2024江苏南通如皋市高三第二学期学情调研考试数学试题（二十二）

2023〜2024学年高三第二学期学情调研考试(二十二)

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2024.3

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1,已知复数z满足（l+i）z=l—1则z2024=（)

A.iB.-1C.1D.~i

2.己知全集U=R,集合A,B满足ARACB）,则下列关系一定正确的是()

A.A=BB.BQAC.An（［uB）=。D.(Ct/A)nB=0

3.若sin（雪+a）=得，贝Ucos（2a-聿）=（

)

11950八119r50

A———p———r—T)----

169169169u169

4.有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次，每次

取1张卡片.Ai表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，4表示事件“第一次取出的

卡片上的数字为奇数”，&表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6"，4表示事件“两

次取出的卡片上的数字之和为7"，贝|()

A.4与4为对立事件B.4与4为相互独立事件

c.A2与A4为相互独立事件D.4与4为互斥事件

5.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性,

调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，

从而提高参与者的适应能力，如图，三个半径都是小cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状

的容器(不计厚度)中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表

面积(包括容器的内部和外部两部分)是()

A.(5+-721)ncm2B.2(5+y/21)ncm2

C.4(5+01)ncm2D.8(5+y/21)7tcm2

6.设数列｛斯｝满足1ga”+i=l+lgan>且「21+022+023+024+025=1%■，则。1+。2+的

+。4+〃5=()

A.1B.V10C.10D.100

7.已知函数八x)的定义域为R,对任意xeR,有/(x)—加>0,则“x<2”是“eg+l)>e%；2x

-3)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

8.已知离心率为2的双曲线C：，一$=l(a>0,。>0)与抛物线E：V=2px(/?>0)有相

同的焦点尸，过尸的直线与C的右支相交于A,B两点•过E上的一点M作其准线I的垂线，

垂足为N,若MN=3。用。为坐标原点)，且△〃、下的面积为12小.则为C的左焦

点)内切圆圆心的横坐标为()_

A.1B.乎C.乎D.1

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆Ci：/+^=1,圆C2：(无一3)2+。+4)2=/(r>0),P,。分别是圆Ci与圆C2

上的动点，则()

1

A.若圆Ci与圆C2无公共点，则0<r<4

B.当r=5时，两圆公共弦所在直线方程为6尤一8y—1=0

C.当r=2时，PQ的取值范围是[2,8]

D.当r=3时，过点尸作圆C2的两条切线，切点分别为A,B,则不可能等于1

12—3

10.设A,5是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=],P(B)=],尸(A+B)=^，

则()

—1---------1

A.P(AB)=五B.尸(AB)=§

——1—3

C.P(B|A)=gD.P(A|B)=w

11.已知正四面体048。的棱长为3,则下列说法正确的是()

A.平面04B与平面ABC夹角的余弦值为g

3

B.若点尸满足而^xOA+yOB+(l~X-y)OC,则|而|的最小值为#_

C.在正四面体OA8C内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为*

D.点。在△ABC内，且Q0=2QA,则点Q轨迹的长度为^^兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2/+尤―的展开式中含项的系数为.(用数字作答)

13.某市统计高中学生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质

100

合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值为0=1,2,3,100),经计算着

方=7200,右？=100X(722+36).若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布NQi,6),

则估计该市高中生身体素质的合格率为.(用百分数作答，精确到0.1%)

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(R©2),则P(N—◎WXW(1+0)心O.6827,P(^i

—2QWXW「I+20)-O.9545,P«i—3c〈XW「i+30)勺0.9973.

14.在AABC中，角A,B,C所对的边分别由a,b,c,若a=2,c=3,cosB=bcosC,

P,Q分别在边AB和CB上，且PQ把AABC的面积分成相等的两部分，则PQ的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过

程.

15.(本小题满分13分)

某设备由相互独立的甲、乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；

若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常，在一个生产周期内，甲部件出现故障的概

率为卷，乙部件出现故障的概率为:，甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故

障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲、乙两个部件至多各出现一次故障.

(1)试估算一个生产周期内的平均检修费用；

(2)求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.

2

16.(本小题满分15分)

已知等差数列a｝和等差数列｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn,ai=l,祟=-^7.

1nHi1

(1)求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式；

1?

