湖北省2023-2024学年高二年级下册3月联考数学试卷含答案

湖北2024年云学名校联盟高二3月联考

数学试卷

命题学校：考试时间：2024年3月5日15：00-17：00考试时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线4：如+3y+2a=0与直线£2x+（a-l）y+（a+l）=0平行，则//心,是“々一，，的（）

A充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要

2.函数/（%）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（

A.r（i）＜r（2）＜/（2）-/（i）＜oB.r（2）＜/（2）-/（i）＜r（i）＜o

c.r（i）＜/（2）-/（i）＜r（2）＜oD./（2）-/（i）＜r（i）＜r（2）＜o

3.空间四边形ABCD中，AB=a＞AC=b＞AD=c，点尸为A3中点，点。为CD靠近。的三等分

点，则尸。等于（）

11,2

A.-aT—b—cBU+Z

233233

112112

C.——a——7b+—cD.—a+—7b+—c

233233

4.记等差数列｛%,｝的前几项和为S,，若生+。9=g+5，41=7,则16=（）

A.64B.80C.96D.120

5.直线/与曲线y=2«和圆V+y2=；都相切，则直线/斜率为（）

A.|B.—C.1D.百

22

6.记数列｛4｝的前〃项和是S“，前〃项积是7；.

①若是等差数列，则｛4｝是等差数列；

②若｛4｝和设,｝都是等差数列，则｛«„-Sj是等差数列；

③若｛4｝是等比数列，则｛2%+a,.｝是等比数列；

④若｛4｝是等比数列，则｛（9）总，是等比数列.其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.长方体ABCD—4与。］2中，AB=AD=2.A4=3,M为侧面。CCQj内的一个动点，且

A.CLBM,记与平面AA53］所成的角为a,贝。tana的最大值为（）

A而R2屈,4而初

233

2

8.椭圆工+y=l（a〉6〉0）的左焦点E（—c,0）关于直线法+。=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离

a

心率为（）

A.-B.|C.—D.B

3223

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题正确的有（）

已知函数了(%)在R上可导，若/'(1)=2,则lim"l+2—)-"1)=2

A.

-Ax

B（cos%）_xsiwc+cosx

VxJ%2

c.已知函数/（x）=ln（2x+l）,若/=则Xo=g

D.设函数的导函数为尸（x）,且/（x）=f+3靖（2）+lnx,则尸（2）=—：

10.双曲线具有如下光学性质：如图及，居是双曲线的左、右焦点，从右焦点工发出的光线冽交双曲线

右支于点P,经双曲线反射后，反射光线〃的反向延长线过左焦点若双曲线。的方程为

---匕=1,下列结论正确的是（）

916

A.若加上",则|尸耳卜|尸阊=16

B.当反射光线九过。（7,5）时，光由与一＞P-»Q所经过的路程为7

C.反射光线〃所在直线的斜率为左，则|左归0,，］

D.记点T（l,0），直线PT与L相切,则附|=12

11.如图：三棱锥尸—ABC中，面ABC,ZBAC=90°,PA=1，AB=&，AC=6M,

N,Q分别为棱BC,PA，PB的中点，E为棱尸C上的动点，过M,N,E的平面1交AB于产.下

列选项中正确的有（）

A.NE+M石的最小值为2

B.PE:CE=1:2时，AF:FB=1;2

C.三棱锥被平面a分割成的两部分体积相等

D.当E为中点时，N,E,M,F,Q五点在一个球面上，且球的半径为反

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.写出一个数列｛4｝的通项公式，使得这个数列的前几项和在〃=5时取最大值，4=.

13.已知抛物线y2=2px焦点为点尸，过点尸的直线/交抛物线于点A,8两点，交抛物线的准线于点

M,且MA=XAF，MB="BF,则％+〃=

14.过点A（0,2）的直线/交O：必+,2=9于/&,%）,N（%,%）两点，则

|3%+4、+16|+|3%2+4%+16|的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数歹（%）=e，T+；x,G（x）=-x+msinx（m0）.

