2024年高考数学压轴小题：数列

高考复习材料

【挑战满分】压轴小题4：数列

一、单选题

1.己知数列｛4｝满足4=44+1+。“+1+1,%=1•，贝|]9。9+10%()+11q1+…+18q8+19%9)

1119

A.---B.—C.35D.----

222

2.设数列｛%｝满足2x”,〃eN*,且对于任意刀产0,都存在正整数〃使得心.机，则实数加

的最大值为（）

AYB-C2D-3

3.已知%,〃2，•…，。5为1，2,3,4,5的任意一个排列.则满足：对于任意”《｛1,2,3,45｝,都有

%+%+••,+4<〃％的排列片,电，…，。5有（）

A.49个B.50个C.31个D.72个

4.已知函数y=/(x)的定义域为(0,+s),当x〉l时，/(%)>0；对任意的xje(0,+oo),

/(》)+/(歹)=/('4)成立.若数列应｝满足q=/⑴，且/(%+i)=/(2a.+l)5eN*),则-的值

为()

1009101020192020

A.a-lB.«-1C.2-1D.2-l

S—S+1

5.设数列｛%｝满足q=2,4=6,%=12,数列｛%｝前一项和为S“，且-R]=3(〃eN*

3〃+1—»〃+1

「1("+1)2(、

且〃22).若[可表示不超过x的最大整数，bn=——，一，数列｛2｝的前〃项和为[，则4)20=()

an

A.2024B.2024C.2024D.2024

6.6知数列｛4｝满足%=2+#%-a：，则%+4020的最大值是（）

A.4-272B.8-V2C.4+272D.8+V2

7.已知数列｛4｝满足：4〉0,且a；=3a〉i—2%+i（〃eN*）,下列说法正确的是（)

A.若4=；,则%〉%+iB.若为=2,则%»1+

C.<7]+为"2a3D.|（7.—a.I>—Itz.—aI

|〃+2H+1I3|〃+ln|

8.对于数列X1，》2,…，若使得加-X">0对一切〃eN*成立的〃，的最小值存在，则称该最小值为此数列

的“准最大项”，设函数/（》）=》+5亩》（X€尺）及数列%,必产,，且弘=6%（%eR）,若

/（匕）Z12y“t

yn+l=\J7i"（〃eN*）,则当/=1时，下列结论正确的应为（）

f[yn+2）2%<见

A.数列%,必，…的“准最大项”存在，且为2万

B.数列外，必，…的“准最大项”存在，且为3万

C.数列必,必,…的“准最大项”存在，且为4万

D.数列%,％，…的“准最大项”不存在

9.已知S"是数列｛4｝的前〃项和，若（1一2%严|=4+姐+32+—+既21铲21,数列｛%｝的首项

------B.C.2024D.-2021

2021----------------2021

10.设数列依｝满足为=0,a〃+i=ca：+l-c,"Z+,其中c为实数，数列｛d｝的前〃项和是S.，下列

说法不正确的是（）

A.ce[0,l]是%e[0,l]的充分必要条件B.当C>1时，｛%｝一定是递减数列

C.当c<0时，不存在c使｛4｝是周期数列D.当c=；时，Sn>n-1

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11.已知数列｛%｝满足4+]+(—1)"%=3"1,是数列｛%｝的前〃项和，则()

A.5,2020是定值，％+42020是•值B.S2020不是定值，%+“2020是定值

C.5,2020是定值，％+“2020不是定值D.S2020不是定值，%+。2020不是定值

1

12.设数列｛片｝为等差数列，且见〉0,

〃4=2,=3.记〃=7----市----------------T，正整数加

(%+1)(%+1)(%+%)

满足坨(1098+1)<机<lg(l()99+l),则数列低｝的前机项和为()

55911

A.——B.—C.—D.

11122224

13.已知正项数列｛4｝的前n项和为Sn,若对任意的〃eN*都有2anSn="+2〃，4<2收-2)成立,

则加的取值范围为(

1

A.—00—B.C.卜00,-8)D.

