2023-2024学年福建省厦门市中学九年级（上）第二次月考数学试卷含解析

2023-2024学年福建省厦门市思明区大同中学九年级（上）第二

次月考数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分，每题仅一个正确选项，请把选项填涂在答题卡上）

1.（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中

心对称图形的是（）

XB©

c手4⑧

2.（4分）将抛物线y=/通过一次平移可得到抛物线y=（x+5）2,对这一平移过程描述正

确的是（）

A.向上平移5个单位长度

B.向下平移5个单位长度

C.向左平移5个单位长度

D.向右平移5个单位长度

3.（4分）下列事件中，是随机事件的是（）

A.投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7

B.在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球

C.在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6

D.画一个三角形，其内角和是180°

4.（4分）正多边形的中心角为45°,则正多边形的边数是（）

A.4B.6C.8D.12

5.（4分）若OO的半径是3,点P到圆心0的距离是W5,那么点尸与OO的关系是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内C.点P在。。外D.无法确定

6.（4分）有了支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（）

A.A%（x+1）=45B.-^-x（x-1）=45

C.x（x-1）=45D.x（x+1）=45

7.（4分）如图，四边形ABC。内接于ZD=U0°（)

D

B.110°C.135°D.140°

8.（4分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小

组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复.下表是活动进行

中的一组统计数据：

摸球的次数1000200040005000800010000・・

n

摸到白球的7491499298375160007501・・

次数m

摸到白球的0.74900.74950.74950.75020.7500.7501・・

频率

根据试验结果可估算口袋中黑球有（）只.

A.10B.20C.25D.30

9.（4分）设A（-2,yi）,B（1,”），C（2,2）是抛物线y=-（x+1）?+〃上的三点，

则yi,”，*的大小关系为（）

A.yi>y2>ysB.yi>ys>y2C.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

10.（4分）如图，抛物线>=工乂2-1与X轴交于A，。是以点C（0,4）为圆心，E是线

-9

段AD的中点，连接OE,则线段OE的最小值是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

11.（4分）点、P（2,1）关于原点对称的点的坐标为.

12.（4分）动车上二等座车厢每排都有A,B,C,D,尸五个座位，其中A和尸是靠窗的

座位.某天，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配

座位.

13.（4分）已知函数yi=or2+bx+c与函数丫2=依+6的图象大致如图所示，那么不等式af+bx+c

<kx+b的解集是.

14.（4分）掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目.实心球行进路线是一条抛物线，

行进高度y（m）与水平距离x（m）,抛出时起点处高度为电汗，当水平距离为3m

3

时.

15.（4分）如图，在半径为4,圆心角为90°的扇形内，交弦A8于点。，则阴影部分的面

积是（结果保留TT）.

16.（4分）如图，矩形ABC。中，AB=8,点E是线段A2上的一个动点，将线段DE绕点

。逆时针旋转90°得到。R连接ER取EF的中点“，A”.点E在运动过程中，下列

结论：①△ADE—GDF,A£=6；③AH平分/D4B；④3a<AH<7企.

F

三、解答题（共86分）

17.（12分）解方程：

（1）x2-2x-1=0；

（2）3y（y-1）=2y-2.

18.（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1,4）,B（3,2）,若△。48绕点。逆时

针旋转90°后iBi（A对应点是A1,8对应点是81）.

（1）画出△0431,并直接写出4的坐标;

（2）求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留TT）.

19.（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京

召开.在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，某校团委组织了

“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所

示的两幅不完整的统计图.（其中A表示“一等奖”，8表示“二等奖”，C表示“三等奖”,

D表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

（1）获奖总人数为人，in=；

（2）学校将从获得一等奖的4名同学（1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市

的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率.

获奖情况条形统计图

（1）左取什么值时，方程有两个实数根;

（2）如果方程有两个实数根xi,XI,且X2-2n-2X2+9=0,求％的值.

21.（11分）已知：如图，。。及。。外一点P.请你按照步骤完成以下作图（尺规作图,

保留作图痕迹）①连接OP,OP长为半径作大圆。；②。尸交小圆。于点N,8两点（点

A在点8的上方）；③连接AO交小圆。于M

（1）请证明是小圆。的切线.

