2023-2024学年高三年级下册数学独立作业（二）

2024届高三年级独立作业(2)

一、单选题

1.假设有一组数据为6,8,3,6,4,6,5,这些数据的众数与中位数分别是()

A.5,6B,6,4C,6,5D.6,6

4

2.在AABC中，28=2,4C=4,40平分184C交BC于。点，且4。=-,则8c=()

3

A.2bB.2石C.立iD.也

33

3.设等比数列｛a.｝满足a,+a,=20,%+4=10,则使4•％…a.最大的。为()

A.4B.5C,4或5D.6

4.在空间四边形48C0中，E,F分别是48和8c上的点，若4EEB=CFFB=12,

则对角线4c和平面DEF的位置关系是

A.平行B.相交C.在平面内D.异面

5.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为()

A.c；A；B.c；彳C.C：c；c；D.C：4；

6.已知平面向量3工工满足同=1,眄=技，3与了的夹角为45。，当卜一q=1时，的

最大值为()

A.1B,2C.3D.4

7.AA8C中，已知48=2夕，8c=3万，AC=7,。是边4C上一点，将辛48。沿8D

折起，得到三棱锥4-8C0.若该三棱锥的顶点八在底面8c。的射影例在线段8c上，设

BM=x,则X的取值范围为

A.(26,3>/7)B,(五,2五)C.(0,77)D.(0,2-77)

8.已知二次函数f(x)=/+2ax+2b有两个零点32,且T<若则直线

6x-(a-1)y+3=0的斜率的取值范围是

C.,-)D.(-co,--)u(­,+oo)

5253

二、多选题

以口为周期且在(。,或上单调递增的偶函数有()

9.下列四个函数中,

A.y=cos|2x|B.y=sn2xC.y=|tanx|D.y=gsnX

试卷第3页，共3页

10.已知为虚数单位，Z,=1+,4=7+,则下列选项中正确的有（）

A.z,>4B.4的虚部为1

C.在复数范围内，z2为方程zZ+2z+2=0的根D.z,=|zj

X

11.函数f（x）=E（xeR）,以下四个结论正确的是（）

A.f（x）的值域是（-1,1）

X+1

B.函数"=f（x）的图像与函数g（x）=og?——图像的交点为（占,乂），（X2%）,

x-1

（X3/3）,…，（X〃匕），则Xi+X2+X3+-+Xm=2

X

C.若规定工（X）=f（X）,力也⑶=f（f“（X））,则对任意的"€N*,f"（x）=­||

D.对任意的,若函数f（x）w『-2at+L恒成立，则当ae时，tw-2或

2

t>2

三、填空题

12.若命题TxeR,使得a/+ax-3NO"是假命题，则实数a的取值范围为.

13.已知正三棱柱4BC-4,8。的所有棱长均为2,。为线段CG上的动点，则A到平面

A、BD的最大距离为.

14.已知尸，Q为曲线C:y=-x2+i上在y轴两侧的点，过P,Q分别作曲线C的切线,

则两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值为.

四、解答题

15.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6,9,12,员工A隶属于甲部门.现在

医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为

7,且每个人血检是否呈阳性相互独立.

（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙，丙三个部门的员工中

分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率；

（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，

则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验;若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，

试卷第2页，共3页

再逐个化验.记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期望.

16.如图，在四棱锥*ZBC。中，侧面PAB1底面ABCD,S.ZPAB=ZABC=90°,ADIIBC,

PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.

E

4'D

⑴求证：。£1平面「56；

(2)求二面角4-户。-E的余弦值.

17.已知函数f(X)=XCOSX.

(1)求曲线y=f(x)在点(。，f(。))处的切线方程;

(2)若函数g(x)=f(x)+asnx在［-TI,n］上无极值，求a的值.

18.已知函数f(x)=axnx-x?(aeR).

⑴当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程；

(2)若函数f(x)在区间［1,e］上单调递增，求实数a的取值范围.

19.已知集合4=｛可3,…0｝中的元素都是正整数，且a,<a?<…<a.，集合A具有性质”：

对任意的且都有卜一小段.

(1)判断集合｛L2,3,4｝是否具有性质”;

.11/7-1

(2)求证：------；

/an25

(3)求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.

