八年级初二数学勾股定理练习题及答案

八年级初二数学勾股定理练习题及答案

一、选择题

1.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四,

则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积

关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,点D,

E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）

A.121B.110C.100D.90

2.已矢口：AABC中，BD、CE分另lj是AC、AB边上的高，BQ=AC,点F在CE的延长线上,

CF=AB,下列结论错误的是（）.

A.AF_LAQB.AF=AQC.AF=ADD.NF=NBAQ

3.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合，折痕为

EF,那么折痕EF的长为（）

A.3B.#C.y/10D.9

4.如图，在AABC中，AC=BC,/ACB=90°,点。在BC上，BD=6,DC=2,点P是AB上的

动点，则PC+PD的最小值为（）

B.10C.12D.14

90°,ZADC=45°,ZD=1,CD=3,则BD的长为()

D.4

6.如图，OP=\,过点P作PPi_LOP,且PPi=l,得。Pi=、历；再过点Pi作PiP2,OPi

且P1P2=1,得。P2=W；又过点P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得。03=2......依此法继续作

下去，得。22018的值为（）

A.72016B.72017C.72018D.0019

7.如图,A、B两点在直线I的两侧，点A到直线I的距离AC=4,点B到直线I的距离BD=2,且

CD=6,P为直线CD上的动点，则|K4-Pa的最大值是（）

C.2MD.6

8.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，它

们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为

（）

A.北偏西15°B.南偏西75。

C.南偏东15°或北偏西15°D.南偏西15°或北偏东15°

9.如图，在AABC中，AB=13,BC=10,3C边上的中线AD=12,请试着判定

^ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.以上都不对

10.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.6,8,10B.5,12,13C.3,5,6□•垃，?，邪

二、填空题

11.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,点E为AD边上一点，连接BD、CE,CE

与BD交于点F,且CE〃AB,若NA=60。，AB=4,CE=3,则BC的长为.

ZABC=ZACB=ZADC=45°，则BD的长为

13.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAAi的直角边OA在x轴上，点Ai在

第一象限，且OA=1,以点为直角顶点，OAi为一直角边作等腰直角三角形OA1A2,再以

点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是

14.如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，B&是AABC的高，8加2是AABBi的高,

B2B3是A>46182的高，……Bn-iBn是AAB^B^的高，则B4B5的长是,猜想Bn-iBn的

长是.

15.如图，四边形ABDC中，ZABD=120°,AB_LAC,BD±CD,AB=4,CD=4。，则该

四边形的面积是.

16.在AABC中，AB=10cm,AC=17an,边上的高为8c根，则AABC的面积为

______cm2•

".RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,以AC为一边.在AABC外部作等腰直角三角形

ACD,则线段BD的长为.

18.在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=◎，过点C作直线/||AB,歹是/上的一

点，且AB=AF,则FC=.

19.如图,在MBCO中，AC与BD交于点O,且AB=3,BC=5.

①线段OA的取值范围是；

②若BD-AC=1,则AC»BD=.

20.如图，直线/上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为5和12,则b的面积为

21.如图，AABC和AEDC都是等边三角形，AD=yf7,BD=y/3,CD=2^：（1）AE

长；（2）/BDC的度数：（3）AC的长.

22.如图，在AABC中，＞48=30cm,BC=35cm,ZB=60°,有一动点M自4向B以1

cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M,N同时分别从A,B出

发.

⑴经过多少秒，△BMN为等边三角形；

（2）经过多少秒，ABM/V为直角三角形.

23.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，。点在边上运动（不与3,。重

合），点E在边A3的延长线上，点厂在边AC的延长线上，AD=DE=DF.

（1）若NAED=30。，则.

（2）求证：ABED必CDF.

（3）试说明点。在边上从点3至点。的运动过程中，（丽的周长/是否发生变

化？若不变，请求出/的值，若变，请求出/的取值范围.

24.如图，AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发，以每秒2cm

的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒(t>0).

(1)若点P在AC上，且满足%=PB时，求出此时t的值；

(2)若点P恰好在/BAC的角平分线上，求t的值；

(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，ABCP为等腰三角形.

25.已知AABC中，如果过项点3的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个

为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为AABC的关于点8的二分割线.例

如：如图1,HAA5c中，ZA=90°，ZC=20°.若过顶点3的一条直线5。交AC于

点、D,若ZDBC=20°,显然直线5。是AA5c的关于点8的二分割线.