（2）延长A。交大圆。于C,连接CN,若。4=2,求CN的长.

22.（9分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF）,

菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）

（1）菜园面积可能为252〃，吗？若可能，求边长A8的长，若不可能

（2）因场地限制，菜园的宽度A8不能超过8租，求该菜园面积的最大值.

M

B

23.（9分）已知，如图，为的直径，弧弧BO.BD=PD,延长CP交。。于

点、D

（1）求证：点P是△ABC的内心；

（2）已知的直径是5&.CD=7.求的长.

24.（10分）将△A8C绕点A逆时针旋转a得到△AOE,且点D落在BC的延长线上，连

接CE.

（1）如图1,若a=120°,ZDEC=90°

①求/8AC的度数；

②直接写出空的值.

CF

（2）如图2,若点M,N分别为BD,连接并延长交4D于点G,求证：MGLAD.

25.（12分）已知抛物线y=a?-2ax-3a（a>0）与x轴交于A,2两点（点A在点B的

左侧），点O为坐标原点.

（1）求A,8两点的坐标；

（2）若点。是线段OC上靠近点。的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P

作无轴的垂线，BD于点”,N.

①求直线8。的解析式（用含a的式子表示）；

S.1

②设ANBM,△NBP的面积分别为Si,S2,若一!■=上，求此时点P的横坐标.

s22

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共40分，每题仅一个正确选项，请把选项填涂在答题卡上）

1.（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中

心对称图形的是（）

><B.0

C."avID.

【解答】解：4该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；

8、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

。、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A.

2.（4分）将抛物线y=/通过一次平移可得到抛物线y=（x+5）2,对这一平移过程描述正

确的是（）

A.向上平移5个单位长度

B.向下平移5个单位长度

C.向左平移5个单位长度

D.向右平移5个单位长度

【解答】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线＞=（x+5）5,则这个平移过程正确的是向

左平移了5个单位，

故选：C.

3.（4分）下列事件中，是随机事件的是（）

A.投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7

B.在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球

C.在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6

D.画一个三角形，其内角和是180°

【解答】解：4投掷一枚质地均匀的骰子，是必然事件；

2、在一个只装了红球的袋子里，是不可能事件；

C、在一副扑克牌中抽出一张，属于随机事件；

。、画一个三角形，是必然事件；

故选：C.

4.（4分）正多边形的中心角为45°,则正多边形的边数是（)

A.4B.6C.8D.12

【解答】解：・・•正多边形的中心角为45°,

・•・这个多边形的边数是360°+45°=8,

・,・正多边形的边数是8.

故选：C.

5.（4分）若。。的半径是3,点尸到圆心。的距离是W5,那么点P与。。的关系是（）

A.点P在。。上B.点P在。。内C.点尸在外D.无法确定

【解答】解:2加=夜，

,：8<9,

.,.2A/4<3,

,/OO的半径是3,点尸到圆心0的距离是4加，

点尸在O。内.

故选：B.

6.（4分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（）

A，/x（x+1）=45B,-^-x（x-1）=45

C.x（x-1）=45D.x（x+1）=45

【解答】解：・.•有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

共比赛场数为L（x-4）,

2

.•.共比赛了45场,

.".Xr（尤-5）=45,

2

故选:B.

7.（4分）如图，四边形ABC。内接于O。，Z£）=110°（）

A

B

A.70°B.110°C.135°D.140°

【解答】解：：NB+/AOC=180°,

.\ZB=180°-110°=70°，

：.ZAOC=2ZB=140°.

故选：D.

8.（4分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小

组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复.下表是活动进行

中的一组统计数据：

摸球的次数1000200040005000800010000

n

摸到白球的7491499298375160007501

次数m

摸到白球的0.74900.74950.74950.75020.7500.7501

频率

根据试验结果可估算口袋中黑球有（）只.

A.10B.20C.25D.30

【解答】解：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；

，摸到白球的概率为0.75,

所以可估计口袋中白球的个数=40X7.75=30（个），黑球40-30=10（个）.

故选：A.

