天津市2023年高三各区数学模拟考试题型分类汇编-平面向量

专题11平面向量天津市2023年高三各区数学模拟考试题型分类汇编

JT

1.（2023・天津和平・耀华中学校考一模）如图，在《ABC中，ZBAC=j，AD=2DB>P为CD上一点、,且

满足=+若ABAC=4,则网的最小值为（)

3_

A.2B.3C.百D.

2

2.（2023•天津•校联考一模）如图所示，梯形ABC。中，AD〃BC,点E为AB的中点，BABC=O,

BDBA=BDAD=4,若向量CE在向量CB上的投影向量的模为*设“、N分别为线段CD、4）上的

则EM-EN的取值范围是（)

13611161

C.D.3~9

3.（2023•天津河北•统考二模）在qASC中，角氏C的边长分别为b,c,点。为ABC的外心，若H+c°=2b,

则AO的取值范围是（）

1

A.B.(0,2)C.——,+ooD.

4'°4

4.（2023•天津南开•统考二模）在「/4BC中，AC=BC=BAB•BC=-2，P为「.ABC所在平面内的动点,

且尸。=1,则PA+P2的最大值为（）

A.4B.8C.12D.16

5.（2023・天津红桥•统考二模）已知菱形ABC。的边长为2,ZBAD=120°,点E在边BC上，BC=3BE,

若G为线段。C上的动点，则的最大值为（）

A.2B-I

D.4

ARArii

6.（2023•天津•校联考二模）在平面四边形ASCD中，AD=BC，——+——=-AC,84A£>=2.若民

\AB\\AD\2

E为边8。上的动点，且|Eb|=6，则AE-AF的取值范围为（）

A.B.2百D.

4

7.（2023・天津和平•统考三模）如图，在ABC中，AB=43,AC=y/2,AD=-AB,AE=-AC,DM=ME,

33

BN=NC，若MN，BC,则cosA的值为（）

D.昱

3

8.（2023•天津河西•统考一模）在梯形ABCD中,AB//CD,且AB=2CD,M,N分别为线段DC和AB的

中点，若=AD=b，用。，b表示MN=.若MN工BC，则余弦值的最小值为

9.（2023•天津•校联考一模）在△ABC中，AB=AC=3,AD=4BD^2CE=DA，AECO=—8,贝UcosNBAC=

,若动点/在线段AC上，则。尸.石尸的最小值为.

10.（2023•天津•校联考一模）已知向量机=（1,1）,向量〃与向量加的夹角为寺■,m-n=-l,则向量〃=

71X

;若向量〃与向量4=（1,。）的夹角为叁，向量夕=|cos%,2cos2,其中当

3~2

、

I血小

时，实数。的取值范围为.

n.（2023•天津河北•统考一模）在矩形A5CD中，若AB=1,BE=gBC,且4比AE=AE,则的

值为,AE2C的值为.

12.（2023•天津南开•统考一模）在平面四边形ABCD中，网=\BC\=\CD\=DA-DC=1,BABC=g，则|AC|=

;BDCD=.

13.（2023・天津•大港一中校联考一模）在Rt^ABC中，已知|筋|=3,卜［=4,P是斜边BC上一动点，点。满

试卷第2页，共5页

足|「。|=2,^AQ=mAB+nAC,若点。在边BC所在的直线上，则〃2+〃的值为；的最大

值为.

14.（2023•天津红桥•统考一模）如图所示，在,ABC中，点。为2c边上一点，S.BD=2DC，过点。的直

线E尸与直线AB相交于E点，与直线AC相交于歹点（及尸交两点不重合）.AD=mAB+nAC>贝ip?"z=

，AE=AAB,AF=juAC,则几+〃的最小值为

15.（2023•天津河东•一模）已知等边三角形A3C的边长为1,射线AB、AC上分别有一动点M和N（点C

在点A与N之间），当AM=CN=；时，CATBN的值为;当AM=2OV时，CM-BN的最小值为

16.（2023•天津・统考一模）在ABC中，。为48的中点，CE=2ED,过点E任作一条直线，分别交线段AC、

2（7于尸、6两点，设。4=0,海=，，若用4、6表示CE,则CE=;若C户=ma，CG=nb（mn*0）,

则m+3n的最小值是.