（1）求函数/（九）图象在x=l处的切线方程.

⑵若对于函数b（x）图象上任意一点处切线4,在函数G（X）图象上总存在一点处的切线4,使得

k^l2,求实数冽的取值范围.

16.京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林木参与碳交易，

到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%,为了利于速生林木的

生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始，第九年年底的速生林木保有量为%万立方

米.

（1）求为,请写出一个递推公式表示a,与区,之间的关系；

（2）是否存在实数X,使得数列｛%+储为等比数列，如果存在求出实数X；

（3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方

米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？

（参考数据：1.28土4.3，1.2晨5.2,12°土6.2，1.211»7.4）

17.如图，在三棱柱ABC-431cl中，四边形ABB14为正方形，四边形A&GC为菱形，且NA&C=60°,

平面平面ABB14,点。为棱8月的中点.

(1)求证：A\LCD.

(2)棱耳G上是否存在异于端点的点使得二面角3-AM-用的余弦值为®?若存在，请指出

4

点M的位置；若不存在，请说明理由.

18.已知常数s>0,向量4=(0,1),b=(s,0),经过点A(s,0)的直线A。以彳a+6为方向向量，经过点

3(—s,0)的直线BD以〃;+4。为方向向量，其中XwR.

(1)求点O的轨迹方程，并指出轨迹£.

(2)当s=3时，点A为轨迹E与x轴正半轴的交点，过点T(6,0)的直线与与轨迹E交于尸、。两点，

直线AP、AQ分别与直线x=6相交于N两点，试问：是存在定点R在以M、N为直径的圆上？

若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由.

19.相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列

的形状把数分成许多类.现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数”之5：第一行是以1为首项，2为

公差的等差数列.从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：/(2,1)=/(1,1)+/(1,2)；f(ij)

为数表中第i行的第/个数.

/(")及2)“心-1)/(㈤

/(2,1)7(2,2)..曲-1)

/例“•/(加-2)

/(".0

⑴求第3行和第4行通项公式/(3,J)和/(4,J)；

(2)一般地，证明一个与正整数”有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当〃=%("eN*)时命题成

立；②以“当〃=左(左eN*,左2％)时命题成立”为条件，推出“当〃=左+1时命题也成立.”完成这两个步

骤就可以断定命题对人开始的所有正整数九都成立，这种方法即数学归纳法.请证明：数表中除最后2行

外每一行的数都依次成等差数列，并求/(/,1)关于z(z=1,2,•••,«)的表达式；

(3)若/41)=力(q—1),伪=」一，试求一个等比数列g(z)U=1,2,…使得

aiai+l

S0=4g(l)+dg(2)+~+dg(〃)<g,且对于任意的机均存在实数X，当八>2时，都有

S">m.

2024年云学名校联盟高二3月联考

数学试卷

命题学校：考试时间：2024年3月5日15：00-17：00考试时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线4：-+3丁+2a=0与直线6：2x+（a-l）y+（a+l）=0平行，则是“°=-2，，的（I

A,充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】当《〃6时，有。（。―1）=6,故。=—2或。=3,

当。=3时，乙的方程为九+y+2=0,的方程为％+丁+2=0,此时两条直线重合，不符合;

当”=一2时，乙的方程为2x—3y+4=0,"的方程为2x—3y—1=0,符合；

综上,“〃4”是“。=是”的充要条件，

故选：B.

2.函数/（%）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

2x

A./"）＜八2）＜/（2）—/⑴＜0B./'（2）＜〃2）-

c.r（i）＜/（2）-/（i）＜r（2）＜oD./（2）-/（i）＜r（i）＜r（2）＜o

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.

【详解】

设A(l,/(1)),5(2,/(2)),由图可得了”)<a<(2),

故广⑴<〃2）-〃1）<（（2）<0,

故选：C.

