2023-2024学年湖南省邵阳市新宁县三乡镇联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市新宁县三乡镇联考九年级（下）月考数

学试卷（3月份）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=2,EC=1,

AE=BC,DF1AE,垂足为F.下歹U结论：①△ADFgAEAB；@AF=

BE；③DF平分“DC；④siMCDF=|淇中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在AaBC中，4ACB=24B,CD平分乙4CB,AD=2,BD=3,贝!MC

的长为（）

A.3

B.>A10

C.4

D.273

3.《几何原本》里有一个图形：在ATIBC中,D,E是边4B上的两点（4。＜4E）,且满足4D=BE.过点D,

E分别作的平行线，过点。作4C的平行线,它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为Si，52,

S3,S*S5.^S2=18,S3=6,则S4的值为()

A.9B.18C.27D.54

4.如图，在RtAABC中，/.ACB=90°,CE是斜边4B上的中线，过点E作£T1AB交4C于点F.若BC=4,

△4EF的面积为5,贝UsinNCEF的值为（）

.3D.等

A-5B¥

5.如图，在正方形4BCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC.连接CE并

延长交2D于点F,连接4E,过B点作BG1AE于点G,延长BG交4D于点”.在

下列结论中：①BH垂直平分4E；@AH=DF；③DF=DE；④乙4EF=

45°;⑤S四边施FHG=SXDEF+S4AGH,其中正确的结论有个.（）

A.2B.3C.4D.5

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ZOBD的边。B与％轴的正半轴重合，AD//OB,DBlx轴，对角线

AB,。。交于点M.已知4D:0B=2:3,△AMD的面积为4.若反比例函数y=5的图象恰好经过点M,贝狄的

值为（）

A.yB.yC.yD.12

7.已知4（X1，为）、8（切,无）两点在反比例函数y=斗与0>0）的图象上，下列三个命题：其中真命题个数

是（）

①若与=久2，则％=丫2；

②若=2019,外=2020,则y1>y2;

③过/、8两点的直线与％轴、y轴分别交于C、。两点，连接。4、OB,则SMOC=S"0o,

A.0B.1C.2D.3

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形4B0C的顶点。在坐标原点，边BO在x

轴的负半轴上，NBOC=60。，顶点C的坐标为反比例函数y=g

的图象与菱形对角线4。交。点，连接当DBlx轴时，k的值是()

A.6<3

B.-6/3

C.12<3

D.-1273

9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(6>

a)

以及实数久(0<%V1)确定实际销售价格c=a+%(b-a),这里%被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观

系数计合好使得?=不，据此可得，最佳乐观系数》的值等于()

10.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例.若该校上、

下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？()

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期345

下学期432

A.舞蹈社不变，溜冰社减少B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少D.舞蹈社增加，溜冰社不变

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如图，在菱形中，过点。作。E1CD交对角线北于点E,连接BE,点P是线段BE上一动点，作P

关于直线DE的对称点P',点Q是AC上一动点，连接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,则DQ-P'Q的最大值

为

D

12.如图1,在线段4B上有一点E,若喘=器，则我们称E为4B的黄金分割点.如图2,正方形PQMN的边

/iD/{L

PQ上有一点。，连接ON,延长OP至点G,使得OG=ON,以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形

PGKH,若PQ=4,H是PN的黄金分割点，过点。作，ON交QM于点/,贝口翻。/的值为

AEB

图1图2

13.如图，在正方形A8CD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE1EE有下列结论:

①NB4E=30°；②射线FE是NAFC的角平分线；@AE2=AD-AF-,@AF=AB+CF.其中正确结论为

是.（填写所有正确结论的序号）

14.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C,点。在48上,

ABAC=/-DEC=30°,AC与DE交于点F,连接4E,若BD=1,AD=5,贝!J

CF

~EF=-----------*

15.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC,点P(l,2),作APQR,使APQR与△力BC相似，以Q、R点必

须要格点上______.(不写作法)

16.若线段a,b,c满足关系£=2=I，则a：b：c=.

b4c5

三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

在如图的方格纸中，AOAB的顶点坐标分别为。(0,0)、4(—2,-1)、△。送1位与△(MB是关于

点P为位似中心的位似图形.