17.（2023・天津和平・统考一模）已知四边形ABCD,OC=rAB,AB=6,AO=4,/DW=60,且4£><£>=一6，

—.,、一.?一

点E为线段3D,上一点，且AE=（1+为AD+]CB,则2=,过E作麻〃BC交42于点产，

则FD-FC=.

18.（2023•天津•统考一模）如图，在边长1为正方形ABCO中，M,N分别是BC,8的中点，则AATAC=

,若AC=XAM+,贝V+〃=.

19.（2023•天津和平•耀华中学校考二模）在矩形ABC。中，AB=2,BC=6点P在AB边上，则向量CP

在向量CB上的投影向量的长度是，CPPD的最大值是.

20.（2023・天津・二模）如图，在△居（7中，。是8C上的一点，满足|AC|•忸0=|初卜|。刈.〃在上且

11ACAH

\AM\^-\AD\,延长交AC于点H,|AD|=|CD|,tanN£)AC=],则方•=

AC

21.（2023•天津・统考二模）在ABC中，AB=3^2,角A为锐角，且向量至在向量,C上的投影向量的模

是3,则4=；若AC=6,则函数/（x）=苫42-：4。+142-：4。（尤61i）的最小值为

7T

22.（2023・天津和平・统考二模）在平行四边形ABCD中，/BAD=-,^AB,AD的长分别为2与1,贝UAD+AB

BMCN

在AB上的投影向量为（用AB表示）；若点M,N分别是边3c,8上的点，且满足——=——则

BCCD

AM-AN的取值范围是.

23.（2023•天津河西•统考二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1

是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,正八边形ABCDEPGH

中，若荏=4互+〃而（4〃eR）,则几+〃的值为；若正八边形A8CAEFG”的边长为2,P是正八

边形ABCDEFGH八条边上的动点，则Q.阮的取值范围是

试卷第4页，共5页

24.（2023•天津河东•统考二模）如图，在ABC中，ZBAC=^,AD=2DB，尸为。＞上一点，且满足

AP=mAC+^AB,则加的值为；若，ABC的面积为2JL,叶的最小值为.

25.（2023•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）在AABC中，AB=4,AC=3,C4C5=9.若

点。为边BC的中点，则；若点。在边BC上（不包含端点），延长AO到P,使得

AP=9,^^PA=mPB+\^-m\pC（根为常数），则|。4+0q=.

26.（2023•天津河西・统考三模）在平面四边形A3CD中，AB=BC=2CD=2,ZABC=60,ZADC=90,

若或=d=品=&＞则2怠.庆+/./=-----；若尸为边BC上一动点，当日1.宓取最小值时，则

cosZPDC的值为.

27.（2023•天津滨海新•统考三模）在平面四边形A3CD中，AB=2^3,AD=6,向量AB在向量AD上的投

影向量为:A。，贝|JNZMD=；若BC=；A£＞,点E为线段上的动点，则CEME的最小值为

28.（2023•天津北辰・统考三模）在ABC中，BA=a，8C=b,若。为其重心，试用0,6表示3。为；

若。为其外心，满足03c•8。+^^54出。=2M8O（"eR）,且sinA+sinC=&,则加的最大值为

参考答案:

1.A

【详解】设CP=2CD，则AP=AC+C尸=AC+XC£>=AC+2(AO-AC

=AC+A,^AB-AC^=^AB+(\-^AC=^AB+mAC,

[-2=-,1

所以，｛33,解得m=X=~.

m=1-2-

ABAC=\AB|-|AC|cos|=||AB|-|AC|=4,/.|AB|-|AC|=8,

|2(11A12121

AP\=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

IU2J943

=。网2+如C1+|>2破网2-K|2+|=4,

当且仅当时，即当|AA=/AC|时，等号成立.

所以，网的最小值为2.

故选：A.

