2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.（2分）下列标志是亚运会会徽，其中会徽标志是中心对称图形的为（）

A.xi=x2=0B.XI=X2=2

C.x\=2,X2=OD.xi=-2,X2=O

3.（2分）抛物线产（x+2）2-1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,-1）C.（-2,1）D.（2,-1）

4.（2分）若关于x的一元二次方程/+4x+a=0有两个相等实数根，则a的值是（）

A.4B.-4C.-2D.2

5.（2分）如图，04是。。半径，8为。4上一点（且不与点O,A重合），过点8作。4

的垂线交于点C,以OB,8c为边作矩形O8C。，连接80.若BD=5,BC=4,则

6.（2分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40/〃，宽为22:“.停车场内车

道的宽都相等，若停车位的占地面积为520«?.求车道的宽度（单位：机）.设停车场内车

道的宽度为根据题意所列方程为（）

40米

A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520

C.(40-x)(22-2x)=520D.(40-x)(22+x)=520

二、填空题(每小题3分，共24分)

7.(3分)若一元二次方程/+尤-6加=0的一个解是x=3,则1013m-2的值为.

8.(3分)如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩

的点为(填C,D,E,尸中的一个字母).

9.(3分)如图，。。的内接四边形ABC。，£为CO延长线上一点，若,则N

10.(3分)如图，正比例函数y=x与反比例函数y=K(x>0)在第一象限内的交点为产，

交y轴于点A,若△POA的面积为4,则上的值是.

11.(3分)如图，抛物线y=ox2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD

〃尤轴，与抛物线交于点。，若。4=2,AB=4,则线段CO的长为

。木JBX

12.（3分）如图，在△ABC中，以点8为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB,BC边

于点P,Q,再分别以点P,。为圆心，以大于/pQ为半径画弧，两弧交于点M,连接

交AC于点E,过点E作ED〃BC交于点。，若AB=6,AE=3,则△AOE的周

长为.

A

B~Wc

13.（3分）如图，TXABC中，ZBAC=65°,在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED

的位置，若。C〃AB,则旋转角NDAC度数为

E

AB

14.（3分）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺

术价值.如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得/B4C=120°,AB=45cm,BD=30cm,

则由线段8D,弧。E,线段EC,弧CB围成扇面的面积是（结果保留

TI）.

A

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）解方程：/-4x+3=2.

16.（5分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”

“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同.先洗匀卡片，再正

面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果.

（1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率

为;

（2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰

好组成“喜迎”或“亚运”的概率.

0(300

17.（5分）目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2

万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增

长率.

18.（5分）已知二次函数-2x-3,当-2WxW5时，求函数y的取值范围.

晨晨同学的解答如下：

解：当x=-2时，贝Iy=（-2）2-2X（-2）-3=5；

当x=5时，贝I]>=52-2X5-3=12；

所以函数y的取值范围为5WyW12.

你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.（7分）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时,

收集的以下试验结果：

试验的种子数⑺50010001500200030004000

发芽的种子粒数（相）4719461425189828533812

发芽频率（旦）0.9420.946X0.949y0.953

m

（1）求表中无，y的值；

（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；

（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子

进行发芽培育.

20.(7分)如图，等边三角形ABC内一点。，将线段AD绕点A逆时针旋转60。，得到线

段AE,连接C。，BE,DE.

(1)请判断△ADE的形状，并写出判断的依据，

(2)若NAOC=105°,求/BED的度数.

21.(7分)图①，图②，图③均是5X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点

A,点2均在格点上.在图①，图②，图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求

画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.

।-----------r—T-1----------1-----------1।---------r—T—7—~1------------1।----------r—T—i-----------1----------1

।।।।।।।।।।।।।।।।।।

।।।।।।।।।।।।।।।।।।

r—r—-r—1—-1------------1।---------r—r—t—r-----------1

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1•A।।।।......................................................................................11Ali।।

»-------------------•--------»------------•----------1।----------«---------+--------T--------T------------1H------b--------•-------T-----------1----------1

IIIIIIIIIIII||||||

IIIIIIIIIIII||||||

IIIIIIDIIIIII।।।।।i"

iIIIIIIIIIII।।।।।।

I----------L__X__4----------1-----------1I---------L__1_-J-----------1------------1I_______L-_1__J_______I______I

（图①）（图②）（图③）

(1)在图①中画一个△A8C,使得/CAB=/CBA=45°；

(2)在图②中画一个△AB。，使得/QAB+NQBA=90。(/D4BWNDBA)；

(3)在图③中画一个△ABE,使得NEA8+NEA4=45°.

22.(7分)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流/G4)是电阻R(。)的反比例函数,

其图象如图所示.

