2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．（5分）已知集合，则A⋂B＝（）A．{0，2} B．{﹣2，0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2，4}2．（5分）若（i为虚数单位），则|z﹣1|＝（）A． B． C． D．3．（5分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知，则在上的投影向量的坐标为（）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）5．（5分）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（）A． B． C． D．6．（5分）函数的大致图象可能是（）A． B． C． D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（）A． B．2 C． D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱C1D1上的一动点，记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ，则cosθ得最小值为（）A． B． C． D．1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）（多选）9．（5分）某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.015 B．估计这40名学生考试成绩的众数为75 C．估计这40名学生考试成绩的中位数为82 D．估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在上是单调函数，且f（0）＝f（π）＝．则ω的可能取值为（）A． B．2 C． D．1（多选）11．（5分）过抛物线C：y2＝2px上一点A（1，﹣4）作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（）A．C的准线方程是x＝﹣4 B．过C的焦点的最短弦长为8 C．直线MN过定点（0，4） D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y﹣38＝0（多选）12．（5分）已知a＞b＞0．a+b＝1．则下列结论正确的有（）A．a+的最大值为 B．22a+22b+1的最小值为4 C．a+sinb＜1 D．b+lna＞0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知3人都在2至6层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是．14．（5分）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为小时．15．（5分）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝．16．（5分）若关于x的不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+cosC）．（1）求B；（2）已知BC＝2，D为边AB上的一点，若BD＝1，∠ACD＝，求AC的长．18．（12分）数列{an}满足a1＝1，．（1）设，求{bn}的最大项；（2）求数列{an}的前n项和Sn．19．（12分）如图．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求点A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，求平面ABD与平面CBD夹角的正弦值．20．（12分）科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验．已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（1）求方案甲化验次数X的分布列；（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣1，）在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ex+xsinx+cosx﹣ax﹣2（a∈R）．（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．【分析】利用列举法表示集合A，B，再利用交集的定义求解即可．【解答】解：，B＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，所以A⋂B＝{﹣2，0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，则z﹣1＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i，故|z﹣1|＝|3+i|＝．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3．【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．4．【分析】根据投影向量的定义即可求解．【解答】解：，则在上的投影向量为．故选：C．【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．5．【分析】根据伞完全张开的特征可得AD＝40﹣24＝16cm，根据伞完全收拢可得BD＝20cm，在△ABD中，利用余弦定理得cos∠BAD，即可得出答案．【解答】解：由题意得当伞完全张开时，AD＝40﹣24＝16cm，∵B为AD的中点，∴AB＝AC＝AD'＝20cm，当伞完全收拢时，AB+BD＝AD'＝40cm，则BD＝20cm，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，∴cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD﹣1＝2×﹣1＝﹣，故选：A．【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用x＝时的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝x2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B，f（）＝×（）2﹣×sin＝×（﹣1）＜0，排除D，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和单调性的性质，以及特殊值的符号是否对应是解决本题的关键．7．【分析】由题意得，利用正弦定理结合角平分线得，再根据双曲线的定义，结合题意，即可得出答案．【解答】解：作出图形，如图所示：∵PF2⊥F1F2，∴，即，在△PQF1，△PQF2中，由正弦定理得：∵PQ平分∠F1PF2，∴∠QPF1＝∠QPF2，即sin∠QPF1＝sin∠QPF2，且sin∠PQF1＝sin（π﹣∠PQF2）＝sin∠PQF2，故，则，∴，又∵，则，∴，整理得b2＝3a2，故c2﹣a2＝3a2，即c2＝4a2，∴c＝2a，即．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．【分析】由题意，如图建立空间直角坐标系，不妨设|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），求出平面A1BE的一个法向量，则，求出最大值即可求出cosθ得最小值．