试卷第3页，共3页

2023-2024学年高三下学期数学独立作业（二）

参考答案：

1.D

【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得.

【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3,4,5,6,6,6,8,

所以这组数据的众数与中位数分别是6,6.

故选：D

2.A

【分析】设N84D=NC4D=，，由&皿+5A,”=S»,C,求得cos，=g,得到，=；,结合

余弦定理，即可求解.

_4

【详解】如图所示，由“8C中，48=2,AC=4,4。平分/84C交8c于。点，且4。=-,

设=Z.CAD=8、

*14141

可得邑的二£X2X彳sn纥S^ACD="x4x-sn^f且之诋=丁2x4sn28，

因为&m+S.A8=S△加，可得sn8=sn2。，即sn夕=2sn8cos夕，

因为外（。今），所以sn8>0,可得cos8=一,所以夕=%

2n

又由余弦定理得8c2=2,+4?-2X2X4COS—=28,所以8c=26.

3

故选：A.

【分析】因为等比数列｛4｝满足耳+。3=20,az+a,=1。，所以a,=16,公比q=；,求

得通项公式即可得结果.

a,+a.101

【详解】因为为等比数列，a1+a3=20,a2+a4=10,所以g=大/二藐=；

科+a3202

2

a1+a3=20=>a1+-g=20=>a[=16

所以露=4/'=2-

答案第1页，共2页

9n-n2Qn—n2

...—,当#4或5时，-~-取得最大值10,故a色冤…a.的最大值为

Jaa。2aa3a=22

2,0=1024

故选：c

4.A

【详解】如图，由当=凛，得ACIIEF.

EBFB

又EFU平面DEF,ACS平面DEF,

・•.ACII平面DEF.

考点：直线与平面平行的判定.

5.D

【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案.

【详解】选择两个球看成整体，共有种取法，再把三个球放入三个盒子中，有W种放法,

故共有种放法.

故选：D.

【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关

键.

6.B

【分析】设3=（1，。），％=（L1）,5=（x，y）,根据向量模长坐标表示可求得点C轨迹，由

己藤=*可确定最大值.

【详解】•,同=1,W=Q,一与，的夹角为45"•.可设:=（1,0）,6=（1,1）,

设5=（x,y）,由卜-可=1得：（x-"+（y_i）2=i,

则点C轨迹是以（ID为圆心，1为半径的圆，

•.后己=”,.・.当*=2时，/己取得最大值2.

故选：B.

答案第1页，共2页

7.B

【分析】根据题意可得:折叠前在图1中，4“18。，垂足为N,在图1中过A作4%18c

于“一运动点。，可得当点。与点C无限接近时，折痕8。接近8C,此时M无限接近S,

,在图2中，由于48是的斜边，所以8”<48,即可得：

BM,<BM<48,再在A48c由余弦定理求得NA8c=60。，然后在心心8”，中求得

8M、=$,即可得解.

【详解】解：因为将？48。沿8。折起，得到三棱锥4-8CD.且顶点4在底面8CD的射

影M在线段8c上，所以在图2中，AM1平面8CD,"MAN都与80垂直，

因此折叠前在图1中，AM].BD,垂足为N,在图1中过A作4Mli8c于“，，

运动点。，可得当点。与点C无限接近时，折痕8D接近8C,此时M无限接近”，，所以

8%<BM,在图2中，由于AB是RtMBM的斜边，BM是直角边，所以BM<AB,

因此可得：<BM<AB,

又因为48=2万，BC-3y/7,AC=7,

,28+63-491

所以C°s4BC=2x2g3b7'即48c=6。。，

由此可得在&tlBM,中，8Ml=48cos60°=6,

所以77<BM<2-77,

又BM=x,则X的取值范围为（正,25/7）,

故选B.

答案第1页，共2页

【点睛】本题考查了余弦定理及线面垂直，属综合性较强的题型.

8.A

f（-1）=1-2a+2Z?>0

【详解】由题意｛，⑴=1+2a+2d<00,在坐标系作出点（a㈤表示的平面区域，如图

f⑵=4+4a+2d>0

内部（不含边界），已知直线的斜率为k=一二，表示点3。）与点P（L0）连线的斜率，

a—1

31k=」一==k22

,8（——,一1）,"35,PB11-3,所以斜率k的范围是（一一,一）.故

22--------1--------153

22

选A.

