江苏省苏州市2022-2023学年高一年级上册期末学业质量调研数学试题(学生版+解析)

苏州市2022〜2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

局一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知角。=563°,那么a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.命题“Vx22,好24”的否定为（）

A.t4Vx<2,x2>4,5B.7/<2,焉<4"

CuVx>2,x2<4D.FX022后<4”

3.已知一个面积为兀的扇形所对的弧长为兀，则该扇形圆心角的弧度数为（）

171

A.视B.—C.2D.71

22

4.已知a,BeR,贝！|“。=/?”是“5也。=5出尸”成立的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间■，兀）上单调递减的是（）

A.y=sinxB.y=\sinx|C.y=cos2xD.y=tanx

6.已知/（%）=J*_i的定义域为A,集合8={xeR[l<ta<2},若3。A,则实数a的取值范围是

（）

A.[-2,1]B,[-1,1]C.(—,-2][1,+«))D.(—”,—l]3L+")

7.三个数a=0.8仔，3=10821.41,c=之间的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

2X-l.x>a

8.已知函数/（%）={陛]（%+1）,_1<%<0,若函数g（无）=f（x）-2有两个零点，则实数a取值范围是

A.-1<a<log,3B.-\<a<log23C.--<a<log23D.--<a<log23

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设集合A={x|x=2左次eN*},集合§=N*，则下列对应关系中是从集合A到集合8的一个函数的有

()

1,2

D.y=x2

A.y=—xB.y=log2xC.y=2

10.己知函数/(x)=tan2x-],则下列结论中正确的有()

kn5

B.{巾FEZ

[7171]

C.f(x)在区间-五上单调递增D.若/(石)=/(%),菁丰%，则一9|的最小值为

n

11.若方均为正数，且满足2a+6=4,贝M)

A.的最大值为2B.的最小值为4

C.—4+1a的最小值是6D.D+I的最小值为差

ab

12.已知指数函数丁=优(。>0,且与对数函数y=log,x(a>0,且awl)互为反函数，它们的

定义域和值域正好互换.若方程e'+x=2与lnx+x=2的解分别为占，々，贝1K)

x,

e_Inx2

A.%I+%2=2B./一%>1C.=x2Inx2

x1x2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.求值：lgg+21g2—[g]+短=.

14.已知事函数，(%)满足：①是偶函数；②在区间(0,+g)上单调递减，请写出一个这样的函数/(%)=

15.已知sino+cosa=—,。w(0,兀)，贝！J(sina-l)(cosa+l)=

16.我们知道，设函数/(%)的定义域为/,如果对任意九£/,都有♦+%£/,a—且

/(«+%)+/(«-%)=2/7,那么函数y=/(x)的图象关于点P(a,。)成中心对称图形.若函数

/(x)=—2三+^^的图象关于点(0,1)成中心对称图形，则实数C的值为；若

e+1

f(-t2)+f(5t+6)>2,则实数t的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设集合A={xeAf|2<2”<16},3=卜|三|<0、

⑴若M=N,AnB；

(2)若Af=R,AB,A(^B).

.z、/(兀

sin(7i-a)cos(兀+a)cos15+。

18.已知/(&)=

COS(2TT+tz)sinsin(-7i-a)

⑴若角a的终边过点P(—12,5),求/(a)；

⑵若/(a)=2,分别求°-sa和4sin?a-3sinacosa的值.

sina+cosa

19.某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额

y(单位：万元)是销售利润尤(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为。

万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公

x

A.y=kx+b(k>0)；B.y=k-1.5+b(k>0)；C.y=^log2^^+2j+n(^>0).

(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)根据你在⑴中选择的函数模型，解决如下问题：

①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？

②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

图象经过点厚-31

20.已知函数/'(x)=3sin(2x+9)(0<e<7i)

7T

⑴求了(X)在区间0,-上的最大值和最小值;

(2)记关于尤的方程/=2在区间0,——上的解从小到大依次为西,X,，试确定正整数n的

值，并求不+29+2七++2x“_i+xn的值.