(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点名的坐标；

(2)以原点0为位似中心，在位似中心的同侧画出404B的一个位似△。乙外，使它与△。4B的位似比为2：

1,并写出点B的对应点殳的坐标；

(3)A。48的内部一点用的坐标为(/6),写出〃在4。44中的对应点知2的坐标.

18.(本小题8分)

如图，4B为O。的直径，C是圆上一点，。是前的中点，弦DE14B,垂足为点F.

(1)求证：BC=DE；

(2)P是端上一点，AC=6,BF=2,求tan/BPC；

(3)在(2)的条件下，当CP是〃CB的平分线时，求CP的长.

19.(本小题8分)

在矩形4BCD中，AB=2,4D=2门，点E在边BC上，将射线4E绕点4逆时针旋转90。，交CD延长线于点

G,以线段4E,4G为邻边作矩形2EFG.

(1)如图1,连接BD,求NBDC的度数和品的值;

(2)如图2,当点F在射线8。上时，求线段BE的长;

⑶如图3,当E4=EC时，在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求P4+PC的最小值.

20.(本小题8分)

问题提出

如图(1),在AABC中，AB=AC,。是4C的中点，延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交于点尸，探

究空的值.

问题探究

(1)先将问题特殊化.如图(2),当NB4C=60。时，直接写出警的值;

AD

(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

如图⑶，在△ABC中，AB=AC,。是"的中点，G是边BC上一点，第="n<2),延长BC至点E,使

DC71

DE=DG,延长ED交4B于点F.直接写出党的值(用含n的式子表示).

21.(本小题8分)

如图1,在等腰RtAABC中，AB=BC,D是BC的中点，E为边力C上任意一点，连接DE,将线段0E绕点。

逆时针旋转90。得到线段。F,连接EF,交4B于点G.

(1)若=6,AE=V_2,求ED的长；

(2)如图2,点G恰好是EF的中点，连接求证：CD=^2BF.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：・・•四边形—是矩形,

AD=BC,AD]IBC,4B=90。,

•・•BE=2,EC=1,

AE=AD=BC=3,AB=AE2-BE2=/5,

•・•AD][BC,

・•・Z-DAF=乙AEB,

DF1AE,

・•・/-AFD==90°,

：.LEAB^LADF,

AF=BE=2,DF=AB=6,故①②正确，

不妨设DF平分乙4DC,则△ZDF是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，

••・ADAF+Z-ADF=90°,乙CDF+2LADF=90°,

.•・/-DAF=乙CDF,

•••(CDF=乙AEB,

•••sinzCDF=sinzXEB=苧，故④错误，

・•.正确的结论有①②.共2个.

故选:B.

根据矩形的性质证明△EAB/AADF,4CDF=4AEB,利用勾股定理求出力B,然后逐一进行判断即可解

决问题.

本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题

的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

2.【答案】B

【解析】解：过。点作DE1ZC于E点，。尸18。于尸点，如图,

•・•CD平分立ACB,

•••Z-ACB=2/.ACD,

•••Z-ACB=2/-B,

Z.ACD=乙B,

CD=BD=3,

•・•CD平分立ACB,DE1AC,DF1BC,

DE=DF

,,^KCAD'S^CBD=4°：BD=2：3,

1123

2-2-

AC：BC=2：3,

设AC=2%,BC=3x,

•・•DB=DC,

13

...CF=BF=”C=|x,

在Rt△CDE^Rt△CDF中，

(CD=CD

yDE=DF9

・•・Rt△CDE^Rt△CDF(HL),

3

...CE=CF=|x,

1

•••AE--x,

•・•DE12=DA2-AE2=CD2-CE2,

22-(1%)2=32-(|%)2,解得％=

AC=AA10.

故选：B.

由角平分线的定义得到乙4cB=2乙4CD,再证明N4CD=NB,CD=8。=3,根据角平分线的性质得到

DE=DF,接着利用面积法证明AC：BC=2：3,则设AC=2x,BC=3x,CF=|x,然后证明也△

31

XX

CDE^Rt△CDF得至UCE=CF2-所以4E2-利用勾股定理得到22-©久产=32-（|%）2,解得

%=丫型，从而得到ac的长.

本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两

边的距离相等，并灵活运用.

3.【答案】c

【解析】解：如图，连接GF,

.EH_DE_DE_DH

~HGf

•・•乙DHE=乙GHF,

.♦△DHEs〉GHF,

.S^DHE_,DH、2

••S^GHF一，

S2—18,S3=6,

,DH_3_1

•,诟—T'AHGF-”3'

••・S^DHE=（,2x3=27,

则S4的值为27.

