2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷及答案解析2

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分）

X—3

1.若分式总的值为。，则》的值是（

A.x=3B.x=0C.x=-3D.x=-4

2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示

为（）

A.7.3X10-5B.7.3X10-4C.7.3X10-6D.73X10-6

3.下列等式从左到右的变形一定正确的是（

aa+maacakaaa2

A.—=-------B.­=—C.D.

bb+mbbebkbbb2

4.点A（1,-2）关于％轴对称的点的坐标是（)

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

TYI1-X

5.若关于X的方程口二占有增根，则”的值为（)

A.0B.1C.-1D.2

6.下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

7.一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.关于反比例函数y=|的图象，下列说法不正确的（

A.经过点（2,1）B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形D.当尤＞0时，y随x的增大而减小

9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产

450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

600450600450

A.-------=一B.-------=——

%—50x%+50x

600450600450

C.-----=--------D.-----=--------

x%+50•xx-50

10.如图，正方形A20C的边长为2,反比例函数y=5的图象过点A,则上的值是（）

11.如图，矩形A3C。的两条对角线相交于点。,NAO£>=60°,4。=2,则AC的长是（）

12.如图，已知正方形ABC。的边长为2cm,动点尸从点A出发，在正方形的边上沿A-8

-C的方向运动到点C停止.设点P的运动路程为无（C7W）,在下列图象中，能表示△人£）尸

的面积y（cm2）与x（cm）的函数关系的图象是（）

二、填空题（每题3分，共18分）

4ab3

13.约分:

2a2b

14.直线y=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为

15.已知点A（-l,yi）,B（1,j2）,C（2,*）在反比例函数y=（（左<0）的图象上,

则yi,户，”的大小关系为（用“>”或连接）.

16.如图：根据图象回答问题：当x时，y<2.

17.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（依）与其运费y（元）由如图所示的

18.正方形A1B1C1A2,A282cM3,A323c3A4,…按如图所示的方式放置，点4,A2,A3,…

和点Bi,Bi,B3,…分别在直线y=fcc+6晨>0）和x轴上.已知点4（0,1）,点81

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19.（6分）先化简,再求值：（1-^）十糕祟,其中片-L

20.（6分）已知：如图，在口ABC。中，点E、尸分别是边A。、BC的中点.求证：BE=DF.

21.（8分）为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图：

・人数/人

20

16

1--45--

14

12

*1

I0

X8

6

44

2

O土一二二’上二凸….

5060708090100成绩/分

请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）八年级二班共有人；

（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为

（3）求全班同学成绩的众数、中位数.

22.（8分）某超市销售42两款保温杯，已知8款保温杯的销售单价比A款保温杯多10

元，用480元购买8款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.

(1)A、8两款保温杯的销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价

不变，B款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

23.(8分)已知：如图，在正方形A8CD中，点E、尸在对角线8。上，MBF=DE,

(1)求证：四边形AECT是菱形；

(2)若AB=2,BF=L求四边形AECF的面积.

24.(8分)如图，直线y=-与反比例函数y=l的图象相交于A(1,4),B(4,n)

两点，连接0A和。艮

（1）求上和6的值；

k

（2）根据图象直接写出--（-X+6）＞0的解集;

x

（3）求△AOB的面积.

25.（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

（1）如图1,已知菱形A8CD的边长为2,设菱形ABC。的对角线AC,8。的长分别为

m,n.若我们将菱形的“接近度”定义为防-川（即“接近度”=\m-n\\于是加-川

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60°,则“接近度”=.

（2）如图2.已知矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,设AB,8C的长分别为3

n（根＞〃），我们将矩形的“接近度”定义为一（即“接近度”=与Tn）.

nn

①若矩形的“接近度”=,矩形就是正方形；

②若/AOD=45°,求矩形的“接近度”.