2i.已知y(x)=———为奇函数.

I1

⑴判断函数/(X)在区间(0,+8)上单调性，并证明你的判断；

(2)若关于尤的方程2/2(X)—(2m+1)I/(x)I+机=0有8个不同的解，求实数m的取值范围.

22.已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=2".

⑴求/(x)和g(x)的解析式；

⑵若函数"(x)=log21g(2x)—a"(x)］在R上值域为［—1,+8),求正实数。的值；

(3)证明：对任意实数鼠曲线、=驾与曲线丁=履+」总存在公共点.

g(无)2

苏州市2022.^2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

皿r，、忆

局一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知角2=563°,那么a终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】C

【解析】

【分析】利用角终边相同公式得到打的终边与203°的终边相同，从而得到a的终边所在象

限.

【详解】因为a=563°=360°+203°,又180。<203°<270°,所以a的终边在第三象限.

故选：C.

2.命题“\/》22,公24”的否定为（）

A.4tVx<2,%2>4"B."女。<2,x：<4"

C.uVx>2,x2<4,5D.“现22,焉〈4"

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.

【详解】由全称命题的否定可知：\/%22,/24的否定为女022,只<4

故选：D

3.已知一个面积为无的扇形所对的弧长为兀，则该扇形圆心角的弧度数为（）

17T

A.-B.-C.2D.Ji

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.

【详解】设扇形的半径为人圆心角为a,

fl2

则<2，解得〃=2,。=—.

2

ar=Tt

故选：B

4.已知a,BGR，贝！1"。=尸''是"sin。=sin/7”成立的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.

【详解】若“。=尸"，贝『包!1。=5亩月”必成立；

但是“sina=sin/”,未必有“a=月”,例如a=0,#=万.

所以“。=尸”是“sin。=sin/”成立的充分不必要条件.

故选：A.

5.下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间］|>兀］上单调递减的是（）

A.y=sinxB,y=|sinx|C.y=coslxD.

y=tanx

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.

【详解】y=sinx的最小正周期是2兀，不符合题意.

y=tanx在区间（^,兀］上单调递增，不符合题意.

兀

对于y=COS2x,—<X<7T,71<2x<27T,

所以y=cos2x在区间［、,兀］上单调递增，不符合题意.

对于丁=卜1X|,画出图象如下图所示，由图可知丁=卜》，的最小正周期为无，

且在区间兀上单调递减，B选项正确.

6.已知/（尤）=G-1的定义域为A，集合8={xeR[l<ax<2},若30则实数a

的取值范围是（）

A.[-2,1]B.[-1,1]C.（F-2][l,4w）D.

（-oo,-l]u[l,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】先根据二次不等式求出集合A,再分类讨论集合2,根据集合间包含关系即可求解.

【详解】/（x）=Jf—1的定义域为A,

所以炉一120,

所以或xV-1,

①当。=0时，B={XGR|1<OX<2}=0,

满足3OA,

所以a=0符合题意；

②当a>0时，

B={^eR|—<%<—},

aa

所以若BoA,

则有一之1或一V—1,

aa

所以0va<l或aW—2（舍）

③当avO时，

B={XGR|—<%<—},

aa

所以若BqA,

则有一4一1或一21（舍），

aa

—1<av0,

综上所述，61G[-1,1],

故选：B.

7.三个数a=0.812,/7=log21.41,c=203i之间的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值工,1,求解即可.

2

【详解】由题意a=0.812>0.82=0.64>0.5，即!<。<1,

2

1-11

b=log1.41<logV2=—,即0<b（一，

2222

C=2°-31>2°=1，

综上：c>a>b

故选：A

2X-l,x>a

8.已知函数/（%）=｛雄心+1）,_1<%<0,若函数8（无）=〃彳）-2有两个零点，则实数。

、2

的取值范围是（）

3

A.-l<a<log,3B.-1<«<log23C.——<a<log,3D.