故选：C.

连接GF,证明△DHESAGHF,可得等匪=（捐尸，进而可得S4的值.

b^GHFHG

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键.根据直

角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=AE=BE=进而得到NBEC=2乙4=N8FC,从而有

乙CEF=ABF,根据三角形的面积公式求出4F，即得BF,在RtABCF中，求出CF,证明NCEF=

乙FBC,再根据锐角三角函数的定义求解即可.

【解答】

解:连接BF,

•••CE是斜边4B上的中线，EFLAB,

・•.EF是4B的垂直平分线，

，•^LAFE~S^BFE~5，

*,,S*FB=10=万2/,BC,

•••BC=4,

AF=5=BF,

在R%8CF中，BC=4,BF=5,

CF=V52-42=3,

1

•・•CE=AE=BE=^AB,

乙4=Z.FBA=/-ACE,

又•・•Z.BCA=90°=乙BEF,

・•・乙CBF=90°-Z-BFC=90°-24

乙CEF=90°-乙BEC=90°-2乙4,

•••Z.CEF=Z.FBC,

cp3

・•・sinzCEF=sin乙FBC==二白

BF5

故选A.

5.【答案】C

【解析】解：・••BD是正方形4BCD的对角线,

.­.乙ABE=AADE=4CDE=45°,AB=BC,

•••BE=BC,

AB=BE,

BG1AE,

・•.8”是线段/E的垂直平分线，Z.ABH=Z-DBH=22.5°,故①正确;

在中，AAHB=90°-AABH=67.5°,

•••AAGH=90°,

・•・^DAE=乙ABH=22.5°,

在△AOE和△COE中，

DE=DE

乙ADE=乙CDE=45°,

AD=CD

/.△XDE^ACDE(SZS),

・•・乙DAE=乙DCE=22.5°,

・••乙ABH=CDCF,

在△ABH和△DCF中，

ZBAH=Z.CDF

AB=CD，

，ABH=乙DCF

••.△ABH之△DCF(/S4),

AH=DF,Z.CFD=乙AHB=67.5°,故②正确；

Z.CFD=Z.EAF+Z.AEF,

・•.67.5°=22.5°+Z-AEF,

AAEF=45°,故④正确；

•••Z.FDE=45°,乙DFE=Z.FAE+/.AEF=22.5°+45°=67.5°,

.­.乙DEF=180°-45°-67.5°=67.5°,

DF=DE,故③正确；

•••BH是AE垂直平分线,

AG=EG,

S^AGH=S^HEG,

•••AH=HE,

/.(AHG=Z.EHG=67.5°,

•••乙DHE=45°,

•・•乙ADE=45°,

・•・乙DEH=90°,"HE=乙HDE=45°,

・•.EH=ED,

・•.△DE”是等腰直角三角形，

・・・EF不垂直

・•・FH手FD,

•••S"FHHS^EFD，

,,,$四边^EFHG=S^HEG+S&EFH=^^AHG+S〉EFH丰LDEF+S〉AGH，故⑤错误，

・・・正确的是①②③④，

故选：C.

先根据正方形的性质和BE=BC得到AB=BE,进而判断垂直平分/E,故①正确，然后判断出

乙DAE=4ABH,再判断△4。£02k。。£得出乙。4£二乙。。£*=22.5。，乙ABH=LDCF,再判断出4

48”名△DCF从而得到②正确，根据三角形的外角求出乙4EF=45。，得出④正确；结合②④可得DF=

DE即可得③正确；连接HE,判断出S.尸“HS^EFO得出⑤错误.

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外

角的性质，解本题的关键是判断出△ZDE之△CDE,难点是作出辅助线.

6.【答案】B

【解析】解：过点M作MU10B于"，

vAD//OB,

ADMs^BOM,

tOM=OB日SMDM=（竺）2=i

••而一而HS^BOM-I。凉一§，

S—QM=4,

•••S^BOM=9,

•・•DB1OB,MH1OB,

・•.MH//DB,

.OH_OM_OB_3

3

•••OH屋OB,

_3_27

•••、AMOH=gXXOBM—三，

.*.*.k-=_2-7,

25

754

k=

故选反

本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例.