(1)在图2的AABC中，NC=20°，/ABC=110°.请在图2中画出AABC关于点8

的二分割线，且/D6C角度是；

(2)已知NC=20°,在图3中画出不同于图1,图2的AABC,所画AABC同时满

足:①NC为最小角；②存在关于点8的二分割线.Nfi4c的度数是；

图3-

(3)已知/C=a,AABC同时满足：①/C为最小角；②存在关于点3的二分割

线.请求出NBAC的度数(用a表示).

26.(1)如图1,在RtAABC中，NACB=90。，ZA=60°,CD平分NACB.

求证：CA+AD^BC.

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作AADC关于直线CD的对称图形AA'DC,:CD平分NACB,A点落在C5上，且

CA'=CA,AD=AD.因此，要证的问题转化为只要证出4。=A'3即可.

请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

(2)参照(1)中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3,在四边形ABC。中，AC平分/54D,BC=CD=1Q,AC=17,AD=9,

求A3的长.

27.已知：如图，在AABC中，ZACB=90',以点8为圆心，的长为半径画弧，交

线段A3于点。，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC与点E.

(1)根据题意用尺规作图补全图形(保留作图痕迹)；

(2)设BC=加,AC="

①线段AD的长度是方程/+2g-〃2=o的一个根吗？并说明理由.

m

②若线段45=2EC,求一的值.

n

B

AC

28.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.

已知在平面内有两点片（和％）、乙。2,%），其两点间的距离

6港=J。］—々y+Gi—，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为国-或।%%L

（1）已知4（2,4）、5（-3,-8）,试求A、B两点间的距离.

已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4,点N的纵坐标为-1,试求M、N

两点的距离为;

（2）已知一个三角形各顶点坐标为。（1,6）、£（—3,3）、F（4,2）,你能判定此三角

形的形状吗?说明理由.

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P,使？。+件的长度最

短，求出点P的坐标及PD+?F的最短长度.

29.如图1,点E是正方形A6C。边CD上任意一点，以DE为边作正方形。EFG,连

接BF,点M是线段BF中点，射线EM与5c交于点“，连接CM.

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系.

（2）把图1中的正方形。EF6绕点。顺时针旋转45。，此时点/恰好落在线段上，

如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由.

（3）把图1中的正方形。EFG绕点。顺时针旋转90。，此时点E、G恰好分别落在线段

AD，CD上，连接CE,如图3,其他条件不变，若DG=2,46=6,直接写出CM

的长度.

30.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,A8=2,CO是边AB的高线，动点、E从点A

出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度

沿射线CB运动.设E的运动时间为t（s）（t>0）.

（1）AE=（用含t的代数式表示），/BCD的大小是度；

（2）点E在边AC上运动时，求证：ACDF；

（3）点E在边AC上运动时，求/EOF的度数；

（4）连结BE,当CE^AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

延长A3交KF于点。，延长AC交GM于点尸，可得四边形AOLP是正方形，然后求

出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得

解.

【详解】

解：如图，延长A3交KB于点。，延长AC交GM于点P,则四边形。4"是矩形.

^ZCBF=90°,

:.ZABC+ZOBF=90°,

又•一•直角AABC中，ZABC+ZACB=90°,

:.ZOBF=ZACB,

在AOBb和A4CB中，

ABAC=ZBOF

<ZACB=NOBF,

BC=BF

：.\OBF三AACB(A4S),

AC=OB,

同理：AACB=NPGC,

PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形AO"是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7,

所以，XL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此，矩形KLM/的面积为10x11=110,

故选B.

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键.

2.C

解析：C

【分析】

根据BD、CE分别是AC、AB边上的高，推导出NEBH=NDCH；再结合题意，可证明

AFAC^AAQB,由此可得NF=ZBAQ,AF=AQ.再经ZAEF=90］得

ZF+ZFAE=901;从而证明AFLAQ；最后由勾股定理得=人。？+。。2,从而得

到AFwAD,即可得到答案.

【详解】

如图，CE和BD相较于H

•；BD、CE分别是AC、AB边上的高

：.CE1AB,BD1AC

：.ZBEC=ZBDC=ZAEF=ZADQ=90-'

ZEBH+ZEHB=ZDHC+ZDCH=90]

•；ZEHB=ZDHC

：.ZEBH=ZDCH

又；BQ=AC且CF=AB

AFAC^AAQB

=ZBAQ,AF=AQ,故B、D结论正确;

ZAEF=90J

NF+ZFAE=90J

ZBAQ+ZFAE=NF+ZFAE=90>

，AFLAQ故A结论正确；

•；ZADQ=90'

Z.AQ1AD'+QD2

•/QD^O

：.AQ丰AD

：.AFAD

故选：c.

