新疆乌鲁木齐市2024年中考数学全真模拟试卷含解析

新疆乌鲁木齐市名校2024年中考数学全真模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，将函数y=Q（x+3）2+l的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（-4,m）,B（-1,n）,

平移后的对应点分别为点A\B，.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）

A.y=g（x+3）2—2B.y=-1（x+3）2+7C.y=1（x+3）2-5

D.y=—（r+3）2+4

2

2.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边

长之比是2：1,若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.0.2B.0.25C.0.4D.0.5

3.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

4.下列实数中，结果最大的是（）

A.|-3|B.-(-n)C.币D.3

5.下列计算正确的是（）

A.a+a=2aB.b3«b3=2b3C.a3-ra=a3D.(a5)2=a7

6.若一组数据2,3,4,5,x的平均数与中位数相等，则实数X的值不可能是（）

A.6B.3.5C.2.5D.1

7.如图，在五边形A5CDE中，ZA+ZB+Z£=300°,OP,CP分别平分NEZ>C、ZBCD,则NP的度数是（）

A

C.55°D.50°

8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦,

3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）

x+y=100

x+y=100x+y=100x+y=100

A.〈B.<CIiD.《

3x+3y=100x+3y=100•3x+-y=iQQ3x+y=100

9.如图，ABC。中，£是SC的中点,设AB=a,AD=b，那么向量AE用向量a、b表示为（）

1,

C.-a+-bD.-a——b

22

10.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（)

A.D.

11.已知二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点,其顶点为P,若S^APB=1,则b与c满足的关系是

()

A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0

12.下列运算结果正确的是（）

A.a3+a4=a7C.a3*a2=2a3D.(a3)3=a6

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制了如图1和图2所示的统计图,

则B品牌粽子在图2中所对应的扇形的心角的度数是

位上升<

15.如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则NC=

度.

x-KO

17.如果不等式无解，则a的取值范围是

_k_

18.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,点A(0,1),点C、D在反比例函数y=—(k>0)的图象上，AB与x轴的正半轴

x

相交于点E,若E为AB的中点，则k的值为.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)学生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一.为此，某区教委对该区部分学校的八年级学生对

待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C

级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题:

名学生；将图①补充完整；求出图②中C级所占

的圆心角的度数.

20.（6分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：＜o等。那么如何求出它们的解集呢?

X+1x-1

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为:

若a>0,b>0,贝!)->0;若av0,bv0,贝！|->0；

bb

若a>0,bv0,贝!)—<0;若a<0,b>0,贝!|—<0.

bb

〃>06Z<0

反之：若f＞0,则八八或

bZ?>0b<0

(1)若£<0,贝或一.

b

x—2

（2）根据上述规律，求不等式＞0的解集.

x+1

DF的位置关系，并

说明理由.

22.（8分）问题提出

(1).如图1,在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,NBAD=NBCD=90。，ZADC=60°,则四边形ABCD的

面积为_;

问题探究

(2).如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZABC=135°,AB=22,BC=3,在AD、CD上分别找

一点E、F,使得ABEF的周长最小，作出图像即可.

23.(8分)如图，AB为。O直径，C为。O上一点，点D是5c的中点，DE_LAC于E,DF_LAB于F.

(1)判断DE与。O的位置关系，并证明你的结论;

(2)若OF=4,求AC的长度.

24.(10分)如图①，一次函数y=；x-2的图象交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数y=-1x2+bx+c的图象经过

A、B两点，与x轴交于另一点C.

(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；

(2)如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD〃x轴交AB于点D,PE〃y轴交AB于点E,求

PD+PE的最大值；

25.(10分)如图，点A,B,C都在抛物线y=ax2-2amx+am2+2m-5(其中--<a<0)±,AB〃x轴，ZABC=135°,

4

且AB=L

(1)填空：抛物线的顶点坐标为(用含m的代数式表示)；

(2)求白ABC的面积(用含a的代数式表示)；

(3)若△ABC的面积为2,当2m-5WxW2m-2时，y的最大值为2,求m的值.

26.(12分)在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A-国学诵读”、“B-演讲”、“C-课本

剧”、“D-书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果

统计如下：

(1)根据题中信息补全条形统计图.

(2)所抽取的学生参加其中一项活动的众数是.

(3)学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A有多少人？

27.(12分)如图，△ABC是。。的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDCE

为菱形.