2.D

【详解】BABC=O^:.BA±BC,

•・•梯形ABC。为直角梯形，

BDBA=^BA+ADyBA=BA2+ADBA=BA1=4,

:.\BA\=2>即BA=2,

由8。以。=4，同理可得A£>=2,

又向量”在向量CB上的投影向量的模为4,所以3c=4,

以8为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

答案第1页，共24页

则演0,D,A(0,2),D(2,2),C(4,0),

EM=EB+BC+CM=(0,-1)+(4,0)+2(-2,2)=(4-22,-l+22)

EN=EA+AN=(0,1)+—(2,0)=(—,1),

9A92

2Q1O

所以EM,EN=(4-2A,-l+2/l)-(—,1)=—+22-y,

11

由0W4且0<V1可得§—-1,

4

令力13,则由对勾函数单调性知，

/(X)=2(X+——

192

当4时单调递减，&时单调递增，

故“儿=后)=弓，由**，/⑴得知，/«ax=y-

故EATENe,

故选：D

3.D

【详解】取BC的中点D,则OD，3C,所以BCAO=BC(AD+DO)=BCAD+BCDO=BCAD

=(AC-AB>g(AC+AB)=；(AC-ABj=^(^2-c2)=^b2-[lb-b2^=b2-b=[b-^

因为<?=26-从>o,则Z>(6-2)<0,即0<b<2.

所以」43c-AO<2,

4

故选：D.

4.A

答案第2页，共24页

【详解】AC=BC=y/2<ABBC=-2,所以丽.配=2,则画cosB=",

|AB|2+|BC2-|AC|2IABI

又因为cosB_J_LL_1=q,

2AB-BC\2V2

所以网.殳=应0网=2,所以"=90。,

由尸C=1可得，点尸的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，

取AB的中点。，则2A+尸8=2P£＞，

所以=2\PD\=2（|CO|+l）=2x|-V2+2+1|=4,

IImaxIImaxI，12J

故选：A

【详解】由题意可知，如图所示

因为菱形ABC。的边长为2,ABAD=120°,

所以=,4=2,AB•AZ)=|AB||Ar)|cosl20°=2x2x=-2,

设OG=4DC,4e[0,l],则

AG=AD+DG=AD+ADC=AD+AAB，

因为3c=33E,所以3E=』BC=1Ar>,

33

AE=AB+BE=AB+-AD,

3

答案第3页，共24页

AG-AE=^AD+AABy^AB+^AD^=^AD2+AAB2+(l+^)AD-AB

=ix22+Ax22+fl+-L(-2)=—A--,

3I3)'，33

Q

当4=1时，AG-AE的最大值为g.

故选：B.

6.A

【详解】如图，设AC、网＞交于。.不妨设E点到8点的距离大于尸点到B点的距离.

AB

由AD=2C可知AD=3C且AZV/BC,所以平面四边形ABCZ)是平行四边形.

设|4国=",|")|=6,因为以-+生_44。，

所以丝+丝」AC」(AB+AO),AB+LA。，

ab22、>22

所以4=6=2,所以平面四边形A3CD是菱形.

又因为.AO=2，即丽.而=网.西〈os(%-ABAD)=-2x2cosABAD=2,

所以COS/BAO=-L,因为0<ZBAD<180,所以/BAD=120,

2

所以ZADB=ZABD=NCDB=NCBD=3。.BD=2OD=2ADcos30=2x2x—=2A/3,

2

因为IE尸|=石,所以向|+阳=G.

所以/=(AB+8E>(Ar»+O/)

=ABAD+ABDF+BEAD+BEDF

=|AB|-|AD|COS120+|AB|-|DF|COS30+|BE|.|AD|COS30+|BE|-|DF|COS180

=-2x2x5+21DF|-^+2|BE|-^-|BE|-|£)F|

=-2+^^|£)F|+|JBE|)-|BE|-|DF|

=-2+5/3-^-|BE|-|DF|

答案第4页，共24页

=I-|BE|-|DF|

当网J叫=0,即E点在B处或P点在£＞处时，AE.AF有最大值1,

因为1-阿•阿卬一'~~-=1-—='

I2)—4

当且仅当.@=,吁=¥时等号成立，所以AE-A尸有最小值，

所以AE-AF的取值范围为:，1.

故选：A

7.A

【详解】依题意MV=A7V-AM=；（AB+AC）—g（AD+AE）

=1（AB+AC）-1^|AB+|AC^|

=-AB+-AC,

63

y.BC=AC-AB.

由于MNLBC,所以MN.3C=0,

即］A2+gAc）（AC-AB）=0,

12121

即——AB+-AC——ABAC=0,

636

BP-1|AB|2+1|AC|2—||AB|-|AC|COSA=O,

即—*3H—x2—xy/3x-\/2xcosA=0,解得cosA=

6366

故选：A.

如图，由已知，MN=AJV-AM=5AB—（AZ）+£WW）=°AB—A。一JDC

=-AB-AD--x-AB=-AB-AD=-d-b.