【点睛】

本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练

掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解.

3.C

解析：C

【分析】

做点F做交AD于点H,因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠

的性质可得BE=DE=9-AE,在向ZkABE中应用勾股定理求得AE和BE,同理在

Rt\BC'FRtAABE中应用勾股定理求得BF,在凡汩五”中应用勾股定理即可求得EF.

【详解】

过点F做交AD于点H.

四边形EFC'6是四边形EFCD沿EF折叠所得，

，ED=BE,CF=C'F,BC'=CD=3

VED=BE,DE=AD-AE=9-AE

BE=9-AE

:RtAABE,AB=3,BE=9-AE

(9-AE)2=32+AE2

；.AE=4

；.DE=5

C'F=BC-BF=9-BF

：.Rt\BC'F,BC'=3,C'F=9-BF

：.(9-BF^f+3-=BF2

；.BF=5,EH=1

VRt^EFH,HF=3,EH=1

EF=ylEH2+HF2=JF+F=710

故选：C.

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方

程解决问题.

4.B

解析：B

【分析】

过点C作COJ_AB于。，延长C。到C',使。C'=OC,连接。C',交AB于P,连接

CP,此时。P+CP=DP+PC'=DC的值最小.由OC=2,BD=6,得到BC=8,连接

BC',由对称性可知/C'BA=ZCBA=45°,于是得到/CBC'=90°,然后根据勾股定

理即可得到结论.

【详解】

解：过点C作COLAB于。，延长C。到U,使。U=OC,连接。U,交AB于P,连接

CP.

止匕时DP+CP=OP+PC'=DC'的值最小.

；DC=2,BD=6,

：.BC=8,

连接BC',由对称性可知/C'&4=NCBA=45°,

：.ZCBC'=90°,

：.BC'J_BC,ZBCC'=ZBC'C=45°,

BC=BC'=8,

根据勾股定理可得。U=^BC'~+BD^=^82-+62=10.

故选：B.

【点睛】

此题考查了轴对称-线路最短的问题，确定动点P为何位置时PC+PD的值最小是解题的

关键.

5.B

解析：B

【分析】

过点A作AE_LAD交CD于E,连接BE,利用SAS可证明aBAE经Z\CAD,利用全等的性质

证得NBED=90。，最后根据勾股定理即可求出BD.

【详解】

解：如图，过点A作AELAD交CD于E,连接BE.

VZDAE=90°,NADE=45°,

...NADE=NAED=45°,

.\AE=AD=1,

.••在RSDE中，DE=jF+]2=

VZDAE=ZBAC=90°,

ZDAE+ZEAC=ZBAC+ZEAC,即/CAD=/BAE,

又：AB=AC,

.♦.△BAE/△CAD(SAS),

，CD=BE=3,ZAEB=ZADC=45°,

.\ZBED=90°,

.•.在RtZiBED中，BD=y]BET+DE2=^32+(y/2j=jn.

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅

助线构造出全等三角形是解题的关键.

6.D

解析：D

【解析】

【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.

【详解】：OP=1,OPI=72

OP

OP2=V3，3=5/4=2,

OP4=75'

OP2018=V2019•

故选D

【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数

大1是解题的关键.

7.C

解析：C

【解析】

试题解析：作点8关于直线/的对称点5',连接A3'并延长，与直线/的交点即为使得

\PA-P引取最大值时对应的点P.

此时庐4_=户4—PB'\=AB'.

过点B'作B'E±AC于点E,如图,

四边形B'DCE为矩形，

B'E=CD=6,EC=B'D=BD=2.

:.AE=2.

AB'=^AE2+B'E2=2M

「4-P4的最大值为：2炳.

故答案为：

8.C

解析：c

【分析】

先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的

航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案.

【详解】

解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16X1.5=24海里，乙船航行的路程是12X1.5=18

海里；

242+182=576+324=900=302，

•••乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，

•••甲船的航行方向是北偏东75。，

，乙船的航行方向是南偏东15。或北偏西15。.

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定

理的逆定理是解题的关键.

