苏教版高数必修二第6讲：空间中的面面关系(教师版)

空间中的面面关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解掌握面面平行关系的判定和性质；理解掌握面面垂直关系判定及性质．一、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：．简言之：线面平行面面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：．简言之：面面平行线线平行特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．二、平面和平面垂直1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一面面平行例1：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.解析：运用平面平行的判定．答案：∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.答案：∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.答案：如图，取BB1的中点G，连接EG、GC1，则有EGA1B1.又A1B1C1D1，∴EGC1D1.∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1EGC1.又BGC1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：本题考查面面平行的判定．∵EG∥E1G1，FG1∥EH1，EG∩EH1＝E，E1G1∩FG1＝G1，∴平面EGH1∥平面E1FG1，经验证其他3对均不平行，故选B.例2：将已知：平面α∥平面β，AB、CD是夹在这两个平面之间的线段，且点E、G分别为AB、CD的中点，AB不平行于CD，如图所示．求证：EG∥α，EG∥β.解析：由平面平行的性质除法得到结论．答案：如图所示，过点A作AH∥CD，交平面β于点H，设F是AH的中点，连接HD，则AH綊CD，∴四边形ACDH为平行四边形．连接EF、FG和BH，∵E、F分别是AB、AH的中点，∴EF∥BH.∵EF⊄平面β，且BH⊂平面β，∴EF∥β.又F、G分别是AH，CD的中点，且AC∥HD，∴FG∥HD.又∵FG⊄平面β，HD⊂平面β，∴FG∥β.∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥β，又α∥β，∴平面EFG∥α.∵EG⊂平面EFC，∴EG∥α，EG∥β.练习1：知平面α、β、γ，α∥β∥γ，异面直线l、m分别与平面α、β、γ相交于A、B、C和D、E、F.求证：eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).答案：连接DC，设DC与平面β相交于G，则平面ACD与平面α、β分别交于AD、BG，平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF，∵α∥β，β∥γ，∴BG∥AD，GE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DG,GC)，eq\f(DG,GC)＝eq\f(DE,EF)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).练习2：若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交答案：A类型二平面与平面垂直例3：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.又BC∩CC1＝C，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.练习1：三棱锥S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.答案：解法一：取BC的中点D，连接AD、SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB＝AC.∴AD⊥BC，SD⊥BC.令SA＝a，在△SBC中，SD＝eq\f(\r(2),2)a，又∵AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD2＋SD2＝SA2.即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，又∵∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△ASB、△ASC都是等边三角形．∴AB＝AC＝a.作AD⊥平面SBC于点D，∵AB＝AC＝AS，∴D为△SBC的外心．又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，∴D为BC的中点，故AD⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.练习2：如右图,在四面体中，．求证：平面平面．答案：取的中点，连结∵∴同理在△中，∴同理在△中，∴∴∵∴平面∵平面∴平面平面练习3：空间四边形中，若，那么有（）A、平面平面 B、平面平面C、平面平面 D、平面平面答案：D例4：已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．答案：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.练习1：已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示．求证：PA⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（）A、都垂直于 B、内存在不共线的三点到的距离相等C、是内两条直线，且D、是两条异面直线，且答案：D2.有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α、β、γ分别表示平面，a、b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)答案：③3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D5.Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6eq\r(10)，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能确定答案：B2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β答案：D3．下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3 B．4C．5 D．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交答案：A5．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C6．下列命题正确的是（）A．夹在两个平行平面间的线段相等 B．空间一条直线与两个平行平面所成的角相等C．一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与这个平面平行D．过一点有且仅有一个平面和已知平面平行答案：B7．夹在两平行平面间的两线段长相等，则这两直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．平行．相交或异面答案：D8．过平面外的两点有无穷多个平面与垂直，则一定有（）A．直线平面 B．直线与平面成角C．直线 D．点A、B到平面的距离相等答案：C能力提升9．是正方形，以为棱把折成直二面角，是的中点，（）A． B． C． D．答案：D10．二面角的平面角为，，若,则等于（）A． B． C． D．答案：C11．已知△，点是△所在平面外一点，若，那么在平面内的射影位于_______________．平面与平面的位置关系是_______________．答案：的中点，垂直12．,．,．，直线与