2

14.设等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，并满足:

对任意〃wN*，都有|Sn+2020I-\^n\,则下列命题不一定

成立的是(

1^2020|-1^20211B.|^2021|-|^2022|

C-|aioio|—|aioii|D.|^1011|-1^1012|

15.已知函数=x—1,数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足为=；,an+l=/(«„),则下列有

关数列｛%｝的叙述正确的是()

A.%>；B.a6<a7C.5100<26D.a5>|4a2-3aJ

16.已知函数/(〃)=/sin^(〃eN*),且4=/(")+/(〃+1),则/+%+%+L+a2020的值为()

A.4040B.-4040C.2024D.-2020

17.已知数列｛%｝由首项q=。及递推关系"“+1-T-确定.若｛%｝为有穷数列，则称a为“坏数”.将所

氏+1

有“坏数”从小到大排成数列｛"｝,若%H9<%<狐20，则（）

A.—1<。2020<°B.°<。2020<§

C.。2021>3D.1<。2021<3

18.已知数列｛4｝满足%+1+近吟1〃+啦），〃源*,则下列错误的是（）

A.若qe（3,4）时，则数列｛4｝单调递增

B.存在由寸，使数列｛%｝为常数列

C.若时，则｛4｝单调递减数列

D.若劣=」—交时，则一行<%<1

222

一,,111cli1

19.已知数列｛%,｝中，/=2,%+]=苒—%+1.记4=一+—+-••+一,Bn=.....则

A.42020+82020>1

“2020—82020>~

C.D•4o2O—3020<~

20.S〃是公比不为1的等比数列｛%｝的前〃项和，W是§3和S6的等差中项，S⑵是S6”和2S®的等比

中项，则X的最大值为（）

488025

A.-B.一C.—D.

376321

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21.对于数列｛叫：%=a，a=~有以下结论：①若.<0,则a“<1；②若

n+l%—2%+2'

0<。<1,则%+i<%；③对aeR,均有0<a“+i<2；④对于任意正整数"，均有

(a-1)(%-1)20.则

A.仅①②正确B.仅②③正确

C.仅①③④正确D.①②③④均正确

22.已知数列｛a“｝中％=ae(O,l),an+i=-a；+m(weN*),下列说法正确的是().

A.存在实数加<0,使数列｛%,｝单调递减

B.若存在正整数"，使为<4,则加<2

C.当加<2时，对任意正整数"，都有%<4

D.若对任意正整数〃，都有%<4,则加W2

23.已知数列｛4｝满足q=2,a2=a,"eN,给出下列两个命题，则()

命题①：对任意ae(2,+QO)和〃eN*，均有％<a

命题②：存在a>0和meN*，使得当〃2机时，均有a“+iW

注：max｛a㈤和min｛a,6｝分别表示。与心中的较大和较小者.

A.①正确，②正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①错误，②错误

24.设数列｛。“｝的前〃项和为S,,对任意“6N*总有2q="+",且纵Vo+.若对任意“N和0GR,不等

式(•sir?夕+1+.cos?夕+1)?〈人(«+2)恒成立，求实数九的最小值

二3

A.1+V2B.2C.1D.-

2

25.设｛%,｝是等差数列，记工=anan+ian+2(〃eN*),设S“为低｝的前〃项和,且3a5=8%2>。，若S”

取最大值，则〃二().