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），则A1（1，0，1），B（1，1，0），E（0，a，1），C1（0，1，1），所以，，，设平面A1BE的一个法向量为，由，令y＝1，解得，所以，所以，当a＝1时，sinθ＝0，当0≤a＜1时，令t＝1﹣a（0＜t≤1），则sin，函数y＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，在（0，1]上单调递减，所以当t＝1时，y＝t2﹣2t+3取最小值2，故此时，综上可知，，由于，故．故选：C．【点评】本题主要考查了求直线与平面所成的角，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9．【分析】对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可．【解答】解：根据频率和等于1得：10a＝1﹣10×（0.010+0.035+0.03+0.01）＝0.15，∴a＝0.015，故A正确；由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，故B正确；0.010×10+0.015×10＝0.25，0.010×10+0.015×10+0.035×10＝0.6，可知中位数落在[70，80）内，即中位数的估计值不是82，故C错误；上图各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，上四分位数在[80，90）内，设第75百分位数约为x，则：0.1+0.15+0.35+（x﹣80）×0.03＝0.75，得x＝85，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数的估计，百分位数，属于基础题．10．【分析】由已知单调区间可判断周期的范围，进而可以得出ω的范围，然后再对周期讨论求出对应的ω的可能值．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在[，π]上是单调函数，∴＝•≥π﹣，∴T≥π，且ω≤2，∵f（0）＝f（π），∴x＝是函数的图象的一条对称轴，∴ω×+φ＝kπ+，k∈Z，∵f（0）＝﹣f（﹣），∴所以f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0），若＝＝+，求得ω＝；若＝＝+，求得ω＝2．故选：AB．【点评】本题考查了正弦函数的周期性以及单调性，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．11．【分析】将A（1，﹣4）代入C中，即可求解抛物线方程，即可判断A，B，设，，直线MN为x＝my+n，并联立抛物线方程可得，y2﹣16my﹣16n＝0，再结合韦达定理，以及向量的数量积公式，即可求解C，由C分析所得的定点P，要使A到直线MN的距离最大有MN⊥AP，即可写出直线MN的方程，即可判断D．【解答】解：将A（1，﹣4）代入C中得p＝8，则C为y2＝16x，故C的准线方程为x＝﹣4，故A正确，当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误，设，，直线MN为x＝my+n，联立抛物线可得，y2﹣16my﹣16n＝0，∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣16n，∵AM⊥AN，∴＝•＝（y1+4）（y2+4）＝0，∵y1≠0，y2≠0，∴（y1+4）（y2+4）≠0，，化简整理可得，y1y2﹣4（y1+y2）+272＝0，∴﹣16n﹣64m+272＝0，得n＝﹣4m+17，∴直线MN为x＝m（y﹣4）+17，∴直线MN过定点P（17，4），故C错误，当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x+y﹣38＝0，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，需要学生较强的综合能力，属于中档题．12．【分析】由a＞b＞0，a+b＝1可得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，从而结合二次函数的单调性即可判断选项A；直接利用基本不等式即可判断选项B；由于a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），结合h（b）的单调性即可判断选项C；由于b+lna＝laa﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），结合g（a）的单调性即可判断选项D．【解答】解：由a＞b＞0，a+b＝1，得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，当＝，即b＝时，a+＝，而0＜b＜，故选项A错误；22a+22b+1≥2•＝2×＝4，当且仅当22a＝22b+1，2a＝2b+1，即a＝，b＝时等号成立，故22a+22b+1的最小值为4，选项B正确；由a+b＝1，得a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），则h′（b）＝cosb﹣1＜0，所以h（b）是单调递减函数，则h（b）＜h（0）＝1，故a+sinb＜1，选项C正确；b+lna＝lna﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），则g′（a）＝﹣1＝＞0，所以g（a）是单调递增函数，而g（a）＞ln﹣+1＝﹣ln2，且﹣ln2＜0，故选项D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，涉及构造函数模型求最值的问题，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．【分析】分①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯；②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，两种情况讨论即可求解．【解答】解：由题意，①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯，共有种；②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，共有种；故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是60+60＝120种．故答案为：120．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．14．【分析】设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，结合余弦定理得到，进而结合韦达定理即可求出CD，从而求出结果．【解答】解：设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2+AB2﹣2AP⋅AB⋅cosA，302＝x2+402﹣2x⋅40⋅cos45°故302＝x2+402﹣2x⋅40⋅cos45°，化简得，设方程的两根为x1，x2，则，所以，即图中CD＝20千米，所以B城市处于危险区的时间为小时，故答案为：1．【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．15．