过点M作MH1OB于H,首先证明△ADMSABOM,利用相似三角形的性质求出△OBM的面积为9,再证

明。”=|。8,进而求出AM。”的面积，利用反比例系数k的几何意义即可求解.

7.【答案】D

【解析】解：①把冷分别代入丫=剪得，%=竽，%=粤，

X"2

']—%2'

・•・yi=丫2；

故①是真命题；

②把比1=2019，久2=2020分别代入y=@普得，％=芳鲁，力=肝号，

•••Y1>%；

故②是真命题；

③设直线C。的表达式为：y=krx+b,

反比例函数表达式y=上吸，

设机=问+1,则反比例函数表达式为：y=^(x>0),

过点4、8分别作AE轴于点E,BFL久轴于点F,连接04、0B,

4(X1，%),B{x2,y2),

则=xt,OF-x2,

联立直线y=k'x+6与函数y=:表达式并整理得:

k'x2+bx—m=0,

则无1，比2是方程的两个根，

则有+%2=^'

而y=+6中，当y=0时，久=捺，

.・.。。=石+工2.

又OF=吗,

CF=0C-OF=/=AE.

•••AE//CF,

ADAE=乙BCF,而4EZ=/-BFC=90°,

：.^DEA^^BFC(AAS\

1

而

EO2-

24

S—oc=S^AOB+S&BOF+S^BFC=S2AOB+^LAEO+S^DEA=^LBOD，

故③正确，符合题意;

故选：D.

①、②按照命题的定义，根据反比例函数的性质逐个验证即可；

③将AAOC、△B。。的面积进行拆分，通过证明△DE4gABFC(44S),进而求解.

本题考查了命题与定理，主要考查的是反比例函数的综合运用，涉及到三角形全等和韦达定理的运用，综

合性强，难度较大.

8.【答案】D

【解析】解：过点C作CElx轴于点E,

・.・顶点C的坐标为（叫30，

0E=-m,CE=3AA3,

,••菱形4B0C中，Z.B0C=60°,

CF1

.・.OB=0C==6,乙B0D=:乙B0C=30°,

sinbO2

vDB1%轴,

DB=0B-tan30°=6x苧=2<3,

.•.点。的坐标为：（一6,273）,

・••反比例函数y=5的图象与菱形对角线2。交。点，

k—xy=—12-\/-3.

故选：D.

首先过点C作CElx轴于点E,由NBOC=60。，顶点C的坐标为(爪,3形)，可求得0C的长，又由菱形4B0C

的顶点。在坐标原点，边B。在x轴的负半轴上，可求得0B的长，且乙4。8=30。，继而求得DB的长，则可

求得点。的坐标，又由反比例函数y=5的图象与菱形对角线4。交。点，即可求得答案.

此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征.注意准确作出辅助线，求得点。的坐标是关

键.

9.【答案】D

【解析】解：c—a—x(b-a),b—c-(b—a)—x(b—a),

•••[x(b-a)]2=(b—a)2—X(JJ—a)2,

%2+%—1=0,

-

解得％=—I+A/^

-2-

0<%<1,

-1+/5

•••X=

2

故选：D.

根据题设条件，由^^=有，知[久(6-a)]2=(b-a)2-久(6-a)2,由此能求出最佳乐观系数x的值.

本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法.

10.【答案】D

【解析】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下:

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期394125_15

12=3612=3612=36

3_122_8

下学期4_16

9—369—369—36

••・舞蹈社增加，溜冰社不变.

故选：D.

若甲：乙：丙=/b：c,则甲占全部的*匚，乙占全部的丙占全部的甘匚.

a+b+ca+b+ctz+o+c

本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积.

11.【答案】萼

【解析】解：如图，连接BD交4C于点0,过点。作DK18C于点B,延长DE交4B于点R,连接EP'交48于

点/,作E/关于AC的对称线段E/',则DP'的对应点P”在线段E/'上.

当D,P",Q共线时，QD-QP'的值最大，最大值是线段DP”的长，

当点P与B重合时，点P"与/'重合，此时DQ-QP'的值最大，最大值是线段以'的长，也就是线段见的长.