A.14B.15C.16D.17

26.将正整数20分解成两个正整数的乘积有lx20,2x10,4x5三种，其中4x5是这三种分解中两数

差的绝对值最小的.我们称4x5为20的最佳分解.当夕义9（夕《夕且夕M^N+）是正整数〃的最佳分解

时，定义函数—夕，则数列｛/（3〃）｝（〃—十）的前100项和品0为

[50_i鼻50,1

A.350+1B.350-1C.-----D.-----

22

27.已知数列｛%｝中，%,4,生，«4成等差数列，且3%—出+%+1=（其中e为自然对数的底数,

e~2.718）.若4＜0,贝U（

A.同＞同且同＞同B.同〉同且同＜同

C.同＜|%1且同＞同D.同＜同且同＜同

产”0,-

2，⑴=Jsin27x|,

28.若函数g](x)=2"g2(

l,xeP1

在等差数列｛%｝中q=0,出019=1，2=唇（％+1）-8左（名）|（左=1，2,3,4）,用弓表示数列也｝的前

2024项的和,则（

A.P4<1=<P2<P3=2B.乙<1=4=£(月<2

C.P4=l=F[=P2<Pi=2D.P4<1=F[=P2<P3=2

3

29.已知等差数列｛4｝的首项%=1,且（出+炉+3（%+1）=2，（a4-l）+3（a4-l）=2.若

，且对任意的〃eN*，均有4e[/回，则b—a的最小值为（工

35

A.1B.-C.2D.-

22

30.已知数列｛4｝的前〃项和S,满足勿S“=（—6）"U,6为常数，〃eN*，且/W0），«1=-1，

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3

%=5,若存在正整数〃，使得（4+「d）（%-d）<0成立；数列也｝是首项为2,公差为d的等差数列,

北为其前〃项和，则以下结论正确的是（）

A.4+4<伪B.b3+b4>by

C.不+4<7；D.

31.已知数列｛a.｝满足/=彳，a“+i=%+%+l,若S“=—+—+•••+—,对任意的〃eN*，

S"<"恒成立，则M的最小值为（）.

32.已知S“数列｛4｝的前〃项和，=2,且%+4+i=（—I）"后,若彳鬻—聚=ioio—〃，（其

「八20191,

中x,〃〉o）,则一--H—的取小值是（）

A〃

A.272B.4C.2J2019D.2024

33.设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，首项%=1,且2s2+64=363,已知私〃eN+，若存在正整数

Z,J（1<Z<J）,使得机4、加〃、"%•成等差数列，则加〃的最小值为（）

A.16B.12C.8D.6

34.数列｛4｝中，卬=,，（〃+l）%+i=*^（〃eN*）,若不等式3+1+（_1）"%之0对所有的正

2"%+1nn

奇数〃恒成立，则实数，的取值范围为（）

/28一

A.-oo,一B.（-oo,9]C.（-w,10]D.[9,+oo）

35.数列｛%｝满足:对所有〃eN*且〃》3,3z,jGN*,使得an=at+则称数[an]

是了数列”.现有以下四个数列：①｛〃｝；②｛2"卜③｛lg[〃（〃+l）]｝；

④1•-—JI;其中是“少数歹!1”的有（）

A.①④B.①③④C.②③D.①②

二、多选题

36.若数列｛4｝满足%=1,a2=1,an=an_x+an_2（n>3,n&N+）,则称数列｛%｝为斐波那契数列,

又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成

立的是（）

A.%=13B.%+%+。5+•,,+。2019=。2020

C.Sj=54D.〃2+。4+。6---------。2020=。2021

22

37.已知曲线Cn:x-2,nx+y=0（”=1,2,…）•从点尸㈠，°）向曲线Q引斜率为4（4>0）的切线/„,

切点为《（当,匕）.则下列结论正确的是（）

A.数列｛x,｝的通项为x„=/一

72+1

B.数列｛%｝的通项为匕五1

〃+1

38.对于数列｛4｝,若存在正整数左（左之2）,使得既<以_1，ak<ak+l,则称ak是数列［an］的，谷值，k

9

是数歹U｛%｝的“谷值点”，在数歹U｛%｝中，若%=〃+——8,则数列｛与｝的“谷值点”为

n

A.2B.3C.5D.7

39.意大利数学家列昂纳多・斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉

为是最美的数列，斐波那契数列｛4｝满足：«2=1,%=。“_］+4_2（〃23,〃6^^*）.若将数列的

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每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前"项所占的格子的面积之和为s“，每段螺

旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为则下列结论正确的是（）

A.Sn+l^a；+l+an+l-anB.%++%+…+二册+2-1

C.%+/+/+••,+-1=a2n-]D.4（c„-c„_1）=^tz„_2.