(1)求证：AC=CE；

(2)求证：BC2-AC2=AB«AC；

(1)已知。。的半径为1.

①若下=巳，求BC的长；

AC3

AD

②当丁为何值时，AB・AC的值最大?

AC

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

分析：过4作AC〃x轴，交丁8的延长线于点C,过作轴，交"8的于点O,贝（JC（-L机），AC=-l-（-l）=3,

根据平移的性质以及曲线段A3扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出44=3,然后根据平移规律即可求解.

详解：过A作AC〃x轴，交93的延长线于点C,过4作4O〃x轴，交的于点O,则C（-1,m）,

.\AC=-l-（-l）=3,

•••曲线段A3扫过的面积为9（图中的阴影部分），

二矩形ACD4的面积等于9,

：.AC-AA'=3AAr=9,

：.AA'=3>,

...新函数的图是将函数尸;（X-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，

...新图象的函数表达式是尸;（X-2）2+1+3=；（x-2）2+1.

故选D.

点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出44,的长度是解题关键.

2、B

【解析】

设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,则针孔扎到小正方形（阴影

部分）的概率是0.1.

【详解】

解：设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,

因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,

则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是-=0.25；

4

故选:B.

【点睛】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P（A）=—.

n

3、C

【解析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为x人，依题可得：

--x（x-1）=55,

2

化简得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10（舍去）,

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

4、B

【解析】

正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.

【详解】

根据实数比较大小的方法，可得

V?<|-3|=3<-(-7T),

所以最大的数是：-(").

故选B.

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较的方法，及判断无理数的范围，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

5、A

【解析】

根据合并同类项法则；同底数募相乘，底数不变指数相加；同底数骞相除，底数不变指数相减；塞的乘方，底数不变

指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

A.a+a=2a,故本选项正确；

B.户力3=",故本选项错误；

C.a3^a=a1，故本选项错误；

D.(/『=笳"2="0,故本选项错误.

故选:A.

【点睛】

考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数塞的乘法，塞的乘方与积的乘方，比较基础，掌握运算法则是解题的关键.

6、C

【解析】

因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到

大(或从大到小)排列在中间；结尾；开始的位置.

【详解】

(1)将这组数据从小到大的顺序排列为2,3,4,5,x,

处于中间位置的数是4,

.•.中位数是4,

平均数为(2+3+4+5+x)+5,

4=(2+3+4+5+x)+5,

解得x=6；符合排列顺序；

(2)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,4,x,5,

中位数是4,

此时平均数是(2+3+4+5+x)+5=4,

解得x=6,不符合排列顺序；

(3)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,x,4,5,

中位数是x,

平均数(2+3+4+5+x)+5=x,

解得x=3.5,符合排列顺序；

(4)将这组数据从小到大的顺序排列后2,X,3,4,5,

中位数是3,

平均数(2+3+4+5+x)+5=3,

解得x=L不符合排列顺序；

(5)将这组数据从小到大的顺序排列后x,2,3,4,5,

中位数是3,

平均数(2+3+4+5+x)+5=3,

解得x=L符合排列顺序；

•,.X的值为6、3.5或1.

故选C.

【点睛】

考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往

对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和

偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数.

7、A

【解析】

试题分析：根据五边形的内角和等于540。，由NA+NB+NE=300。，可求NBCD+NCDE的度数，再根据角平分线的

定义可得NPDC与NPCD的角度和，进一步求得NP的度数.

解：•五边形的内角和等于540。，ZA+ZB+ZE=300°,

ZBCD+ZCDE=540°-300°=240°,

VZBCD.NCDE的平分线在五边形内相交于点O,

/.ZPDC+ZPCD=-(ZBCD+ZCDE)=120°,

2

/.ZP=180°-120°=60°.

故选A.

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理.

8、C

【解析】

设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100;②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,

根据等量关系列出方程组即可.

【详解】

x+y=100

解：设大马有X匹，小马有y匹，由题意得：.1SC，

3x+—y=100

故选C.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组.

9、A

【解析】

根据AE=AB+BE，只要求出BE即可解决问题.

【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,AD^BC,

BC=AD=b，

BE=CE,

BE=-b,

2

AE=AB+BE,AB=a,

--r

AE=aH—bf

2

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

10、A

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.

【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误，

故选A.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180。,

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

11、D

【解析】

b4c—/?2II

抛物线的顶点坐标为P（-5，空了匕），设A、B两点的坐标为A（再，0）、B（x2,0）则AB=|石—司，根据

根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而SAAPB=L然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.