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)若一个用电器通过的电流超过12A,这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使

用，它的可变电阻应控制在什么范围？

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.（8分）如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图，企业经历了从投

入到盈利过程，如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润5（亿元）与销

售时间t（年）之间的关系（即前r（年）的利润总和S与f之间的关系）.请根据图象提

供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润S（亿元）与时间r（年）之间的函数关系式；

（2）求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元；

（3）求第8年企业所获利润.

（图①）（图②）

24.（8分）如图，A8是。。的弦，OPLOA交A8于点P,过点8的切线交OP于点C.

（1）求证：△P2C是等腰三角形；

（2）若OO的半径为索，0P=2,求的长.

六、解答题（每小题10分，共20分）

25.（10分）如图1,矩形ABC。纸片，AB=4cm,BC=3cm,动点P,。分别从点A同时

出发，均以lon/s的速度，点尸沿A3-3C方向，到终点C停止运动：点。沿A。-OC

方向，到终点C停止运动，连接P。，将矩形ABC。在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠

得到如图2,设点尸运动的时间为无（s）,重叠部分图形的面积为y（。后）.

（1）当点A落到CD边上时，求尤的值；

（2）求y与x的函数关系式，并写出尤的取值范围；

（3）当x>3时，若△ACD以C。为腰的等腰三角形，直接写出x的值.

（图1）（图2）

26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2/+bx+c经过点A（-1,2）,B（0,

-4）,点C,D,E,歹在抛物线上，其横坐标分别为加，根+1,优+2,m+3（加2-1）,

连接AC,AD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点尸的坐标；

（3）当NCA。的边与y轴垂直时，求点E与点尸的纵坐标；

（4）设yi=y『-yc,y2=yE-yD,y3=yF-yE,探索yi,yi,*之间的关系，请直接写

出结论.

yjk

c

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.（2分）下列标志是亚运会会徽，其中会徽标志是中心对称图形的为（）

【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。

后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合,

所以是中心对称图形.

故选：C.

2.（2分）一元二次方程x（无+2）=0的解是（）

A.xi=x2=0B.XI=%2=2

C.xi—2,X2—0D.xi—-2,X2—0

【解答】解：X(X+2)=0,

x=0或x+2=0,

所以X1=O,X2=-2.

故选：D.

3.(2分)抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【解答】解：:.尸（x+2）2-1是抛物线的顶点式,

抛物线的顶点坐标为（-2,-1）.

故选：B.

4.（2分）若关于x的一元二次方程/+4x+a=0有两个相等实数根，则。的值是（）

A.4B.-4C.-2D.2

【解答】解：:•方程？+4尤+°=0有两个相等实数根，

A=16-4"=0,

.*.(2=4,

故选：A.

5.（2分）如图，是。0半径，8为。4上一点（且不与点O,A重合），过点8作。4

的垂线交。0于点C以。5,BC为边作矩形03CQ,连接8D若30=5,BC=4,则

A.8B.6C.4D.2

•・,四边形088是矩形，

AZ0BC=90°,BD=OC=OA=5.

：,OB=I/0C2-BC2=V52-42=3'

：.AB^OA-02=5-3=2,

故选：D.

6.（2分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40/〃，宽为22机.停车场内车

道的宽都相等，若停车位的占地面积为520«?.求车道的宽度（单位：机）.设停车场内车

道的宽度为根据题意所列方程为（）

C.（40-尤）（22-2%）=520D.（40-x）（22+x）=520

【解答】解：若设停车场内车道的宽度为无利，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40

-x）m,宽为（22-x）机的矩形，

根据题意得：（40-x）（22-%）=520.

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.（3分）若一元二次方程/+x-6m=Q的一个解是x=3,则1013m-2的值为2024.

【解答】解：把x=3代入f+x-6m=0,可得32+3-6帆=0,

解得m=2,

：.1013m-2=1013X2-2=2024.

故答案为：2024.

8.（3分）如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩

的点为F（填C,D,E,尸中的一个字母）.

【解答】解：由于点尸到圆心。的距离最远，

所以该同学投掷铅球最好成绩的点为F,

故答案为：F.

9.（3分）如图，的内接四边形ABC。，E为CO延长线上一点，若NB=119°,则/

【解答】解：：NAOE是圆内接四边形ABCD的一个外角，

/.ZADE=ZB=U9°.

故答案为：119.

10.（3分）如图，正比例函数y=x与反比例函数了上（乂〉0）在第一象限内的交点为产，

交y轴于点A,若△POA的面积为4,则k的值是4.

y

【解答】解：:尸点在尸元上，

AZPOA=45°,

9：PALOP,

：.APOA为等腰直角三角形，

过尸作PULQ4于C,

贝ISaPOC=S^PCA=1^,

2

S△尸。A=Z=4,

故答案为：4.

11.（3分）如图，抛物线〉=0?+法+。与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点。作C。

〃元轴，与抛物线交于点。，若。4=2,AB=4,则线段CD的长为8.