26.（12分）如图，已知长方形043c的顶点。在坐标原点，A、C分别在尤、y轴的正半轴

上，顶点8(8,6),直线y=-x+b经过点A交2C于。、交y轴于点M,点尸是AD的

中点，直线OP交AB于点E

(1)求点D的坐标及直线。尸的解析式；

(2)求△ODP的面积，并在直线AD上找一点N,使4AEN的面积等于△OOP的面积，

请求出点N的坐标

(3)在x轴上有一点T(f,0)(5<t<8),过点7作x轴的垂线，分别交直线。£、AD

于点尺G,在线段AE上是否存在一点Q,使得△FG。为等腰直角三角形，若存在，请

求出点。的坐标及相应的f的值；若不存在，请说明理由

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）

r—3

L若分式有的值为。，则x的值是（)

A.%=3B.%=0C.x=-3D.x=-4

解：由题意得：x-3=0,且x+4W0,

解得：冗=3,

故选：A.

2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示

为（）

A.7.3X10-5B.7.3X10-4C.7.3X10-6D.73X10-6

解：0.000073=7.3X105,

故选：A.

3.下列等式从左到右的变形一定正确的是（)

aa+maacakaaa2

A.—二----B.­二—C.D.

bb+mbbebkbbb2

-aa+m

解：A、工H7—（机#0）,所以A选项不正确;

bb+m

CLCLC

B、若c=°,则广瓦’所以3选项不正确;

ak

C、—二工，所以。选项正确；

bkb

aab

D、-所以。选项不正确.

bbz

故选：C.

4.点A（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是（

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

解：点A（l,-2）关于％轴对称的点的坐标是(1,2),

故选：D.

7711—x

5.若关于x的方程三二三有增根,则机的值为（)

A.0B.1C.-1D.2

解：方程两边都乘（x-2）,得

m=1-x

•••最简公分母（x-2）

•••原方程增根为x=2,

.•.把尤=2代入整式方程，得机=7.

故选：C.

6.下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

解：4两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不合题意；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不合题意；

。、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，符合题意；

故选：D.

7.一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：,一次函数y=6x+l中左=6>0,b—l>G,

.•.此函数经过一、二、三象限，

故选：D.

8.关于反比例函数y=|的图象，下列说法不正确的（）

A.经过点（2,1）

B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形

D.当x>0时，y随尤的增大而减小

解：A、把x=2代入y=3导y=l,则反比例函数y=］的图象经过点（2,1）,所以A选

项的说法正确，不合题意；

B、k=2>0,则反比例函数y的图象分别位于第一、第三象限，所以8选项的说法不

正确，符合题意;

C、反比例函数的图象是中心对称图形，所以C选项的说法正确，不合题意；

D、k=2＞0,当尤＞0时，y随x的增大而减小，所以。选项的说法正确，不合题意.

故选：B.

9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产

450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

600450600450

13.

%-50XX+50X

600—450600450

C.一=D.-----二—

X%+50XX-50

解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产G+50）台机器,

故选：B.

10.如图，正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=5的图象过点A,则上的值是（）

Bp工

A.2B.-2C.4D.-4

解：因为图象在第二象限，

所以上＜0,

根据反比例函数系数k的几何意义可知同=2X2=4,

所以k=-4.

故选：D.

11.如图，矩形A8CZ）的两条对角线相交于点O,ZAOD=6QQ,4。=2,则AC的长是（）

------^8

A.2B.4C.2V3D.4V3

解：在矩形ABCD中，OC=OD,

：,/OCD=/ODC,

VZAOD=60°,

1i

AZOCD=^ZAOD=x60°=30°,

XVZADC=90°,

・・・AC=2AD=2X2=4.

故选：B.

12.如图，已知正方形ABC。的边长为2on,动点尸从点A出发，在正方形的边上沿A-3

-C的方向运动到点C停止.设点尸的运动路程为x(on),在下列图象中，能表示△A。尸

的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系的图象是()

解：由题意，当0Wx<2时,

y=yX2-x=x

当2WxW4时，

y=2

故选：C.

二、填空题(每题3分，共18分)

4a匕32b2

13.约分:

2a2ba

2ab-2b22b2

解:原式=

2ab-aa

_,2b2

故答案为：----

a

14.直线y=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为y=2x+3.

解：平移后解析式为：y=2x-l+4=2x+3,

故答案为：y=2x+3.

15.已知点A（-1,yi）,B（1,”），C（2,”）在反比例函数>=亍（％<0）的图象上,

贝Uyi,”，V3的大小关系为y2<y3<yi或yi>y3>y2（用“>"或连接）.

