湖南省百校大联考2023-2024学年高二年级上册12月联考数学含解析

湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至

4.3.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A={82>。},…2,3,4},则AB=（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{4}D,{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的运算求解即可.

【详解】因为A={x|x>2},所以AB={3,4}.

故选：A

2.复数z满足（2-i）z-7+i=0,则2=（）

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解.

一朝、,7-i（7-i）（2+i）15+5i）.

【详解】由就思知，z=-----=-----------------=---------=3+1•

2-i55

故选：D

3.已知A为抛物线C：£=2py（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为9,到了轴的距离为6,

贝（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的定义结合题意可求得结果.

【详解】因为点A到C的焦点的距离为9,到x轴的距离为6,

所以^=3,则p=6.

故选：C

4.若直线4：4a—y+l=O与直线4：（。+2）1-殁一1=0平行，则。=（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或—2

【答案】B

【解析】

【分析】利用两直线平行的必要条件（系数交叉相乘积相等）求得的值，再检验，排除重合的情况即可.

【详解】因为/1〃心所以—片+4+2=0,解得。=一1或。=2.

当。=一1时，4与4重合，不符合题意.

当。=2时，k"符合题意.

故选：B.

5.有编号互不相同的五个祛码，其中3克、1克的祛码各两个，2克的祛码一个，从中随机选取两个祛

码，则这两个祛码的总重量超过4克的概率为（）

3121

A—B.—C.—D.-

10552

【答案】A

【解析】

【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】记3克的祛码为4，4，1克的祛码为C1,C2,2克的祛码为3,从中随机选取两个祛码，

样本空间

O=｛(A，4),(4I),(A，G)，(A，C2)，(4,5)，(4，G)，(4C)，(5,CJ,(5,C2),(GC)｝，

共有10个样本点，其中事件“这两个祛码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为3.

10

故选：A.

6.已知函数/(x)=Asin(@x+0)(A>0,®>0)的部分图象如图所示，则获卜()

【答案】B

【解析】

【分析】利用图象得出A=2,T=n,进而求得0=2，再代入点坐标，可得

/(x)=2sinf2x-^+2kii\,keZ,进而求出/j.

【详解】由函数/(%)=Asin(〃四+0)的图像可知A=2,

3T_13兀713兀e小2兀

—，则T=兀，co--=2.

4~~L2~34T

2sin(2x等+°STT

=2,解得0=---卜2kijkcZ

3

则/(x)-2sin12x—g+2feieZ,

上心工(3兀1c•I。3兀5兀o711

故/1I=2sinI2x----+2左兀J=-1,kwZ.

故选：B

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且原6〉0,S37<0,则当S“取得最大值时，”=)

A.37B.36C.18D.19

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的性质与前几项和公式推得48〉0，卬9<0,从而得解.

【详解】因为S36=—3^——=18（q+心）=18（即+须）〉0，

S37=37[47）=37；须=37心<0,

所以。18〉0，%9<0，从而当〃=18时，s“取得最大值.

故选：C.

22zy

8.已知产是双曲线E:5-£=1（。〉0]〉0）的左焦点，。为坐标原点，过点产且斜率为号的直线

与E的右支交于点MN=3NF，MF±ON,则E的离心率为（）

A.3B.2C.gD.72

【答案】B

【解析】

【分析】取的中点为尸，连接"耳，尸月,根据题意得到。双//两，求得|上闵=|M|=2c,结合

tanNMFFyU,得到cosNMEF；=士m=二，结合双曲线的定义，得到c=2a,即可求解.

132“4

22

【详解】如图所示，双曲线石:二―3=1的右焦点为耳，破的中点为P,连接PF1,

ab

因为MN=3NF，。为歹耳的中点，所以ON//P片，则M/工尸耳，可得|上明|=归耳|=2c,

、/7\MF\3

又因为tan/MW=、一，所以cosNMF/；=占扁=二，

132“4

贝UpWF|=3c,\MF\-\MF^3c-2c^c^2a,可得e='=2,

所以E的离心率为2.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.甲同学通过数列3,5,9,17,33,…的前5项，得到该数列的一个通项公式为=2"+根，根据甲

同学得到的通项公式，下列结论正确的是（）

A.m=\B.m=2

C.该数列为递增数列D.a6=65

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据首项可得m=1，再逐个选项判断即可.