【解答】解：・.•对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B,C0〃x轴,

・,•点。与点。是抛物线上的对称点，

：.CD=2OA+AB,

9：0A=2,AB=4,

.\4=CZ）-2X2,

・・・CD=8；

故答案为：8.

12.（3分）如图，在AABC中，以点2为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB,BC边

于点P，Q，再分别以点P,。为圆心，以大于/pQ为半径画弧，两弧交于点连接

交AC于点E,过点E作交AB于点。，若A8=6,AE=3,则△AOE的周

长为9.

【解答】解：由题意得：ZABE=ZCSE,

■:ED//BC,

：.ZDEB=ZCBE,

：.NABE=/BED,

:.DE=BD,

：.AD+DE+AE=AD+BD+AE=AB+AE=6+3=9,

故答案为：9.

13.（3分）如图，ZkABC中，NA4c=65°,在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到

的位置，若DC〃AB,则旋转角/ZMC度数为50°.

：.ZBAC^ZDCA^65°,

•.•将绕点A旋转到△AED的位置,

J.AC^AD,

：.ZACD=ZADC=65Q,

：.ZDAC^180°-65°-65°=50°,

故答案为：50.

14.（3分）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺

术价值.如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得/BAC=120°,AB45cm,BD=30cm,

则由线段2。，弧。E,线段EC,弧CB围成扇面的面积是600TTcm2（结果保留IT）.

【解答】解：•.22=45。"，BD=30cm,

.9.AD—AB-BD=15cm,

VZBAC=120°,

...由线段BD,弧。£,线段EC,弧C8围成扇面的面积是120兀X252兀XJ5?

360360

=600n（CV"2）,

故答案为：60071.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）解方程：？-4x+3=2.

【解答】解：/-4x+3=2,

方程整理得：?-4x=-1,

配方得：/-4x+4=3,即（%-2）2=3,

开方得：x-2=±V3«

解得：xi=2-xi=2+后

16.（5分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州召开，现将写有汉字“喜”“迎”

“亚”“运”的四个卡片，这四张卡片除汉字不同外，其它完全相同.先洗匀卡片，再正

面向下放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，并记录结果.

（1）若从中随机抽取一个张卡片，则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为

--1,.

4一

（2）从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表法，求随机抽取两张卡片上的汉字恰

好组成“喜迎”或“亚运”的概率.

0000

【解答】解：（1）从写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片中随机抽取一个张卡片,

则抽取一张卡片上的汉字刚好是“亚”的概率为1.

4

故答案为：1；

4

（2）把写有汉字“喜”“迎”“亚”“运”的四个卡片分别记为A、B、C、D,

画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中随机抽取两张卡片上的汉字恰好组成“喜迎”或“亚运”

的，

则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是二」.

123

17.（5分）目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2

万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增

长率.

【解答】解：设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x,

依题意得：2（1+无）2=9.68,

解得：Xi=1.2=120%,x2=-3.2（不合题意，舍去）.

答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为120%.

18.（5分）已知二次函数y=/-2x-3,当-2WxW5时，求函数y的取值范围.

晨晨同学的解答如下：

解：当x=-2时，则y—（-2）2-2X（-2）-3=5；

当x=5时，贝1|>=52-2X5-3=12；

所以函数y的取值范围为5WyW12.

你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由.

【解答】解：晨晨的解答过程不正确，

'.'y—jr-2x-3—（x-1）2-4,

抛物线开口向上，函数顶点坐标是（1,-4）,

...当x=l时，函数有最小值为-4,

...当-2WxW5时，函数y的取值范围为-4WyW12.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.（7分）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时,

收集的以下试验结果：

试验的种子数（〃）50010001500200030004000

发芽的种子粒数（加）4719461425189828533812

发芽频率（21）0.9420.946X0.949y0.953

m

（1）求表中尤，y的值；

（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；

（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子

进行发芽培育.

【解答】解：（1）x=14254-1500=0.95,y=2853+3000=0.951,

故答案为：0.95,0.951；

（2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95,

故答案为:0.95；

（3）76004-0.95=8000,

答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育.

20.（7分）如图，等边三角形ABC内一点。，将线段AD绕点A逆时针旋转60。，得到线

段AE,连接CD,BE,DE.

（1）请判断△ADE的形状等边三角形，并写出判断的依据有一个角为60°的

等腰三角形是等边三角形；

（2）若NAOC=105°,求/BED的度数.

【解答】解：（1）:将线段绕点A逆时针旋转60°,

ZZ）AE=60°,AD^AE,

.•.△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）;

故答案为：等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

（2）：△ABC是等边三角形，

J.AC=AB,NCAB=60°,

J.ZCAB^ZDAE^60°,

：.ZCAD=ZBAE,

在△AC。和△ABE中，

rAC=AB

<ZCAD=ZBAE，

AD=AE

?.AACD^AABE（SAS）,

AZADC=ZAEB=105°,

VZAE£）=60°,

ZBED^ZAEB-ZAED^45°.