3.空间四边形A3CD中，AB=a，AC=b>AD=c，点P为A5中点，点。为CD靠近。的三等分

点，则尸。等于（）

A.L+4+NB.

233233

1-1；2-112

C.——a——b+—cD.——a+—b7+—c

233233

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的加减法规则,运算即可得出结果.

【详解】在四面体ABCD中，AB=a,AC=b，AD=c>

点尸为A5中点，点。为CD靠近。的三等分点，则

PQ=AQ-AP=\^AD+^DCj-^AB=AD+^AC-AD)-^AB

Ln1…2f11,2

=—ABH—ACH—AD=—ciH—bT—c

233233

故选：D.

B

Q

4.记等差数列｛4,｝的前几项和为s〃，若%+“9=&+5，41=7,则%=（）

A.64B.80C.96D.120

【答案】C

【解析】

【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案.

【详解】设公差为d,

Q]=3

q+4d+4+8d—dq+7d+5

则s7r，解得,,2,

q+10d=7d——

5

故鼠=16q+120Q=48+120x|=96.

故选：C

5.直线/与曲线y=2«和圆尤?+必=:都相切，则直线/的斜率为（）

R也

D.----------C.1D.73

2

【答案】C

【解析】

【分析】设直线/与曲线y=2&相切时的切点为4（玉）,2衣），根据导数的几何意义可求直线/的方程,

再根据与圆相切可求吃,故可求公切线的斜率.

【详解】圆的圆心为原点，半径为巫.

22

设直线/与曲线y=24相切时的切点为4（/，2后），其中与＞。.

,11

因丁=~r,故直线/的斜率为

7x

故直线/的方程为：丁一2A1（%_尤0）即、=/=尤+A，

yxo

整理得至U：x-y/x^y+xQ=0,

|x|V21

因该直线与圆相切，故一0^=二］，故毛=1或%=——（舍）,

#+x（）22

故直线/的斜率为1,

故选：C.

6.记数列｛。“｝的前”项和是S”，前九项积是7“.

①若2是等差数列，则｛4｝是等差数列;

n

②若｛«„｝和｛s“｝都是等差数列,则｛«„-S0｝是等差数列；

③若｛4｝是等比数列，则｛2%+4+1｝是等比数列；

④若｛4｝是等比数列，则，7；）总｝是等比数列.其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列通项的形式和定义可判断①②的正误，根据反例结合等比数列的定义可判断③④的正

误.

【详解】对于①，若,工4是等差数列，则之二加+沙，故S“=加+加，其中左,6为常数,

InIn

k+b,n=lk+b,n=\

故4,整理得到：a=<

n2kn+b-k,n>2

故a“=2kn+b—k,止匕时an-=2左，故｛a,｝是等差数列，故①正确.

对于②，因为｛S“｝为等差数列，则S0=SI+0z-l）d,其中常数d为公差,

S[,n=1W因为｛4｝为等差数列，故％=d,

Sf即为

2

故anSn=dS[+(n-V)d-,此时anSn-a^S,^=d,

故是等差数列，故②正确.

对于③，设等比数列｛4｝的通项为an=(―2)”,贝U2an+an+l=0,

此时｛2%+a“+J不是等比数列，故③错误.

对于④，设等比数列｛%｝的通项为4=3X2"T,

"5—1)22〃

则Z,=3x(3x2)xx(3X2"T)=3"2^^，此时广I=3商2"，

22n+22

-2

(T丘3n2用2什22n

此时:—5----=2x3〃〃T=2X3"("T,故不为常数,

<"42Ln2

⑵)短！3M2”亿产

不是等比数列,

7.长方体ABC。—4片。1。中，AB=AD=2，AA=3,M为侧面内的一个动点，且

AC1W,记与平面与所成的角为a,贝hana的最大值为()

R25「4而

A.叵D.-----

233

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可.