40.设等比数列｛%｝的公比为公其前〃项和为S”，前〃项积为北，并且满足条件为〉1,a,as>1,

q~T<°•则下列结论正确的是（）

。8T

A.0<^<1B.a7a9<1C.1的最大值为qD.S“的最大值为其

三、填空题

41.已知首项为1的数列｛与｝的前〃项和为S.，若4S〃+l+S“S"+2=4S“+S",且数列4,a2,

ak[k>3）成各项均不相等的等差数列，则左的最大值为.

42.已知正数数列｛4｝满足（〃+1）氏+1=〃4+',且对任意〃eN*，都有％42,则%的取值范围为

43.已知公比大于1的等比数列｛%｝满足%+4=20,%=8,记与为｛4｝在区间（0,（meN*）中的项

的个数，也｝的前n项和为Sn,则S*=.

44.已知数列｛%｝满足：%=1,。，-「。，'｛（^，（^，…，。）（〃^乂^^记数列W）的前a项和为反一若

对所有满足条件的｛4｝,sio的最大值为M.

45.已知首项为;的数列｛%｝满足%M=Y2a；+4(〃eN*)，若%<也对任意正整数〃恒成立，则实

322

数丸的最大值为.

46.已知数列｛4“｝和｛，｝满足q=2,4=1,an+bn=bn+i,。向+^用=4a”.则包里=.

^1008

47.已知两个无穷数列｛%｝,｛a｝分别满足〈J\bn+lc，其中〃eN*,设数列｛叫，

\anl_<7»=2-r~=2

+[4

｛4｝的前〃项和分别为S",Tn.若数列｛qj满足：存在唯一的正整数左(左之2),使得q=Cj,称数列

匕｝为坠点数列若数列｛4｝为'/坠点数列”，数列低｝为“坠点数列“，若S,“+i=Tm，则加的最大

值为.

48.已知数列｛4｝的通项公式为。"="+乙数列低｝为公比小于1的等比数列，且满足4也=8,

b2+b3=6,设q=4乎+勺闻，在数列｛%｝中，若C4wc“(〃eN*),则实数/的取值范围为

49.已知数列｛4｝,令々=工(q+2%+…+2"T。“)(〃eN*),则称｛月｝为也,｝的伴随数列”,若数列｛%｝

n

劭伴随数列”优｝的通项公式为弓=2"i(〃eN+),记数列也,-左〃｝的前〃项和为S“，若岳对任意

的正整数〃恒成立，则实数左取值范围为.

50.我们把一系列向量4«=1,2,L,〃)按次序排列成一列，称之为向量列，记作｛4｝.已知向量列怩｝满

足：币=(1,1),=(X„,)=|(x„_1-yn_x,+yn_x)(«>2),设4表示向量或与％的夹角,若

；log.(l—2a)恒成立，则实数a的

取值范围是

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【挑战满分】压轴小题4：数列

1.A

【分析】

一1

对递推公式进行变形得%+i^—7,应用该递推关系可以得到该数列的周期，利用周期性

4+1

进行求解即可.

【解析】

ci—1

因为%=%%+1+%+1，所以4+i='r

4+1

--1

因此。23七同理％=—2,&=3,%=；，则

2

“〃+2

i1+事]

%+2=a

---------f=-----------rn>因此口4"3=-

4+3+1。〃+2m+i八%+1-1]%T2

aa

n+2n+\+1%+1

。4左一2二一；，1=-2，a4k=3,其中左wN*，则

7

T=(4左一3"4k_3+(4k—2}a_+(4k—l]a_+4左4后=—(4A:+1),则

k4k24ki6

7i

9a9+IO%。+11。”+—I-18q8+19。]9=4+q+4—2Ot22o—(13+17+21)—60=——,

故选：A

【小结】

Cl—1ZX

关键小结：求解本题的关键是对%+i=」一了的化简，进而得到数列｛4｝的周期为4,从

而得到7即可求得结果.

2.B

【分析】

……小”吟符'因此取得

掰<上手，然后分类讨论证明对任意的X]#0,存在〃eN*,使得七2岑!•注意

结合/(x)的性质.

【解析】

因为X“+1=(X“—1)2-1,/(x)=(x—l)2—1在口,+8)上递增,在(一叫1]上递减.

