2024年高考数学复习：11类数列通项公式构造解题技巧

题型1611类数列通项公式构造解题技巧

技法01用4H美摹求通项公式的解题技巧

技法02己如4.,-4♦/(”)用*加法求通项公式的解题技巧

技法03已如d..,凡/(”)用累在法求通公式的州建技巧

技法04已如%=成+«用%，+"=从4+')求通项公式的解题技巧

技法0S己知”=、+小加“•+4"+"=R%+M"T♦用求通"公式的解JS技巧

技法06已知见“网.+/用““：乙4J求通通公式的解胭技巧

q'qqq

技法07已如“7Wz+e用%，5'梳%杭)求通澳公式的解题技巧

技法08e»la.,-a,^pa,.a,m---=p求通由公式的川题校巧

。・。・I

mu,ImIm

%“■-----2--------4-

技法09已知/».+g用。・“q%尸求通欧公式的解壮技巧

技法10己如-=/<(/»>°必>0)用i—+以尸求通理公式的解题技巧

技法11构造常数例求通项公式的新鹿技巧

技法01用““与S”关系求通项公式的解题技巧

唱高句•常见题型解读

用4与虱关系求通组公式是高与数列中经常与直的知识点，虚度不大.U要同学们按公式

解IS即可.

s^n-1

知识迁移％=

sn-sn_x,n>2

02

跟我学•解题思维剖析

例i.

(2022•全国•统考高考真题)记5”为数列｛%｝的前n项和.已知<+〃=2%+1.

n

(1)证明：｛%｝是等差数歹U;

(2)若%，%，。9成等比数列，求E,的最小值.

试卷第1页，共16页

技巧点拨o

2s

(1)因为——+n=2a+1,即2S+n2=2na+n①，当时，

nnnn

2s—1)=2(〃—+(〃—1)②,

①一②得，2s〃+/—2S〃_]——1)=+〃—2(题——1),即

2an+2n-l=2nan+1,

即2(〃一1)%-=2(〃一1),所以一。小=1,?7>2<nGN*,

所以｛?｝是以1为公差的等差数列.

片磊卜知识迁移强化

(2023•江苏扬州•扬州中学校考模拟预测)

1.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，4=4且0用=5"+4(〃€2).

(1)求数列｛“J的通项公式；

+1

⑵若bn=(-1)"丁+1,求数列也｝的前〃项和T„.

(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)

2

2.记S,为数列｛4｝的前“项和，且为=3,Sn=nan-n+n.

(1)求数列｛6｝的通项公式；

⑵设4=(-1)叫，求数列也｝的前n项和T”.

an,an+\

(2023•广东•统考二模)

3.记数列｛%｝的前〃项和为S”，已知为=-6,且满足工|+1+%=3.

an+\

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记数列｛»｝的前〃项和为(，若&“=2〃-g，b3rl_1=册-2,&_2=%+〃，求45.

技法02已知。用=%,+〃〃)用累加法求通项公式的解题技巧

喟3•常见题型解读

试卷第2页，共16页

IK加法求通项公式是高考数列中越常与去的知识点，器度不大，需要同学们注意黑腐的美

T?.萧强化练习.

知识迁移

,/(〃)为常数，构造成等差数列

/(〃)为一次函数，构造等差求和

形如4,+1=%+/(〃)，［=4若<

'为指数函数，构造等比求和

/(")为分式函数，构造裂项相消求和

02

例2.

(2023•全国•高三专题练习)

在数列｛*中，衅3,%=%+合’求通项公式8

解题

技巧点拨

原递推式可化为。〃+1—a^------7，则&=+；-大。3=。2+■一二，

nnn+\1223

a=a+―――,a=a_H---------,逐项相加，得+1,故〃“=4—.

4334nn｛n—lnnn

片篇i•知识迁移强化

(2023上•江苏•高三专题练习)

4.已知数列｛氏｝满足。用=%+2.3”+1,%=3,求数列｛%｝的通项公式.

(2023•江苏南京•校考二模)

5.已知数列｛%｝的前"项和为S"，满足％=\,(n-1)an-nan_x=1(«>2,/?eN*j.

(1)求出的值，并求数列｛%｝的通项公式.

,求数列列,｝的前"项和.

