专题04 线段的垂直平分线（七大题型+跟踪训练）（解析版）

专题04线段的垂直平分线（七大题型+跟踪训练）题型1：线段垂直平分线的性质1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可．【解析】解：如图，连接．∵垂直平分线段，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握：线段垂直平分线上的点，到线段两点的距离相等．3．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解析】解：∵在中，，垂直平分，∴，在和中，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．

【答案】【分析】根据垂直平分线的性质得到，再做差即可．【解析】垂直平分线，，，又，，．【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键．5．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到答案．【解析】解：，，，垂直平分，，，【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．题型2：线段垂直平分线的性质的应用6．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（

）A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处【答案】C【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【解析】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选：C．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．7．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm【答案】B【分析】由DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，可得AE=CE，继而可得△EBC的周长=BC+AB．【解析】解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，∴AE=CE，∵BC=8cm，AB=10cm，∴△EBC的周长为：BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=8+10=18（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．8．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（

）A．120 B．50 C．100 D．90【答案】C【分析】利用垂直平分线的性质得，，等量代换即可求解．【解析】解：∵、分别是线段、的垂直平分线，∴，，∴的周长．故选C．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．9．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（

）A．16 B．18 C．26 D．28【答案】B【分析】利用线垂直平分线的性质得,再等量代换即可求得三角形的周长．【解析】∵是中边的垂直平分线，∴，∴，∴的周长．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．题型3：线段垂直平分线—尺规作图10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，进而可得，，再由的周长等于，的周长为，可得，，两式相减可得答案．【解析】解：根据题意可得是的垂直平分线，的周长为，，的周长等于，，是的垂直平分线，，，，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质．11．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．【解析】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，故选：D．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．12．小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________．【答案】垂直平分线/中垂线【分析】根据线段垂直平分线的定义，即可得到直线称为线段的垂直平分线．【解析】解：∵沿直线将纸对折．发现与重合∴∵点O画出与垂直的直线∴∴直线称为线段的垂直平分线故答案为：垂直平分线【点睛】本题考查了线段垂直平分线定义，理解线段垂直平分线的定义是解题的关键．题型4：线段垂直平分线的判定13．在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于__________【答案】2或10【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可．【解析】解：∵，∴点都在的垂直平分线上，由题意知，分两种情况：①当点在的内部时，；②当点O在的外部时，；故答案为：2或10．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．14．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______．【答案】/8厘米【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．【解析】解：∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∵PQ是BC边的垂直平分线，∴，，∴，∵的周长是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．15．如图，中，，平分，于E．(1)若，求的度数；(2)求证：直线是线段的垂直平分线．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）在中，求出即可解决问题；（2）证明得出，，利用线段垂直平分线的判定即可证明．【解析】（1）解：∵，平分，∴，∵，∴，∴；（2）证明：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴，∴，，∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上，（两点确定一条直线），∴直线是线段的垂直平分线．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是证明，．题型5：线段垂直平分线的判定与性质综合题16．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（

）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．【解析】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB是CD的垂直平分线．即AB垂直平分CD．故选：A【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键．17．已知：如图，，，点在上．求证：．

【答案】见解析【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案．【解析】证明：如图，连接，

∵，∴点A是线段垂直平分线上的点．∵，∴点D是线段垂直平分线上的点，∴是线段垂直平分线，∴．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键．18．如图，如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．

(1)若，，求的度数；(2)写出与的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)．理由如下【分析】（1）根据三角形内角和可得再利用内角和即可得出；（2）证得点、在线段的垂直平分线上．【解析】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：．理由如下：平分，，，．在线段的垂直平分线上．，，，在和中，，．．又，，，，，是线段的垂直平分线．．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，角平分线的性质．找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．题型6：轴对称中的光线反射问题19．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（

）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．【解析】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．【解析】如图，由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故选C．【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键．21．光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．【解析】解：如图：由反射规律可知：，，，又∵∴，即．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．题型7：线段的垂直平分线的性质与判定的综合解答题22．如图，在中，，边上的垂直平分线交于点，交边于点，连接．(1)若，，求的周长；(2)若，试求的度数．【答案】(1)23(2)23°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得与的关系，根据三角形外角的性质，可得与的关系，根据三角形内角和定理，可得答案．【解析】（1）解：是的垂直平分线，．，又，，；（2）解：，设，，，．是的外角，，、、是三角形的内角，，，解得．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，（1）利用线段垂直平分线的性质得出与的关系，把三角形的周长转化成是解题关键，（2）利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出与的关系是解题关键．23．如图，在中，垂直平分线段，的周长为18，且，求、的长各为多少？【答案】；【分析】利用中垂线的性质得到的周长，再结合，即可得解．【解析】解：∵垂直平分线段，∴，又∵的周长为18，∴，∴，即：，又∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．24．如图在中，，，的垂直平分线交于点D，垂足为E．(1)求的周长；(2)若，求的度数．【答案】(1)27；(2)．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长=AB+BC；（2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质求出，然后由三角形内角和定理求得的度数．【解析】（1）解：∵是的垂直平分线，∴，∵，，∴的周长是：；（2）解：如图，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=65°，则∠NMA的度数是______；(2)连接MB，若AB=6cm，△MBC的周长是10cm.