9.BD

【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.

【详解】对于选项A,因为"=。。52乂在（唱上单调递减，所以y=cos|2x|（0,；J上单调递

减，故A错;

答案第1页，共2页

对于选项B,结合〃=tanx的图象性质，易知y=panx|是以n为周期且在（。,上单调递增

的偶函数，故B正确；

对于选项C,结合y=snx的图象性质，易知y=sn|x|没有周期性，故C错；

对于选项D,令年卜小，易知t=|snx|是以n为周期且在（。5）上单调递增的偶函数，因

y=gf也是单调递增的，所以y=g卜nx|是以n为周期且在（。,；）上单调递增的偶函数，故

D正确.

故选：BD.

10.BC

【分析】根据虚数定义可判断A;根据复数的分类可判断B;把4=7+，代入d+2z+2=o

验证可判断C;分别计算z,、可判断D.

【详解】因为44都是虚数，所以不能比较大小，故A错误；

因为4=1+,所以4的虚部为1,故B正确；

因为z2=-1+,所以（T+）+2（-1+）+2=1-1-2-2+2+2=0,

所以4为方程z2+2z+2=0的根，故C正确；

4z?=（T+）（1+）=2-1=-2,|z,|2=|l+p=2,

所以4z2引肃，故D错误.

故选：BC.

11.AC

【分析】利用函数的性质逐项判断即可

【详解】A：因为ow|x|<1+|x|,0<

X

故诬p（T1），函数"X）的值域为（T，1）,A正确;

X

B:函数“*）=行风的定义域为区，

答案第1页，共2页

—xX

且f(—x)-rr=_f(x)

1+Hi+|M

X

故函数「（X）=MM是一个奇函数,

X+1

9（，）=叫二？也是奇函数，，-+#』=。，故B错误;

X

C：当"=1,彳(X)=f(x)=^p[,f2(x)=

x

i+NX

"=­

1+3,「

14-----!—!——

1+2卜|

X

以此类推，可知f"（x）=777M，c正确.

X11

D：、eS1时，f（x）==n-=’因为y==在[。口上为减函数,

故f（x）在[0,1]上为增函数，而f（x）为奇函数,

故对于任意的x€[T,1],f（x）为增函数,

11

二函数的最大值为〃1)=一，要使函数f(x)v『-2at+一恒成立,

22

BPt2-2af+—>—,f2-2af>0.

22

设6(a)=-2ta+/，

万⑴=-2t+t>0t>2或t<0

若aW[T，1]时则《即

l/7(-1)=2t+t2>0t>0或f<-2

得t-2或t=0或t22,故D错误；

故选：AC

12.（-12,0]

【解析】转化条件为VxeR,ax?+ax-3<0,结合一元二次不等式恒成立即可得解.

【详解】因为命题TxeR,使得a/+ax-3N0”是假命题，

2u

所以其否定"VxeR,ax+ax-3<0^M^,

当a=0时，不等式为-3V0,符合题意；

答案第1页，共2页

a<0

2

当aw。时，则需满足A=a+12a<0'解得T2<a<°；

综上，实数a的取值范围为(T2,0].

故答案为：(T2,01.