22244

答案第5页，共24页

•*«MN=~A~^

4

设=即d与b的夹角为e,

BC=BA+AD+DC=+AD+—AB=——AB+AD=——a+b,

若MN工BC，则MN-2C=0,

—tz+Z?cos^-|z?|=0,

:%一。84811珊

例＞0,.•.由基本不等式,

272

3

8bLI।

当且仅当同—,即同=2后忖时，等号成立.

6\b\

故答案为：%-b.20

3

9.—/0.5—6

2

【详解】

第一空:贝!!AT>=4,y.AE=AC+CE^AC+-DA=AC--AD,

22

CD=CA+AD=-AC+AD,^AE-CD=IAC-^AD\-AC+\231.2

AD\=-AC+-ACAD——AD

/22

31

二一9+—x3x4xcos/BAC—8=—8,解得cosNBAC=-

22

第二空：设AB=2AC(0W2Wl),DF=DA+AF=-AD+AAC，EFEC+CF=^AD+(A-l)AC,则

12)2

DFEF=-AD+AAC■|AD+(2-1)ACJ=-—AO+l-12jAD-AC+2(2-lAC

2

2

=-8+6l1-^121+92(2-1)=922-122-2=9l2-12l-6,当％=g时，跖取得最小值一6.

23

故答案为：；；—6.

”=(-1,。)或(0,-1)［与g

10.

【详解】设九=1,y),^m-n=x+y=-l,

答案第6页，共24页

fx=-1fx=O

；•[y=0n或[y=-l1,

〃=(-1,0)或(0,-1)，

"与4夹角的（则〃=（0,-1）

I22212兀AIc\I1f4TC.

〃+p|=cosx+cosI--xI=—(Z^1l+cos2x)+—I+cosI--2x

=l+—cos2x+———cos2x----sin2x

22\227

1I_\/3._1If7C-A

=14—cos2x----sin2x=14—cos—F2x

44213J

因为0<x<〃，

JT7T7T

所以0v2x<2a，—<2%H—<—F2Q,

333

•；〃+PeH,，

"吟「

I3jL2)

Ti<2a+—<—,

33

.兀，2兀

••一<QK—,

33

故实数。的取值范围是(号当•

11.732

【详解】如图建立平面直角坐标系，设|AD|=,i,则A（。,。），3（1,0）,D（0,a）,C（l,a）,

因为BE’BC,所以

所以AB=(l,0),=AD=(O,a),

答案第7页，共24页

所以AB-AE=1，AE-AD=y,因为AHAE=AE，

2_

所以l=g~,解得〃=0或〃=-g（舍去），

所以AC=（1,右），AE=[1,事],所以ACAE=lxl+gx¥=2.

故答案为：百；2

12.11+3

2

【详解】v|AB|=|BC|=|CD|=i,BA-BC=I,

又BA.BC=M,qcos8=：,故COSB=；,

TT

,：0<B<n,故8=1,

AABC为等边三角形，则,4=1；

22

V|CD|=I,cd=1,又DA-DC=1，，CD=DA-DC，

DC2-DA-DC=DC（DC-DA^=DC-AC=0,

：.ACLCD,

根据以上分析作图如下：

则/BCr）=150°,

则BDCD=^BC+CD）CD=BCCD+CD=-CBCD+CD。

答案第8页，共24页

=-lxlx

Ml2+T

7

2+石

故答案为：1;

2

n5

13.171

~6

【详解】因为AQ=mA3+〃AC,若点。在边所在的直线上,

则m+n=l；

以A为坐标原点，A3所在直线为％轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则A（0,0）,3（3,0）,C（0,4）,得直线2C的方程为方+]=1,

则可设尸1,4-其中0W/W3,

由忸。=2,得点。在以点尸为圆心，2为半径的圆上，

可设+2cose,4-g/+2sin”，

UUUJ（4、

由AB=（3,0）,AC=（0,4）,AQ=/+2cos6,4-§/+2sin6j,

因为AQ=mAB+nAC,

所以1+2cos8,4一$+2sin6）=（3九4〃）,

_/+2cos6

t+2cos0=3mm~3

所以I4，即J4,

4-乙+2sin6=4九4-与+2sin8

3n3=------------------

14

4

4/,4-9ein04

则/+2cos631.幻25./、（其中tan°=-）,

m+n=--------H--------------=—sm8+—cos6+l=—sin（8+0）+l"3

34236v7

所以1-34根+〃4*+l,

66

答案第9页，共24页

11111

gp-<m+n<—,故根+〃的最大值为二.

