人教版版八年级数学下册专题16.3二次根式的加减【十大题型】(原卷版+解析)

专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断同类二次根式】 1【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 2【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 2【题型4比较二次根式的大小】 3【题型5已知字母的取值化简求值】 3【题型6已知条件式化简求值】 4【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 4【题型8二次根式混合运算的实际应用】 4【题型9二次根式的新定义类问题】 5【题型10二次根式的阅读理解类问题】 6【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，112(2)x4y，3x【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（

A．216 B．125 C．48 D．32【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（

）A．xy与xy2 B．2x与2x C．3aa与1a【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27A．27x3 B．−x327 【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b=【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、解：∵162m+n和m−n−1∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=3∵m、n是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)4(2)2【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48(2)(7+4【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)32(2)212(3)2+(4)2−3【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（

）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．−7−232＞﹣6 D．|1－3|＞【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,6【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：121314…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：(1)12(2)设a=13−2，b=1【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1<m<83−【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x−yx【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知x=2+1，求代数式【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知a=2+1，求【变式5-3】（2023春·上海·八年级期末）先化简：xy+yx【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若x，y为实数，且y=1−4x+4x−1【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4a−b+1+b−12a−9=0【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知x−69−x=x−69−x，且【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，(1)a(2)a【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3−7，y=3+7，求【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1(1)a2(2)a2【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm

已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m(1)数对25，(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3m【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m①18⊗2=22②11⊗2③a⊗b⋅以上说法中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′={y(x>0)−y(x<0)，则称点请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3(2)化简：7+210(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22设a+b2=m+n22（其中a、b、m∴a=m2+2n2请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：+(3)若a−65=m−n52且a、m【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3解答下面的问题：(1)计算：12+1=___________，14(2)计算：12(3)计算：23【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和7−6=1因为7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2当x=2时，分母x+2+解决下述问题：（1）比较32−4和（2）求y=1−x【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子x+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且x+1＝(x+1)2②把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=m±n(1)化简：5+26(2)计算：1(3)直接写出代数式x2+2x+5+x专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断同类二次根式】 1【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 3【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 5【题型4比较二次根式的大小】 8【题型5已知字母的取值化简求值】 10【题型6已知条件式化简求值】 12【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 14【题型8二次根式混合运算的实际应用】 16【题型9二次根式的新定义类问题】 19【题型10二次根式的阅读理解类问题】 24【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，112(2)x4y，3x【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=48=4112∴24，48，112（2）解：x43x−2x∴x4y，3x【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（

A．216 B．125 C．48 D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．【详解】解：∵427=293，216=66∴与427是同类二次根式的是48故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（

）A．xy与xy2 B．2x与2x C．3aa与1a【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、xy与xyB、2x与2xC、3aa与1D、3a故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27A．27x3 B．−x327 【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−27x3=-选项A：27x3=3x选项B：−x327=−选项C：−19−3选项D：−x3=B、C、D中都含有−3x【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？【答案】x=4【分析】5x+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5x+8=n2×7∵n2>0∴当n=1时，5x+8=7，解得x=−0.2，不是正整数，舍去；当n=2时，5x+8=28，解得x=4，符合题意，即x的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)a=(2)a=【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得a=2（2）∵二次根式3a与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝2n【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b=【答案】−8【分析】最简二次根式2b+1与a+47+b能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b【详解】解：根据题意得：2b+1=7+b,a+4=2，则a=−2，所以a−b=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、解：∵162m+n和m−n−1∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=3∵m、n是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162m+n【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162m+n【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162m+n（2）正确解答过程如下：∵162m+n=42m+n，16∴m−n−1=22m+n=m+7，解得：m=5经检验m=5，n=2符合题意，∴m=5，n=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)4(2)2【答案】(1)14(2)−8+7【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式===（2）原式=24−3−=21−29+6=−8+7【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27【答案】9【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27=3=9【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48(2)(7+4【答案】(1)4−(2)6【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3=16=4−（2）解：原式=49−48−(45−6=1−46+6=6【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)32(2)212(3)2+(4)2−3【答案】(1)−(2)14(3)4+2(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×=3×=−15（2）原式=4=143（3）原式=2+2=2+2=4+26（4）原式===1×=2+=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（