21.（7分）图①，图②，图③均是5X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点

A,点B均在格点上.在图①，图②，图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求

画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.

（图①）（图②）（图③）

(1)在图①中画一个△ABC,使得NC4B=NC8A=45°；

(2)在图②中画一个△AB。，使得ND4B+/£)BA=90。(/QABWNDBA)；

(3)在图③中画一个△ABE,使得/EAB+NE8A=45°.

【解答】解：(1)如图①中，△AQ?即为所求；

(2)如图②中，△A3。即为所求；

(3)如图③中，ZVIBE即为所求.

(图①)(图②)(图③)

22.(7分)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流/G4)是电阻R(Q)的反比例函数,

其图象如图所示.

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)若一个用电器通过的电流超过12A,这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使

用，它的可变电阻应控制在什么范围？

【解答】解：(1)电流/是电阻R的反比例函数.

设/=卫，

R

•.•图象经过A(4,9),

；.a=/R=9X4=36,

，/=①，(R>0)

R

(2)当/=12时，7?=①=3,

12

./随R的增大而减小,

用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.（8分）如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图，企业经历了从投

入到盈利过程，如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S（亿元）与销

售时间/（年）之间的关系（即前方（年）的利润总和S与f之间的关系）.请根据图象提

供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润S（亿元）与时间f（年）之间的函数关系式；

（2）求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元；

（3）求第8年企业所获利润.

【解答】解：（1）由题意，二.顶点为（2,-2）,

G-2）2-2.

又抛物线过（0,0）,

4a-2=0.

•a=1

2

A5=A(r-2)2-2.

2

(2)由题意,令S=30,

G-2)2-2=30.

2

.,.n=io,t2=-6(不合题意，舍去).

・•・截止到10年末企业累积利润可达到30亿元.

(3)由题意，当£=7时，S=—(7-2)2-2=10.5；

2

当f=8时，5=工(8-2)2-2=16.

2

・••第8年企业所获利润为：16-10.5=5.5（亿元）.

24.（8分）如图，A8是O。的弦，。尸，。4交AB于点P,过点B的切线交0P于点C.

（1）求证：APBC是等腰三角形；

（2）若。。的半径为4而，0P=2,求8c的长.

【解答】（1）证明：

是O。的切线，

/.ZOBA+ZABC^90°.

'：OPLOA,

：.ZOPA+ZA=90°.

又

ZA^ZOBA.

：.ZABC=ZOPA=ZCPB,

：.CP=CB；

.•.△BBC是等腰三角形；

（2）解：设8C=x,则PC=_r,

在RtZkOBC中，0B=2心OC=CP+OP=x+2,

'：OB2+BC2=OC2,

：.（2遍）2+?=（尤+2）2,

解得尤=4,

即BC的长为4.

六、解答题（每小题10分，共20分）

25.（10分）如图1,矩形A8CZ）纸片，AB=4cm,BC=3cm,动点P,。分别从点A同时

出发，均以Icm/s的速度，点P沿AB-BC方向，到终点C停止运动：点。沿AO-OC

方向，到终点C停止运动，连接P。，将矩形ABC。在尸。左下方的部分纸片沿P。折叠

得到如图2,设点P运动的时间为x（s）,重叠部分图形的面积为y（c加2）.

（1）当点A落到CD边上时，求尤的值；

（2）求y与x的函数关系式，并写出尤的取值范围；

（3）当x>3时，若△AC。以CO为腰的等腰三角形，直接写出尤的值.

（图1）（图2）

【解答】解：（1）如图1,

（Q）入___________Ac

P

图1

VA7Q=AfP,NA'=90°,

AZAZQP=ZA'PQ=45°,

二•NA'QA=90°,

・•・当点。与。重合时，A在CD上，

.'.x=3；

（2）如图2,

pB

图2

当0C/W3时，

由（1）知：△APQ是等腰直角三角形，

如图3,

当3V/W4时，

作。B于E,

9：DQ=A'E,A'E+EP=AD+DQ=t,

:.EP=AD=3,

・.•QE=AD=3,

：.QE=EP,

：.ZQPE=45°,

.*.y=S^PEQ=—X32=—,

VCQ=CP=7-t,

yt2(O<t<3)

综上所述：产,'|(3<t<4)

y(7-t)2(4<t<7)

(3)如图5,

图5

当3<fW4时，

由(2)知：ZA,PQ=/A尸0=45°,

：.AP±CD,

VZAZ=ZA=90°,ZAP£=90°,

：.AD''HNB//CD,

C.DF^A'P=t,AF=AP-PF^A'