4

3八。

--<a<log23

【答案】D

【解析】

【分析】画出y=2'-l（x>-1）、yT°g』（x+l）（x>T）和y=2的图象，结合图象以及

2

函数g（x）=/（元）-2有两个零点求得a的取值范围.

【详解】函数g（x）=/（尤）-2有两个零点，

即〃尤）=2有两个不相等的实数根，

即y=/（X）与y=2的图象有两个交点•

画出y=2'—l（x>—1）、y=l°gL（x+l）（x>T）和y=2的图象如下图所示，

2

由2，一1=2解得％=10g23,设3（log23,2）.

由log1（x+l）=2解得了=—设

24I4J

2X-1,x>a

对于函数/（x）=log］（x+l）,—1<x<af

2

3

要使y=/(x)与y=2的图象有两个交点，结合图象可知，—4＜。＜氏23・

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.设集合A={x|无=2匕左GN*},集合5=N*，则下列对应关系中是从集合A到集合8

的一个函数的有()

2

A.y=gxB.y=log2xC.y=2*D.y=x

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的定义一一判断求解.

【详解】对于A,任意xeA={x|x=2匕左eN*},y=^x=k,keN*,

即任意xeA,都有唯一的ye5与之对应，所以A正确；

对于B,存在x=6wA,y=log26^B,所以B错误；

对于C,任意xeA={x|x=2匕左eN*},y=2x&B,

即任意xeA,都有唯一的ye3与之对应，所以C正确；

对于D,任意xeA={x|尤=2左，左eN*},y=x2eB,

即任意xeA,都有唯一的ye3与之对应，所以D正确；

故选:ACD.

10.己知函数/(x)=tan2x-],则下列结论中正确的有()

B.7(x)的定义域为

Ikit5兀

x\x^—,keZ

212

[7171]

c.，(%)在区间-五上单调递增D.若/(石)=/(%2)，%则

|X1-x,|的最小值为兀

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正切函数的性质周期,定义域，函数值和单调性等选项逐个判断即可.

I7T]7171

【详解】已知函数/(x)=tan[2x—函数的定义域为2x—耳力,+阮,左wZ,

IK7L571I

即函数F(X)的定义域为万除/万+豆水ez卜故B选项正确;

则'［五J>'［彳)'故A选项错误；

I7171I71(71711(7171I

当-不,弓,2%--G卜则/(%)在区间一不q上单调递增，故C选项正确;

kJL乙JJJ\乙DJ\JL乙D)

因为/(x)=tan］2x—.的周期T=(

所以若/(玉)=/(%)，%则归一%|的最小值为:故D选项错误;

故选：BC.

11.若a,b均为正数，且满足2a+6=4,贝ij()

A.ab的最大值为2B.的最小值为4

4aD./+〃的最小值为蓝

c.—+丁的最小值是6

ab

【答案】AD

【解析】

【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，ab=--2a-b<--（^-^]=2,

2212J

当且仅当2a=/?=2时等号成立，A选项正确.

3h（1V,1171ba

B选项，a~\—/?+-\=ab-\--H--F—

IabJabab

—=4,但由=L=2=@解得a=b=l,不满足2a+b=4,

Vabababab

所以等号不成立，所以B选项错误.

〃、用田4a2〃+6a-ba\ba

C选项，一+—=-----+-=2+-+->2+2----=4A,

ababab\ab

ba4

当且仅当一二7，。=5二大时等号成立，所以C选项错误.

ab3

D选项，Q?+/=〃2+（4-2Q）2=5〃-16々+16,

_1zroizsA

所以当。=------=—,b=4—2〃=4----=一时，

2x5555

64816

/+〃取得最小值5x——16x2+16=—,D选项正确.

2555

故选：AD

12.己知指数函数丁=优（a>0,且a2l）与对数函数y=log”x（a>0,且a2l）互为反

函数，它们的定义域和值域正好互换.若方程e'+x=2与lnx+x=2的解分别为々，

则（）

X

A.%1+x2=2B.%—%>1C.XXQ'=x2Inx2D.

