高考数学《斜率和积问题与定点定值问题 》专项练习-带答案

第第页高考数学《斜率和积问题与定点定值问题》专项练习-带答案一．解答题（共34小题）1．（2021•西陵区校级月考）已知椭圆经过点的四个顶点构成的四边形面积为．（1）求椭圆的方程（2）为椭圆上的两个动点是否存在这样的直线使其满足：①直线的斜率与直线的斜率互为相反数②线段的中点在直线上若存在求出直线和的方程若不存在请说明理由．【解答】解：（1）由已知得解得椭圆的方程．（2）设直线的方程为代入得．设且是方程的根用代替上式中的可得故中点横坐标为解得直线的方程分别为或．2．（2021•盐湖区校级月考）已知椭圆过点且离心率为（1）求椭圆的方程（2）是椭圆上的两个动点如果直线的斜率与的斜率互为相反数证明直线的斜率为定值并求出这个定值．【解答】解（1）根据题意解得椭圆的方程为：（2）证明：设直线的方程为：由得由题直线的方程为直线的斜率为定值且这个定值为．3．（2021•汉阳区校级期末）已知椭圆经过点且两个焦点的坐标依次为和．（1）求椭圆的标准方程（2）设是椭圆上的两个动点为坐标原点直线的斜率为直线的斜率为求当为何值时直线与以原点为圆心的定圆相切并写出此定圆的标准方程【解答】解：（1）由椭圆定义得即又所以得椭圆的标准方程为（2）当直线的斜率存在时设直线的方程为直线的方程与椭圆方程联立消去得当判别式△时得设因为点在直线上得整理得即化简得原点到直线的距离则由已知有是定值所以有解得即当时直线与以原点为圆心的定圆相切验证知当直线的斜率不存在时也成立此时定圆的标准方程为4．（2021•杨浦区校级期末）已知椭圆四点中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程：（2）椭圆上是否存在不同的两点关于直线对称？若存在请求出直线的方程若不存在请说明理由（3）设直线不经过点且与相交于两点若直线与直线的斜率的和为1求证：过定点．【解答】解：（1）结合椭圆几何特征可得在椭圆上即有满足椭圆方程即解得可得椭圆方程为（2）设直线为线段中点为根据椭圆中点弦性质即联立解得中点代入可得（3）证明：当直线的斜率不存在时设直线与直线的斜率的和为解得此时过椭圆右顶点不存在两个交点故不满足若直线的斜率存在设联立椭圆可得设则直线即则直线经过定点．5．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线为直线上的动点过作的两条切线切点分别为．（1）证明：直线过定点（2）若以为圆心的圆与直线相切且切点为线段的中点求四边形的面积．【解答】解：（1）证明：的导数为设切点即有切线的方程为即为切线的方程为联立两切线方程可得可得即直线的方程为即为可化为可得恒过定点（2）法一：设直线的方程为由（1）可得中点由为切点可得到直线的距离即为可得解得或即有直线的方程为或由可得四边形的面积为由可得此时到直线的距离为到直线的距离为则四边形的面积为法二：（2）由（1）得直线的方程为．由可得．于是．设分别为点到直线的距离则．因此四边形的面积．设为线段的中点则．由于而与向量平行所以．解得或．当时当时．综上四边形的面积为3或．6．（2013秋•临川区校级月考）在平面直角坐标系中如图已知椭圆的左右顶点为右焦点为设过点的直线与此椭圆分别交于点其中（1）设动点满足求点的轨迹方程（2）设求点的坐标（3）若点在点的轨迹上运动问直线是否经过轴上的一定点若是求出定点的坐标若不是说明理由．【解答】解：（1）由椭圆可得：．．设则．满足化简得故的轨迹方程为（2）由及得则点从而直线的方程为同理可以求得直线的方程为联立两方程可解得点的坐标为．（3）假设直线过定点由在点的轨迹上直线的方程为直线的方程为点满足得又解得从而得．同理：．直线的方程：令解得．直线经过定点．7．（2010•江苏）在平面直角坐标系中如图已知椭圆的左右顶点为右焦点为．设过点的直线与椭圆分别交于点其中．（1）设动点满足求点的轨迹（2）设求点的坐标（3）设求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．【解答】解：（1）设点则：．由得化简得．故所求点的轨迹为直线．（2）将分别代入椭圆方程以及得直线方程为：即直线方程为：即．联立方程组解得：所以点的坐标为．（3）点的坐标为直线方程为：即直线方程为：即．分别与椭圆联立方程组同时考虑到解得：．（方法一）当时直线方程为：令可得即为令解得：．此时必过点当时直线方程为：与轴交点为．所以直线必过轴上的一定点．（方法二）若则由及得此时直线的方程为过点．若则直线的斜率直线的斜率得所以直线过点．