姜1+V5mi|1-V51+A/51Thp,1+A/5

右玉=—相一'则与”=方—，/"-1=工—，因此也《下一，

下证对任意的玉70,存在“eN*,使得乙之上字.

①西之号1时，显然存在〃=1,使得当之笥5,

②者《上手时，々=/(号与=匕普，存在〃=2,使得七2笥叵，

③3:VX]<1+£时，-1W々W1,，由②知，存在〃=3,使得x“N，

④1,<x<0时,0</<1，由③知，存在〃=4,使得=21+'，

(?)0<X]<——时，X3=x；—2/=(X；—2X])2—2(x；—)=x：—4x；+2x；+4x^,

所以d=x：-4x；+2X]+4,g(x)=x3-4x2+2x+4,则g'(x)=3x?-8x+2,

xi

易知存在qe(O,g),2e(2,3),使得g(q)=0,g(4)=0，x<。时，g'(x)<0,

?]<x(马时，g'(x)〉0,

]x1

所以g(x)在(0/)上递增，在(不一)上递减，所以二■2min{g(0),g(K)}24,x3>4xlt

若&〉4斗之士衿，则由③，存在=5,使得天之上乎，

若0<4王〈主衿，则£24£242王，...，依此类推，必定存在正整数左，使得

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丫〉4"，>3-也丫〉4*+i丫>1+6

X2k-124X]22'X2k+\24Xj>2

综上所述，加的最大值是1±2后

2

故选：B.

【小结】

关键点小结：本题考查数列的递推公式，解题方法是结合函数性质，取一个特殊的再求得加

的最大值，然后证明对任意的XiH0,存在〃eN*,使得天2岑证明时根据函数的

性质需要对再的取值分类讨论.

3.A

【分析】

根据题意，求得%的范围，分别求得当%=5,%=4和%=3时，满足题意的排列数，综

合即可得答案.

【解析】

因为1+2+3+4+5=15,

所以〃=5时，%+%+。3+°4+°5=15,

所以见»3,

当q=5时，任意排列均满足题意，共有幺：=24个，

当q=4时，只要a2H5,其他排列均满足题意，共有3x3x2x1=18个,

当q=3时，%只能取1或2,所有的情况如下:

排列32145,满足题意;排列31245,满足题意,

排列32154,满足题意,排列31254,满足题意,

排列32415,满足题意,排列31425,满足题意,

排列32451,不满足题意,排列31452,不满足题意,

排列32514,不满足题意,排列31524,满足题意，

排列32541,不满足题意,排列31542,不满足题意，共7个满足题意,

综上，满足题意的排列共有24+18+7=49个.

故选：A

【小结】

解题的关键是根据题意，先求得％的范围，再进行分类讨论，难点在于4=3时，72%值较

小，需逐个检验。2，。3，。4，方可得答案.

4.C

【分析】

由己知，令0<苞<々，即上=左〉1有/(左)>0,结合递推式有/(々)>/(玉)，即/'(x)

在(0,+8)上单调增，进而求％且4+1=24+1,利用构造法确定｛《,+1｝为等差数列并写

出通项公式，即可求。2020.

【解析】

当x〉l时，/(x)>0,在(0,+oo)上任取两数,且无]<工2，令二=左>1,贝!]

一一西

/(左)>0.

•1•/(X2)=/(^1)=+即/(%)在(0,+00)上是单调增函数.

令x=y=l,则/(1)+/(1)=/(1),解得/(1)=0.而数列｛4｝满足%=/(1)=0,

・•,/(%+i)=/(2%+l),〃eN*,

%虱=2a,+1,则an+x+1=2(%+1),

数列｛%+1｝是公比为2,首项为1的等比数列，得：%+l=2"T,

.•・4=21—1,故在。2。=22°i9—l.

故选：C.

【小结】

关键点小结：首先应用已知条件判断函数的单调性，求%;再由为中=2%+1,应用构造

法求数列通项，进而求项.

5.C

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【分析】

根据递推公式，可知｛。用-。“｝从第2项起是等差数列，可得4+]-。〃=2"+2,再根据累

加法，可得%=〃（〃+1）,由此可得当时，bn=------=1,又4=、---—=2,

%%

由此即可求出7；.