9.（4分）设A（-2,ji）,B（1,”），C（2,*）是抛物线;y=-（x+1）?+.上的三点,

则yi,y2,*的大小关系为（）

A.yi>y2>*B.y\>y3>yiC.y3>yi>y\D.y3>yi>yi

【解答】解：.函数的解析式是y=-（x+1）2+小如图，

对称轴是直线x=-7,

点A关于对称轴的点A'是（0,yi）,

那么点A'、2、C都在对称轴的右边，

于是丁4>>2>”.

故选：A.

10.（4分）如图，抛物线》=工乂2-1与X轴交于4,。是以点C（0，4）为圆心，E是线

-9

段的中点，连接OE,则线段OE的最小值是（）

D.3

【解答】解：•••抛物线产工乂3-1与无轴交于4

9

.♦.A、8两点坐标为（-3、（2,

是以点C（0,4）为圆心,

根据勾股定理，得

8c=6,

是线段的中点，。是中点,

,。£是三角形A8O的中位线，

：.OE=^BD,

2

即点2、D、C共线时，OE就最小.

如图，连接BC交圆于点。'，

：.BD'=BC-CD'=5T=4,

：.0E'=4.

所以线段OE的最小值为2.

故选：A.

二、填空题（每题4分，共24分）

11.（4分）点尸（2,1）关于原点对称的点的坐标为（-2,-1）.

【解答】解：：点尸（2,1）,

，关于原点对称的点是（-4,-1）.

故答案为：（-2,-6）.

12.（4分）动车上二等座车厢每排都有A,B,C,D,尸五个座位，其中A和尸是靠窗的

座位.某天，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配

座位2.

【解答】解：：动车上二等座车厢每排都有A,B,C,D,尸五个座位，

小刘的座位是靠窗的概率为2,

5

故答案为：旦.

5

13.（4分）已知函数与函数,2=丘+Z?的图象大致如图所示,那么不等式af+bx+c

<kx+b的解集是-2cx〈旦.

2-

【解答】解：由图可知，不等式的解集是-2＜尤＜上.

2

故答案为：-2〈尤〈旦.

2

14.（4分）掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目.实心球行进路线是一条抛物线，

行进高度y（%）与水平距离无（机），抛出时起点处高度为且不当水平距离为3机时」

,3

【解答】解：：当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处,

•••该抛物线的顶点坐标为（5,3）,

设该抛物线的解析式为（x-3）8+3,

:抛出时起点处高度为

2

...该抛物线经过（0,$）.

8

：.a（0-3）8+3=5,

7

4

27

关于尤的函数表达式是y=-余（x-8）〃3=需X2+碧

272743

故答案为：y=-&乂2+&+$.

2773

15.（4分）如图，在半径为4,圆心角为90°的扇形内，交弦A8于点。，则阴影部分的面

积是4Tt-4（结果保留it）.

【解答】解：连接CD,

在Rt/XACB中，AB=yj42+Q2V2>

是半圆的直径，

AZCDB=90°,

在等腰中，C。垂直平分A8强，

二。为半圆的中点，

•'•S阴影部分=S扇形4CB-Sa4DC=」TtX62-A.X（2&）8=411-4.

42

CB

16.（4分）如图，矩形ABC。中，AB=8,点E是线段A3上的一个动点，将线段DE绕点

。逆时针旋转90°得到。尸，连接ER取E尸的中点”，AH.点E在运动过程中，下列

结论：@Z\ADE^AGDF,AE=6；③AH平分④3V2<AH<772®®®®.

F

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形,

：.ZDAB=ZADC=90°,

线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,

：.DE=DF,ZEDF=90°=ZADCf

：./ADE=/FDG,

U：FGA.CD,

：.ZFGD=90°=ZDAB.