【详解】

以。为原点建立空间直角坐标系，必有A(2,0,0),4(2,0,3),C(0,2,0),

§(2,2,2),设M(0,)，而BM=(—2,m—2,九)，人。=(―2,2,—3),

由题意得ACL5M,故AC-BM=0,得4+2加—4一3n=0,故2m=3",

2-2

故A1(0,m,耳机)，BM—(—2,Z72—2,—ni),易知面AAB4的法向量〃=(1,0,0),

一.BMn-22

故smo=—n~=-------------1=.=，

〃•历MrL42/c\2/132Ao

IIIIvlxJ4+—m+(m—2)J—m—4m+8

m-------4----__"18

若tana最大，贝！Jsina最大，由二次函数性质得当。1313时，sini最大,

2x——

9

此时sina=4亘2折

cosa=-------

1717

17A/O

此时tan。最大，且tana=—^==---,显然A正确.

2历2

17

故选：A

2

8.椭圆工+y=l（a〉6〉0）的左焦点E（—c,0）关于直线法+。=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离

Q

心率为（）

A.-B.|C.—D.B

3223

【答案】C

【解析】

【分析】求出/（-c,0）关于直线法+。=0的对称点后代入椭圆方程后可得椭圆的离心率.

【详解】设――c,0）关于直线法+°=0的对称点为P（m〃），

n_c_b2c-c3b2c-c3

〃〃一crm=

m+cbb+ca

则4，解得《即,

7m-cn2bc22bc2'

bx--------bcx一二=0

122H-rcH=2

,b-+cLa

…一，，,仅27)2

4b~c4

整理得到(

叩产仕俯囱上，改4e22e2—lj+4e4=1,

a.1

a21b?

其中e=f（为椭圆的离心率）,故（1—2e2）（2e4+e2+l）=0,故1五

a

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题正确的有（）

A.已知函数“X）在R上可导，若/'（1）=2,则+2A/⑴=2

■f。Ax

B（cos%）_xsinx+cos%

VxJ%12*

c.已知函数/（x）=ln（2x+l）,若=则/=；

D.设函数八％）的导函数为/'（x）,且/（x）=f+3次（2）+lnx,则尸（2）=—：

【答案】CD

【解析】

【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数

的运算规则可判断C的正误.

【详解】对于A,lim/（1+2闵-〃1）=2lim〃l+2Ax）-”1）=2/，0）=4,故A错误.

―一。Ax-2Ax'7

“工口（cosx\-xsinx-lxcosx-xsiwc-cosx钻「电、口

HB,--------=----------------------------------------------------,故^BTH

VXJXX

1,2/、21

对于c,f'（x\=----（2x+l）=-----,若/=~7=1即/=—,故C正确.

770

―2x+V2x+l'2x0+l2

119

对于D,/,（x）=2x+3/,（2）+-,故/'（2）=4+3/'（2）+—,®/（2）=--,故D正确.

x24

故选：CD.

10.双曲线具有如下光学性质：如图右，居是双曲线的左、右焦点，从右焦点B发出的光线加交双曲线

右支于点P,经双曲线反射后，反射光线九的反向延长线过左焦点耳.若双曲线。的方程为

22

--^=1,下列结论正确的是（）

916

A.若以，",则|尸耳卜|尸阊=16

B.当反射光线九过。（7,5）时，光由与->PfQ所经过的路程为7

C,反射光线〃所在直线的斜率为左，则阳€0,g]

D.记点T（1,O），直线PT与C相切，则|%=12

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：判断出/耳尸旦=90°,由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线

的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到〃所在直线的斜

率的范围；对于D：设直线PT的方程为y=1）,（左>0）.利用相切解得左=后，进而求出

P（9,8、/5）.即可求出|月P|.

【详解】对于A：若相则/耳卜6=90°.