(2022•浙江•统考高考真题)

6.已知数列｛。"｝满足为则()

5577

A.2<100。［00<—B.—<loo。］。。<3C.3<100t2,<—D.—<100^Zi<4

iuu22IUUlnuuo221OUUO

(2021•浙江•统考高考真题)

试卷第3页，共16页

7.已知数列｛4｝满足%=l，%u=4［("eN*).记数列｛%｝的前”项和为s.,则()

399

A.—<^100<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

技巧技法03已知。用=〃〃♦/(〃)用累乘法求通项公式的解题技巧

叫♦常见题型解读

M乘法求通项公式是高考数列中经常与杏的知识点，碘度不大.需要同学们注意累乘的美

需强化练习.

知识迁移形如%=«„­/(«)A=/n乎@)，若:/R)为［%二喝詈

〃〃［图数T■系来拉

02

例3.

(2022•全国•统考高考真题)

是公差为;的等差数列.

记5“为数列｛%｝的前n项和，已知%=1,

⑴求｛叫的通项公式;

又,:是公差为1的等差数列，

5

册31)3…凡-3

.,.当〃22时，S=(〃+l”"T,

I3

.c_(〃+2)%+

・・_J”一)“T---，

整理得：(〃T”“=(〃+1)%,

试卷第4页，共16页

%&na”

.・.an=%xx3x...xx——

a\a2an-2an-\

34+1\

〃^71

-1X-X-XXX+F1-

12-22

显然对于〃=1也成立，

｛叫的通项公式%=当辿；

喘累记•知识迁移强化

（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考二模）

8.已知数列｛%｝满足：ax=\,an+x=-^—an.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b„=（-ir（In+l）a„,求数列｛"｝的前〃项和s..

（2023.Lh东•沂水县第一中学校联考模拟预测）

9.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，邑=1,。向

[2Zn）

（1）求数列｛“"｝的通项公式；

(2)证明：Sn<2.

（2023•全国•模拟预测）

10.已知正项数列｛%｝满足%=1

⑴求证：数列｛叫为等差数列；

⑵设3=~~~,求数列｛2｝的前〃项和小

anan+\+anan+\

技法04已知an+l=+q用a„+1+2=p（a“+彳）求通项公式的解题技巧

叫鼠考•常见题型解读

已知U..I**+q,我们可以用恃定系数法构造4“+4=M0.+4）.从而行化为我们熟

怂的等比数列求解.足高考的常考箫强化缥习

知识迁移

试卷第5页，共16页

形如4»!=Ml"，其中为常数

构造I假设存在T实数z使得；j♦0M，+a)成立

a■^FW,.2_.

二数列｛.*2｝是以淋公比，以值♦”为首项的等比数列，

二.♦z=(.+z)L=>.=(.7r

此类型题关键在于是否存在这样的Z使得弧+2｝为等比数列？

可用待定系数展开0a.i+2=p(.+2)6.4=pa,+(p-l)4^jl=—?—

"I

二Z=J]使得(.+2｝为等比数列

p-1

02

跟我学•解题思维剖析

例4.

。〃+1=3。〃+8,%=2,求｛%｝通项公郎

技巧点拨

解：假设存在一个实数力使得：%+2=3(%+2)成立

解得：2=4

。〃+1+4=3(%+4)

...5^=3

。〃+4

•••数歹U｛%+4｝是以3为公比，以/1+4=6为首项的等比数列

%+4=6X3〃T

an=6x3"i—4

瞎亲而•知识迁移强化

(2023・湖南张家界・统考二模)

11.数列｛0“｝中，q=2,an+l=2an-1.

⑴求数列｛%｝的通项公式。“；

⑵若6"=。"+",求数列也｝的前"项和加

(2023•全国•校联考模拟预测)

12.已知数列｛%｝中,«i=5,且2a“+]=a“+2,S”为其前"项的和.

试卷第6页，共16页

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求满足不等式电-2〃-61〈嘉的最小正整数n的值；

(3)设粼=("?-3)2+%，G="〃g)"T(%U),其中彳>0,若对任意加，“eN*,总有

7

或-C,,>可成乂，求2的取值范围.

(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模)

13.已知正项数列｛凡｝满足q=1,an+x=2an+1.