•••四边形4BCD是菱形，

•••AC1BD,AO=OC,

vAE=14.EC=18,

•.AC=32,AO=0C=16,

・•・0E=AO-AE=16-14=2,

DE1CD，

・•・乙DOE=乙EDC=90°,

•••Z-DEO=乙DEC,

EDOsAECD,

DE2=EO-EC=36,

DE=EB=EJ=6,

・•.CD=VEC2-DE2=V182-62=12涯，

OD=VDF2-OE2=V62-22=4V1，

BD=8V~2，

vSMB=”C，BD=BC・DK,

|X16X8AA216

DK=Z----，

12/23

•・•乙BER=乙DCK,

r-

•••sin乙BER=sin乙DCK=空=

CDIzVLy

4<28/2

RB=BE------,

3

•・•EJ=EB,ER1BJ,

JR=BR=竽，

■■]B=DJ'=竽，

.•.DQ—P'Q的最大值为与1

故答案为：警.

如图，连接B。交"于点0,过点。作OK18C于点B,延长。E交4B于点R,连接EP'交48于点/，作均关于

4C的对称线段分'，则DP'的对应点P"在线段切'上.当点P是定点时，DQ-QP'=AD-QP",当。，P",Q

共线时，QD-QP'的值最大，最大值是线段DP"的长，当点P与B重合时，点P"与/'重合，此时DQ-QP'的

值最大，最大值是线段的长，也就是线段见的长.解直角三角形求出B/,可得结论.

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值

问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.【答案】5

【解析】解：①当PH>NH时，由题意PN=2/亏—2,

设。N=0G=x,贝二%—(2A/-5—2),

•・•乙0PN=90°,

[%-(2AA5-2)]2+42=/,

x=

OP=2,OQ=2,

乙OPN="=乙NQI=90°,

Z.NOP+乙QOI=90°,乙NOP+乙PNO=90°,

(QOl=乙PNO,

△OQls卜NPO,

OQ_01

丽―布，

2__OI_

4-EB

01=V-5，

SANO.=”。.0/=gX275x/5=5.图1图2

②当NH>PH中，则NH=2/^-2,PH=PG=6-2<5.

设0/V=OG=y,贝I。尸=y—(6—2V-5)»

•・•Z.OPN=90°,

••・[y-(6—2A/-5)]2+42=y29

••・y=8,

・•・OP=2+2/5>4(不符合题意，舍弃).

综上所述，△N。/的面积为5.

故答案为：5.

分两种情形：①当PH>N”时，由题意PH=写、PN=2，亏一2，②当N”>PH中，则NH=2，亏一

2,PH=PG=6-2/5,分别利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.

本题考查相似三角形的判定和性质，黄金分割，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找

相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.【答案】②③④

【解析】解：•••在正方形ABCD中，E是BC的中点，

1

/.AB=BC,BE=次,

RF1

・•・tan^BAE=株=j

ADL

tan300=—

Z-BAE*30°,故①错误；

乙B=Z.C=90°,AE1EF,

・•・乙BAE+ABEA=90°,2BEA+Z.CEF=90°,

・•・Z-BAE=乙CEF,

•••△ABE^LECFf

•・•AB=2BE=2CE,

・•.EC=2CF,

设CT=a,则EC=BE=2a,AB=4a,

AE=2<5GI,EF=Aa,tanzCFE=2,

.­.tan乙4FE=某=2,

EF

•••Z-AFE=Z-CFE,

即射线FE是NAFC的角平分线，故②正确；

•・,△ABEsxECF,

tAB_AE

~CE='EF"

VBE=CE,

tAB__AE_

••丽―丽’

•••Z-B=Z-AEF=90°,

ABEs〉AEF,

tAB_AE

'•AE=AF9

：.AE2=AD-AF；故③正确；

作EG14F于点G,

•••FE平分N4FC,ZC=90°,

•••EG=EC,

EG=EB,

•・•乙B=乙AGE=90°,

在Rt△ABE^Rt△AGE中｛需:言

•••Rt△ABE义Rt△AGE(HL),

AB=AG,

同理可得CF=GF,

又CF=GF,AF=AG+GF,

AF=AB+CF,故④正确，

由上可得，②③④正确，

故答案为：②③④.

此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质.熟练掌握相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到NB4E是否等于30。；

②根据题目中的条件，可以求得乙4FE和NCFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为乙4尸。的角平分线；

③根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到4F=AB+CF是否成立.