因为P在双曲线右支上，所以忸日―医P|=6.由勾股定理得：闺呼+优斤=闺鸟「

二者联立解得：归片].归闾=忻司—（闺』—优」）=10°-36=32.故A错误；

对于B：光由玛所经过的路程为

\F2P\+\PQ\=|^P|-2a+\PQ\=闺尸|+\PQ\-2a=\F{Q\-2a=J（7+5p+（5-0『-6=7.

故B正确;

V224

对于C：双曲线工-乙v=1的方程为y=±—x.设左、右顶点分别为A、区如图示:

9163

当m与耳3同向共线时，〃的方向为5月，此时g0,最小.

因为P在双曲线右支上，所以〃所在直线的斜率为闵＜g.即阳e0,11

故C正确.

对于D：设直线PT的方程为丁=左（1—1）,（左＞0）.

y=^（x-1）

＜x22,消去y可得：（16—9左2）%2+18左2%—9公—144=0.

〔916

其中八=（18左2）2—4（16—9用（一级2—144）=0,即1152/=2304,解得左=血

代入（16—9左2）f+18左2左一9左2—144=0,有一2%2+36x—162=0,解得：x=9.

由尸在双曲线右支上，即:―[=1,解得：y=8&（＞=-8、5舍去），所以。（9,8近）.

所以困耳=J（9—5/+（8应—oj=12.故D正确

故选：BCD

11.如图：三棱锥尸—ABC中，24，面48。，ZBAC=9Q°,PA=1,AB=巫，AC=6，M,

N,。分别为棱BC,PA，PB的中点，E为棱尸。上的动点，过“，N,E的平面2交AB于尸.下

列选项中正确的有（）

A.NE+ME最小值为2

B.PE:GE=1:2时，AF;FB=1;2

C.三棱锥被平面a分割成的两部分体积相等

D.当£为中点时，N,E，M,F,Q五点在一个球面上，且球的半径为典

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合闵可夫斯基不等式处理A,利用平面的方程处理

B,利用截面计算体积为定值处理C,球的方程处理D即可.

由题意得NB4C=90°,故又面ABC,

故以A为原点建立空间直角坐标系，故A(0,0,0),尸(0,0,1),C(0,AO),N(O,O,g)

B(V6,0,0),M*与0)，设涉=4用，贝UE(O,国/一4)，

故NE+ME=《+22+-A/3/I)2+J(y/3-^2)2+(2--)2，

由闵可夫斯基不等式得=)2+(22--)2+J(-22+—)2+>2>

当且仅当延x(2/l—』)=立x(—2彳+工)时取等，故A正确,

4444

若PE:CE=1:2,则石(0,3,2),而EN=(0,—走，—,)，EM=

3336等

设面肱VE的法向量”=(x,y,z),故EN-〃=O，EMn=。，

贝!1一^^)一工2=0，^-x+-^-y——z=0>令x=3瓜,解得y=—26，z=12,

3-626•3

故〃=(3指,—28,12),设面任意一点坐标为S(x,y,z),ES=[x,y—亭z—g

可得面肱VE的方程为3瓜—26y+12z—6=0,当y=0,z=。时，x;号

故R(乎,0,0)，显然AF:EB=1:2成立，故B正确,

三棱锥上部分被平面a截为VB_PNE，VB_NEM，VB-NFM三部分，设原体积为1，

PN,PB,PE_1

设PE:EC=l:k(k>0),%—PNE

PAPBPC_2(左+1)

L

s---S-EC

2.EBM22EBC=4___k

VB-NEM

BEMqs—PC

Q.PBCrPtRfLC.4(k+1)

]S.FBM_】BF_k

sABC4(^+i)

+++=

故B-PNE+B-NEMB-NFM=4伏+1)4(^+1)万'