666

故答案为：1；—.

6

1423+2%।20

933

2

【详解】在中，AD=AB+BD9且BD=2DC，则=

.?2

^^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC

3333

2

所以加〃=§；

.12

又由AO=-A8+—AC,已知AE=；L45,AF=〃AC,

33

所以4B=JAE.AC」AF,可得A£)=J7AB+f_AC,

因为。、E、尸三点共线，且点A在线外，

(4,//>0),

所以5+*

。、/12.12a22._

2+//=(2+//)(-----1-----)=—+—+-----1----->1+2也.2=1+逑

则343433343〃丫34343

1+72

A=

当且仅当会*时,3

即V等号成立,

2+A/2

4=

3

所以几+〃的最小值为1+述.

3

故答案为：1；1+迪.

93

13

【详解】CM=CA+AM=-AB-ACBN=BA+AN=-AB+-AC,

f22

CM-BN=-AB-AC\-AB+-AC\=~-AB2+-AB-AC--AC2

(2八2J242

—I—x------=—

24228

设|CN|=〃7,

则CM=C4+AM=2mAB一AC,BN=BA+AN=-AB+(1+m)AC,

答案第10页，共24页

CM•BN=[imAB-AC)•(-AB+(l+m)AC)

=-2mAB+^1+2m+2m2AB-AC—(1+m)AC=—2根+；

—m2—02m—1=/(m—1)—3,

2v72

3

当机=1时，CATBN有最小值为-

93

故答案为：--；--

o2

1^1,4+26

16.—a+-b.........-

333

【详解】如下图所示:

因为。为A3的中点，则CD=C4+AO=C4+LAB=C4+L(CB-C4)=La+Lb,

22、'22

211

因为CE=2£»,则。石二彳⑺=彳^+彳万，

333

因为CF=nra，CG=nb，则EP=CP-CE=+=]机一gja.gb,

EG=CG-CE=nb-^a+^b^=-^a+^n-^b,

因为£、尸、G三点共线，贝!)EB〃EG，

所以，存在实数上使得£F=左EG，^\m-^\a-^b=k

BPmn=+,

11m+nc

所以,—F—=--------=3,

mnmn

因为过点E任作一条直线，分别交线段AC、BC于厂、G两点，且3W0,

则0<机<1,0<n<l,

,“一〜包「1/c/I1、1(.3〃1(..3几加14+2A/3

由基本不等式可得m+3〃=—+3〃)—I■—=—4H1—>—4+2.-------=------------

'3n)3(mn)31vmn)3

答案第11页，共24页

当且仅当:"时，即当l时，等号成立.

3n_m3+V3

——n=----------

Imn19

因此，加+3"的最小值是小也.

3

故答案为：L.

3

17.-10

3

UUIU

所以。C〃AB,即有。C〃,

又因为CD=-6,

ULUUULL

所以A»OC=6，

ULUUUW

即加A£hAB=6,

UUUUULU

Z-|A£)|-|AB|-cos60°=6，

解得t=g,

所以

2

uuu'iturn

所以|£(C|=5|A例=3,

UUUUUU.UUULUUU1

又因为AO+OC+C8+8A=0,

uuiriuumuumuumr

即AD+5A3+C3-A3=0,

UUULULUUUU

所以A2=2AD+2CB;

又因为A"=△£)+£>£■

UUU.ULU

=AD+mDB

uuuumuuuu

=AD+m(AB—AD)

UUUUUUUUU1uuu

=AD+m(2AD+2CB-AD)

答案第12页，共24页

IllllILILUH

=(m+1)AD+2mCB(fi<m<1),

2

又因为AE=(1+2)AD+§CB,

1+2=m+1m=—

3

所以c2，解得f

2m=--1

3X=-

1I3

如图所示：

取AB中点M,连接DM,

由题意可知。C〃MB且。C=MB=3,

所以四边形。CBM为平行四边形，

所以//BC,

又因为E尸〃2C,

所以DM〃EF,

HIT1IUT

又因为。£=产，

所以OE=；D5,

所以==FB=2,

uuniumn

所以=

uumUULLULIU1

由A8=2AO+2C3可得BC=

urnlunurniuumIUIiuuraiIHJHHIT

所以/。二方5+5。=—AB+AD——AB=一一AB+AD,

uirixmumroLUT

FD=FA+AD=——AB+AD,

3

ixmuun2uu®LUTiuumuuir

所以尸。•/C=(——AB+AD)(一一AB+AD)

36

iuuffl25tunuuriULr?

