浙江省杭师附2023-2024学年高一上学期期中数学试题

杭师大附中2023学年第一学期高一年级期中考试高一数学试卷命题人：涂小坡审题人：韩春琴命题时间：2023年10月本试题满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意，.故选：C2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，而当时，可以小于0，此时不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.存在量词命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“”的否定是.故选：B.4.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可.【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；对B，，故B错误；对C，定义域为，故C错误；对D，，故D正确.故选：D5.如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可.【详解】观察函数图象，在、上随x的增大，函数的图象是下降的，在上随x的增大，函数的图象是上升的，因此函数在、上单调递减，在上单调递增，所以函数在上是增函数.故选：C6.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（）A.f(x)＝x2－2x－1 B.f(x)＝x2－2x＋1C.f(x)＝x2＋2x－1 D.f(x)＝x2＋2x＋1【答案】D【解析】【分析】采用换元法即可求解【详解】令，则，等价于，故故选：D【点睛】本题考查换元法求解函数解析式，属于基础题7.已知函数，则的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函数和二次函数的性质，分别求在两段定义区间内的值域，取并集得的值域.【详解】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以；由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，综上：函数的值域为.故选：A.8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，若方程在函数定义域内有解，则函数为“不动点”函数，据此可判断选项正误.【详解】A选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，A错误；B选项，，方程判别式，方程无解，则不是“不动点”函数，B错误；C选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，C错误；D选项，，方程有两解，则是“不动点”函数，D正确.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，则a2>abC.若a>b>0，则ab>b2 D.若|a|>|b|，则a2>b2【答案】CD【解析】【分析】根据不等式性质分析判断.【详解】对A：若，则，A错误；对B：若，则，B错误；对C：若a>b>0，根据不等式性质可得：ab>b2，C正确；对D：若，根据不等式性质可得：a2>b2故选：CD.10.已知命题，为假命题，则a可能的取值有（）A. B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.【详解】命题，为假命题，则，.当时满足题意；当时，有，解得.综上有故选：ABC11.受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．【详解】由题意知：，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以故，当且仅且时等号全部成立.故A选项正确，B选项错误又由，故易知，即C项正确；，，取，此时，所以D选项不一定成立，故选：AC．12.已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.或1C.函数为非奇非偶函数D.对任意实数满足【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误；对于B，令，可判断正误；对于C，由A，B选项分析可判断正误；对于D，利用做差法及可判断正误.【详解】对于B，令，，得，由题意知，所以，故B错误；对于A，当时，，则，又，则当时，，即对任意，.取任意且，则，得，则即，所以是上的增函数，故A正确；对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确；对于D，注意到，同理，则，又，且，则，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是________.【答案】【解析】【分析】设，再代入求解即可.【详解】设，由图像过点可得，解得.故答案为：14.已知函数，则________.【答案】##【解析】【分析】根据分段函数解析式直接求解即可.【详解】.故答案为：15.若正整数x，y满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据，展开后结合基本不等式求解即可.【详解】由题意，，当且仅当，即，，时取等号.故答案为：16.已知函数，若存在实数同时满足和，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得，从而可将整理为：，令，则在有解，通过求解函数的值域可得到的取值范围.【详解】的定义域是，且，为上的奇函数，又有解，即有解，即令，则在有解，令，则，在上单调递增，，所以，所以实数取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.设集合，，或，全集.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数b的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，可得，解之即可；（2）由，可得，列出不等式组，解之即可.【小问1详解】因为，所以，解得，所以a的取值范围是；【小问2详解】，因，所以，所以，解得，所以b的取值范围是．18.已知集合，.（1）若，求；（2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【小问1详解】因，则.当时，，所以.【小问2详解】因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.所以，经检验“=”满足.所以实数m的取值范围是.19.已知函数，.（1）判断函数的奇偶性；（2）用定义法证明：函数在上单调递增；（3）求不等式的解集.【答案】（1）为奇函数（2）证明见解析（3）【解析】分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可；（2）任取，且，作差，再判号得到相应结论；（3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.【小问1详解】由，且定义域关于原点对称，故为奇函数.【小问2详解】任取，且，，因为，且，故，，，，，所以，，故函数在上单调递增；【小问3详解】由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增，变形为，则要满足，解得：，故不等式的解集为20.已知函数，a为常数.（1）若，解关于x的不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入解分式不等式即可；（2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可.【小问1详解】由题意，，即，即，故，解得.【小问2详解】对任意，，即，恒成立，所以.令，则，，，当且仅当，即，时取“=”，所以，故实数a的取值范围为.21.某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：(天)51015202530(个)556065706560已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.【答案】（1）2（2）(，)（3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.(2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，则，即，解得，所以的值是2.【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型，从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).【小问3详解】由(1)知，，由(2)知，，于得，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值(元)，当时，在上单调递减，当时，取得最小值(元)，显然，则当，时，(元)，所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22.已知函数.（1）求函数的值域；（2）设（），求的最大值；（3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求定义域，进而先求出的范围，最后求出函数的值域；（2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案；（3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案.【小问1详解】由且，得．，且，得，则函数的值域