9.C

解析：c

【分析】

利用勾股定理的逆定理可以推导出是直角三角形.再利用勾股定理求出AC,可得

出AB=AC,即可判断.

【详解】

解：由已知可得CD=BD=5,

H52+122=132

即m+m=■,

:是直角三角形,ZADB=90°,

:.ZADC=90°

.-.AZ)2+CD2^AC2

AC=y/52+122=13

AB=AC=13

故aABC是等腰三角形.

故选C

【点睛】

本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.

10.C

解析：c

【分析】

求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可.

【详解】

A、62+82=102,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B、52+122=132,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、32+52*62,此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D、⑹+⑹=(⑸,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满

足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

二、填空题

H.a

【分析】

连接AC交BD于点0,由题意可证AC垂直平分BD,AABD是等边三角形，可得NBA0=

ZDAO=30°,AB=AD=BD,BO=OD,通过证明AEDF是等边三角形，可得DE=EF=DF,

由勾股定理可求0C,BC的长.

【详解】

连接AC,交BD于点0,

VAB=AD,BC=DC,NA=60°,

；.AC垂直平分BD,AABD是等边三角形，

.\ZBAO=ZDAO=30°,AB=AD=BD=4,B0=0D=2,

；CE〃AB,

.•.ZBAO=ZACE=30°,ZCED=ZBAD=60",

.•.ZDAO=ZACE=30",

；.AE=CE=3,

.\DE=AD-AE=1,

VZCED=ZADB=60°,

AEDF是等边三角形，

・・・DE=EF=DF=1,

・・・CF=CE-EF=2,OF=OD-DF=L

.­.OC=VCF2-OF2=>/3>

BC=VOB2+OC2=5/7,

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关

键.

12.5

【分析】

作ADUAD,AD，=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BADg/XCAD—证得BD=CD-

/DAD，=90。，然后在RtAAD'D和RtACD'D应用勾股定理即可求解.

【详解】

作AD」AD,AD'=AD,连接CD，，DD',如图：

.\ZBAD=ZCAD,,

在ABAD与ACAD，中，

BA=CA

{ZBAD=ACAD',

AD=AD'

.".△BAD^ACAD1(SAS),

.•.BD=CD',ZDAD=90°,

由勾股定理得DD，=/4》+(理。)2=4,

VZDzDA+ZADC=90°,

由勾股定理得CD，=《DC?+(DDY=5,

BD=CD'=5

故答案为5.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造

等腰直角三角形是本题的关键.

13.(0,21009)

【解析】

【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点

的距离与旋转次数的对应关系.

【详解】VZOAAi=90°,OA=AAi=l,以OAi为直角边作等腰RtAOAiAz,再以OA2为直角边

作等腰RtAOA2A3,...,

I0A2018

.\OA=72,2=(VI)2，^^2018=(yjl)，

•「Ai、A2、…，每8个一循环，

72018=252x8+2

1009

点A2O18的在y轴正半轴上，OA2018=(万)=2，

故答案为(0,2】。。9).

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还

应该注意象限符号.

14走走

322n

【分析】

根据等边三角形性质得出ABi=CBi=L,Z^BiS=ZBBiC=90°,由勾股定理求出BBi=

2

后,求出AABC的面积是竟；求出=S，BCB=4，根据三角形的面积公式求出

24'11■1】8

走

qS

由勾股定理求出8瓦，根据S：阚+\AB2BX代入求出8283=

4@一2r

8384=5鹤=日,推出“？

16

【详解】

解：,:△ABC是等边三角形,

：.BA=AC,

'：BBi是△ABC的高,

：.ABi=CB!=—,Z^BiB=ZBBiC=90°,

2一

由勾股定理得：BB尸/_（孑=f；

,△ABC的面积是］XIX"=走；

224

,•S[ABB]

248

/T1

:.7,=±X1X8182,

82

B1B2

4

由勾股定理得：BB2=3

4

=

丁S\ABBI+^\AB2Bl，

.J31311

・・=XX+-XX之四，

824422

BB=—，

238

RR—小

D3D4—

16

cc73

B4B5—

32

Bn-iBn—.

2n

故答案为：走，3.

322n

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据

计算结果得出规律.

15.1673.

【分析】

延长C4、DB交于点E,则/C=60°,ZE=30°,在向AABE中，利用含30A角的直

角三角形的性质求出3E=2AB=8,根据勾股定理求出AE=4有.同理，在HADEC中

22

求出CE=2CD=8。,DE=­JCE-CD=12然后根据S四边形ABDC=SACDE-，计算

即可求解.