(2)若Cn=(—2)bn—+—),nGN*,求数列｛金｝的前〃项和

anan+i

17.(本小题满分15分)

在五棱锥PABCFE中，AB//CF,AE//BC,PELPF,AB±BC,PE=PF=AE=2,FC

=BC=4,AB=6,平面尸EF_L平面ABCFE.

(1)求证：PEVBF-,

(2)若前=XPB(A>0),且直线AM与平面PCP所成角的正弦值为今耍，求力的值.

3

18.(本小题满分17分)

工2，1….

已知椭圆C：»+京=1(°>6>0)的离心率为5,A,B,。分别为椭圆C的左、右顶点和

坐标原点，点P为椭圆C上异于A,B的一动点，△B4B面积的最大值为25.

(1)求C的方程.

(2)过椭圆C的右焦点厂的直线/与C交于。，E两点，记△OOE的面积为S,过线段

DE的中点G作直线x=4的垂线，垂足为N,设直线ON,EN的斜率分别为眉，k2.

①求S的取值范围；

q

②求证：为定值.

\k\-ko\

4

19.(本小题满分17分)

若X=7"时，函数式尤)取得极大值或极小值，则称7%为函数/(X)的极值点，已知函数式尤)

9

=lnx+3二,g(x)=y[ax,其中〃为正实数•

(1)若函数八%)有极值点，求”的取值范围；

(2)当%2和的几何平均数为Y&Xl，算术平均数为红受■.

①试判断|初一：与X2和©的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；

InX2-Inx\

②当。21时，求证：危)Wg(%).

5

2023〜2024学年高三第二学期学情调研考试（二十二）（如皋1.5模）

数学参考答案及评分标准

1.C2.C3.A4.B5.D6.B7.A8.D9.BC10.ACD11.ABC

12.8013.97.7%14.小

15.解:(1)设费用为匕Y的分布列如下：

Y5320

—1—34—12

20202020

氏/）=二+2+&=@=n（5分）

,⑴20十20十202010刀）

答：一个生产周期内的平均检修费用为1.1千元.（6分）

13417

（2）记出现异常情况为事件则P（M）4+9义彳分)

20，(9

133

此时甲出现故障，乙不出现故障为事件N,则P（N）=^⑴分)

20'

3

„203

故尸(N]M)=万=].(12分)

20

3

答：在异常情况下，甲出现故障的概率为反.（13分）

16.解：（1）（解法1）设｛飙｝的公差为4，｛与｝的公差为小

令〃=1,则言=1，:〃1=1，;・%=1;

2+di4

令〃=2,则:①;

2+〃23

1+Ji3

令〃=3,则

1+〃22

di=2,

由①②得

6?2=1，

・・2〃1,bn~~n.(6,分)

(解法2)设｛斯｝的公差为义,｛儿｝的公差为4.

令〃=1,则胃=1,V<71=1,，"=1,

n(n—1)

n

二2小2n

则一化简得41层+2〃+2—"1=2必层+（4—2刈）小

n(n-1)〃+1'

2击

d\—2d2，

di=2,

故X2=4—24，所以・••斯=2〃11,瓦=〃.(6分)

&=1，

、2—"i=0,

12(-2)E(-2)〃

（2）金=（一2）〃一十，(12分)

2n-12〃+12n+1'

一2一24(—2)“r_(—2)n(—2)n

・•・尸产（—亍)+(亍一弓)+...+】~]=1—2〃+[”5分)

12n~12〃+1

6n-1*r।

注：若本题第二问给出G尸大;(-2)d—1("GN),则

2(2n—1)+(2n+1)2〃2G

Cn=(-2)］，

~⑵一1)⑵+1)~"=(—D"[(2〃+1)(2〃-1)

6

2i222?3222〃2〃-1

p“=q+T)-(J+3)+(7+y)i"(T)”F⑵+1)+⑵—i)]=I+(T)”

2«+l-

17.（1）证明：如图，在平面ABCFE内，过点F作FGLAB于点G,过点E作EQLFG

于点Q,

EF=2吸,又：ABLBC,AE//BC,：.AE1.AB.

在RtZVBAE中，AB=6,AE=2,；.BE=2y[Td,

又：AB1BCS.CF//AB,：.BCLFC.

在RtZVBCP中，BC=CF=4,；.BF=4P,

又BF-+EF2=BE2,；.BFLEF.