13.五

【分析】取8c的中点E,连接以A为原点，AE所在的直线为，轴，'A所在的直

线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

【详解】取8c的中点E,连接AE,

因为三棱柱ABC-入8c为正三棱柱，所以AEi.BC,AA,1平面ABC,

因为AEU平面48C,所以4Al4E,

所以以A为原点，4E所在的直线为，轴，'A所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

因为正三棱柱ABC-48G的所有棱长均为2,

所以4(0,0,0),8(1,6,0),C(-1,0),4(0,0,2),

]gCD-m(0<m<2)t贝IjD(T,百,m),

所以~AB=(1,43,0),Afl=(1,出,-2),~BD=(-2,0,m),

当m=0时，fiD=(-2,0,0),

设平面的法向量为"=(*，%z),则

方•AB=x+百y-2z=0

,令2=m，贝巾=（0,2,百）,

n-BD=-2x=0

设A到平面A8。的距离为d,则

当mWO时，设平面A8。的法向量为"=(a,4c),则

答案第1页，共2页

n-A.B=a+y/^b-2c=0-(4—m2

k,=g+mc=。,令3,则飞标'7

设A到平面48。的距离为d,则

所以当m=1时，d取得最大值京=石,

所以A到平面A8。的最大距离为后,

故答案为：亚

9

【分析】因为p,Q为曲线C：y=-/+i上在y轴两侧的点，设pg-a",Q31-/）,

且a>O>b,又因为曲线C：¥=-r+1在点（“）的切线斜率为/=-2七得曲线在P,Q

答案第1页，共2页

两点处的切线/，和«求出直线与X轴交点E,F,直线/，和的交点G,所求图形AEFG

面积S=1(士口-±U)(1-ab),求最小值即为所求

22a2b

【详解】因为P,Q为曲线C：y=r、1上在丫轴两侧的点，设P(a,1-a2),。(41-/)，

且a>O>b,又因为曲线C：¥=-r+1在点(/，)的切线斜率为¥'=-2七所以曲线在P,

Q两点处的切线分别为4y=-2ax+a?+l和4y=-2bx+/+i,与X轴交点分别为

F(--.0),尸(J<0),直线4和，2的交点为G-J-ab,所求图形面积

2a2bk2J

1a1+1b2+1„„1111

S=­(-----------)(1-ab),即S=—(a—b)(2—ab——),令f(a,b)=—(a—b)(2—ab——)f

22a2b4ab4ab

假设。=4<。时，仆⑷才能取最小值，令f(a)=：(a-bj(2-ab。弋),贝|J

2

f'(a)=-2+2ab0-b0+-^,当，匕。)=0,即-2+Za。。。-"+工=°时，1nhi=f(a°),

aao

同理，当-2+2aM°-aJ+2=0时，f(d)mlii-fW,所以当-2+2a也-b：+工=o且

Doao

-2+2a也-品2+2=0时，f(a,6)最小，解得正，儿=也,

bo33

【点睛】本题以抛物线为背景考查三角形面积的最值，综合直线方程，导数的性质，三角形

面积等知识，要将求最值的几何量表示为某个参数的函数式，然后用函数或不等式知识求最

值

129

15.(1)分别抽2人，3人，4人，-；(2)分布列见解析，—.

34

【分析】(1)根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根

据古典概型的概率公式计算可得；

(2)记"每组血样化验结果呈阴性"为事件8,利用相互独立事件的概率公式求出户(8),则

x可取值2,5,8,分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；

【详解】(D由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为234,

由于采用分层抽样的方法从中抽取9人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取2

人，3人，4人.

记事件"：”员工A被抽到"，由于每位员工被抽到的概率相等，

21

所以员工A被抽到的概率为P(")===；.

63

答案第1页，共2页

(2)甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记"每组血样化验结果呈阴性”为事

件，

1_1

由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以

2a8,

则x可取值：2,5,8,

211

P(X=2)=(P(8))=—=—；

864

，一(1147

PiX=5)=C.P(SIP(B)=2x1——x—=—=一

[8J86432

所以X的分布列为下表:

【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率、相互独立事件的概率以及离散型随机变

量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值

情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊

分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属

于中档题.

16.(1)见解析；(2)-逅.

6

【分析】(1)根据条件可得?448,AD两两垂直，因此可建立空间直角坐标系，然后将。E1

平面PBC的问题转化成用向量证明DEi.PB,DE1PC的问题；(2)求出平面PAD,平

面PCD的法向量，利用两向量的夹角求出二面角的平面角.

【详解】⑴证明：因为侧面P481底面48C。，且NP48=48C=90°,ADIIBC,

所以户Hl48,PAAD,AD1AB,

如图，以点A为坐标原点，分别以直线A。，48,4。为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系.

