第1章三角形的证明 期末复习综合练习题 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》期末复习综合练习题（附答案）一、单选题1．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为2cm，则它的周长为（

A．6cm B．8cm C．10cm D．2．在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（）A．12 B．6 C．152 D．3．如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD=6，则P到AB的距离是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．如图，直线m∥n，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线m于另一点C，若∠1=50°，则∠2的度数为（A．50° B．55° C．60° D．65°5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=48°，∠ECF=28°，则∠ADB的度数为（

）A．152° B．132° C．124° D．104°6．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=5，CD=4，则△ABC的周长为（

）A．24 B．20 C．18 D．167．如图，点P是线段BC上一动点，连接AP，AC⊥BC，∠BAC=∠PAQ=60°，AC=2，连接CQ．当AQ=AP时，线段CQ的最小值为（

）A．12 B．1 C．328．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则PA−PB的最大值为（

）

A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACD=110°，则∠B=．10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为度．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，则四边形ABCD面积是．

12．如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB=16，AC=8，则BE长为13．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BD=5，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB=∠C，P是边BC上的一动点，则DP的最小值是．14．如图，等边三角形ABC的边长为7，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF

16．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．若BC=8，AC=4．则CE的长度是．三、解答题17．如图，已知△ABC．(1)用直尺和圆规作图，在BC边上作出一点P，使PA=PB；(2)连接AP，若AP=AC，∠B=25°，求18．如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠BAC=∠ADE．(1)求证：△ABC≌△DEA；(2)若∠CAD=30°，求∠BCD的度数．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．(1)求证：BE=DE；(2)若DE=2，DF=3，求BD20．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，DM，EN分别垂直平分AB，AC，交线段BC于M，N，DM，(1)求∠MAN的度数；(2)证明：OF⊥BC；(3)连接OA，若△AMN的周长为12，求OA的最小值．21．综合与实践：【问题情景】综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边△ABC和△ADE，将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，BE与CD的数量关系是；∠ADC与∠AEB的数量关系是；∠EFD的度数是度．（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果CD⊥AE，且AE=3,CD=4，就可以求出BD的长，请写出求解过程．【类比探究】（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE；且点C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．参考答案1．解：当边长为2cm的边为腰时，则等腰三角形的三边分别为2cm，2cm∵2+2=4，∴此时不能组成三角形，不符合题意；当边长为2cm的边为底时，则等腰三角形的三边分别为2cm，4cm，∵2+4>4，∴此时能组成三角形，∴该等腰三角形的周长为2+4+4=10cm故选：C．2．解：在△ABC中，三边长分别为3，4，5，∵32∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=1故选：B．3．解：∵AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，∴P到AB的距离即为PD，∵PD=6，∴P到AB的距离为6，故选：C．4．解：由作图可知：AB=CB，∴∠BAC=∠BCA=1∵m∥∴∠2=∠BAC故选D．5．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，∠ECF=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=∠ECF，∵∠ECF=28°，∴∠ABD=∠DBC=28°，∵∠A=48°，∴∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∴48°+28°+∠ADB=180°，∴∠ADB=104°．故选：D．6．解：∵CE垂直平分AF，CF=5∴AC=CF=5∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=5，CD=BD=4∴△ABC的周长为AC+AB+CD+BD=5+5+4+4=18．故选：C．7．解：如图：在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，∵∠BAC=∠PAQ=60°，AQ=AP，∴∠B=30°，∴∠EAC=60°，∴∠PAQ=∠EAC，∴∠EAP=∠CAQ，又∵AE=AC，AQ=AP，∴△CAQ≌△EAP，∴CQ=EP，要使CQ最小，则有PE最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，PE最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF的长度，在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2∴AB=4，∵AE=AC=2，∴BE=AB−AE=2，在Rt△BFE中，∠B=30°∴EF=12BE=1故选：B．8．解：如图，作点B关于直线CD的对称点E，连接AE并延长交CD于点F，连接CE、PE；

由轴对称图形的性质可知：PB=PE，BC=CE，∠PCE=∠BCD=15°∴PA−PB即：当P、E、A三点共线时，PA−PB∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4∴∠ACB=90°，CE=BC=AC=4∴∠ACE=∠ACB−(∠BCD+∠PCE)=60°∴△ACE是等边三角形∴AE=AC=4即：PA−PB的最大值为4故选：A．9．解：∵∠ACD=110°∴∠ACB=180°−110°=70°∵AB=AC∴∠B=∠ACB=70°．故答案为：70°．10．解：根据题意得：AB=AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD=40°，则∠A=50°，如图（2），∠ABD=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=180°−50°=130°．故这个等腰三角形的顶角是：50°或130°．故答案为：50或13011．解：如图，连接BD，