则三棱锥被平面£分割成的两部分体积相等，故C正确，

若E为中点，则E(0,2,g),Q咚与。),

EN=(0,—鼻,0)，EM=(*,0,—g)，设面肱VE的法向量s=(%,%,z。)，

z

则EN-n=Q'EM-n=0>则——^―y0=0>—^―x0~~^o=。，

令Xo=2#),解得%=0,z0=12,故s=(2C,0,12),

故ES=(x,-；)，则面MNE的方程为2cx+12z-6=0,

当y=O,z=。时，解得》=当，F佟,0,0)，

设过N,E,F,Q球方程为(x—a)2+(y—b)2+(c—z)2=/?2,将点代入方程,

可得(。一日)2+〃+°2=f，/+/+化_；)2=尺2,a2+(^_/?)2+(c_1)2=jR2

(冬ai+(T)2=R2,解得吗乎'b=%c=%R=浮，

故球的方程为（X—¥）2+（y—¥）2+（z—：）2=2,经检验，M也在该球上，

故N,E,M,F,Q五点共球，且球的半径为巫，故D错误，

4

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后求出关键点的坐标，得

到所要求的球的方程，最后得到结果即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.写出一个数列｛4｝的通项公式，使得这个数列的前〃项和在〃=5时取最大值，4=.

【答案】5-n（答案不唯一）

【解析】

【分析】可以利用等差数列的前几项和公式和二次函数的性质求解即可.

【详解】对于等差数列4=5—〃，其前“项1口S,=〃（%+♦"）="（4+5—，由二次函数

222

的性质可知，数列前九项和在〃=5或〃=4时取到最大值，

故答案为：5-n（答案不唯一）

13.已知抛物线V=2px的焦点为点尸，过点尸的直线/交抛物线于点A,3两点，交抛物线的准线于点

M,且A/A=XAF，MB=juBF,则2+〃=

【答案】0

【解析】

【分析】联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到22-4占％=0,再利用平行线分线段成比例，将长

度比转换为坐标关系，从而得解.

【详解】依题意，抛物线y2=2px的焦点b坐标为［言,0）,

易知直线/斜率存在，设直线方程为：y=W,4（和%）,3（々,%），

,7肖去得4左2^2—（4左2+16）X+左2夕2=0

“222

易知A>0,则王马=生4=幺，即。2一4%%=0,

4k4

过A作AQ垂直于x轴，过“作MQ平行于x轴，两者交于Q,

过8作6?垂直于x轴，交x轴于「，根据对称性，示意图如下,

p

XyH--

因为〃A=2AF，所以—2=%=襟=i2

AFFG

\\llXP----

12

p

x+

因为=所以〃\MB=\能\H=P\恸=2彳y

pp

国+方H--2（p2-4xx）

2?12

则％+〃=------+----

PP（P-2xJ（p-2々）

九|---------犬2

122-

故答案为：0.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（石,％）,（W，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为西+々、七々（或%+%、％%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

14.过点A(0,2)的直线/交「0：必+_/=9于/(%,%),N(x2,y2)两点，则

|3石+4%+16|+|3%2+4%+16|的最小值为

【答案】30

【解析】

,।,।(\3x,+4y,+16||3x,+4y,+16「

【分析】将网+4%+16|+|3X2+4%+16|转化为5x〔/?,1+〔/,，此式为MN的

Iv32+42V32+42)

中点G到直线3x+4y+16=0的距离10倍，求出G的轨迹后可求最小值.

过M,N分别作直线3x+4y+16=0的垂线，垂足分别为S,T,

设MN的中点为G,过G作直线3x+4y+16=0的垂线，垂足为“，连接OG,

,||,(|3x,+4y,+16|+|3x,+4y,+16|)

又X

|3x,+4M+16|+|32+4y2+16|=5x1八二53

=5x(|MS|+|A^T|)=10|GH|.

因为G为MN的中点，故。GJ_AG,

故G的轨迹为以。4的直径的圆，其方程为(x—0)(x—0)+(y—0)(y—2)=0,

即尤2+(y_l)2=],其圆心为C(0,l),半径为1，

|20|

C(0,l)到直线3x+4y+16=。的距离为=4,

732+42

故G到直线3x+4y+16=0的距离的最小值为4—1=3,

故|3%+4%+16|+|3%2+4%+16|的最小值为30.