解：•.•反比例函数y=（（左<0）中，左<0,.•.此函数图象在二、四象限，

：-1<0,...点A（-1,yi）在第二象限，.•.yi>0,

V2>l>0,：.B（1,”），C（2,"）两点在第四象限，”<0,

•.•函数图象在第四象限内为增函数，2>1,

.'.yi,yi,*的大小关系为y2<〉3<yi或yi>*>y2.

16.如图：根据图象回答问题：当尤>0时,y<2.

解：由图可知，该函数经过（0,2）,y随X的增大而减小，

.,.当x>0时，y<2,

故答案为：>0.

17.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（依）与其运费y（元）由如图所示的

一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为20奴.

y（元）

3050x(kg)

解：设y与x的函数关系式为y=fcc+b,

由题意可知:

300=30k+b

900=50k+b)

解得:C：-600-

所以函数关系式为y=30尤-600,

当y=0时，即30x-600=0,所以尤=20.

故答案为：20.

18.正方形4B1C1A2,A282c2A3,A383c34,…按如图所示的方式放置，点4,A2,A3,…

和点81,比，明，…分别在直线y=fcc+6(k>0)和x轴上.已知点4(0,1),点Bi

解：由题意可知4纵坐标为1,A?的纵坐标为2,A3的纵坐标为4,4的纵坐标为8,…,

和C1,42和C2,43和C3,4和C4的纵坐标相同，

：.Ci,C2,C3,C4,C5的纵坐标分别为1,2,4,8,16

，•••

，根据图象得出Q(2,1),C2(5,2),C3(11,4),

直线C1C2的解析式为y=寺x+寺,

VA5的纵坐标为16,

：.C5的纵坐标为16,

11

把y=16代入产畀+可，解得x=47,

；.C5的坐标是(47,16),

三、解答题(本大题共8个小题，满分66分)

19.(6分)先化简，再求值：+az丁+4,其中。=-1.

CL—1a^—a

解：原式=(匕十客

a-1a-1a(a-l)

CL_2—1)

a-1(a-2)2

_a

=

当a=-1时，原式=1];2=

20.(6分)已知：如图，在口A5CD中，点区厂分别是边A。、BC的中点.求证：BE=DF.

证明：・・•四边形A3C0是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

・・,点E、产分别是口ABC。边A。、8C的中点,

：.DE=BF=^BC,

:.DE=BF,

・・・四边形BFDE是平行四边形,

：.BE=DF.

21.(8分)为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图:

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

05060708090100成绩/分

请根据图中所给信息解答下列问题:

(1)八年级二班共有50人;

(2)请补全条形统计图；扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为57.6°

（3）求全班同学成绩的众数、中位数.

解：（1）由统计图可知，

八年级二班共有人数：204-40%=50（人）.

故答案为：50；

（2）90分的人数为50-1-4-20-15-2=8（人）,

补全的条形统计图如下图所示，

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

由扇形统计图可知,

90分的人数所占的比例是1-30%-40%-8%-2%-4%=16%,

则扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为360°X16%=57.6°.

故答案为：57.6°；

（3）由条形统计图可知，

全班同学成绩的众数为70分，

1

中位数为：-X（70+80）=75（分）.

22.（8分）某超市销售A、8两款保温杯，已知8款保温杯的销售单价比A款保温杯多10

元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.

（1）48两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且A款保温杯的数量不少于8款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价

不变，B款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

解：（1）设A款保温杯的单价是a元，则8款保温杯的单价是（a+10）元，

480360

(1+10a

解得，a—30,

经检验，。=30是原分式方程的解，

则a+10=40,

答：A、8两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；

(2)设购买A款保温杯x个，则购买2款保温杯(120-x)个，利润为w元，

w=(30-20)x+[40X(1-10%)-20](120-尤)=-6x+1920,

VA款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，

尤》2(120-x),

解得，x280,

当尤=80时，w取得最大值，此时卬=1440,120-x=40,

答:当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大,

最大利润是1440元.

23.(8分)已知：如图，在正方形A3。中，点、E、尸在对角线8。上，S.BF^DE,

(1)求证：四边形AECP是菱形；

(2)若AB=2,BF=1,求四边形AECF的面积.

(1)证明：正方形ABC。中，对角线80,

：.AB=BC=CD=DA,

/ABF=ZCBF=ZCDE=ZADE^45°.