因此直线必过轴上的点．8．（2021•西安一模）设椭圆的右焦点为过的直线与交于两点点的坐标为．（1）当与轴垂直时求直线的方程（2）设为坐标原点直线不与轴重合求的值．【解答】解：（1）由已知得的方程为由已知可得点的坐标为或．所以的方程为或（2）当与轴重合时当与轴不重合也不垂直时设的方程为当直线的斜率之和为由得将代入得所以．则从而故的倾斜角互补所以所以．9．（2021春•湖北期中）如图椭圆的离心率是过点的动直线与椭圆相交于两点当直线平行于轴时直线被椭圆截得的线段长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）设为坐标原点是否存在常数使得为定值？若存在求的值若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率是过点的动直线与椭圆相交于两点解得椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线的斜率存在时设直线的方程为联立得△从而当时此时为定值．当直线的斜率不存在时直线即为直线此时．故存在常数使得为定值．10．（2021春•湛江校级月考）如图椭圆经过点离心率直线的方程为．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）是经过的任一弦（不经过点设直线与直线相交于点记的斜率分别为．问：是否存在常数使得十？若存在求的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆经过点又椭圆的方程为：（Ⅱ）结论：存在常数使得十．理由如下：①当斜率存在时不妨设为联立直线与椭圆方程消去整理得：设则十令则从而则十对比可知②当斜率不存在时不妨设则十当时也成立综上所述存在常数使得十．11．（2013•江西）如图椭圆经过点离心率直线的方程为．（1）求椭圆的方程（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点设直线与直线相交于点记的斜率分别为．问：是否存在常数使得？若存在求的值若不存在说明理由．【解答】解：（1）椭圆经过点可得①由离心率得即则②代入①解得故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设的斜率为则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设④在方程③中令得的坐标为从而注意到共线则有即有所以⑤④代入⑤得又所以故存在常数符合题意方法二：设则直线的方程为令求得从而直线的斜率为联立得则直线的斜率直线的斜率为所以故存在常数符合题意12．（2021•新课标Ⅰ）已知分别为椭圆的左右顶点为的上顶点．为直线上的动点与的另一交点为与的另一交点为．（1）求的方程（2）证明：直线过定点．【解答】解：如图所示：（1）由题意解得：故椭圆的方程是（2）由（1）知设则直线的方程是联立由韦达定理代入直线的方程为得：即直线的方程是联立方程由韦达定理代入直线的方程为得即则①当即时有此时即为直线②当时直线的斜率直线的方程是整理得：直线过定点．综合①②故直线过定点．13．（2021•怀化一模）如图已知点是轴左侧（不含轴）一点点为抛物线的焦点且抛物线上存在不同的两点．（1）若中点为且满足的中点均在上证明：垂直于轴（2）若点在该抛物线上且位于轴的两侧为坐标原点）且与的面积分别为和求最小值．【解答】解：（1）证明：设因为直线的中点在抛物线上所以为方程的两个根即的两个不同的实数根所以所以垂直于轴．（2）根据题意可得设则所以则或因为位于轴的两侧所以设直线的方程为联立得所以则所以直线过定点所以当且仅当即时取等号故的最小值为6．14．（2021•丽水月考）已知椭圆的离心率是椭圆的左右焦点过且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点若以为直径的椭圆经过右焦点求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为．由已知解得：所以椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）由题意直线不能是轴设联立可得则因为以为直径的圆经过右焦点所以．即解得直线方程为：或．15．已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点是坐标原点则的充要条件是．