：.^XADE^/\GDF(A4S),故①正确；

当点H和点G互相重合时，如图：

F

•・,线段。石绕点。逆时针旋转90°得到OF,

：.DE=DF,NEDF=90°,

・・・Z\DEF是等腰直角三角形，

TH是EF中点，FG1DC,

：.ZHDE=^-ZFDE=45°=/DEH,

2

・•・ZADE=ZADC-/HDE=45°,

AZAE£)=180°-ZDAB-ZADE=45°=NADE,

：.AE=AD=BC=5,故②正确；

如图：

方是等腰直角三角形，H是跖的中点,

：.ZDHE=90°,NEDH=45°,

VZDAE=90°,

ZDHE+ZDAE=180°,

：.D,H,E,A共圆，

：.ZHAE=ZEDH=45°,

：.ZDAH=ZDAB-ZHAE=90°-45°=45°

：.ZDAH=ZHAE,

平分/ZM8,故③正确；

当E与A重合时，Aff最短

此时尸与G都在DC±,

•••△OEE是等腰直角三角形，”是跖中点,

AADH是等腰直角三角形，

.•.48=黑=&=3加，

V2V5

最小为4&,

当E与8重合时，AH最大，如图：

VZHAB=45°,

:.AK=HK,

,：BD=A/AD2+AB6=1。，

尊=5企，

V2

设AK=HK=尤，则BK=8-x,

VBH2-8a="产=4烂，

(2A/2)2-(6-X)2=/,

解得尤=7（舍去）或x=7,

:.HK=1,

:.AH=AHK=I近,

，AH最大为3近,

：.3近WAHW1近;

.•.正确的有8个，

故选：D.

三、解答题(共86分)

17.(12分)解方程：

(1)x2-2%-1-0；

(2)3y(j-1)=2y-2.

【解答】解：(1)x2-2x-6=0,

/-7x+l=2,

(x-6)2=2,

x-8=±&，

所以xi=8+&,X2=8-近；

(2)3y(y-2)=2y-2.

4y(j-1)-2(y-8)=0,

(y-1)(3y-2)=0,

厂3=0或3y-2=0,

所以yi=3,yi=—.

8

18.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,4),B(3,2),若△。42绕点。逆时

针旋转90°后LBI(A对应点是AI,2对应点是Bi).

(1)画出△0481,并直接写出A1的坐标；

(2)求旋转过程中A点的运动路径长(结果保留n).

点44的坐标为（-4,1）.

（2）由勾股定理得，04=^72+42=717,

:.旋转过程中A点的运动路径长为9°兀xg=行兀.

1802

19.（8分）2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京

召开.在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，某校团委组织了

“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所

示的两幅不完整的统计图.（其中A表示“一等奖”，8表示“二等奖”，C表示“三等奖”,

D表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

（1）获奖总人数为40人，m=30；

（2）学校将从获得一等奖的4名同学（1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市

的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率.

获奖情况扇形统计图

【解答】解：（1）获奖总人数为8・20%=40（人）,

C等级人数为40-(4+3+16)=12(人),

%％=卫X100%=30%,

40

故答案为：40、30；

（2）画树状图为:

共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果数为6,

所以抽取的同学恰好是1男1女的概率为2=工.

122

20.（8分）已知关于x的方程7-4x+24+1=0.

（1）左取什么值时，方程有两个实数根；

（2）如果方程有两个实数根xi,%2,且X2-2XI-2暇+9=0,求上的值.

【解答】解：（1）二.方程有两个实数根，

（-4）2-8X1X（2A+7）20,

16-8左-320,

解得：

6

（2）:方程有两个实数根xi,XI,

.•・X3+%2=4,

*.*X5-2x1-3x2+9=5,

.*.X2-2（X3+X2）+9=7,

.*.X2-2X6+9=0,

，X8=-L

VXI+X5=4,

・・XI=5,

•.”1・％2=7%+1,

.・・-1X4=2k+1,

解得：k=-3.

21.（11分）已知：如图，。。及。。外一点P.请你按照步骤完成以下作图（尺规作图，

保留作图痕迹）①连接OP,0P长为半径作大圆O；②。尸交小圆。于点N,8两点（点

4在点8的上方）；③连接AO交小圆。于M

（1）请证明PM是小圆O的切线.

（2）延长AO交大圆。于C,连接CN,若。4=2,求CN的长.

为小圆的切线,

C.ONLAB,

：.ZANO=90°.