【解析】

、匕、cn-l-〃+2S"-l+1_Q

当心2时‘百二方？一3,

%+2+%+i+%+1_3

an+l+1

■-an+2-2an+1+an=2,

an+2~4+1_(a”+i_%)=2,

{4+i-4}从第2项起是等差数列.

又a2=6,a3=12,/.(a3-a2)-(a2-aj=2,

a〃+i-a”=4+2(〃-1)=2〃+2,

当“22时，

an=(4一a“T)+(a“T-4-2)+…+(%—%)+%

=2〃+2(〃-l)+L+2x2+2=2x-^——L

2

(72+1)2n+1

：.------=----(M>2),

an〃

,,,("+1)~[n+1

.,・当〃》2时，b=——-=——

nanJLn

又冷…=2,

ax

223220212

7^020=—+—+---+-----=2+2019=2021.

故选：c.

【小结】

本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属

于中档题.

6.C

【分析】

2

构造数列bn=(%-2)2,由此可得〃+2=bn,从而求得(％-2)+(%。2。-2)2=4,再利用

均值不等式，求得％+。2020的最大值.

【解析】

22

依题意an+x=2+可化为(«„+1-2)+(4-2)=4,

2

令"=(a„-2)则bn+l+2=4,bn+2+bn+l=4,

于是bn+2=b”，

=—

1'14=3—2),b2020b2—(<722)

二4+&020=4+、2=4,

即（q-2y+（。2020一2）~=4

..x+y<

,----------\

2-

,**"1+。2020=(%—2)+(。2020—2)+4

G2x1-2)2+,2020-2)2+4=4+2近

(当且仅当q=4()20=2+夜时等号成立).

故选：C.

【小结】

本题考查数列构造数列以及递推公式的使用，涉及均值不等式求最值，属综合中档题.

7.B

【分析】

高考复习材料

由己知条件4>0,且片=3。11一2%+1(〃€]\*)分析可得(%-1)(%+1>0,然后构

造函数)=，3命—2x，利用函数图象分析，再逐个判断即可.

【解析】

,•,4=3-2%+](〃eN*),

1',-1=Sa,"-2%+i-L

.•.(%+1)(%-1)=(3。n+l+1)(“"+1-1).

Va„>0,故%+1>0且3%+1+1>0,

于是(%-1)与(--1)同号,

-l)(a„+1-l)>0.

对于/,若%=g,则%—1=—g<0,则%—1<0,

•••说一,+1=2%+i(«„+1-1)<0,所以/<%用，故/错误；

所以%-。3〉。3一。5，即4+。5〉2a3，所以c不正确；

对于。，设%+i=x,则%=「3炉—2X，%+2=1+'1+"

由上图可知，卜一〃|>——\a-a\y

|〃+2H+1I3|Hn+1｝n|

即］十斤7/也计氐不,

33

等价于2+2V3X79X2-6X>2,1+3/(3x-1)，

化简得：/-2x+l40,

而%―2x+l<0显然不成立，所以。不正确；

由排除法可知B正确.

故选：B.

【小结】

本题考查了数列递推关系、利用函数思想解决数列问题，考查了推理能力与计算能力，属于

难题.

8.B

【分析】

首先求得%，为，%的范围，运用导数判断了(x)的单调性，考虑当时，数列｛”｝的

单调性，即可得到所求切的最小值.

【解析】

M=6Jo(JoeR)，

7U)U-z,-i)

若匕*1=1〃71、Jt,(〃eN*),

f(y„+5)—5(丹t)

当％)=1，可得必=6,

y2=f(6)=6+sin6<»i，

>

y3=f(y2+|-)-|-=>2+y+sin(^2+y)-y=y2+COS/e(2肛3万)，

由/(x)=%+sinx的导数为/'(%)=l+cosx...O,

可得在火上递增,

高考复习材料

当x£(2匹3万),2^-<x<x+sinx<f(3%)=3%,

可得当儿.3时，"<%+1<3），

可得加..3万,

数列%，必，…的“准最大项”存在，且为3万，

故选：B.