由勾股定理得，BD=A∵52∴BD∴△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，∴S四边形故答案为：36．12．解：连接CE，根据作图痕迹得MN垂直平分BC，∴BE=CE，∵AB=16，AC=8，∴在Rt△ACE中，AE=16−BE则由勾股定理得AE2+A解得BE=10，故答案为：10．13．解：∵∠A=90°，AB=3，BD=5，∴AD=B∵BD⊥CD，∠ADB=∠C，∴∠C+∠DBC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CBD，∵P是边BC上的一动点，∴当DP⊥BC时，DP最小，∵∠ABD=∠CBD，DP⊥BC，∠A=90°，∴DP=AD=4；故答案为：4．14．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴∠CAD=1∵E是边AC的中点，∴AE=CE，在AB上取点E关于AD的对称点E'，连接CE'交AD于点F则EF=FE由对称性知，AE∴CE∴CF+EF=CF+FE'=C∵∠ACE∴∠AFC=180°−∠CAD−∠ACE∴∠CFE=1故答案为：60°．15．解：由翻折变换的性质得：AE=EF，∵∠ACB=90°，∴AB=4设AE=EF=x，则BF=5−2x．分三种情况讨论：①当BF=BC时，5−2x=3，解得：x=1，∴AE=1；②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，∴F为AB的中点，∴AF=BF，∴x+x=5−2x，解得：x=5∴AE=5③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图：

则BG=FG=1∵∴CG=12在Rt△BGC中，B∴5−2x解得：x=∴AE=7综上所述，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为1或54或7故答案为：1或54或716．解：连接AP,BP，∵CP平分∠DCE，PD⊥BC，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△CPD和RtCP=CPPD=PE∴Rt△CPD≌∴CD=CE，∵PQ是AB的垂直平分线，∴AP=BP，在Rt△APE和RtAP=BPPD=PE∴Rt△APE≌∴AE=BD，∴CE=AE−AC=BD−AC=BC−CD整理得：2CE=BC−AC=8−4=4，∴CE=2，故答案为：2．17．（1）解：如图：点P即为所求；（2）解：∵AP=AC，∴∠C=∠APC，∴∠C=∠APC=∠B+∠BAP=50°，∴∠PAC=180°−∠C−∠APC=80°，∴∠BAC=∠CAP+∠BAP=80°+25°=105°．18．（1）证明：∵BC∥∴∠ACB=∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵∠ACB=∠DAE∠BAC=∠ADE∴△ABC≌△DEAAAS（2）解：由（1）知△ABC≌△DEAAAS∴AC=AD，∠ACB=∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=180°−∠CAD∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=30°+75°=105°．∴∠BCD=105°．19．（1）证明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABD，∴∠CBD=∠EDB，∴DE=EB；（2）∵∠C=90°，∴DC⊥BC，又∵BD平分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3在Rt△CDE中，CE=∵DE=BE=2，∴BC=CE+EB=3，在Rt△CDB中，BD=20．（1）解：∵DM,EN分别垂直平分AB,AC，∴AM=BM，AN=CN，∴∠B=∠BAM，∠C=∠CAN，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−120°=60°．∴∠BAM+∠CAN=60°．又∵∠BAM+∠CAN+∠MAN=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC−60°=120°−60°=60°．（2）连接AF,BF,CF．∵DM,EN分别垂直平分AB,AC，∴AF=BF，AF=CF．∴BF=CF．∴F在线段BC的垂直平分线上．又∵点O是BC的中点，∴OF⊥BC．（3）∵△AMN的周长为12，∴AM+AN+MN=12．由（1）知，AM=BM，AN=CN．∴BM+MN+CN=12．即BC=12．在四边形ADFE中，∠ADF+∠DAE+∠AEF+∠DFE=360°，∵∠ADF=∠AEF=90°，∠DAE=120°，∴∠DFE=360°−90°−90°−120°=60°．即∠AFD+∠AFE=60°．∵AF=BF，FD⊥AB，∴∠BFD=∠AFD．同理，∠CFE=∠AFE．则∠BFC=∠BFD+∠AFD+∠AFE+∠CFE=2(∠AFD+∠AFE)=120°，∵O是BC中点，且OF⊥BC，∴∠OFB=∠OFC=60°．∴∠OBF=90°−∠OFB=30°，∴BF=2OF．∵OB∴6解得OF=23则AF=BF=2OF=43∵OA≥AF−OF=23且当A在FO延长线上时，上式等号成立．∴OA的最小值为2321．解：（1）如图1，∵△ABC与△ADE均为等边三角形∴∠BAC=∠EAD=60°，BA=CA,DA=EA，又∠BAE=∠BAC+∠CAE∠CAD=∠EAD+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，BA=CA∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CADSAS，∴BE=CD，∠ADC=∠AEB，又∵∠FME=∠AMD，∴∠EFD=∠DA