(1)证明：数歹!J｛%+1｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)设2=乌土1，求数列他,｝的前〃项和

an'an+\

(2023•山东德州•三模)

14.已知S,为数列｛4｝的前〃项和，%=2,5“=%+]-3〃-2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2〃1

(2)设“=------，记也，的前〃项和为证明：Tn<~.

aja”+i5

(2023・贵州遵义•统考三模)

15.已知5“为数列｛%｝的前"项和，且满足5“+〃=2%,“eN*.

(1)求证：数列｛%+1｝是等比数列；

2〃13

⑵若也,=------,记Z,为数列｛"｝的前〃项和，求满足不等式北的〃的最大值.

4,q+i14

技法05已知。用⑺用an+An+B=加%T+4~1)+可求通项公式的

解题技巧

•常见题型解读

己如a“i=〃<1+/(”)用4+力”+8=P[“.T+HN-I)+用来通项,可以一要模极来戊活

M1B.其本版是恃定系数.需强化炼习.

02

跟我学•解题思维剖析

例5.

试卷第7页，共16页

（2023•陕西安康•校联考模拟预测）

在数列｛%｝中，已知。“=2%_1-2"+4（〃22）,%=4.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛2"q-4"｝的前〃项和.

技巧点拨o

（1）因为=20"_1-2〃+4（〃22）,

所以=又q_2=2片0,

所以｛%-2〃｝是首项为2,公比为2的等比数列.

所以。“一2〃=2",即=2〃+2〃；

力鲁•知识迁移强化

（2023•贵州六盘水•统考模拟预测）

16.在数列｛%｝中，q=1,2%+]-%="+2.

（1）证明：数列｛。用-%-1｝为常数列.

（2）若4=含,求数列低｝的前"项和

（2022下•湖北•高二校联考阶段练习）

17.在数列｛%｝中，%=1,且。"+]=3%+2〃-1.

⑴证明：数列｛““+〃｝是等比数列;

（2）求数列｛%｝的通项公式；

（3）求数列，上一|的前〃项和

[an+n\

=+

技法06已知an+l=pan+q"用黑7求通项公式的解题技巧

qqqq

喟3•常见题型解读

试卷第8页，共16页

L!知a..i=夕见+g*用—=---^+―求谢项公式,其本质是除以一个拒Ik式，足高与

"■，「Jq

中的高喊号也,可灵活运用模板解也

02

（2023•浙江•模拟预测）

例6.

已知数列｛%｝的前〃项和为、g=l,a„+1=2an+2用

（1）试求数列｛%｝的通项公式;

(2)求S*.

技巧点拨

（1）由题意％=2a,+2向，两边同时除以2向，将其变形为招=§+1，即金-祟=1，

由等差数列的定义可知是以首项为*=;、公差为d=l的等差数列，

所以号=；+（"l）xl=¥，即。"=（2〃-l）-2"T.

需票证•知识迁移强化

（2023•河北衡水・衡水市第二中学校考三模）

n

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，^Sn=an-2-'.

⑴证明：［券:是等差数列；

⑵求数列［督］的前〃项积.

（2022下•全国•高三校联考开学考试）

+1

19.已知数列｛%｝中，％=1,g=3,a„+2+2a„-2"=3a„+1（weAf,）.

⑴设2=。^，求证也｝是等差数列；

⑵求｛%｝的通项.

技法07已知an+2=pan+l+q%用an+2-kan+l=力（%-也）求通项公式的解题技巧

试卷第9页，共16页

识高考•常见题型解读

已知生“=/XL]用心j一版乙）求通项公式，其木质是恃定系数法.

是高与中的高频号题•可灵活运用模板解麴

02

跟我学•解题思维剖析

例7.

（2023•广东梅州•统考三模）

己知数列｛。“｝满足弓=2,g=4,an+2=an+l+2an.

⑴证明：数列｛g｝为等比数列.

12n

⑵数列也｝满足7+『+…+了=%+i-2,求数列｛2｝的前〃项和S".

技巧点拨

a

⑴..."〃+2—"〃+1+2%，n+2-2%+i=-(Q〃+1

已知％=2,4=4,得〃2-2%=0,可得%+1-24=0,

，数列｛4｝为以2为首项，以2为公比的等比数列

喘京福•知识迁移强化

（2024上•河北保定•高二保定一中校考阶段练习）

[3

20.已知数列｛%｝满足。什2=3。用-2。“，％=万，％=].