14.【答案】空

【解析】解：如图，过点C作CM1DE于点M,过点E作EN14C于点N,1〕'''、

BD=1,AD=5,/N\~/lE

：.AB=BD+AD=6,/jXX/

•.•在中，/LBAC=30°,ZB=90°-ABAC=60°,/y[//

BC=^AB=3,AC=y[3BC=373,口,、、、

在RtABCA马Rt△DCE中，/

•••BAC=4DEC=30°,

tanZ.BAC=tanzDEC,

BC__DC_

~AC~~EC

BCA=乙DCE=90°,

e•*BCA—Z-DCA=Z-DCE-Z-DCA,

•••乙BCD=Z-ACE,

BCDs〉ACE,

■.ACAE=AB=60°,萼=喀,

ACAE

31

•••^DAE=乙DAC+/.CAE=30°+60°=90。，—=白，

3V3AE

•••AE=V-3，

在Rt△ADE中，

DE=y]AD2+AE2=J52+(73)2=2"

在Rt△£)(7£1中，Z.DEC=30°,

.­.乙EDC=60°,DC/DE="

在RtADCM中，

MC=^~DC=号,

在Rt△?!£■村中，

NE=^-AE=l，

•••AMFC=Z.NFE,乙FMC=4FNE=90°,

MFCs^NFE,

<21----

CF_MC_—_<21

''~EF~~NE~~一

2

故答案为：争.

过点C作CM1OE于点”，过点E作EN14C于点N,先证△BC£)SA4。后，求出AE的长及/C4E=60。，推

出乙DAE=90。，在RtAIME中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分另lj在Rt△DCM和Rt△

4EN中，求出MC和NE的长，再证AMFCSANFE,利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的

比值.

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线

构造相似三角形，求出对应线段的比.

15.【答案】略

【解析】解:

根据相似三角形的性质，利用平行，连接4P作PR〃/1C,且PR=24C,同理作PQ〃4B,=24C连接

QR.三角形就画成了.

本题主要根据平行的性质，利用三角形的相似来完成此图.

16.【答案】9：12：20

【解析】解:•・•[=[,。=|,

b4c5

,a_b_12

"b~12'c-20'

a：b：c=9：12：20.

故填9：12：20.

此类题做的时候可以根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同,即可把三个字

母的比的关系求解出来.

特别注意此类题的解法：把相同字母所占的份数相同，即可求得三个字母的比值.

17.【答案】解：(1)位似中心P如图所示，P(—5,—1),8式3,—5)；

(2)A。4为如图所示，%(—2,—6)；

(3)点”2(2%28).

【解析】⑴连接。1。并延长与的延长线相交，交点即为位似中心尸，再根据平面直角坐标系写出点P和

殳的坐标；

(2)延长。/到4，使442=。4延长。8到殳，使BB2=0B,连接乙殳，再根据平面直角坐标系写出点殳

的坐标；

⑶根据位似比是2写出即可.

本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键.

18.【答案】(1)证明：丁。是前的中点，

•••CD—BD,

・・・DE1AB且AB为。。的直径，

...BE=BD9

BC=DE，

BC=DE；

(2)解：连接0D,

•••乙CAB=Z-DOB,

・••48为。0的直径,

・•・乙ACB=90°,

DE1AB,

•••乙DFO=90°,

ACBs^OFD,

AC_OF

AB—'OD9

设。。的半径为厂,

则?=3，

2rr

解得丁=5,经检验，丁=5是方程的根，

AB=2r=10,

BC=y/AB2-AC2=8，

BC84

t=-77=:=7，

**•tSLi^Z-CABACo3

•・•乙BPC=乙CAB,

4

・•・tanzFPC=-；

(3)解：如图，过点B作BG1CP交CP于点G,

・•・乙BGC=乙BGP=90°,

•••AACB=90°,CP是乙4cB的平分线,

•••^ACP=乙BCP=45°,

・•・乙CBG=45°,

...CG=BG=BCcos4S。=4<2,

4

•・,tanzBPC=

.挺，

・'GP=3"

•••GP=3/2，CP=4AA2+3/2=7/2.

【解析】(1)由。是诧的中点得比=由垂径定理得到前=防，进而得到我=防，根据同圆中，等

弧对等弦即可证明；

(2)连接。。，证明AACBs△。尸。，设。。的半径为r,利用相似三角形的性质得r=5,AB=2r=10,

由勾股定理求得得到即可得到

BC,JtanNCAB=A7C7=70=p5tan/BPC=~3

(3)过点B作BG1CP交CP于点G,证明ACBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到CG=BG=

BCcos45°=4<2,由tan/BPC=/导到既=*解得GP=3，I,即可求解.