【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r＝＝＝2，解得r＝，设三棱锥S﹣ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，则OA＝2，OO1＝SA，∵，∴4＝3+，解得SA＝2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理、三角形外接圆半径，直棱柱的外接球及球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【分析】由题意，不等式变形为a（x+1）＜，用导数法研究f（x）＝的单调性，则不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l：y＝a（x+1）与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），即可求出a的取值范围．【解答】解：a（x+1）ex﹣x＜0⇔a（x+1）＜，又因为直线l：y＝a（x+1）过定点A（﹣1，0），令，故f（x）在（﹣∞，1）递增，（1，+∞）递减，，则，，∴不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），故．故答案为：[，）．【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB的值，结合B的范围即可求解B的值．（2）由题意利用余弦定理可求CD的值，由∠BDC＝+∠A，利用诱导公式，正弦定理可求cosA，进而可求tanA＝＝，即可得解AC的值．【解答】解：（1）因为a＝b（sinC+cosC），所以sinA＝sinB（sinC+cosC），即sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，所以cosBsinC＝sinBsinC，因为sinC＞0，所以cosB＝sinB，所以tanB＝，因为B∈（0，π），所以B＝．（2）因为BC＝2，BD＝1，∠B＝，根据余弦定理得CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cosB＝1+12﹣2×1×2×＝7，所以CD＝，因为∠BDC＝+∠A，所以sin∠BDC＝sin（+∠A）＝cosA，在△BDC中，由正弦定理知，＝，所以＝，所以cosA＝，tanA＝＝，所以AC＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．【分析】（1）构造等比数列，从而求出an的通项公式，进而得到bn的通项公式，即可求出最大项；（2）由已知利用错位相减法即可．【解答】解：（1）由得．又，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴，则，．当n≤7时，bn不会最大；当n＞7时，设bn是最大项，则bn+1≤bn，且bn﹣1≤bn，即，且，即n﹣6≤3（n﹣7）且3（n﹣8）≤n﹣7，解得．又n∈N*，∴n＝8，∴{bn}的最大项是．（2），①①×3得，②①﹣②得，∴．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了数列的最大项的求解，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．19．【分析】（1）取A1B的中点E，证明AE⊥平面A1BC，再利用等体积法求解作答．（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1，设点A到平面A1BC的距离为h，取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B，因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，则有AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，即有AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，因为AA1⋂AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，于是BC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，因此BC⊥AB，，，又，解得，所以点A到平面A1BC的距离为．（2）以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图，则A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），，设平面ABD的一个法向量，则，令x＝1，得，由（1）知，平面BDC的一个法向量为，因此，所以平面ABD与平面CBD夹角的正弦值为．【点评】本题考查点到平面的距离、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】（1）方案甲化验次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝0.4，由此能求出X的分布列．（2）方案乙化验次数Y的可能取值为2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Y分布列，求出E（Y）＝2.6，E（X）＝2.8．从而方案乙的效率更高．【解答】解：（1）方案甲化验次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝0.4，∴X的分布列为：X1234P0.20.20.20.4（2）方案乙化验次数Y的可能取值为2，3，P（Y＝2）＝+•＝0.6，P（Y＝3）＝＝0.4，上述均表示另2只中先抽有病或没病时，两种可能性，∴Y分布列为：次数23概率0.60.4E（Y）＝2×0.6+3×0.4＝2.4，E（X）＝1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.4＝2.8．E（X）＞E（Y），∴方案乙的效率更高．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【分析】（1）由题意知，，解之即可；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，借助相似三角形可推出＝|x1|+|x2|，再分点P在椭圆上、内、外等情况讨论，并结合换元法，函数的单调性等，即可得解．【解答】解：（1）由题意知，，解得a＝2，b＝，故椭圆C的标准方程为+＝1．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），其中k＜0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，Δ＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1），∴＝+＝+＝|x1|+|x2|，当点P在椭圆及外部，即k≤﹣时，x1≥0，x2＞0，∴＝|x1|+|x2|＝x1+x2＝＝∈[，2）；当点P在椭圆内部，即﹣＜k＜0时，x1＜0，x2＞0，∴＝|x1|+|x2|＝﹣x1+x2＝＝＝，令＝m，则1＜m＜2，∴x2﹣x1＝＝＝∈（，4），综上所述，的取值范围为[，4）．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，熟练掌握相似三角形的性质，换元法等是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22．【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率f