.AB.BC.D.BA^J

8.设a=2,,t=21n(sin-+cos-)>c=—In—,贝U

48844

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

二、选择毁：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若加，〃为正整数目〃>冽>1,贝Li

A.C|=C|B.母=争

C.D.A：+/MAhJAM

10.设函数/(x)=2sin'x-3sin|x|+l,则

A./(x)是偶函数B./(x)在(-±0)上单调递增

4

c./(X)的最小值为-!D./(x)在［-五力上有4个零点

O

H.已知圆M：(x-iy+v=16,点/是河所在平面内一定点，点p是”上的动点，若线

段PA的中垂线交直线尸初1于点。，则。的轨迹可能为

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.有一组从小到大排列的数据：3,5,X,8,9,10,若其极差与平均数相等，则这组数据

的中位数为.

13.围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如

在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算.假设大

小为〃的眼有q口气，大小为〃+1的眼有久出口气，则q与满足的关系是

4=1,a,=2,a^l-n=aii-1(n>2,n^'S')

则4的通项公式为.

14.若.4,B,C,。四点均在同一球面上，Z5JC=—,A58是边长为2的等边三角形,

3

则A4BC面积的最大值为,四面体4B8体积取最大值时，球的表面积为

四、解答观：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

在四棱锥P-AB8中，底面H5CD是边长为2的正方形，PC_LPD,二面角一4-8-尸

为直二面角.

（1）证明：

（2）若PC=PD,求直线PC与平面A”所成角的正弦值.2

DA

16.（15分）

在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则

为：①每次祈愿获取五星角色的概率R=0906;②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那

么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互

独立.设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.

（1）求X的概率分布；

（2）求X的数学期望.

参考数据：0.994*^0.582.

17.（15分）

已知函数/（x）=a'一elog.x-e,其中a>l.

（1）若。=6,证明八»三0；

（2）讨论了（x）的极值点的个数.

18.（17分）

已知等轴双曲线。的顶点分别为椭圆r：t+《=1的焦点Fl>F,.

62

（1）求C的方程；

（2）若。为C上异于顶点的任意一点，直线。,QF:与椭圆r的交点分别为尸，灭与初,

N,求|PR|+4|MV|的最小值.

19.（17分）

交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用.设.4,B,C,。是直线，上

互异且非无穷远的四点，则称止巴（分式中各项均为有向线段长度，例如.45=-A4）为.4,

BCAD

B,C,D四点的交比，记为（4B;C,D）.

1

（D证明：l-（AB;C4）=

（B,ACD）

（2）若j4,A，4为平面上过定点P目互异的四条直线，L,4为不过点P目互异的

两条直线，―,乙的交点分别为其，属，c,,D、,乙与A,/、，乙的交点分

别为%,证明：

4,B2,C2,（40cw）=（4%G,DD；

（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若AE尸G与AT尸G的对应边不平行，对应顶点

的连线交于同一点，则A£FG与SE'F'G'对应边的交点在一条直线上.

江苏省四校联合2024届新题型适应性考试

数学参考答案

一、选择翘：本题共8小观，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.D2.A3.C4.B

5.B6.C7.A8.D

二、选择观：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.AD10.ABC11.ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

127513尸3〃+6,杼2忑20兀

13＞3

1,n=l

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解：

(1)在四棱锥P-W5C。中，因为二面角X-CD-P为直二面角，所以平面尸8,平面

ABCD,因为底面HBCD为正方形，所以5CJ.DC,而BCu平面.458,£心=平面PCDfl

平面X58,所以BC_L平面PCD,而PDu平面P8,所以BCLPZ),又因为PC_LP。，

BC,PCu平面P3C,8CflPC=C,所以PD_L平面PBC,又因为PBu平面PBC,所以

PB±PD)

⑵分别取CD,AB中点为O,E,连接。P,QE,因为PC=PD

所以OP，DC,又因为平面PCD，平面ABCD,DC=平面PCDA

平面488,OPu平面PCD,所以8_1平面.438,以O为坐标

原点，OD,OE,0P所在直线分别为x,j,二轴，建立如图所示

的空间直角坐标系。-斗，则。0,0,0),C(-l,0s0),5(-1,2,0),

P(050,l),£(0,2,0),J(l,2,0),Ip=(-1,-2,1),Is=(-2,0,0),

n-AP=0日口|-x-2y+z=Q

PC=(-L0,-1)，设］=(x,y,二)是平面PAB的一个法向量,则<____，即［

簿且8=0l-2x=0

不妨取＞，=1,二=2,则3=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量.