（1）试根据上述定理写出直线与圆相交于坐标原点为且的充要条件并求的值（2）若椭圆与直线相交两点而且试判断直线与圆的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）由定理可知的充要条件为：即．（2）椭圆与直线相交两点即．圆的半径为又圆心到直线的距离为直线与圆相切．16．若直线与圆相交于两点并且求实数的值．【解答】解：设．联立化为．△．．．解得．满足．．17．（2021•朝阳区校级月考）在直角坐标系中曲线与直线交于两点．（1）当时分别求在点和处的切线方程（2）轴上是否存在点使得当变动时总有？说明理由．【解答】解：（1）联立可得或．故在处的导数值为在处的切线方程为即．故在处的导数值为在处的切线方程为即．故所求切线方程为或．（2）存在符合题意的点证明如下：设为符合题意的点直线的斜率分别为．将代入得方程整理得．．．当时有则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补故所以符合题意．18．（2013秋•普宁市校级月考）已知动圆过定点且在轴上截得的弦的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹的方程（2）若轨迹与圆相交于四个点求的取值范围（3）已知点设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点若轴是的角平分线证明直线过定点．【解答】解：（1）设圆心过点作轴垂足为则化为（2）联立得．轨迹与圆相交于四个点解得（3）设由题意可知．轴是的角平分线化为．直线的方程为化为化为令则直线过定点．19．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程（Ⅱ）已知点设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点若轴是的角平分线证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心则即：即动圆圆心的轨迹方程为：（Ⅱ）设两点设不垂直于轴的直线：则有：所以：因为轴是的角平分线所以：即：即：则：所以：所以直线过定点．20．（2021•平顶山一模）已知动圆过定点且在轴上截得的弦的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹的方程（2）已知点长为的线段的两端点在轨迹上滑动．当轴是的角平分线时求直线的方程．【解答】解：（1）设圆心线段的中点为则由圆的性质得：即．（2）设由题意可知．（ⅰ）当与轴不垂直时由轴平分得．设直线代入的方程得：．即．由于因此直线的方程为．（ⅱ）当与轴垂直时可得直线的方程为．综上直线的方程为或．21．已知椭圆离心率过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点且点分有向线段所成的比为3．（1）求该椭圆方程（2）为椭圆上两动点满足探求是否为定值并说明理由．【解答】解：（1）椭圆离心率过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点直线的方程为联立得设则点分有向线段所成的比为3解得椭圆方程为．（2）设直线为：联立得设则原点到直线的距离当的斜率不存在时仍然满足上述关系综上为定值．22．（2014•江西一模）如图是离心率为的椭圆的左右焦点直线将线段分成两段其长度之比为．设是上的两个动点线段的中点在直线上线段的中垂线与交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）是否存在点使以为直径的圆经过点若存在求出点坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设直线将线段分成两段其长度之比为解得．离心率为椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线垂直于轴时直线的方程为此时不合题意．当直线不垂直于轴时设存在点设直线的斜率为由得则故此时直线的斜率为的直线方程为即．联立消去整理得．由题意．在椭圆内符合条件．综上所述存在两点符合条件坐标为和．23．（2021•沈阳一模）设为坐标原点动点在椭圆上过作轴的垂线垂足为点满足．（Ⅰ）求点的轨迹方程（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：设则又由在椭圆上得即（Ⅱ）证明：当与轴重合时．