）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．−7−232＞﹣6 D．|1－3|＞【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5，则D、由于1−3=3故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,6【答案】7【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】(55)2=∵15∴77故答案为：77【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：121314…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：(1)12(2)设a=13−2，b=1【答案】(1)2020(2)c>b>a【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式===2021−1=2020；（2）根据题意可得，a=3+23−∵2∴3+即a<b，∵5∴2+3即b<c，∴c>b>a．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1<m<83−【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5∴82+1=∵82+1<m<∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x−yx【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．【详解】x−yx=(=(=x−=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知x=2+1，求代数式【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2=3−22=32=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知a=2+1，求【答案】22【分析】根据分式的运算法则将a2a−1−a−1【详解】解：a===当a=2原式=1【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·上海·八年级期末）先化简：xy+yx【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式xy进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.【详解】x=xy=xy=xy，当x=13−22【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若x，y为实数，且y=1−4x+4x−1【答案】2【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵y=1−4x∴1−4x≥04x−1≥0∴14≤x≤1∴y=1−4x∴xy∴x==22【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4a−b+1+b−12a−9=0【答案】3【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4a−b+1+b−12a−9=0∴4a−b+1∴4a−b+1=0b−12a−9=0．解得a=−1b=−3．b==3×==3【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知x−69−x=x−69−x，且【答案】4【分析】由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为奇数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得x−6≥09−x>0解得6≤x<9，且x为奇数，∴x=7，∴原式=(x+1)=(x+1)===43【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵a+∴a∴a∴a∵a>0，∴a【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，(1)a(2)a【答案】(1)8(2)4【分析】（1）先求解a+b=25，ab=（2）先求解a+b=25，a−b=2【详解】（1）解：∵a=5+1，∴a+b=25，ab=∴a2（2）∵a=5+1，∴a+b=25，a−b=2∴a2【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3−7，y=3+7，求【答案】−6【分析】先计算出x+y,x−y与xy的值，再把xy−y【详解】解：∵x=3−7，y=3+∴x+y=6,x−y=−2∴xy−y【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1(1)a2(2)a2【答案】(1)5(2)±【分析】（1）利用完全平方公式可得a2（2）根据完全平方公式可得(a−1a)2=【详解】（1）解：∵a+1∴a+∴a（2）解：由（1）得a2∴a−∴a−1又∵a∴当a−1a=当a−1a=−【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm

已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45∴甲、乙两件礼品的边长之和为45∵400<500<625<900，∴20<105∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【答案】6【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma由题意可得，40a−ma+mb整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=610故答案为：610【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,2∴7∵49>48∴4+3>2∵1+∴1+∵5+5=10,2∴5+5=2故答案为：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn当m≥0，n≥0时，∵(∴(∴m−2∴m+n≥2（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【答案】6【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma由题意可得，40a−ma+mb整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=610故答案为：610【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m(1)数对25，(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，【答案】(1)(15，2)和(2，1(2)y=(3)x=1【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入m=1a，（2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明13=y（3）将数对x，2的一对“对称数对”求出来，即得出xx【详解】（1）∵125=1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15故答案为：(15，2)和(2，1（2）∵数对3，∴13解得：y=1（3）∵1x∴数对x，2的“对称数对”分别为(xx，2)和(2∵数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是∴只可能为xx解得：x=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3m【答案】(1)2(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2a=4∴a=4（2）∵2+3与4+∴2+3∴4+3∴m=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m①18⊗2=22②11⊗2③a⊗b⋅以上说法中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18所以①正确；1====100⊗1所以②正确；当a≥b时，a⊗b⋅当a<b时，a⊗b⋅所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′={y(x>0)−y(x<0)，则称点请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3(2)化简：7+210(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+【答案】(1)（2，−3）；（−33，(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，y′（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)（3）根据1≤a≤2，得a−1−1≤0；将m=12(a+2a−1+a−2a−1)化简得m=12(【详解】（1）∵2∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−∵−3∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，故答案为：（2，−3）；（−33，（2）7+2===∴7+210化简得：5（3）∵1≤a≤2∴0≤a−1≤2−1∴0≤a−1≤1∴0≤∴a−1∵m====∴m=∴m=∴点M（−2，2∵−∴M′（−2，故M′的坐标为：（−2，【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22设a+b2=m+n22（其中a、b、m∴a=m2+2n2请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：+(3)若a−65=m−n52且a、m【答案】(1)m