设直线PC与平面PAB的夹角为6,则sin6=|cos＜工正＞|=派上=巫.所以直线PC与

\n\\PC\5

平面R”所成的角的正弦值为空

16.解：

(1)将每次祈愿获取五星角色的概率记为X的所有可能取值为1,2,3,…，90.

从而外工=1)=4,7>(工=2)=(1-2)打，/工=3)=(1-2)»。L，尸(*=89)=(1-2)标”，

RX=90)=(l-R)z.所以X的概率分布为/十=上)」(1-外):外1648晨4.

[(l-Po)力木=90

(2)X的数学期望E(X)=lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+.-+90xP(X=90)

w

=lxp0+2x(l-p0)p0+3x(1-pjp°+-+90x(l-p0)，

(1-A.XW=1x(1-p0)p。+2x(l-2。)为+3x(1-pjR+…+90x(1-pj”，

+_+1

P"E(X)=p0+(1-A)POOA)*PO…+Q-A)"A+90x(1-/?„),-89x(1-p。)*>。

-90x(l-pJ。，

夙©=1+(1-打)+(1-2)2+.-+(1-2)、90'(1-3),一89“1-4)2-9°，(1一2),”

P«Po

v911v，

=l+(l-^,)+(l-p0)~+---+(l-^,)"+°[l-(l-p0)]-89x(l-7?0)

Po

=1+(1-2)+(1-打)’+…+(1-A)'、+(1-R)"‘J°')'

Po

A，=0.006,所以E(X)」一QFL「一°"4”飞1^-6967.

p00.0060.006

17.解:

(D当a=e时，/(x)=e^-elnx-e,/V)=e*—£,/,(l)=0,/(l)=0,当x<l时,

/(x)<0,/(x)单调递减；当x>l时，y(x)>0,/(x)单调递熠，从而/(x)至/0)=0;

(2)由题意知，函数/(x)的定义域为。例)，/(x)=1lna—?"e,设

xlnaxlna

g(x)=xa'In'o-e,a>\,显然函数鼠x)在(0,+<x>)上单调递熠，趴x)与了。)同号，

①当a>e时，g(0)=-e<0,g(l)=aln'a-e>0,所以函数半x)在(0,1)内有一个零点，

所以函数f3在电』)上有且仅有一个极值点；

②当a=e时，由第(D问知，函数/(x)在(仇伊)上有且仅有一个极值点；

③当1e时，J—>1,g(一一-e,因为in/"==£.=/_>1,所以_2_

hr。"hr/liraIno>e"

虱士)>0,又gQ)=aln，-e<0,所以函数g(x)在a/)内有一个零点，所以函数/⑴在

(o.招0上有且仅有一个极值点；

综上所述，函数/(X)在(0,帝)上有且仅有一个极值点.

18.解:

(1)椭圆「的c?=/一〃=4,故耳(一2,0),FQ0),设等轴双曲线C的方程为r-y=d,

将F2带入求得d=4,故等轴双曲线C的方程为Y-步=4；

(2)设直线④的方程为x=?即-2,直线QE的方程为》=3+2,点P,R,M,N的

坐标分别为(x“M),&必),(X/),(x,，乂)，联立直线8与椭圆r："22，得

H+3y2=6

(M+3)y-4叼，-2=0,川+乃="，从而IPR\=-否丫+。一二)'

m+3zw+3

F

=册2+lgi+M)2-4用“=Vw+3m/+3I=2巫~m2―+37,联立直线Q：与

椭圆广：,x,?：2,得(“2+3)y：+4吵—2=0,乃+弘=__^_,=~-^~―，从而

y+3y2=6n+3n+3

IW=J(X3-X4)2+5-J，4)2=了-4y3y4=(_黑I总)

=2^4,联立直线小与巾：上冲‘一2,得屋竺竺」_),又。在双曲线c上，

n+3[X=4'+2TW-nm-n

带人得(网上)2_(J_)2=4,化简得〃」.从而|呐+4|卬|=2而(£2+骡)

m-nm-nm/w+3n+3

10

=2版穿^4/w2+4._/r7?W4+207W2+13=246(^-------n-

-104^

3m?+13m4+10;w2+32768

m+333(m--)+H---

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10

二2屈7一——)=2①，当且仅当3(--？)=