在△PM。和中,

'OP=OA

<ZPOM=ZAON-

OM=ON

:.APMO冬AANO(SAS),

：.ZPMO^ZANO^90°,

：.OM±PM,

：OM为小圆的半径，

...PM是小圆的切线；

(2)连接BC,如图，

"：OM=ON,OM=\

ON=1,

'.'AB为小圆的切线，

：.ON±AB,

「AC为小圆的直径，

ZABC=90°,

：.AB1BC,

J.ON//BC,

：OA=OC,

；.ON是△ABC的中位线,

:.BC=4ON=2,

AN=7OA2-ON7=V22-82=M，°N_LAB,

:.BN=AN=&,

在Rt/XBCN中，

CN=7BC2+BN2=V72+（V3）7=中；

；.CN的长为

22.（9分）如图，现打算用60根的篱笆围成一个“日”字形菜园ABC。（含隔离栏跖），

菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）

（1）菜园面积可能为252川吗？若可能，求边长A8的长，若不可能

（2）因场地限制，菜园的宽度A8不能超过8m，求该菜园面积的最大值.

II

MAEDN

BFC

【解答】解：（1）设AB的长为xffb则8C的长为（60-3x）m,

根据题意得：x（60-3x）=252,

解得x=6或x=14,

当x=6时，8C=60-18=42>39；

当尤=14时，8C=60-42=18<39,

...花园面积可能是252Ml2,此时边AB长为14根；

（2）设AB的长为x机，菜园面积为门户，

由题意得：y—x（60-3x）--34+60尤=-3（x-10）2+300,

:-4<0,

当尤<10时，y随x的增大而增大，

：xW8,

，当x=4时，y最大.

答：该菜园面积的最大值为288平方米.

23.（9分）已知，如图，AB为O。的直径，弧4。=弧8。.BD=PD,延长CP交。。于

点。

（1）求证：点P是△ABC的内心；

（2）已知O。的直径是啦.CD=7.求8C的长.

【解答】(1)证明：为。。的直径，

AZACB=90°,

:弧4。=弧2。，

/ACD=NBCD,

.•.CD平分NAC3,

,:PD=BD,

：.ZBPD=ZPBD,

•/ZBPD=ZBCP+ZCBP,NDBP=ZABD+ZABP,

'：ZABD=ZDCB,：.ZCBP=ZABP,

.”8平分NA8C,

，点尸是△ABC的内心；

(2)解：连接A。，过点B作由/LCD于X

是直径，ZABD=45°,

:.AB=5Q是等腰直角三角形,

:.BD=返_48=返_义5A/2>

28

,：ZBCD=45°,BH1.CD,

；.NBCH=NCBH=45°,

：.BH=CH,

:.BC=&BH,

：.25=(7-BH)2+8必，

.*.8，=3或4,

'JBOAC,

:.BC=7瓜

24.(10分)将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△ADE,且点D落在BC的延长线上，连

接CE.

(1)如图1,若a=120°,NDEC=90°

①求NBAC的度数；

②直接写出空的值.

CF

(2)如图2,若点M,N分别为3D,连接MN并延长交AQ于点G,求证：MG±AD.

：.ZB=ZADB=30°,

9

：AC=AEfZCAE=nO°,

ZACE=ZAEC=3Q°,

VZZ)EC=90°,

ZAED=ZAEC+ZCED=300+90°=120°,

由旋转变换的性质可知ZACB=ZAED,

：.ZACB=120°,

：.ZBAC=18Q°-ZB-ZACB=180°-30°-120°=30°；

②由①可知，ZADB=ZADE=30°,

：.ZCDE=60°,

9：ZCED=90°,

：.ZECD=ZFDC=30°,

:,CF=FD,

9：ZDEF=90°,NEDF=30°,

：.DF=2EF,

：.CF=2EF,

・EF=8_

"CFT

(2)证明：连接AM,AN.

VAB=AD,BM=DM,

：.AM.LBD,AM平分NBA。，

*：AC=AE,CN=EN,

：.AN±CEfAN平分NCAE,

AZAMC=ZANC=90°,

・・・A,C,M,N四点共圆，

JNACN=/AMN,

*：ZBAD=ZCAE=a,

•・・ZCAN=^ZCAEl-ZBADf

72

：.ZCAN=ZMAD,