【详解】对AB,由q=2i+m=3,得〃2=1,故a“=2"+l,故A正确，B错误；

nnl

对C,an-an_{=2-2-=2,>0得该数列为递增数列，故C正确；

n

对D,an=2+i,则。6=26+1=65,故D正确.

故选：ACD

10.某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170,身高的方差为24,女

生身高的平均值为160,身高的方差为19,则（）

A.该班全体学生身高的平均值为165B.该班全体学生身高的平均值为166

C.该班全体学生身高的方差为46D.该班全体学生身高的方差为44

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平均数与方差公式求解即可.

32

【详解】由题可知，该班全体学生身高的平均值为《xl70+wxl60=166,

该班全体学生身高的方差为1[24+（170—166）2]+|[19+（160—166）2]=46.

故选：BC

11.已知椭圆。：二+二=13〉5〉0）与双曲线。：必—匕=1有相同的焦点月，F,且它们的离心率

ab32

互为倒数，P是C与。的一个公共点，则（）

A.|P制一=B.|助|+归闾=2山阊

C.鸟为直角三角形D.。上存在一点Q,使得

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义即可判断AB；联立关

系式求出|。制,|0耳|的值，根据三边关系即可判断C；若则点Q在以耳耳为直径的圆

x2+y2=4±,联立方程求解即可判断D.

【详解】设片（-G0）,耳（c,0）,双曲线。的半实轴为q〉0,半虚轴为4>0,

椭圆C的离心率为e与双曲线。的离心率为/,

由双曲线的方程可知：4=1,4=有，则°=荷+丁：=2,弓=十=2,

则片（—2,0）,乙（2,0）,椭圆C的离心率为，

a2=b2+c2

贝卜c=2,解得a=4,6=.

c1

e=—=—

、a2

对于选项A：由双曲线定义可知：归片H%h2=g区闾，故A错误；

对于选项B：由椭圆定义可知：|尸制+|?周=8=2|耳阊，故B正确；

对于选项C：根据对称性，不妨设尸在第一象限,

尸用+|尸鸟=8〕P周=5

解得《

尸川-|尸鸟=2〔|叫=3

即归与「=归区『+闺闾2,可知「鸟，£匕

所以月为直角三角形，故C正确;

对于选项D：若QEJ_QE，则点。在以4耳为直径的圆V+y2=4上,

X2+y2=4

联立方程if2,方程组无解，

——+—=1

11612

所以C上不存在一点Q,使得。耳鸟，故D错误；

故选：BC.

12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.

已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折

成了直二面角（其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9）.设肱V的中点为肱V|=4jL若长度为

2的时针Q4指向了钟上数字8,长度为3的分针。2指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒

针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确

的是（）

/102、/io

图।图2图3

A.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则。

B.若秒针OC指向了钟上数字5,如图2,则N4〃平面OBC

则5C与A"所成角的余弦值为叵

C.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,

7

103

D.若秒针OC指向了钟上数字4,如图3,则四面体OABC的外接球的表面积为一兀

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A,B,C,求出四面体Q43c的外接球的表面积，判断D.

［详解］＞6g3M

/

X

如图，以。为坐标原点，08所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（1,-AO）,B（O,O,3）,M（o,273,0）,N仅,—26,0）.

若秒针OC指向了钟上数字5,则

3、

C(I,-AO),BC=,-,-31OB=(0,0,3),

则（9AOB=0>所以。4,3C，A正确.

OALOB,故OA是平面OBC的一个法向量.

因M4=(l,6,0),所以OA.M1=-2H0,

所以。4与ML不垂直，从而ML与平面OBC不平行，B不正确.