¥1

e_Inx2

X]x2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意可得，直线y=-X+2与两函数〉=二和y=lnx的交点横坐标分别为七、

巧，结合图像即可判断各选项.

【详解】由方程e*+x=2和lnx+x=2可化为e*=-x+2和Inx=-x+2,

即直线y=-x+2与两函数、=/和y=lnx的交点横坐标分别为占、巧，

由于y=e'和y=lnx互为反函数，则它们的图像关于直线y=x对称,

如图所示，点A、B关于点C对称，0<%<1<九2<2,且C(L1),

所以西+々=2,故A正确；

1131

因为e2>—三+2=?,所以0<X]<一,

222

又％=2-与，所以/—X]=2—X]—X]=2-2西〉1,故B正确；

由y=e*和y=lnx它们的图像关于直线y=%对称，所以炉=々，^x2=x,,

所以x^'=x2Inx2,故C正确;

对于D,由J=11*2,则=.=_L,即%=々，与0<为<1<无。<2矛盾，故D错误.

再wX1X2

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.求值：igg+21g2—[g]+81=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.

223

【详解】lg|+21g2-Q^+8^=lg|+lg2-2+(2p

=lggx4)-4+23：x-

,3=lg(5x2)-4+4=lgl0=l

故答案为：1

14.已知哥函数/(x)满足：①是偶函数；②在区间(0,+8)上单调递减，请写出一个这样的

函数/(%)=.

【答案】日2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据幕函数的性质即得.

【详解】因为幕函数/(冗)=厂2为偶函数，且在区间(0,+8)上单调递减，

所以函数/。)=犷2满足题意.

故答案为：工一2.

15.已知sina+cosa=£(0,兀)，贝！J(sina-l)(cosa+l)=.

【答案】—云^

【解析】

【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得sin。•coso,再求sine-cos进而

运算求得结果.

【详解】由sina+cosa=g得：

°1

(sina+cosa)2=sin2cr+2sin6zcos(7+cos2cr=l+2sinacosa=—,

I725

12

解得：sincr-coscr=-----；

25

—12/日

由sincifcoscr=-----得：

25

)49

(sina-coscr)?=sin2cr-2sinacosa+cos2a=1—2sinacosa=——

v725

12

又因为a£(0,兀)，且sincrcosa=-----，所以sina>0,cosa<。即sina—cosa>0

25

7

所以sina-cosa=—

1272

贝！J(sina-l)(cos。+1)=sina•cosa+sin。一cosa-1=--4-=

故答案为：一

25

16.我们知道，设函数/(幻的定义域为/,如果对任意工£/,都有a+x£/,a—,且

f(a+x)+f(a-x)=2bf那么函数y=/(x)的图象关于点P(〃,b)成中心对称图形.若函

数/(%)=-2/+」—的图象关于点(0,1)成中心对称图形,则实数c的值为；

e+1

若/(一产)+/(5/+6)>2，则实数f的取值范围是.

【答案】①.2②.(-co,—l)D(6,+co)

【解析】

【分析】(1)根据题意可得/(%)+/(-尤)=2即可求出c的值；(2)根据解析式判断函数的单

调性，并根据不等式得了(-/)+/(5f+6)>2,利用函数的对称性和单调性即可求解不等

式.

【详解】因为函数/(X)=-2炉+的图象关于点(0,1)成中心对称图形，

e+1

所以〃x)+/1(—%)=2,

c

即-2x3+——+2x3+=2，

ex+le-x+l

即c(e'+l)=2,所以。=2,

eY+l

所以/(x)=—2炉+-2-在定义域R上单调递减，

e+1

2

令g(x)=〃x)—1=—24—1,

e+1

因为函数/(无)的图象关于点(o,D成中心对称，

所以g(x)的图象关于(0,0)对称，

2

M^(X)=/(X)-1=-2X3+-——1单调递减，

e+1

因为/(—/)+/(5f+6)>2,即/(_/)_1>_/(5/+6)+1,

即g(—广)〉-g(5t+6),也即g(—/)〉g(-5t-6),

所以一产<一5/-6则一〃+5/+6<0解得/<-1或1>6,

故实数t的取值范围是(f,—1)u(6,转).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.设集合A={xeAf12<2"<16},3=卜|三|<01.