（1）证明：数列｛。向是等比数列；

⑵求数列｛%｝的通项公式.

（2023下•吉林白城•高二校考阶段练习）

41

21.已知数列｛%｝满足％=3,a2=5,an+2=-an+l--an

（1）求数列｛%｝的通项公式对

⑵设6'=g”（6-%）总为数列也｝的前〃项和，若S"+恒成立，求实数〃?

的取值范围

试卷第10页，共16页

（2023下•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考开学考试）

22.已知数列｛%｝满足q=5,%=13,且。,+2=5q,+j-6q,eN*）.

（1）求证：数列｛。“+「2%｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵若%-2">43〃+l）（-iyi对任意的〃eN*恒成立，求实数4的取值范围.

（2023上•重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考期末）

23.已知数列满足％=1,4=4,对任意的〃eN+时，都有a,"=5%+i-6%+2成

立.

（1）令2=。"+「2%+1，2=%-3与+2,求证：｛bn｝,匕,｝都是等比数列；

⑵求数列｛“J的通项公式区,.

技法08已知%”用■-一­求通项公式的解题技巧

anan-l

用器上♦常见题型解读

已知a.=9・用工一■一■=「求通项公式，其本质是除以凡囚」虺高号中的

/41

高喊专用.可灵活运用模板就身

02

（2023•福建三明•统考三模）

例8.

已知数列｛%｝满足q=2,2an+l+anan+l-2an=0（neN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设6“=（T）“（4”Ji）a，色｝的前"项和为S“，证明：-KSz,,“。

...相益嬴*

技巧点拨。

（1）因为4=2,2an+i+anan+i-2^n=0GN*）,所以4w0,

22

所以一+i------=。.

an%+1

试卷第11页，共16页

为等差数列，首项为15,公差公5,

所以:？+(1"=枭〃-1耳苦,

所以%=三2

需票证•知识迁移强化

(2023•河南安阳•统考三模)

24.已知数列｛%｝满足4=1，&=1+2。”.

⑴求｛%｝的通项公式；

2

⑵设C„=Ananaij+l,求数列｛c〃｝的前”项和1.

(2023上•陕西西安•高三校联考阶段练习)

25.设数列｛6｝的前"项和为S”%=；,且。=%_](〃22,”eN+).

(1)求｛。”｝的通项公式；

(2)设”=(一1严(2〃+3)的同，求数列低｝的前〃项和乙

(2023•全国•模拟预测)

26.已知数列｛%｝满足q=1,an+1-an+3an+lan=0,«eN,.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛。〃向｝的前〃项和为北，若〃>UpeN*),求人的最小值.

技法09已知％“=常，用[=9十+三求通项公式的解题技巧

Pun十qun+lyUnP

喟界•常见题型解读

已知a..i=叫用L=U1-+"求通圆公式，其本质虺取剂数，是高与中的高I•号

pajqqAp

用.可灵活垢用模板解题

试卷第12页，共16页

02

（2023•福建泉州•统考模拟预测）

例9.

数列｛4｝中，％=1,且%+|=个.

（1）求｛。”｝的通项公式；

2〃

（2）令或=一，记数列也｝的前〃项和为S“，求汇

an

技巧点拨

aII1

（I）由%+1=----可得—=—+1

%+1%+i%

1一

因为t4=1,所以---1.

所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.

11

所以一=",即%=—.

a„n

睛奈福•知识迁移强化

（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测）

27.已知数列｛%｝满足的=工，且。川=r.

⑴求证：数列［是等比数列；

（2）若」■+▲+!+,,•+L<10。，求满足条件的最大整数也

%a2a3an

（2023•山东•模拟预测）

28.已知数列｛4,｝满足％=1，%+1=^7T（MeN，）-

⑴求数列｛与｝的通项公式；

⑵设6：=1+端+。3也>0,数列低｝的前"项和为S",证明：-<Sn<n+\.

（2023•江苏南通・统考模拟预测）

试卷第13页，共16页

29.已知数列｛。“｝中，=-,«„+i=---.