'33X/3、

若秒针OC指向了钟上数字4,则C不+，。，

（22J

AM=(-1,3后0),3C=3

(22,

cos(AM,BC)=AMBC12V14

>C正确.

AM||BC277x372

由AC=5,弓一,0,得|AC|=M.

因为NAOC=120，所以QC外接圆的半径厂叵

2sin/AOC

则四面体OABC的外接球的半径R=、产+2,则R?=,

V412

1Q3

故四面体Q43c的外接球的表面积为4兀R2=飞_兀，D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知向量加=（2,x）,〃=（-4,X+2）,若m_1_〃，则％=

【答案】2或-4

【解析】

【分析】根据向量的垂直的坐标运算可得答案.

【详解】因为心所以2义（-4）+%（%+2）=0,解得x=2或—4.

故答案为：2或-4.

14.已知〃龙)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，/(x)=ln(x2+2),贝|/(0)+2/⑴=

【答案】-21n3

【解析】

【分析】根据R上的奇函数特征易得/(0)=0和/(1)=—/(—1),代入即得.

【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以"0)=0,/(l)=-/(-l)=-ln3,则

/(O)+2/(l)=-21n3.

故答案为：-2In3.

15.某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的

120%,则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过年.

【答案】4

【解析】

【分析】根据指数函数性质即得.

【详解】设经过〃年后，该商品年产量超过20000件，贝以0000x1.2">20000，BP1.2">2.

因为1恭=1.728<2，L2,=2.0736>2，所以至少需要经过4年.

故答案为：4

|PA|

16.若A,3是平面内不同的两定点，动点P满足1^=左(左>0且人工1),则点P的轨迹是一个圆,

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点4(1,0),

C(4,0),。(4,9),动点尸满足襟=；,则21Pq—|PC|的最大值为_____.

rcl2

【答案】6M

【解析】

|PA|1

【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定局=利用三角形三边关系可知当A,D,P三点共线时,

|PD|-|PC|=|AZ)|,即为所求最大值.

【详解】设pq,y),则冏="1)2+/

整理得f+V=4,

\7|PC|2

则P是圆C：f+y2=4上一点，

IPAIiIIII

由裙=5,得|pq=2i?4如图所示

当且仅当A,D,P三点共线，且A在。尸之间时取得最大值.

又因为|AD|=+（0-9『=3M,

所以21Pq—|PC|的最大值为645

故答案为：6A/10.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在正项等比数列｛。“｝中，4=4,。4=%+2。2.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若〃=log24,证明也｝是等差数列，并求｛%｝的前，项和S“.

【答案】（1）=2向

“2+3〃

（2）证明见解析，S,=

"2

【解析】

【分析】（1）设｛4｝的公比为q（q>o）,然后根据题意列方程可求出q,从而可求出4；

(2)由(1)可得用=〃+1,从而可证得｛2｝是以2为首项，1为公差的等差数列，进而可求出5“.

【小问1详解】

设｛4｝的公比为q(q>0),由。4=%+2。2，得/一(7-2=0,

解得<7=2或彳=一1(舍去)，

因为q=4,所以4=q.q"T=4x2"T=2"+1.

【小问2详解】

+1

由(1)可知，bn=log2an=log22"=n+l,则2用一。=〃+2—(〃+1)=1.

因为4=2,所以也,｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

I，„,n(n-l)dn(n-1)n2+3n

故S=nb.+-----=2n+———-=------.

"n1222

is,已知圆G：/+y2—4x—5=o与圆G关于直线/：%—y+i=。对称.

(i)求G的标准方程；

(2)记G与G的公共点为AB,求四边形AC/C2的面积.

【答案】(1)(x+l)2+(y-3)2=9

(2)9

【解析】

【分析】(I)找到圆C1的圆心，半径，利用圆G与圆G关于/对称，求出圆心和半径即可;

(2)求出圆心距与C1到直线A3的距离，结合对称性即可求解.