,:BF=DE,

AABF^△CBF2ADCE经ADAE(SAS).

AF=CF=CE=AE

四边形AECF是菱形；

(2)解：在中，由勾股定理，得

BD=y/AB2+AD2,

AC=BD=242,

EF=BD-BF-DE=2a-1,

四边形AECF的面积=AC・EF+2

=2近x(2夜-2)+2

=4-2V2.

24.(8分)如图，直线y=-x+b与反比例函数y=5的图象相交于A(1,4),B(4,〃)

两点，连接。4和。艮

(1)求左和b的值；

k

(2)根据图象直接写出一一(-%+b)>0的解集；

x

解：(1)把A(1,4)代入y=［得：代入左=1义4=4,

反比例函数表达式为代入y=p

将A(1,4)代入y=-x+Z?得：4=-1+/?,

解得：b=5,

，一次函数表达式为y=-x+5,

综上：k=4,b=5；

kk

(2)由一一(一%+b)>0得一>一X+b,

%x

VA(1,4),B(4,〃)，

k

・•・由图可知，当0<%<1或x>4时，反比例函数图象高于一次函数图象,即一>一%+儿

x

、k

・••当OVxVl或x>4时，——(―X+b)>0；

x

4

4.

-

(3)把2(4,n)代入y=-得：y4

：.B(4,1),

把y=0代入y=-x+5得：0=-x+5,

解得：x=5,

：.C(5,0),

OC=5,

111115

S^OAB=SAOAC-SAOBC=20c^OC'yB=x5X4一)x5X1=

T-

25.（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

（1）如图1,已知菱形A8CD的边长为2,设菱形ABC。的对角线AC,的长分别为

m,n.若我们将菱形的“接近度”定义为依-川（即“接近度”=\m-n\）,于是加-川

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=0,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60。，则“接近度”=」必—2_.

（2）如图2.已知矩形A8CD的对角线AC,8。相交于点O,设A8,BC的长分别为相，

n我们将矩形的“接近度”定义为一（即“接近度”=?）.

①若矩形的“接近度”=1,矩形就是正方形；

②若/4。。=45°,求矩形的“接近度”.

解：（1）①：对角线相等的菱形是正方形,

.•.当，"="时，菱形就是正方形，

••\in—川0,

即菱形的“接近度”=0时，菱形就是正方形，

故答案为：0；

②菱形ABC。中，AB=BC=CD=AD=2,60°,ACLBD,BD=2OB=n,AC

—2OA—m,

.♦.△ABC是等边三角形，ZAOB=9Q°,

.,.m=AC=AB=2,

；.OA=1,

在RtAAOB中，

OB=7AB2一。炉=y/22—l2=V3,

：.n=2OB=2\pi,

/.\m-n\=\2-2V3|=2V3-2,

即菱形的一个内角为60。，贝I“接近度”=2百一2,

故答案为：2百—2；

(2)①：邻边相等的矩形是正方形，

.,.当〃z=w时，矩形就是正方形，

,m

此时，一=1,

n

即矩形的“接近度”=1时，矩形就是正方形，

故答案为：1；

②・・・/30。=/40。=45°,OA=OB=OC,

11

：.ZOAB=ZOBA=^ZAOD=22.5°,ZOCB=ZOBC=(180°-ZBOC)=67.5°,

在AB上取一点E,使BE=BC=n,连接CE,如图：

则NEC3=NCE5=45

・・・ZACE=ZOCB-ZECB=22.5

：.ZOAB=ZACEf

：.AE=CE,

在RtZ^BCE中，cos/ECB=^=节,BC=n,

CE=V2n,

AE=y/2n,

.\m=AB=AE+BE=V2n+«=（V2+1）n,

.二=四3=血+1.

nn

26.（12分）如图，己知长方形042c的顶点。在坐标原点，A、C分别在尤、y轴的正半轴

上，顶点2（8,6）,直线y=-x+b经过点A交BC于。、交y轴于点点尸是AD的

中点，直线。尸交AB于点E

（1）求点。的坐标及直线。尸的解析式；

（2）求△OOP的面积，并在直线上找一点N,使的面积等于△OOP的面积，

请求出点N的坐标

（3）