⑴若M=N,AnB：

⑵若M=R,AB,A&5).

【答案】(1)AB={3,4}

(2)ALJB={X|1<X<5},A(^B)={X|1<X<2}

【解析】

【分析】(1)解不等式求得集合43,由此求得AcB.

⑵根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.

【小问1详解】

2<2%<16=24，所以所以A=|lWx<4}.

^^.<0<=>(x-2)(x-5)<0,解得2〈X<5,所以3={x[2<x<5}.

x-5

若/=N,则4={1,2,3,4},所以AB={3,4}.

【小问2详解】

'8={工|尤42或125},

若Af=R，则A={x|"xW4},

所以AD3={X[1WX<5},A('3)={X|1VXW2}.

sin(兀一a)cos(兀+a)cos四+a

18.已知/(a)=-------------—————.

cos(2兀+a)sin[z—a卜in(一兀一a)

⑴若角a的终边过点P(-12,5),求/(a)；

(2)若/(i)=2,分别求产110一和4sin2a-3sinacoso值.

sin。+cosa

【答案】⑴得

sina-cosa。.2-22

(2)-----------=3,4sin。-3sinacosa=—

sina+cos。5

【解析】

【分析】(1)利用诱导公式化简/(%),根据三角函数的定义求得了(%).

(2)根据齐次式的知识求得正确答案.

【小问1详解】

sin(兀-tz)cos(7i+a)cos

cos(2兀+a)sin(型一a]sin(一兀一a)

srncrxl-cosajxl-sma)

=-------------------1--------------=-tana,

cosax(-cosa)xsina

若角a的终边过点P(—12,5),则tana=—»,

12

所以/(a)=_tana.

【小问2详解】

若f(a)=-tana=2,tana=-2f

〜…sina-cosatancr-1-3。

所以I--------------=-----------=—=3；

sina+cosatana+1-1

4.2c.4sin26r-3sincrcos6Z

4sina-3sinacosa-----------------------------

sina+cosa

_4tan2cr-3tan6r_16+6_22

--------------------------------——.

tan2a+l4+15

19.某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案

中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润H单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图

象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为。万元；③销售利润尤为30万元时，总

奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：

A.y=kx+b(k>0)；B.y=^-1.5'+b(k>0)；C.y=^log2+2+n(k>0).

(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适函数模型，并说明理由；

(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：

①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？

②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

【答案】(1)模型C,理由见解析

(2)①210万元；②不会.

【解析】

【分析】(1)根据函数的图象性质即可选择模型；

⑵①令丁=31。82仁+2〉329解对数不等式求解，②即310g2e+2)-结合

函数图象的增长速度解释.

【小问1详解】

模型A.y=kx+b（k>0）,因为左>0,所以匀速增长，

模型B.y=k-1.5x+b（k>Q）,因为左>0,先慢后快增长，

模型C.'=左1吗|^1+2]+〃（左〉0）,因为左>0,先快后慢增长,

所以模型C最符合题意.

【小问2详解】

因为销售利润尤为0万元时，总奖金y为。万元，

所以上log22+〃=0,即左+”=0,

又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元,

所以上log24+〃=3,即2左+〃=3,

k+n=0k=3所以y=31og[—+2J-3,

由《解得。2

2k+n=3n=-3

①如果总奖金不少于9万元，即y=31og2^+2j-3>9,

即logzf^+z]"，即2+2216,解得xN210,

所以至少应完成销售利润210万元.