【小问1详解】

将C1的方程转化为(尤—2)?+y2=9,可得G的圆心为(2,0),半径为3.

设。2的圆心为(。3)，半径为人因为G与关于直线八x—y+l=0对称,

2+ab.八

-------+1=0,

22

a=-1,

b-0,

所以《二…解得《b=3,

r=3,

r=3,

故C2的标准方程为(X+1)2+(y—3)2=9.

【小问2详解】

22

|qc2|=7(2+1)+(0-3)=3V2，

根据对称性可知G到直线AB的距离d=上阈=述，

22

则|阴=249-1=3后,

则四边形AC/C2的面积S=JAMGGI=9.

19.的内角A,B,C所对的边分别为“，b,C.已知02,Y，3廿成等差数歹|j.

(1)若(a-c)cos6=Z2(cosA-cosC),求包看

(2)若c=l,当cosB取得最小值时，求.ABC的面积.

【答案】(1)73

⑵好

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理结合正弦的差角公式，结合等差中项计算即可；

(2)根据余弦定理及基本不等式先求取最小值时的边长，再利用三角形面积公式计算即可.

小问1详解】

因为(Q-c)cosB=Z?(cosA-cosC),

所以(sinA-sinC)cosB二(cosA-cosC)sinB,

即sinAcosB-sinCcosB=cosAsin3—cosCsinB,

即sinAcosB-cosAsinB=sinCcosB-cosCsinB,

于是有sin(A-B)=sin(C-B),

所以A—6=C—6或A—3+C—3=兀，解得A=C或A+C=TI（舍去）.

因为。2,3〃成等差数列，

所以，+3b2=2a2♦

由4=。，得。=c,

所以片二3b2，即〃=J3b，

所以皿=13

SIILBb

【小问2详解】

由c?+36=2片，得匕2=|^2—

222212_________

口-2.212Cl+CClHC。I~①

则八a+c-b33a2c2,

cosB=---------=----------------=——+—>2J-----=—

2ac2ac6c3aV6c3a3

当且仅当。=2c=2时，等号成立，

此时sinB=A/1-COS2B=，

3

所以ABC的面积S=Lacsin3=@.

23

20.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，且8s“=(%+2)2.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若b“=------,求数列也｝的前九项和7；.

anan+l

【答案】(1)。“=4〃-2

(2)-^―

8〃+4

【解析】

【分析】(1)根据S”与%的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；

(2)运用裂项相消法进行求解即可.

【小问1详解】

当〃=1时，8si=(q+2『=8q,解得q=2.

当"22时，由8S〃=(a“+2)2,得8s“t=(4_]+2»

(3)以。为坐标原点，0E的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距

离的向量求法即可求出.

【小问1详解】

因为NABC=NA4D=90°,

所以AB1BC,AB±AD,

所以

因为AO<Z平面尸5C,BCu平面「5C,

所以AD平面尸5c.

【小问2详解】

取的中点E,连接OE，则四边形ABED为正方形.

过P作尸01平面A3CZ)，垂足为。.

连接04,OB,0D,0E.

由一已钻和上24。均为正三角形，得PA=PB=PD,

所以Q4=OB=OD,即点。为正方形ABED对角线的交点,

则OE±BD.

因为尸01平面A3CD,且0£u平面A3CD,

所以PO_LOE,

又BDPO=O,且5£>匚平面尸3£>,P0u平面尸3£),

所以OE_L平面PBD,

因为PBu平面/W,

所以OELPB.

因为。是的中点，E是的中点，

所以OElCD,

因此PBLCD.

因BD2=AB2+AD2=PB2+PD2)

所以PBLPD,

又CDPD=D,CDu平面尸CD,PDu平面PCD,

所以PB,平面PCD.

【小问3详解】

设ABCD=Q,连接尸。，则直线4为直线产。，

因为A£>〃5C,ADu平面D4O，BC(Z平面PAD,

所以BC,平面R4£),

因为BCu平面P3C,且平面R4£)c平面