山东省临沂市某重点中学2023-2024学年数学高一下期末联考模拟试题含解析

山东省临沂市某重点中学2023-2024学年数学高一下期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行，则实数a的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．02．已知为等差数列，为其前项和.若，则（）A． B． C． D．3．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=()A．2 B．3 C．4 D．55．函数图像的一个对称中心是（）A． B． C． D．6．无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（）A． B． C． D．7．若直线xa+yb=1(a>0,b>0)A．3 B．4 C．3+22 D．8．已知集合，，则A． B． C． D．9．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC10．计算的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设a＞1,b＞1．若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是．12．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________．13．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.14．在中,内角的对边分别为,若的周长为,面积为，，则__________．15．函数的反函数为__________.16．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；④直线BQ与AP所成角的最大值为；其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四边形中，已知，，，，设．（1）求（用表示）；（2）求的最小值.（结果精确到米）18．己知函数．（1）若，，求；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．19．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20．已知函数满足.（1）若，对任意都有，求的取值范围；（2）是否存在实数，，使得不等式对一切实数恒成立？若存在，请求出，，使；若不存在，请说明理由.21．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.（1）求点B到直线的距离；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据两直线平性的必要条件可得4-a【详解】∵直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行；∴4×1-a⋅a=0，即4-a2=0当a=2时，直线分别为x+2y+4=0和2x+4y-3=0，平行，满足条件当a=-2时，直线分别为x-2y+4=0和-2x+4y-3=0，平行，满足条件；所以a=±2；故答案选A【点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。2、D【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以，故答案为D．考点：1、数列的通项公式；2、数列的前项和．3、B【解析】由题意不妨令棱长为，如图在底面内的射影为的中心，故由勾股定理得过作平面，则为与底面所成角，且如图作于中点与底面所成角的正弦值故答案选点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．4、C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.5、B【解析】

由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.【详解】由题得,所以，所以图像的对称中心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选B【点睛】本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6、A【解析】

通过整理直线的形式，可求得所过的定点.【详解】直线可整理为，当，解得，无论为何值，直线总过定点.故选A.【点睛】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.7、C【解析】

将1,2代入直线方程得到1a+2【详解】将1,2代入直线方程得到1a+b=(a+b)(当a=2故答案选C【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.8、C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。详解：由集合A得,所以故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。9、C【解析】

根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，则平面PAC.所以A正确；对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；综上可知，C为错误选项.故选：C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.10、D【解析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．12、【解析】

首先根据题意转化为函数与有个交点，再画出与的图象，根据图象即可得到的取值范围.【详解】有题知：函数恰有个零点，等价于函数与有个交点.当函数与相切时，即：，，，解得或（舍去）.所以根据图象可知：.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了学生的转化能力，体现了数形结合的思想，属于中档题.13、【解析】

首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程.【详解】当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短，圆：，圆心，,,直线方程是，即，故填：.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型.14、3【解析】

分析：由题可知，中已知，面积公式选用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.详解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案为3.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.15、【解析】

由得，即，把与互换即可得出【详解】由得所以把与互换，可得故答案为：【点睛】本题考查的是反函数的求法，较简单.16、①③【解析】

由①可知只需求点A到面的最大值对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解对于③④，可采用建系法进行分析【详解】选项①如图所示，当时，四棱锥体积最大，选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以选项③和④，如图所示：以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，由于，，，所以取不到答案选①、③【点睛】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）米【解析】

（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表达式；（2）在中，由正弦定理，求得，进而可得到，利用三角函数的性质，即可求解．【详解】（1）由题意，在中，，由正弦定理，可得，即，在中，，由正弦定理，可得，即，（2）在中，由正弦定理，可得，即所以因为，所以所以当时，取得最小值最小值约为米.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18、（1）；（1），1.【解析】

（1）由题得，再求出x的值；（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.【详解】（1）令，则，因为，所以．（1），当，即时，的最大值为1．【点睛】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.【解析】

（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.【详解】（1）当时，该项目获利为，则∴当时，，因此，该项目不会获利当时，取得最大值，所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：当时，所以当时，取得最小值；当时，当且仅当，即时，取得最小值因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．【点睛】本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.20、（1）（2）存在，使不等式恒成立，详见解析.【解析】

（1）由知函数关于对称，求出后，通过构造函数求出；（2）利用不等式的两边夹定理，令，得，结合已知条件，解出；然后设存在实数，，命题成立，运用根的判别式建立关于实数的不等式组，解得.【详解】（1）由得此时，，构造函数，.即的取值范围是.（2）由对一切实数恒成立，得由得由得恒成立，也即，此时，.把，.代入，不等式