当与轴垂直时．当与轴不垂直也不重合时可设的方程为此时设把直线与曲线联立得可得△．．把直线与曲线联立同理可得．为定值．24．（2021春•凉山州期末）为坐标原点动点在椭圆上过作轴的垂线垂足为点满足．（1）求点的轨迹方程（2）设点在直线上且直线过点且垂直于求证：直线过定点．【解答】解：（1）设则由得：因为点在椭圆上所以即点的轨迹方程：（2）由题意设则由得：由已知得直线的方程：所以直线恒过定点．25．（2021•武汉月考）设为坐标原点动点在椭圆上过点作轴的垂线垂足为点满足（1）求点的轨迹方程（2）设在轴上是否存在一定点使总成立？若存在求出点坐标若不存在说明理由．【解答】解：（1）设点坐标为则①由知即代入①得即点的轨迹方程．（2）假设存在点设由得即又点的轨迹方程为故解得．存在点满足条件．26．（2021•武昌区校级期末）设点为坐标原点动点在椭圆上过点作轴的垂线垂足为点满足．（1）求点的轨迹方程（2）设点在直线上且过点作直线使得．证明：直线过定点（记为点并求出该点的坐标当两点在直线同侧时求四边形的面积的取值范围．【解答】解：（1）设则点满足可得即有即可得即的轨迹方程为（2）证明：设由可得可得直线即为可得即为由即则直线恒过定点设设则可得由可得四边形的面积为：由由可得即有由在递减可得的最小值为则四边形的面积的取值范围为．27．（2021•巨鹿县校级期中）设为曲线：上两点与的横坐标之和为4．（1）求直线的斜率（2）设为曲线上一点在处的切线与直线平行且求直线的方程．【解答】解：（1）设为曲线上两点则直线的斜率为（2）设直线的方程为代入曲线可得即有再由的导数为设可得处切线的斜率为由在处的切线与直线平行可得解得即由可得即为化为即为解得．则直线的方程为．28．（2021•定远县三模）在平面直角坐标系xOy中已知椭圆如图所示斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点AB线段AB的中点为E射线OE交椭圆C于点G交直线x＝﹣3于点D（﹣3m）．（1）求m2+k2的最小值（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|求证：直线l过定点．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0）由题意t＞0由方程组得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0由题意Δ＞0所以3k2+1＞t2设A（x1y1）B（x2y2）由根与系数的关系得所以由于E为线段AB的中点因此此时所以OE所在直线的方程为又由题意知D（﹣3m）令x＝﹣3得即mk＝1所以m2+k2≥2mk＝2当且仅当m＝k＝1时上式等号成立此时由Δ＞0得0＜t＜2因此当m＝k＝1且0＜t＜2时m2+k2取最小值2．（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程并由k＞0解得又由距离公式及t＞0得由|OG|2＝|OD|•|OE|得t＝k因此直线l的方程为y＝k（x+1）所以直线l恒过定点（﹣10）．29．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点过点的直线交于另一点交轴的正半轴于点且有当点的横坐标为3时为正三角形．（1）求的方程（2）若直线平行且和有且只有一个公共点证明直线恒过定点求的面积最小值．【解答】解：（1）当点的横坐标为3时过点作轴于．为正三角形．又．的方程为．当在焦点的左侧时又为正三角形解得的方程为．此时点在轴负半轴不成立舍．的方程为．（2）证明：设．由直线可设直线方程为联立方程消去得①由和有且只有一个公共点得△这时方程①的解为代入得．点的坐标可化为直线方程为即直线过定点直线的方程为即．联立方程消去得点的坐标为点到直线的距离为：的面积当且仅当时等号成立的面积最小值为16．30．（2021春•合肥期末）已知椭圆经过点且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）已知点是椭圆上位于第三象限的动点直线分别将轴轴于点求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为得．又椭圆经过点解得椭圆的方程为．（Ⅱ）设点．由（Ⅰ）知直线的方程为．令得．直线的方程为．令得．是一个确定的定值．31．（2021•黄浦区校级月考）已知抛物线关于轴对称且经过点（1）求抛