32-4,

（1）求数列｛七｝的通项公式；

（2）求证：数列｛&｝的前〃项和5„<1.

技法10已知。“+1="/（0>0,。“>。）用lg%=41ga“+lgP求通项公式的解题技巧

叫•常见题型解读

已如a.“=>0）用lg"z=g1gq,+lgp求通项公式，其本质是取时收，足

离身中的高喊与题,可灵活运用模板解18

02

j|我学•解题思维剖析

例10.

%+1=3x%2,已矢町=3,求｛%｝的通项公式？

解题

技巧点拨

解:两边同时取次为底的对数得：

2

log3fl„+1=log3（3X%2）=log33+log3a„=l+21og3an

设6'=logs%nb”4=2b“+l

假设存在一个实数2使得6用+2=20.+2）成立，

解得：2=1

也+1｝是以2为公比，M为首项的等比数列

.•.”+l=2x2〃T=2〃na=2〃-1

log3%=2〃_]=%=32-1

喘景福•知识迁移强化

（2023•浙江宁波•浙江省宁波市堇B州中学校考模拟预测）

30.数列｛%｝满足%=5,%=4-2%+2,下列说法正确的是（）

3

A.存在正整数左，使得知B.存在正整数左，使得%=3

C.对任意正整数左，都有1<软<2D.数列｛%｝单调递增

（2023•全国•高三专题练习）

试卷第14页，共16页

31.已知数列｛%｝满足。用=2.3"C，6=7,求数列也J的通项公式.

（江西抚州•高一统考期中）

32.已知％=2,点（%,%+[）在函数/（无）=X2+2x的图像上，其中”=1,2,3,….

（1）求生吗的值；

（2）证明数列他（1+%）｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

（3）记”=工+-^,求数列｛4｝的前〃项和S..

（2023•全国,高三专题练习）

33.已知数列｛%｝满足。,m=2.3"@,q=7,求数列｛%｝的通项公式.

技法11构造常数列求通项公式的解题技巧

喟3•常见题型解读

构造常数例的用在近年模粗18中越来翅名.也是号向标的一转风向.能料代部分K加索

乘.雒做利快速求解.

02

跟我学•解题思维剖析

例H.

（2023•四川攀枝花•统考模拟预测）

数列｛对｝的前〃项和为S”，且满足q=1,2S“=nan+1（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛%-2"｝的前〃项和7；

技巧点拨o

（.1）由25“="。”+1，得当时，2S._]两式相减得：+

从而以=5,即数列组是常数列，因此&=?=],

n+1nInIn1

所以数列｛4｝的通项公式是。"=".

喘京福•知识迁移强化

试卷第15页，共16页

(2023・江苏无锡•校联考三模)

SS1

34.记S”为数列｛应｝的前"项和，已知q=1,二&---=

an+\an,

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵记bn=2%,数列他,｝的前"项和为I,求QT除以3的余数.

(2023・四川资阳•统考模拟预测)

35.已知数列满足G=1,%+2氏+36+-”%=2汇+3"+1

6

(1)求｛。”｝的通项公式；

⑵记log3bn=an,求数列U的前〃项和1.

(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测)

36.已知数列｛%｝的前九项和为S0,S“=；(”+2)%，且%=1.

(1)求证：数列，:1是等差数列；

⑵求数列的前〃项和人

试卷第16页，共16页

参考答案:

1.(1)。“=2向

(T严

⑵(=1+

n+1

【分析】

（1）利用«„与E,的关系得到｛%｝为等比数列求解即可;

（2）利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）因为%M=S"+4,

当〃=1时，/=H+4=8,

当〃22时，%=%+4,

所以〃〃+「%=%，

即an+x=2an（W>2,Z?GN*）,

又因为"=）=2,满足上式，

ax4

所以｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

则％=4>21=2”*1

2/7+1)，

（2）因为〃=（一1）用_/_]“+i2i+1

n(n+1)

«log2an

所以I=]+)*+■••+(-If1

1+

n+1

2.⑴%=2〃+l

⑵if需

【分析】

（1）根据S”与。“的关系分析可得数列｛4｝是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数

列通项公式运算求解；

答案第1页，共30页

(2)由(1)可得：&„=-HL+H)_,利用裂项相消法运算求解.

a„%

【详解】⑴

2

因为S"=nan-n+n,可得S”.=(〃+1)。向一(〃+1『+"+1,

两式方目减得a„+i=(〃+1)。”+1—(,+1)+n+\—nan+n~-n,

整理得。"+「%=2,可知数列｛%｝是3为首项，2为公差的等差数列，

所以4=3+2("-1)=2〃+1.