=-AB——ABAD+AD

96

=—x62——x6x4x—+42

962

答案第13页，共24页

=10.

故答案为：—；10

1。38

18.——

25

【详解】设向量==贝!JW=W=1,Q-Z?=。

,1.231213

可得AM・AC=(a+—b>(a+Z?)=a+-a-b+-b=1+0+-=-,

222

AAM+JuBN=A(AB+BM^+iu(BD+DN^=^AB+^AD^+JLi^AD-AB^+DN^

—X(Q+—/7)+/7(Z?——Cl)—(4——//)Q+(-4+//)Z?,

\1,

Z——"二1

又因为A3=a+6,可得i2，解得X=g,〃=g,所以2+〃=g.

-A+//=l

19.6-2

【详解】由题意可得IICP|-cos/PCB1=1CB1=6,

即向量。尸在向量CB上的投影向量的长度是百；

如图，以A为坐标原点，AB为x轴，A。为y轴，建立平面直角坐标系,

设尸(30),(0j42),则4(0,0),3(2,0),(7(2,百),£)(0,6),

故CP=(X-2,Y),PD=(-X,6),

则CPPD=-x2+2x-3=—(x-1尸-2,

当x=le[0,2]时，0尸・尸。取最大值为-2,

故答案为：G;—2

20.^^/-V10—

5541

答案第14页，共24页

ArCD

【详解】加|=卜2卜|。|=,=5

由角平分线的性质定理知AD是/BAC的角平分线，NBAD=ZDACe10,j

*：\AD\=\CD\,：.ZC=ZDAC.

i.13

•「tan/DAC=—,「・可得sin/DAC=,cos/DAC=,

3

/.cosC=cos/DAC=-j=

A/10,

△ADC中，由余弦定理得：=|AC『+|CD「-2|ACHCD|COSC,

即|47|=2|8)|X>=>|CD|

ACAC63M

ADcB=^o=­

13

在/ABC中，sin/C=sin/ZMC=—?=，cosC=cos^DAC=—^=

VioVio,

•・•A。是/B4C的角平分线,

133

sin^CAB=sin2C=2sinCcosC=2xx=

5

2_4

cos^CAB=l-2sin2C=l-2x

~5

334113

.・・sinZCBA=sin(/CAB+NC)=_x_____।__x____—_____

5VTo5V10-5-710,

由正弦定理得：四

sin/CBAsmZCAB'

3

合“卜K3M^|AC|,而|CD|=|AD|=平|Aq,

5^/10

Vio

3Lk」3

\BC\3而18

13

取AB,AC为基底，则由",三点共线可得：AM=(1-A)AH+AAB®,

由C,£>,B三点共线可得：A£)=(l—〃)A?+〃A3；

即AO-AC=〃(AB-AC),CD=pCB,：./J.=—,

答案第15页，共24页

513

即二AC+—AB②.

1818

AM\=-m

①式可化为：3AM=3（1-2）AH+3AAB，即仞=3（1-4）AH+32AB③.

设焉=，，则AH=rAC，代入③:">=3（l-2）rAC+34AB④.

AC

£13L13

jA,——z=—|A”|S

②④对照得：18v,解得?，即;^=万

3（1-Z）r=—t=一।।

P718[41

故答案为：士叵；3r.

541

21.：/45。屈

【详解】由向量AB在向量AC上的投影向量为|AQCOSA•百，

得向量AB在向量AC上的投影向量的模为|AQCOSA=3,

所以cosA=—,

2

又因角A为锐角，所以A=S，

如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，

则A（0,0）,3（3,3）,C（6,0）,

在AC上取2E,^#AD=|AC,A£=|AC,则E（2,0）,0（3,0）,

在AB上取点P使得AP=xAB,

则/（x）=xAB-^AC+xAB-^AC=|EP|+|DP|,

直线AC的方程为>=%,设点E（2,0）关于直线AC的对称点F（a