故答案为：30.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数E(x)=e*T+gx,G(x)=-x+m&mx(m0).

(1)求函数/(％)图象在x=l处的切线方程.

(2)若对于函数歹(X)图象上任意一点处的切线口在函数G(x)图象上总存在一点处的切线杆使得

IU求实数，”的取值范围.

4

【答案】(1)y=-x

'3

(2)(-oo,-2]U[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)计算出/(1)，b'(1)的值，由此即可得解；

(2)首先E'(x)=ei+；〉；，由题意得出总存在—3〈心=G'(%)<0,即

G(x)=-1+mcosx(m0)值域包含(一3,0),由此即可列出不等式组求解.

【小问1详解】

F(l)=l+-=-,F,(x)=ex-1+-,F'(l)=l+-=-,

v733v73v'33

所以函数b(x)图象在x=l处的切线方程为y—g=g(x—1),即丁=3%.

【小问2详解】

由(1)可得，F,(x)=eA1+->-,

若对于函数歹(X)图象上任意一点处的切线4,在函数G(x)图象上总存在一点处的切线4,使得4，/2,

即对任意的勺=尸(工)>3,总存在原=G'(%)使得勺•心=-1,即—3=G'(%)<0，

又G'(x)=—l+mcosxwO),

从而G'(x)=-1+mcosx(m0)的值域包含(一3,0),

当》1>0时，G'(x)=-1+mcosx(m0)的值域为[一m一1,加-1],

-m-1<-3

所以,c,解得7"22,

m-l>0

当机<0时，G'(x)=-1+mcosx(m0)的值域为[加一1,一加一1],

—m-1>0

所以〈，C，解得mW—2,

即实数机的取值范围为(-应-2]U[2,+s).

16.京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林木参与碳交易,

到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%,为了利于速生林木的

生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始，第九年年底的速生林木保有量为%万立方

米.

(1)求为,请写出一个递推公式表示见-1与凡之间的关系；

(2)是否存在实数X,使得数列｛%+/为等比数列，如果存在求出实数X；

(3)该公司在接下来一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方

米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？

(参考数据:1.2屋4.3,1.2晨5.2，12°=6.2，1.2"。7.4)

【答案】16.4=223(万立方米)，an+l=|«n-17.

17.A=85,理由见解析.

18.至少到2032年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得力及递推关系；

(2)假设存在，则有4+1=44—/l+q/i,据(1)中的递推关系可求4=85,再证明此时｛%—85｝为等

比数列；

(3)令85+138x[g]N800,根据题设中给出的数据可得至少到2042年底才能达到公司速生林木保有

量的规划要求.

【小问1详解】

Oj=200(1+20%)-17=223(万立方米),

又an+i=(1+20%)%—17=ga,—17即

【小问2详解】

若存在实数2,使得数列｛为+%为等比数列，

则存在非零常数q,使得an+l+2=q(a"+冷，整理得到all+1=qan-A+qA,

=

而cin+i—cin—17,故9=qX—4=17即2=85.

当4=85,则4+1—85=j«„-102=j(a„-85),

4-1—856

而％—85=223—85=138w0,故。八—85w0即----————

c1n—855

故｛4-85｝为等比数列，故存在常数4=85,使得｛4+处为等比数列.

【小问3详解】

由(2)可得｛q-85｝是首项为138,公比为g的等比数歹！J,

故%-85=223x=85+223x,此时｛%,｝为递增数列.

令明24x200,则85+138x>800,

当〃=9时，85+138x(g]=85+138x(g]土85+138x4.3=678.4<800,

当”=10时,85+138x«85+138x5.2=802.6>800,

故至少到2032年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.

17.如图，在三棱柱ABC-451G