本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以

上知识并灵活运用是解题的关键.

19.【答案】解：(1)•••矩形4BCD中，AB=2,AD=273，

ZC=90°,CD=AB=2,BC=AD=2<3,

Df_

・•・tanzBDC=^=<3,

・•・乙BDC=60°,

•・•乙ABE=4BAD=^EAG=乙ADG=90°,

**•Z-EAG—乙EAD=Z-BAD-Z-EAD,

即54G=2LBAE,

.-.^=^=73；

BEABV'

(2)如图2,过点F作FM1CG于点M,

图2

•・•^ABE=AAGF=^.ADG=90°,AE=GF,

・•・^BAE=A.DAG=乙CGF,乙ABE=Z.GMF=90°,

在△ABE和△GMF中

2BAE=^MGF

乙ABE=NGMF

AE=GF

；・AABE义工GMF(AAS),

・•.BE=MF,AB=GM=2,

••・乙MDF=乙BDC=60°,FM1CG,

MFI―

•••tanzMDF=tan60°=—=V3

MF=W>MD，

设DM=x,贝=MF=

DG—GM+MD=2+%,

由(1)可知：器=Y?

.2+x_

解得％=1,

•••BE=V_3x=V-3；

(3)如图3,连接AC,将△AEP绕点E顺时针旋转120。，瓦4与EC重合，得到△C*',连接PP,

图3

矩形/BCD中，AD=BC=20,AB=2,

」“nAB/3

•*•tanZjlCB=,

DC3

•••Z-ACB=30°,

AC=2AB=4,

•••EA=EC,

・•・AEAC=/.ACE=30°,^AEC=120°,

LACG=Z.GAC=90°-30°=60°,

・•.△AGC是等边三角形，AG=AC=4,

.・.PE=EF=AG=4,

・・・将绕点E顺时针旋转120。，£4与EC重合，得至CEP',

/.PA=P'C,4PEP'=120。，EP=EP'=4,

PP'=y/lPE=4AA3>

・•・当点P,C,P'三点共线时，P2+PC的值最小,

此时为P4+PC=PP'=4<3.

【解析】(1)由锐角三角函数可求NBDC=60。，通过证明△ADGSAABE,可得票=*=后；

DCAD

(2)由“44S”可证AABE经△GMF,可得BE=MF,AB=GM=2,由锐角三角函数可求MF=BE=

^3x,DG=2+x,利用(1)的结论可求解；

(3)通过证明AAGC是等边三角形，可得PE=£T=4G=4,由旋转的性质可得PH=P'C,/.PEP'=

120°,EP=EP'=4,则当点P,C,P'三点共线时，PA+PC的值最小，即可求解.

本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

20.【答案】解：(1)喘另；

/1D4

(2)取8c的中点H,连接

•・•点D为4C的中点，

1

/.DH//AB,DH=*B,

(1)

vAB=AC

・•.DH=DC,

・•・乙DHC=LDCH,

BD=DE,

・•・乙DBH=乙DEC,

•••Z-BDH=乙EDC,

在△DB”和△DEC中,

2DBH=乙DEC

BD=ED

/BDH=乙EDC

：.ADBH^^DEC(ASA),

・•.BH=EC,

.EB_3

EH2

•・•DH//AB,

••.△EDHs^EFB,

.FB_EB_3

••丽―丽-5'

.,..—FB=_一3«

AB4

.AF_1

••丽-不

问题拓展

AF_2—n

AB~

【解析】问题探究

(1)取力B的中点G,连接DG,利用等边三角形的性质可得点F为2G的中点，从而得出答案；

(2)取BC的中点H,连接利用4S4证明△DB//0ADEC,得BH=EC,则第=日，再根据D”〃力B,得

HHZ

△EDHs^EFB,从而得出答案；

问题拓展

取BC的中点H,连接DH,由(2)同理可证明△DGH丝ADEC,得GH=CE,得等=；，再根据得

△EDHS^EFB,同理可得答案.

(1)如图，取力B的中点G,连接DG,

(2)

•••点。是4C的中点，

■­.DG是△ABC的中位线，

DG//BC,

■：