②设310g2[1+2]—32],即log?[5+2]2己+1,

因为y=log2|《+2）与y=卷+1有交点（0,1）,

且y=iog2+2）增长速度比y=1+1慢,

所以当x>0时，y=log2+2]恒在丁=1+1的下方,

所以氏2条+2]冷+1无解，

所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.

20.已知函数，（%）=3sin（2尤+9）（0<9<兀）的图象经过点

IT

⑴求了（X）在区间0,-上的最大值和最小值;

71X257r

⑵记关于％的方程/—+—=2在区间0,——上的解从小到大依次为西,％2,一，斗，试

826

确定正整数〃的值，并求玉+2Z+2%3++2X-I+X〃的值.

【答案】(1)最大值为3,最小值为—£1

2

(2)〃=4,12〃.

【解析】

，一31代入/(x)=3sin(2x+o)(O<0<7i),求出函数的解析式

【分析】(1)将

71

“x)=3sin(2x+9,根据工呜求出2、+?71的范围’即可求出函数的最大值和最小值;

44

71X2

⑵由方程/—+—=2可得cos%=—,利用余弦函数的性质，可求得〃的值和

823

%+2々+2%3+%4的值•

【小问1详解】

将(朗,一31代入了(%)=35111(2%+9)(0<9<兀)，

得一3=3sin(且+,gp—5兀+^=—3»+lk7i,

14)42

TTJE

解得，(P——F2左兀，因为。<。<兀，所以。=—,

44

71

所以7(x)=3sin(2x+R,

jr乃〜7157T

当xe0,-时,—<2^+—<——

444

所以—2^<sin(2x+[)<1，所以_3f<3sin(2x+?)<3，

所以/(x)在区间［0,g］上的最大值为3,最小值为-述；

L2」2

【小问2详解】

所以3sin

22

即sin—,cosX=一,

33

2

3J、__________/~、______

一\/、，/\

0,

22557兀1

由余弦函数性质可知，cosx=—在X€0，^h上有4个解,

3L6

所以〃=4,即玉+%2=21，x2+x3=4^,x3+x4=67r,

累加可得，%+2々+2%+X4=12万.

21.已知/(%)==-为奇函数.

x+1

(1)判断函数/(X)在区间(0,+8)上的单调性，并证明你的判断；

(2)若关于尤的方程2f2(x)-(2m+1)|f(x)|+机=0有8个不同的解,求实数m的取值范围.

【答案】(l)/(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)上单调递减；证明见解析.

(2)(0)1)1|(1,2)

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的性质7(0)=0可求得。的值，用单调性的定义即可证明函数的单

调性.

(2)将已知方程因式分解得，(|/(x)|—根)(2|/(x)|—1)=0,作出|/(x)|的图像，数形结合即

可得到加的取值范围.

【小问1详解】

因为函数/'(尤)=学4为奇函数，且定义域为R,则/(())=:=。，解得。=0,所以

%+11

4%

/(%)=

x2+l

4光一4Y4x

当。=0时，f(x)=--,f(-x)=--=-/(%),所以函数/'(X)=F—为奇函数.

X+1X+1X+1

AY

则/(X)=F—在(°，1)单调递增，在(1，+8)上单调递减.

X+1

证明如下:

Vx,,x2e(0,+co),且/<x2,

22

“、“、4x,4x,4x,x0+4x-4x,x-4x,

二4[西々(々―xj—(々一石)]4(西々—1)(3—xj

(内2+1)(/2+1)(x；+1)(/2+1)，

当花,％2G(°，D时，—1〈。，/—西〉。，(尤；+1)(%2+1)>0,所以/(^)-/(%2)<0,

4九

即/(%1)</(%2),所以函数/(%)=一一在(0,1)上单调递增；

%-+1

当冷％2e(l,+co)时，X[X2-l>0,x2-%1>0,(石2+1)(々2+1)>0,所以/(占)一/(々)〉0,

4x

即/(西)〉)，所以函数/(X)=--在(1,+8)上单调递减.