【小结】

本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：判断单调性，以及三角函数的图象和性质,

属于难题.

9.A

【分析】

通过对二项展开式赋值x=!求解出%的值，然后通过所给的条件变形得到\为等差数

2W

列，从而求解出｛S,,｝的通项公式，即可求解出邑021的值.

【解析】

令x=f得［1—2x；［=%+g+*+…+铝=0.

又因为瓦=1,所以%=g+?+…+宗黑■=一1•

Sn+.-Sn11,11

由a」=SS,=S,—S.得--------=---------=1.PJTW------------=—1.

>是首项为!=一公差为的等差数列，所以!=（〃-）（）一〃

所以数列《1,—17+1•-1=

所以5“=-'所以%=-上

故选：A.

【小结】

本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解

答问题时注意a“+i=-S”的运用.

10.C

【分析】

利用条件以及数学归纳法说明A成立；结合类推思想说明B成立；利用零点存在定理说明

存在c使｛%｝是周期数列，即C错误；利用放缩法说明D成立.

【解析】

若%e[0,1],则%—,即必要性成立;

若ce[0,l],则与=1-ce[0,l]

假设〃=左(左21,左eN*)时，a„e[0,l]

则〃=左+1时，an+i=+1-ce[1-c,1]c[0,1]

因此c€[0,l]时，ane[0,1],即充分性成立；故A成立；

c>l,y=c?+l-c单调递增，

a1—0,..a?=1—c<0..Q3=f(42)<f("i)=l—c=a?

同理%=/(%)</(%)=%，依次类推可得4+1<。“，即｛%｝一定是递减数列，故B成立;

当。<00^，6Z|—0,。2=1—C>0？=。(1—。)3+1——c-a?

由%=0nC(1-c)2+1=0,令g(c)=c(l-c)2+1,Qg(-l)<0,g(-1)>0.-.g(c)存在零点,即

存在c使｛%｝是周期数列，即C错误;

1143131

当C=7时，an+l=^an+=-1)二：(〃〃?+an+D，

44444

133

由A得a”e[0,1],所以a“+i-INj%-1)。+1+1)一I)，])?NL>(0-1)-(―)",

1

%>l-(1ra^l-cV(n>2)al>l-2。尸(„>2)

〉〃-7,(〃22)

因为〃=1时，S]=0〉—7,所以工>〃一7,即D成立;

故选：C

【小结】

高考复习材料

本题考查数列周期、数列单调性、等比数列求和、零点存在定理、数学归纳法，考查综合分

析论证与判断能力，属难题.

11.A

【分析】

按照〃的奇偶分类讨论，可得。2Kl+a2k=6k-\以及%k+4一%/=12,再根据等差数列的

定义可得的020=6061—%，而。2-4=2，即可求出外+%020=6059为定值，采用并项

1009

求和的方式即可求出邑020=6059+2（6^-1）也为定值.

1=1

【解析】

当〃=2左（左eN*）,则+%斤=6左一1，。2出+2一。2"+1=6左+2,

%左+2+a2k=12k+1,即有出=13—%，“2左+4+%左+2=2k+13,

作差得。2后+4—a2k=12,。202。=。4+12x504—（13—。？）+6048—6061—%，

/.Q]+。2020=6061+Q]—2，令72—1可得，—%=2,

ax+。2。20—6061—2=6059为定值.

1009

=

而$2020=（%+°2020）+（4+。3）+（。4+--------（。2018+。2019）6059+>,

k=\

也为定值.

故选：A.

【小结】

本题主要考查利用数列的递推式判断数列的性质，以及并项求和法的应用，意在考查学生的

逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题.

12.C

【分析】

求得%=册，化简得出“=下------——,并结合题意求得正整数加的值，然后

利用裂项相消法可求得结果.

【解析】

设｛叫的公差为d,则(9—4”二Q；—Q：=32—22=5,即d=l,

所以Q；=Q；+(〃-4)d=2?+(〃-4)d=〃，又Q〃〉0,所以Q“二V^，

71j.+l-品

b—--------,--------,,——-------,---