①求BC的长；②在直线MN上是否存在点D，使由B、C、D三点构成的△DBC的周长值最小？若存在，标出点D的位置并求△DBC的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)40°(2)①BC的长为4cm；②存在，标出点D的位置见解析，△DBC的周长最小值为10cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得D点与M点的关系，可得DB＋DC与AC的关系．（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°−2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°−∠A＝90°−（180°−2∠B）＝2∠B−90°＝40°，故答案为：40°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是10cm，∴AC＋BC＝10cm，∴BC＝4cm.②当点D与点M重合时，△DBC的周长最小，最小值是10cm.【点睛】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DB＝DA．一、单选题1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解．【解析】解：∵是线段的垂直平分线，∴，故选：B．2．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，2．过EF作直线即为AB的垂直平分线．故选C．【点睛】本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键．3．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故选C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．4．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可.【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，故选：B．【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法.5．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AD，BC＝BD，再对各选项进行逐一分析即可．【解析】解：∵垂直平分，∴，故A正确，该选项不符合题意；在和中，∴，故C正确，该选项不符合题意，；∴，故B正确，该选项不符合题意；；不一定等于，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（

）．

A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边垂直平分线的交点处C．在AC、BC两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．7．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案．【解析】解：，，，点在线段的垂直平分线上，，，故选：．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．【解析】∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB是CD的垂直平分线．即AB垂直平分CD．故选A【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键．9．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上，有下列结论：①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE，其中，正确的结论是（）A．只有 B．只有C．只有 D．只有【答案】B【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④错误．【解析】解：∵BD=CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∵C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE，故①正确，∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正确，∵∠E不一定等于30°，∴AD不一定等于AE，故③错误，∵BD=CD＜AC，故④错误．故选B．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可．【解析】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图：此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．故选B．【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．二、填空题11．如图，在中，垂直平分．若，，则的长为．【答案】6【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】解：∵垂直平分，∴，又∵，∴，故答案为：6．12．如图，在中，直平分，，，则的周长为．【答案】【分析】先根据垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式和等量代换可得的周长等于即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．【解析】解：∵垂直平分，∴，∴的周长等于．故答案为：．13．如图，中，，于点H，若，，则．【答案】8【分析】先作辅助线，然后根据线段垂直平分线的判定和性质，可以得到的长，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到的长，从而可以求得的长．【解析】解：如图，在线段上截取，则，，垂直平分，，，，，，，，，，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出辅助线是解答本题的关键．14．如图，周长为16cm，，垂直平分，则cm．

【答案】5【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出．【解析】解：∵周长为16cm，，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴∵垂直平分，∴∴∴，∴故答案为：5．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．15．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为．【答案】【分析】根据是的垂直平分线，可以得到，，利用余角性质可以得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长；【解析】解：∵是的垂直平分线，∴，，∵，∴，，∴，∴，即：在中，，故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，余角的性质，勾股定理，掌握垂直平分线的尺规作图的方法及垂直平分线的性质，利用余角性质得到相等的角进而得到等腰三角形是解决本题的关键．16．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则．

【答案】【分析】连接交于点O，作，可得垂直平分，进而得出，再求出，即可得出四边形的面积，然后求出，根据勾股定理求出，再根据，，求出，即可得出答案．【解析】连接交于点O，过点D作于点M．

∵，，∴点A，C在的垂直平分线上，即垂直平分．∵，∴，，∴，∴，∴，∴四边形的面积．∵，∴，∴．∵线段平分四边形的面积，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，求三角形的面积，构造辅助线是解题的关键．17．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是．【答案】【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解．【解析】解：延长到M，使，连接，∵D为中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键．18．如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是（填写番号）【答案】①④⑤【分析】由是角平分线及，可以证明，则可得，，，由得是的垂直平分线，则，又可得，可计算出，则可判定②错误；由，易得，进而可得，即可判定①正确；由可得，即⑤正确；由知，③错误；连接、，过作于点，则，，当与的中点重合时，最小，且最小值为，从而可判定④正确；最后可确定答案．【解析】解：∵，，∴，∵是的角平分线∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，由，则是的垂直平分线，∴，∴，∴，故②错误；∵，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正确；∵，，∴，∵∴，∴，∴，即，

故③错误；连接、，过作于点，则点是的中点，且；∵是的垂直平分线，∴，∴，当与的中点重合时，最小，最小值为，故④正确；故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识．三、解答题19．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【解析】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．20．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF

【答案】见解析【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论.【解析】解：∵是中的平分线，，∴，∵，，∴∴点、D都在的垂直平分线上∴【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键.21．如图，已知，，是上一点.求证：.【答案】证明见解析.【分析】连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC，再利用SSS证明△ABP与△ACP全等，进而得出．【解析】证明：连接点在的垂直平分线上，同理，点也在的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，直线是线段的垂直平分线，是上一点，又，，.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．22．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．(1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．【答案】(1)FC=AD，理由见解析(2)【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可．【解析】（1）解：FC=AD，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∴AB=BC+AD，∵AB=6，AD=2，∴BC=4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，中，，．(1)尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的基础上，证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，（1）分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，分别相交于点E，F，连接，即可得；（2）连接，根据，得，根据垂直平分，得，计算得，则，可得，即可得；掌握尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，（2）证明：如图所示，连接，∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴．24．如图，，，，．(1)求证：；(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证；（2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证．【解析】（1）证明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；（2）证明∶如图，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴点在的垂直平分线上．又∵，∴点也在的垂直平分线上，∴垂直平分．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线