(2)

------1--1--H-----F---——1r--(---I--f--9

%%+i32n+3

所以

〃32〃+3

3.⑴%=-3x2"

(2)-36672

【分析】

(1)利用a“=S0-ST得到数列｛a,｝为等比数列，利用等比数列的通项公式求解;

(2)求出a“+4"T+4"-2,然后利用分组求和法求和即可.

【详解】(1)

因为S“+i+S"+的=3。向，则当"22时，S"+S._]+电=3。“，

两式相减可得%+i+%=3an+1-3a„(n>2),贝ij。用=2an(n>2),

且当"=1时，星+♦+%=3,解得g=2%,

«2

答案第2页，共30页

所以｛%｝是首项为-6,公比为2的等比数列,

所以。“=-6X2"T=-3X2",

即％=-3x2"；

(2)

因为A”+&-1+。3.-2=4+3»­2=-3x2"+3〃—2,

则45=(4+仿+4)+(4+4+&)+…+(&+&5+方36)-46

1212

=-3x(2+2+---+2)+lxl2+^|^-x3-(2xl2-tz12)

2(1—212)

=-3x~^+210-(24+3x212)=-36672.

4.an-3"+??-1.

【分析】

得到4+1-。“=2-3"+1,利用累加法求出通项公式.

【详解】

由a向=%+2-3'+1得an+l-an=2-3"+1,

贝！Ja”=(a„-a»-i)+(a,i-%一2)+—F(&3-a2)+(4-

=(2・3"T+1)+(2-3"-2+1)+…+(2x3+1)+3

3(1—3〃T)

=2(3"T+3'L2+…+32+3卜(〃_I»3=2X\4〃+2=3"+n-i

3

5.(l)a2=>。3=5,a“=2"-l(”eN*)

GT32〃+3

(2)(=3一一三

【分析】(1)根据递推公式分别计算%,%的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式;

(2)错位相减法求和.

【详解】(1)«i=l,(«-l)a„>2,neN*j,

二.当〃=2时，％=3;当〃=3时，%=5,

答案第3页，共30页

2”N*).•刍11

・「-na

f7nn

T

又丁4=1,.*.an=2几一1(〃£N*

2n-\

（2）由（1）得bn二r

1352/7-1

]+级+梦+-一+3=

i32〃一32〃一1

=F+~T+…+--

22232”2"4

=—1+.J2nA

2一22232"2"4

11

x1-

1.F2"~'2〃一1

=—+2x——

220+1

2篦+3

2〃

6.B

【分析】先通过递推关系式确定｛。/除去4,其他项都在（0」）范围内，再利用递推公式变

形得到」----1>累加可求出,>；（〃+2）,得出lOOqoo<3,再利用

%%3-%

1111

J-<1+'累加可求出！-1<的111

a4n+1-1)+-—I-----F,••H—

%+1n3-43—'323n

“+2

再次放缩可得出1OOfifloo>|.

2

【详解】=4=1,易得a=­e（0,1）,依次类推可得（0,1）

23

1311

由题意,4+1\--a即一=

3"“〃+1

1111

%an3-%

1111111111一上〉.2）,

即一>-,------>3,>3；

a2%3a3a2

累加可得(〃-1),即，〉)(〃+2),(〃>2),

%3an3

答案第4页，共30页

.3

，(〃22),即qoo<妥,lOOtzloo

11111

1+^—,(心2)

又。“+ian3-a„n+1

n+2

1111+1+j____l+|k(«>3),

43U3llaa

a3a2a4%3n„-l3

累加可得〉叱1(11111〕，.、

n+-|-+-+•••+-

23n

-1<33+r1+\1..+11

<33+-|-x4+-x96|<39,

“loo3123Too31226)

gp—<40,^100>为,即lOO%oo>~；

0100

综上:5<IO。。］。。<3.