【详解】

解：・.•玉+%2=一"七=。，

2

.\AB=-x2|=+々)2c2=y/b-4ac，

•.•若SAAPB=1

14c-/

.\SAAPB=-xABx1_______I=1,

24

~—xs]b2-4cx^C~^=1

24

・i-------b-4c

-4cx4=1>

:.(b1-^ac\y/b2-4ac=8,

设-=S，

则S3=8，

故s=2,

y/b2—4c=2,

:.步―4c—4=o.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性

比较强.

12、B

【解析】

分别根据同底数幕的乘法及除法法则、塞的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分析即可.

【详解】

A.a3+a母a?,不是同类项，不能合并，本选项错误；

B.a44-a3=a4-3=a;,本选项正确；

C.a3»a2=a5;,本选项错误;

D.(a3)3=a*本选项错误.

故选B

【点睛】

本题考查的是同底数塞的乘法及除法法则、塞的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识，比较简单.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、120°

【解析】

根据图1中C品牌粽子1200个，在图2中占50%,求出三种品牌粽子的总个数，再求出B品牌粽子的个数，从而计

算出B品牌粽子占粽子总数的比例，从而求出B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数.

【详解】

解：•.•三种品牌的粽子总数为1200+50%=2400个，

又；A、C品牌的粽子分别有400个、1200个，

AB品牌的粽子有2400-400-1200=800个，

则B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为360x萼;=360xg=120°.

24003

故答案为120°.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

14、10或1

【解析】

分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.

【详解】

如图，作半径ODLAB于C,连接OB,

由垂径定理得：BC=—AB=—x60=30cm,

,22

在Rt_OBC中，oc=A/502-302=40cm>

当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，

则OC'=痴?—402=30cm，

水面上升的高度为：40-30=10cm；

当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm,

综上可得，水面上升的高度为30cm或1cm,

故答案为：10或1.

【点睛】

本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键.

15、1

【解析】

利用圆周角定理得到NADB=90。，再根据切线的性质得/ABC=90。，然后根据等腰三角形的判定方法得到^ABC为等

腰直角三角形，从而得到NC的度数.

【详解】

解：•；AB为直径，

.\ZADB=90°,

：BC为切线,

/.AB±BC,

•,.ZABC=90°,

；AD=CD,

.'.△ABC为等腰直角三角形，

：.ZC=1°.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.

16、y(x-3)2

【解析】

本题考查因式分解.

解答：x2y-6xy+9y=y^x2-6x+9^=y(x-3)2.

17、a>l

【解析】

fx-l<0

将不等式组解出来，根据不等式组c无解，求出a的取值范围.

x-a>0

【详解】

x-l<0(x<l

解<得

x-a>Qx>a

x-l<0

无解,

x-d>0

a>l.

故答案为a>l.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式组的运算法则.

18、3上石

2

【解析】

解：如图，作。尸，y轴于凡过B点作无轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G,CG交x轴于K,作

轴于7/,；四边形ABC。是矩形，.*.N3AO=90。，...NOA歹+NQAE=90。，,../AEO+NOAE=90。，

"：AB^2AD,E为AB的中点，：.AD^AE,在△AZ＞尸和△EAO中，,:NDAF=NAEO,ZAFD^ZAOE=9Q°,AD^AE,

/.△ADF^AEAO(AAS),：.DF=OA=1,AF=OE,：.DC1,k),：.AF=k-1,同理；AAOE^/\BHE,△ADF^/XCBG,

：.BH^BG=DF=OA=1,EH=CG=OE=AF=k-1,：.OK=2(A-1)+l=2k-1,CK=k-2,：.CC2k-1,k-2),：.(2k

-1)(*-2)=lk,解得“§+迅,比=3-亚,...[=3+逐.故答案为3+逐.

2222

点睛：本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x,J)的横纵坐标的积是定值A,即

xy=k.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)200,(2)图见试题解析(3)54°

【解析】

试题分析：(1)根据A级的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出被调查的学生人数;

(2)根据总人数求出C级的人数，然后补全条形统计图即可；

(3)1减去A、B两级所占的百分比乘以360。即可得出结论.