,/平面平面ABCFE,PEFHABCFE=EF,BFc^2®ABCFE,：.BFL

平面PEF,

又PEu平面PEF,：.BF±PE.(5分)

(2)解：如图，过尸在平面尸E尸内作FALLER垂足为F,以匠，FB,所为正交基

底建系，

则尸陋，0,也)，2(0,4小,0),PB=(一啦，4小,一地),

又苏1=通,/.PM=(一嫄九4正九一也%),/.M(V2(1-A),4^2%,^2(1

T)),

又A（3取，/，0）,AM=（-2^2—也九4^2X~y[2,巾（1一勾）.（7分）

设平面尸CE的法向量为〃=（x,y,z）,

又C(-2^2,2巾,0),FC=(一2吸，2吸，0),FT=(也，0,陋),

(y[2x+y[2z=0,|y=x,

\—2y[2x-\-2\[2y=0,1%=-z,

令z=—l,则％=y=l,「・〃=(1,1,—1),(12分)

即噌_______|————丸————yfl(1——2)|________

小N(一2/一/％)2+(4业一也)2+陋(1—2)F

即25_L4/+4业|

[5y[^2(22+42+4+16^2——871+1+/12——27+1)

红叵4^212-11

15y[3y)2(1822—62+6)

整理得3*—4+1=5俨-104+5,即(22—1)("4)=0,工4=,或;1=4.(15分)

r

c=l

a~T

cccf〃2=4,y

18.解：(1)由〈次=廿+〃，.・・・・.c的方程为工

S=3,4

SAR48max=^X2〃X力=就=2小，

7

+5=1.(5分)

(2)①SAODE=3*0FX加一溺.

[x=my+l,

设I：x=my+1联立得一(3m2+4)V+6my—9=0,

f〔3/+4户12

SO,

।~6m

<处+k^T?

一9

〔叩k就斗？

~6m_96

2，（8分）

3m2+43m2+4]

9(苏+1)

个m2+l

令/=疗+1,则力21,令力(£)=%+:+6,〃(。=9-">0,

3

・•・力⑺为增函数，・・・/i«)216,I.OVSW].(10分)

②设。(Xi，yi),E(X2,y2),则N(4,哼2)

s=2\yi-y2\>

yi+yi_y+”_――yi」——

2—%2―"22>2—yi11

一丁丁尸E-KI=I2E+鼻I，

=---------1---------=------------------>----------------,(14分)

肉―fol।1+1।6—m(乃+小)

4-为4~X2(3~myi)(3~my2)

八c/IxI?9-3mX2_L/I+^2XO214

S_913加(yi+竺)+Myiy2____________3稼+43稼+4

6~m(yi+v2)''

\ki-k2\1_6m'

6—mX.

3m2+4

27川+36+18加2—9/36(祖2+i)3八

=|24m2+24尸24(加+1)=207分)

19.(1)解：/(x)=F2f+2(4-1)x+〃2

(X+Q)2x(x+〃)2

•・•/(%)有极值点，・•・f+2(〃一l)x+〃2=0在(0,+8)内有变号零点.

令h(x)=^+2(a—l)x+a2,

a>0,

*.*/z(0)=〃2>0,/.<x=-〃+1>0,0<a<^.(5分)

J=4(〃-1)2—4/>0,

—eI----X2-XlX2+X1

(2)①斛：y[wc2<inx2—ln为<2，

也一1

X1

下证：要证：y[x2x[~F-，即证：'怜<r,

Ylnx2—InxiY%i[>2

vIn-

XI

令片器'则介L即证：In£<3一去,即证：Inf—3+今V。,

8

令"It+京，叭7—立一翥~

夕⑺在（1,+8）上单调递减，夕⑺〈矶1）=0,In+~F<0恒成立.

即炳叫.(8分)

——1

由、T尤2-Xlx+xi口门、十）2一乃,1

要证ini为<2三即证2.+欠<lnX2-lnx\,即证2------<ln~,

及+]x\

xi

令片竟,>1,即证：铝<lnt,即证：2—&<lnr，即证：In,+W—2>0,

..414(Ll)

令机⑺=ln/+7Tl—2,加⑺=7—。+1)2=/(叶1)2>°，

4

・・・小⑺单调递增，m(0>m(l)=0,・・.ln/+n—2>0恒成立,

•••产”〈审.(11分)

InX2-Inx\2

22

②证明：(证法Inx+^+q^y[ax,