【详解】

解：如图，延长C4、DB交于点、E,

•.,四边形A50C中，ZABD=120°,AB±AC,BD±CD,

：."=60°,

：.ZE=3Q°,

在及AABE中，11人3=4,NE=30。,

BE=2AB=8,

AE=<B£2-AB2=473•

在RfADEC中,“N£=30。，CD=46,

:.CE=2CD=8*，

DE=>jCE2-CD2=12>

=2x4x4-73=8-73,

=X

^ACDE24褥x12=24",

一S四边形ABDC=S&CDE-SMBE=24、'3-8>/3=16^3.

故答案为：16JT.

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30n角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造

直角三角形是解题的关键.

16.36或84

【分析】

过点A作AOLBC于点D,利用勾股定理列式求出B。、CD,再分点。在边BC上和在CB的

延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】

解：过点A作ADLBC于点。，

边上的高为8cm,

AD=8cm,

VAC=17cm,

由勾股定理得：

BD=7AB2-AD2=V102-82=6cm，

CD=VAC2-AD2=7172-82=15cm,

如图1,点。在边8c上时，

BC=BD+CD=6+15=21cm,

^BC\AD=-X21x8=84cm2,

△ABC的面积=

Tr2

如图2,点。在CB的延长线上时,

BC=CD-BD=15-6=9cm,

AABC的面积=；|6C|Ar>=:x9x8=36cm2,

综上所述，AABC的面积为36cm2或84cm2,

故答案为：36或84.

【点睛】

本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨

论.

17.4或或而■

【分析】

分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形。AC；②以C为直角顶点，

向外作等腰直角三角形A8;③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC.分别画图，并

求出BD.

【详解】

①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC,如图1.

'：ZDAC=90°,JIAD=AC,

：.BD=BA+AD=2+2=4-

②以C为直角顶点，向外作等腰宜角三角形ACD,如图2.

连接BD,过点。作DELBC,交BC的延长线于E.

；△ABC是等腰直角三角形，ZACD=90°,

：.ZDCE=45°.

又,:DELCE,

：.ZDEC=90°,

：.ZCDE=^5°,

：.CE=DE=2x—^yj2.

在Rt^BAC中，22=2/，•••BD=J*+DE?=J(2虎+&+(&=

BC=A/2+2

2导

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形AOC,如图3.

VZADC=90°,AD=DC,且AC=2,

：.AD=DC=ACs\n450=2x—=.

2-

又•.•△ABC、△AOC是等腰直角三角形，

ZACB=ZACD=45°,

：.ZBCD=90°.

又：在Rt^ABC中，22=272-

BC=X/2+2

故BD的长等于4或275或＜T0.

故答案为4或2好或国.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题,

18.JT+1或JT—1

【解析】

如图，/||AB,AC=JI，作AD_L/于点。，

/.AZ)=1,

AF=AB=>/2-y/2=2>且歹有2个，

；•DF[=DF2="―俨=73，

•；DC=AD=1,

：.CF}=CD+DF1=1+^/3,

CF2=DF,-CD=y/3-l.

点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利

用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力.

cx-x67

19.①1<OA<4.0—•

【解析】

(1)由三角形边的性质

5-3<2(9A<5+3,

1<OA<4.

⑵过A作Ab，BC于歹,过。作DEL于E,可知，「一ABF全等秒CE,

由题意知，BD2=DE2+(BC+CE^=DE2+(4+CE)2,

AC2=DE2+(BC-CE)2=DE2+(5-CE)2,

AC2+BD2

=DE2+(4+CE)2+2+(5-CE)2=2(DE2+CE2)+50=18+50=68,

■■BD-AC=1,两边平方.BD2-2AC・BD=1,

67

，AC»BD=——.

2

20.169

【解析】

解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD,N48=90。；

•••ZACB+NDCE=NACB+NBAC=90",即

ZBAC=ZDCE,ZABC=NCED=90°,AC=CD，二△ACB^△DCE,：.AB=CE,BC=DE；

2222222

在RtAABC中，由勾股定理得：AC=AB+BC=AB+DE,即Sb=Sa+Sc=5+12=169.

点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解

能力要比较强.