试题解析:：(1)调查的学生人数为：上)=200名；

25%

(2)C级学生人数为：200-50-120=30名，

补全统计图如图；

(3)学习态度达标的人数为：360x[l-(25%+60%]=54°,

答：求出图②中C级所占的圆心角的度数为54。.

考点：条形统计图和扇形统计图的综合运用

fa〉04fa<04

20、(1),八或〃_；(2)*>2或乂〈一1.

Z?<0\b>0

【解析】

(1)根据两数相除，异号得负解答；

(2)先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.

【详解】

(a>0<0

⑴若f>0,则或

b[b<0

a>0a<0

故答案为:或

b<0b>0

⑵由上述规律可知不等式转化为或;

所以，x>2或x〈T.

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于掌握掌握运算法则.

21、(1)见解析；(1)见解析.

【解析】

(1)由全等三角形的判定定理AAS证得结论.

(1)由(1)中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，Z1=Z1；根据角平分线的性质、等量代换以及等

角对等边证得DC=FC,则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE1DF.

【详解】

解：(1)证明：如图，I•四边形ABCD是平行四边形，

又•.•点F在CB的延长线上,

/.AD//CF.

.*.Z1=Z1.

二•点E是AB边的中点，

AAE=BE,

21=Z2

,在AADE与小BFE中，<NDEA=ZFEB,

AE=BE

.,.△ADE^ABFE(AAS).

(1)CE±DF.理由如下：

如图，连接CE,

由(1)知，AADE^4BFE,

/.DE=FE,即点E是DF的中点，Z1=Z1.

VDF平分NADC,

/.Z1=Z2.

/.Z2=Z1.

/.CD=CF.

/.CE±DF.

22、(1)3百，(2)见解析

【解析】

(1)易证AABD义ZXCBD,再利用含30。的直角三角形求出AB、BD的长，即可求出面积.(2)作点B关于AD的对称

点B，,点B关于CD的对应点B"，连接B，B”,与AD、CD交于EF,△AEF即为所求.

【详解】

(1)VAB=BC,AD=CD=3,ZBAD=ZBCD=90°,

/.△ABD^ACBD(HL)

:.ZADB=ZCDB=-ZADC=30°,

2

--.AB=73

:.SAABD=-ABAD=

22

:.四边形ABCD的面积为2sAABD=3A/3

(2)作点B关于AD的对称点B，,点B关于CD的对应点B"，连接B，B”,与AD、CD交于EF,ABEF的周长为

BE+EF+BF=B，E+EF+B"F=B，B”为最短.

故此时△BEF的周长最小.

B'

A

B"

【点睛】

此题主要考查含30。的直角三角形与对称性的应用，解题的关键是根据题意作出相应的图形进行求解.

23、(1)DE与。O相切,证明见解析；(2)AC=8.

【解析】

(1)解：(1)DE与。。相切.

证明：连接OD、AD,

••,点D是川的中点,

**•"=（：，

/.ZDAO=ZDAC,

VOA=OD,

ZDAO=ZODA,

:.ZDAC=ZODA,

；.OD〃AE,

VDE±AC,

.\DE±OD,

；.DE与。O相切.

(2)连接BC,根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长.AC=8

105

24、(1)二次函数的关系式为y=-5厂+5》-2；C(1,0)；(2)当m=2时，PD+PE有最大值3；点M的坐

标为弓

,L或-叵）.

222

【解析】

(1)先求出A、5的坐标，然后把4、3的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论；

_1,51

(2)先证明△PDES/\OAB,得到PZ)=2PE.设尸(m,——m~+~m~2),则E(机，-m-2),PD+PE=3PE,

222

然后配方即可得到结论.

(3)分两种情况讨论：①当点M在在直线48上方时，则点M在△A5C的外接圆上，如图1.求出圆心01的坐标和

半径，利用V。产半径即可得到结论.

②当点“在在直线A3下方时，作。1关于4B的对称点。2,如图2.求出点。2的坐标，算出OM的长，即可得到结

论.

【详解】

解：(1)令7=5%-2=0,得：x—4,'.A(4,0).

令x=0,得:y=~2,：.B(0,-2).

,二次函数y=+6x+c的图像经过A、B两点,

-8+4Z?+c=0b=-

解得:2

c=-2

c=-2

二次函数的关系式为y=-gx2+：x-2.

1、s

令＞=--X2+-X-2=0,解得：x=l或x=4,'.C(1,0).