故选:B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

7.A

3

【分析】显然可知，5100>|

1114an

得~/-<-/=+不，由累加法可得％之;一行，进而由%+1=/节=局部放缩可得

2

也+i血5+1)i+A

—V7,然后利用累乘法求得%V7-I,最后根据裂项相消法即可得到几。<3,

从而得解.

【详解】因为%=l，%u=U^("eN3

所以%>0,5100>-.

1n—1n+1/\11+1

根据累加法可得，7=<1+=厂二:厂，522),当〃=i时丁二可,

也227al2

177+1

则『V一/，当且仅当“=1时等号成立，

、//2

答案第5页，共30页

n+1

...%+iV7+1

an"+3'

由累乘法可得:c、，("N2),且％=:

则生，<7―2—C，当且仅当”=1时取等号，

(〃+1)(〃+2)

由裂项求和法得:

b”,fl111113-

所以又。46丁.+丁-+---+--•+<3,即]<Eoo<3.

\JIIJ

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到值,向二的不等关系，再由累加法可求得

4

%2m了，由题目条件可知要证Hoo小于某数，从而通过局部放缩得到%,%+i的不等关系,

改变不等式的方向得到«„V；_2--

最后由裂项相消法求得H。。＜3.

（〃+1）（〃+2）

1

8-（1冯=五百

⑵S"=-g+(T)"1

2〃+2

【分析】（1）运用累乘法计算;

（2）运用裂项相消法求和.

a1a2a3a4.”〃+i=几

【详解】（）由题意:2345

1电

%3'4'%5'%6ann+2

a7a.a.a.a.1234n2

/.-^-x-^-x--义-^-x…x=mmm-x…乂------

axa2a3a4an3456n+2

“+i—___________0—?7x___________—_____________

1

ax(〃+l)(〃+2)'〃+〔(〃+l)(〃+2)2(〃+l)(〃+2)

1

2出+i），将〃=1代入上式也成立,

(2)2=(T)”(2〃+1)%=(-1)"J：[

2n[n+l)

S〃="+62+63+&+4+…+b〃

1

2223341)+1

]__1+(_以，1

2()n+\2〃+2

答案第6页，共30页

/、〃

9.(1)«„=—

(2)证明见解析

【分析】

(1)解法一：由已知等式变形可得&a=：x"L计算出％的值，再利用累乘法可求得数

列｛6｝的通项公式；

解法二：由已知条件计算出生的值，推导出数列，?，为等比数列，确定该数列的首项和公

比，即可求得数列］子卜勺通项公式，进而可求得数列｛%｝的通项公式；

(2)利用错位相减法求出，，进而可证得结论成立.

【详解】(1)解：解法一：由题为+g=1①，2%=［1+；,।,即。i=%②，由①②得%=%=1，

由2氏+|=［1+工］与得号=；x：n+1

1n)an2n

〃a123nn

所以当"22时，%=4x"34nfY1

aan

axa.z3n-\)12n-12

1Tl

%=5也满足

所以数列｛%｝的通项公式为。“二=E"eN*)；

2a2=[1+，]%,即②，由①②得%=2=；,

解法二：由题，。］+%=1①，：

由""一口1+［""=］町)%,，得智=1•%，

n+12n

所以数列。，是以g为首项，；为公比的等比数列，^=ixfiT1=—,

2〃232〃

所以数列的通项公式为％专

Ic1r11

(2)证明：由(1)知S"=lx：-+2x--+3x—+---+77X—,

222232〃

所以=lx"+2x*…+(<八11

+"产，

Ui」

n

两式作差得工S"=L+1+%+-11n2<2)n.n-2

23：242"2"'.12"42"4

2"2221----

2

答案第7页，共30页

所以S"=2-〃变+2＜2.

10.（1）证明见解析

【分析】（1）由题箕利用累乘法即可求解㊃=«（〃eN*）,进而可得

4；=〃（〃£N*）,进而可证等差;

（2）由（1）得7=，由裂项求和即可求解.

7n5+1

【详解】（1）由题可得

所以当时，

%”3〃4"Ian_L2347T!-

Q---------------------Jlx—X—X—x---x----x----=7n，

n4%“3an-2%v123n-2n-1

易知q=1满足=G，所以4〃=4(〃EN)

所以a；+i_a；=n+