三、解答题

21.(1)(2)150°；(3)713

【分析】

(1)根据等边三角形的性质可利用SAS证明△BCD之再根据全等三角形的性质即

得结果；

(2)在△ADE中，根据勾股定理的逆定理可得NAED=90。，进而可求出NAEC的度数，再

根据全等三角形的性质即得答案；

(3)过C作CPLDE于点P,设AC与DE交于G,如图，根据等边三角形的性质和勾股定

理可得PE与CP的长，进而可得AE=CP,然后即可根据AAS证明△AEG附△CPG,于是可

得AG=CG,PG=EG,根据勾股定理可求出AG的长，进一步即可求出结果.

【详解】

解：(1);△ABC和都是等边三角形，

：.BC=AC,CD=CE=DE=2,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BC。与AACE中，

"：BC=AC,ZBCD=ZACE,CD=CE,

.♦.△BCD义AACE,

:.AE=BD=G

(2)在△ADE中，AD=yj7,AE=j3,DE=2,

2

：.DE2+AE2=2+⑹=Sj=八。2,

ZAED=90°,

VZDEC=60°,

ZAEC=150°,

■:ABCDmAACE,

：.ZBDC=ZAEC=150°；

(3)过C作CP_LDE于点P,设47与DE交于G,如图，

VACDE是等边三角形，

：.PE=^DE=1,CP=疔—F=节,

：.AE=CPf

在△ZEG与ACPG中，

VZAEG=ZCPG=90°fNAGE=/CGP,AE=CP,

：.△ZEGgZXCPG,

1

.\AG=CG,PG=EG=—,

2

・•.AG=VAE2+EG2=Jaj+Qj=二，

：.AC^2AG=■

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，

熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

22.(1)出发10s后，△B/WN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形.

【分析】

(1)设时间为X,表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x,根据等边三角形的判定列出方程，解

之可得；

(2)分两种情况：①/BNM=90。时，即可知/BMN=30。，依据BN=■BM列方程求解可

2

得；②/BMN=90。时，知NBNM=30。，依据BM=LBN列方程求解可得.

2

【详解】

解(1)设经过x秒，ABIVIN为等边三角形,

则AMx,BN=2x,

・・・BM=AB—AM=30—x,

根据题意得30—x=2x,

解得x=10,

答：经过10秒，ABMN为等边三角形;

(2)经过X秒，ABMN是直角三角形，

①当NBNM=90。时，

VZB=60°,

.\ZBMN=30°,

.•.BN=1BM,即2X=L(30—X),

22

解得x=6；

②当/BMN=90。时，

VZB=60°,

・・・NBNM=30°,

1口1

/.BM=—BN,即30—x=—x2x,

22

解得x=15,

答：经过6秒或15秒，ABIVIN是直角三角形.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.

23.(1)90。；(2)证明见解析；(3)变化，2+JJ〈/<4.

【分析】

(1)由等边三角形的性质可得/ABC=/ACB=60。，由等腰三角形的性质可求

DAE=NDEA=30。，由三角形内角和定理可求解；

(2)根据等腰三角形的性质，可证得NCDF=/DEA和/EDB=NDFA,由此可利用"ASA”证

明全等；

(3)根据全等三角形的性质可得/=2+AD,根据AD的取值范围即可得出/的取值范围.

【详解】

解：(1):/XABC是等边三角形，

；.AB=AC=BC=2,NABC=NACB=60°,

VAD=DE

/.ZDAE=ZDEA=30°,

ZADB=180°-ZBAD-ZABD=90",

故答案为：90°；

(2)VAD=DE=DF,

.\ZDAE=ZDEA,ZDAF=ZDFA,

VZDAE+ZDAF=ZBAC=60",

；./DEA+/DFA=60°,

ZABC=ZDEA+ZEDB=60°,

.\ZEDB=ZDFA,

；ZACB=ZDFA+ZCDF=60°,

.\ZCDF=ZDEA,

在"DE和ACFD中

ZCDF=ZDEA

DE=DF,

ZEDB=ZDFA

.".△BDE^ACFD(ASA)

(3)VABDE^ACFD,

；.BE=CD,

/=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD,

当D点在C或B点时，

AD=AC=AB=2,

此时B、D、E三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；

当D点在BC的中点时，

VAB=AC,

.,.BD=1BC=I,ADNAB2-BD?=5

止匕时/=2+4。=2+、回

综上可知2+JT〈/<4.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，

三角形内角和定理.(1)掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；(2)中注意角

之间的转换；(3)中注意临界点是否可取.