^^PA=AB=BC=2AD=2,E是PC的中点，则有2(0,0,2),D(1,0,0),5(0,2,0),

答案第1页，共2页

C(2,2,0),£(1,1,1),

于是。E=(0，L1),P8=(0.2,-2),PC=(2,2,-2),

因为万=D£HPC=0,

所以。E1P8,DE1PC,S.PBnPC-P,

因此0E/平面PBC

(2)由(1)可知平面P40的一个法向量为q=48=(0,2,0),

设平面PCD的法向量为n2=(*.y-Z),

PD=(1,0,-2),PC=(2,2,-2),

PD8n=0,x-2z=0,

则2所以

pF8n2=0,2x+2y-2z=0,

不妨设z=1,则1=(2,T,1),

/一一\n.•n—2v6

8s=丽2=五短=-T，

由图形知，二面角4-P。-E为钝角，

所以二面角A-PD-E的余弦值为-逅.

6

【点睛】(1)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段

等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.

(2)用向量法解题的主要步骤为：建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式

计算.

(3)求平面间的夹角的方法就是分别求出两个平面的法向量，通过两个平面的法向量的夹

角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为【o,m,所以在求得两向量的夹角后还

要根据图形判断二面角的大小.

答案第1页，共2页

17.⑴y=x

⑵T

【分析】(1)利用导数的几何意义求解；

(2)因为g(X)在le叫上无极值，所以g(x)在［f,n］上单调，又g(x)为奇函数,所以g(x)

在［0，n］上单调，然后分为g'(0)=a+1=0,在0)=a+1>0,在0)=a+1<0三种情况讨论

求解.

【详解】(Df'(x)=cosx—xsnx,f(0)=0,=1.

故曲线y=f(x)在点(o,f(o))处的切线方程为y=x.

(2)g(x)=asnx+xcosx.

因为9。)在［-口,11］上无极值，所以g(x)在LEU］上单调.

因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数，所以g(x)在［OR上单调.

g\x)=(a+1)cosx—xsnx,g'(0)=a+1.

①当g'(0)=a+1=0,即a=-1时，g\x)=-xsnx.

当x£［0,n］时，g\x)<0,即g(x)在［0,n］上单调递减,符合题意.

②当g'(0)=a+1>0,即a>—1时，。(；)=一；<°，

所以存在4%2{°，；)，匕VX2,使得当xe(0,5)时，g'(x)>0,当XE}，；)时，g'(x)<。，

所以g(x)在(0,与)上单调递增，在［4,上单调递减，不符合题意.

③当g'(0)=a+1<0,即a<-1时，ff'(rt)=-(a+1)>0,

所以存在X3，x4e(0,n),X3<x4，使得当xe(0,4)时,g'(x)<0,当xe(x4,n)时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,%)上单调递减，在(4,n)上单调递增，不符合题意.

综上，a的值为t.

18.⑴y=r

(2)［e,+co)

答案第1页，共2页

【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；

(2)解法一：由题意得f'(x)N。在区间［1,e］上恒成立，设F(x)=a(nx+1)-2x,然后利用

导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数a的取值范围；解法二：由题意得

_2X__9v

f'(x)NO在区间［1,e］上恒成立，则aN-----------在区间n,e］上恒成立，令g(x)=----------(xe［1,e］),

nx+1nx+1

利用导数求出其最大值即可，

【详解】(1)当a=1时，函数f(x)=xnx-x?.

令x=1,得f⑴=-1,即切点坐标为(1.7).

f'(x)=nx-2x+1,

令x=1,得f'⑴=T,即切线斜率k=T,

故切线方程为y+i=-(x-i),即丫=一

(2)解法一：

已知f(x)=axnx-x?,可得f\x)=a(nx+1)-2x,

因为f(x)在区间U，e］上单调递增，所以f'(x)NO在区间［l,e］上恒成立，

设F(x)=a(nx+1)-2x,可得F，(x)=*1r~,令F'(x)=0,X=—;

x2

①当且，时，a<2,xe［1,e］,r'(x)<0,F(x)单调递减，

2

F(x)mm=F(e)=2a-2e<°,不满足题意；

②当1<£<e时,2<a<2e,xe(1；)时,F'(x)>0,F(x)单调递增;

22

xe(：ej时，L(x)<o,F(x)单调递减，

由尸(1)=a-2N0,F(e)=2a-2e>0,2<a<2e,得e$a<2e;

③当时，a>2e,xe［1,e］,F\X)>O(F(x)单调递增，

2

由F(x)pn=/1)=a-2N0,得aN2,所以aN2e;

综上，aNe.经检验，aNe满足题意.