22

(2)'：PD//x^,PE〃y轴，

:.ZPDE=ZOAB,ZPED=ZOBA,

““PDOA4

:.APDE^/\OAB.：.——=—=—=2,

PEOB2

:.PD=2PE.设尸(m,——J-n2+-m-2),

22

则EGn,一〃z-2).

2

•\PZ)+PE=3PE=3x[(--/n2+—m—2)—(—m—2)]=~—m2+6m---(m-2}"+6.

22222V7

'：0<m<4,当机=2时，PO+PE有最大值3.

(3)①当点M在在直线45上方时，则点M在AABC的外接圆上，如图1.

VAABC的外接圆Oi的圆心在对称轴上，设圆心Ox的坐标为(-,-/).

2

+（2——1]+/，解得：f=2,

・，・圆心Q的坐标为（一,—2）,・••半径为一.

22

=

设M（—9j）.,**MOi—9•**y+2=—9

222

解得：尸;，.•.点”的坐标为（，;）・

②当点“在在直线A3下方时，作。1关于的对称点。2,如图2.

5一

•.•401=013=—，AZOiAB=ZOiBA."：OiB//x^,：.ZOiBA^ZOAB,

2

3

：.ZOiAB=ZOAB,。2在x轴上，.•.点。2的坐标为（一，0）,：.O2D=1,

2

：.DM^J（|）2_F=孝，，点V的坐标为（|,-孚）.

综上所述：点”的坐标为（』，-）或（3,一叵）.

2222

点睛：本题是二次函数的综合题.考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，圆的有关性质.难度比较大，解

答第（3）问的关键是求出AABC外接圆的圆心坐标.

25>（1）（m,2m-2）；（2）SAABC-----—;（3）m的值为Z或10+2碗.

a2

【解析】

分析：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；

（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,由AB〃x轴且AB=L可得出点B的坐标为（m+2,

la+2m-2),设BD=t,则点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t

的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出SAABC的值；

(3)由(2)的结论结合SAABC=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m>2m-2,即mV2时，x=2m-2时y取最

大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m-2WmS2m-2,

即2WmW2时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m

的值；③当m<2m-2,即m>2时，x=2m-2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一

元一次方程，解之可求出m的值.综上即可得出结论.

详解：(1)y=ax12-2amx+am2+2m-2=a(x-m)2+2m-2,

抛物线的顶点坐标为(m,2m-2),

故答案为(m,2m-2)；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,如图所示，

小y

；AB〃x轴，且AB=1,

.,.点B的坐标为(m+2,la+2m-2),

VZABC=132°,

.•.设BD=t,贝！|CD=t,

，点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),

,:点C在抛物线y=a(x-m)2+2m-2上,

/.la+2m-2-t=a(2+t)2+2m-2,

整理，得：at2+(la+1)t=0,

解得：tl=O(舍去)，t2=-四担，

a

18。+2

：•SAABC=一AB・CD=-----------；

2a

(3)•••△ABC的面积为2,

8〃+2

=2,

a

解得:a=-1

，抛物线的解析式为y=-j（x-m）2+2m-2.

分三种情况考虑：

①当m>2m-2,即m<2时，有-g（2m-2-m）2+2m-2=2,

整理，得：m2-llm+39=0,

解得：mi=7-VW（舍去），m2=7+710（舍去）；

7

②当2m-2<m<2m-2,即2<m<2时，有2m-2=2,解得：m=—；

-一一2

③当m<2m-2,即m>2时，有一（（2m-2-m）2+2m-2=2,

整理，得：m2-20m+60=0,

解得：m3=10-2而（舍去），mi=10+2V10.

7

综上所述：m的值为5或10+2何.

点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以

及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性

质找出点C的坐标；（3）分m<2、2WmW2及m>2三种情况考虑.

26、（1）见解析（2）A-国学诵读（3）360人

【解析】

（1）根据统计图中C的人数和所占百分比可求出被调查的总人数，进而求出活动B和D人数，故可补全条形统计图；

（2）由条形统计图知众数为“A-国学诵读”（3）先求出参加活动A的占比，再乘以全校人数即可.

【详解】

（1）由题意可得，被调查的总人数为12+20%=60,希望参加活动B的人数为60x15%=%希望参加活动D的人数为

60-27-9-12=12,故补全条形统计图如下：

调查结果的条形统计图

（2）由条形统计图知众数为“A・国学诵读”；

（3）由题意得全校学生希望参加活动A的人数