25Q]5319

24.(1)—；(2)t=-或6；(3)当/=—,5,—或一时，ABCP为等腰三角形.

1632104

【分析】

(1)设存在点P,使得R4=PB,此时K4=P6=2f,PC=4—2,根据勾股定理列

方程即可得到结论；

(2)当点P在NC4B的平分线上时，如图1,过点P作于点E,此时

BP=7-2t,PE=PC=2t—4,5E=5-4=1,根据勾股定理列方程即可得到结论；

(3)在中，根据勾股定理得到AC=4cm,根据题意得：AP=2t,当P在AC

上时，为等腰三角形，得到PC=BC,即4—2,=3,求得/=；,当P在AB上

时，|产叱为等腰三角形，若CP=PB,点P在BC的垂直平分线上，如图2,过P作

19

PEL6c于E,求得f=—,若PB=BC,即》—3—4=3,解得f=5,

4

③PC=BC,如图3,过。乍3_1/由于F,由射影定理得；BC?=BF•AB，列方程

2/_3_4

32=-------x5,即可得到结论.

2

【详解】

解：在中，"AB=5Cm，BC=3cm,

AC=4cm,

(1)设存在点P,使得R4=P5,

此时PA=P6=2f,PC=4-2t,

在Rt俨CB中,PC2+CB2^PB2,

即：(4—2厅+3?=(2/)2,

25

解得：

16

25工

..当r^=时，PA=PB；

16

(2)当点P在/及1C的平分线上时，如图1,过点P作于点E,

-B

图1

此时BP=7—2f,PE=PC=2t-4,BE=5—4=1,

在Rt,BEP中,PE12+BE2=BP2>

即：(2?-4)2+l2=(7-2z)2,

Q

解得：f=

当t=6时，点P与A重合，也符合条件，

Q

.•.当t=一或6时，p在AABC的角平分线上；

3

(3)根据题意得：AP=2t,

当p在AC上时，为等腰三角形，

PC=BC,即4—2/=3,

1

2

当P在AB上时，,叱为等腰三角形，

①CP=PB,点P在BC的垂直平分线上，

如图2,过P作于E,

1519

：.PB=-AB,即2/—3—4=—，解得：t=—,

224

②PB=BC,即力―3—4=3,

解得：f=5,

③PC=BC,如图3,过于F,

B

图3

■,BF=-BP,

2

MZACB=90°,

由射影定理得；BC?=BF-AB，

即32=2211x5,

2

53

W：t=—,

・..当t=15,'或口时，尸为等腰三角形.

2104fl

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中.利用分类讨论的思想是解(3)

题的关键.

25.(1)作图见解析，ZDBC=20°；(2)作图见解析，ZBAC=35°；(3)NA=45。

或90°或90°—2a或45°—2a,或a=45°时45°</BAC<90°.

2

【分析】

(1)根据二分割线的定义，只要把/ABC分成90。角和20。角即可；

(2)可以画出NA=35。的三角形；

(3)设B。为AABC的二分割线，分以下两种情况.第一种情况：ABDC是等腰三角形，

△ABD是直角三角形；第二种情况：ABDC是直角三角形，AAB。是等腰三角形分别利用直

角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.

【详解】

解：(1)AABC关于点8的二分割线B。如图4所示，/DBC=20。；

故答案为：20°；

A

（2）如图所示：ZBAC=35"；

D

9C

B

（3）设B。为△ABC的二分割线，分以下两种情况.

第一种情况：△BDC是等腰三角形，△AB。是直角三角形，易知/C和/DBC必为底角,

：.ZDBC=ZC=U.

当/A=90°时，△ABC存在二分分割线；

当NABD=90。时，TXABC存在二分分割线，此时/4=90。-2（1；

当/4。8=90。时，ZXABC存在二分割线，止匕时a=45。且45。</人<90。；

第二种情况：△BDC是直角三角形，aAB。是等腰三角形，

当/DBC=90°时，若BO=A。，则△ABC存在二分割线，止匕时

1800-90°-a1

ZA=--------=45°--a；

22

当N8DC=90。时，若BD=AD,则AABC存在二分割线，此时N4=45。，

综上，NA=45。或90。或90。-2a或45°—1a,或a=45。时，45°<ZBAC<90°.

2

【点睛】

本题考查的是二分割