2024年中考数学几何模型演练-三垂直模型

2024年中考数学几何模型演练一三垂直模型

1.模型认识

AABC是等腰直角三角形，一条直线过点C,分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E.J1IJAADC^ACEB.

⑴如果没有等腰?

作垂线，可得三垂直相似.

如图1,有4ADC^ACEB.

特别地，若C为DE的中点,如图2,则八ADC->ACEB^AACB.

(2)如果没有直角？

直角的作用在于它们都相等，将直角换成其他等角，即为“一线三等角”模型.

引例1(2022.海南)如图，点A(0,3)、B(1.0)将线段AB平移得到线段DC,若NABC=9(T,BC=2AB,则点D的坐标是()

A.(7,2)B.(7,5)

C.(5,6)D.(6,5)

解析如图，过点D作DH±y轴交y轴于点H,则DHA。408,二察=等=喂=2,：.DH=2AO=6,AH=2OB=2,.•.点D的坐标

为(6,5).

引例2（2018.遵义）如图,在菱形ABCD中,ZABC=120。,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕

为EF,若DG=2,BG=6则BE的长为.

解析如图,由题意可得NFDG=NFGE=NGBE=60°,.\AFGD^AGEB,.,.DG=|e££==DG=2,：.BE=兰即BE的长为兰.

CBGE8+6755

2.模型构造

在什么条件下考虑构造三垂直？

无论是全等还是相似，首先要存在直角三角形.

引例3（2022.东营）如图力OAB是等腰直角三角形,直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y=§（幻0）的图像上，则经

过点A的函数图像表达式为—.

解析如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、口贝必ACO^AODB,.1.AC=ODQC=BD,设点B的坐标为（m-则点A

的坐标为（-4m）经过点A的函数图像表达式为y=-i.

引例4如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-l的图像分别交x轴、y轴于点A、B.将直线AB绕点B顺时针旋转45。，交

x轴于点C,则直线BC的函数表达式是一

解析如图，过点A作AD1AB交BC于点D,过点D作DE_Lx轴交x轴于点E,则AAOB以ADEA,由题意得A(知),B(0,-1),DE

=0A=^,AE=OB=1,...点D的坐标为..直线BC的函数表达式为y=[x-1.

引例5(2022.苏州)如图，点A的坐标为(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC.若点

C的坐标为(m,3),则m的值为()

D2VH〃5遮4721

D.------C.----Ln).------

4手33

法1如图1,取AC的中点M,过点M作PQ_Lx轴交x轴于点Q,过点C作PQ的垂线，垂足为P，则△CPM^AMQB,葛

CM11556“5^3

—=-F,CP=-z：Kx-=——,m=2CP=——.

MBV3V3263

法2:如图2,作射线AP,使得NOAP=60。,且AP=OA,连接CP,过点P作NM±y轴于点M,过点C作MN的垂线，垂足为N,则

△AOB△APC,AM=1,MP=75。-2,由4AMPs^PNC,得翳=器代入得表=*二PN=孚,.•.TH=MN=V5+言=竽.

观察发现

当遇到等腰直角三角形或直角三角形时，可构造三垂直全等或相似，当图形中存在特殊角时，可构造包含特殊角的直角三

角形，再构造三垂直模型.

3.模型应用

引例6(2023・新疆)【建立模型】(1)如图1点B是线段CD上的一点,AC1_BC,AB_LBE,ED_LBD,垂足分别为C、B、D,AB=BE.求证:

△ACB^ABDE;

【类比迁移】⑵如图2,一次函数y=3x+3的图像与y轴交于点A、与x轴交于点B,将线段AB绕点B逆时针旋转90。得到BC,

直线AC交x轴于点D.

①求点C的坐标；

②求直线AC的函数表达式；

【拓展延伸】(3)如图3,抛物线y=公-3x-4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,已知点Q(0,-l),连接

BQ,抛物线上是否存在点M,使得tanzMBQ=，若存在，求出点M的横坐标

A

E

CD

图1图2

解析(1)：AC_1BC,；.NACB=90「.'.NA+ZABC90°,.\ZA=ZDBE.

.,.△ABE^ABDE

⑵①如图1,过点C作CH±BD交BD于点H,由⑴得△AOB名△BHC,由题意得点B的坐标为(-1,0),点A的坐标为(0,3),，BH=A

O=3,CH=BO=1,...点C的坐标为(-4,1).

一"+%=，解得八工直线AC的函数表达式为y=1x+3.

②设直线AC的函数表达式为y=kx+b,将(-4,1)、1

b=5,b=3,2

2

(3)令y=O.BPx-3x-4=0,解得xt=~l,x2=4".OB=4.

当点M在BQ下方时，如图2,过点Q作PQ1BQ且PQ=犯Q,延长BP与抛物线的交点即为点M过点P作PH_Ly轴交y轴于

点H,则BOQ~QHP,.=器=卷=”PH=gQH=*0点P的坐标为-，可得直线PB的函数表达式为y=5（久-4）,联立

方程W（%一4）=%2-3%-4,解得=-g,汽2=4（舍）,/.点M的横坐标为一・;

当点M在BQ上方时，如图3,同理可得点M的横坐标为-11.

技巧总结

在构造等腰直角三角形时，优先考虑以已知点作为直角顶点，便于计算.

4模型变式

引例7（婆罗摩笈多模型）如图，分别以AB、AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE、正方形ACFG过点A作AH±BC交BC于

点H,AH的反向延长线与EG交于点P.求证:P是EG的中点.

证明如图过点E作EM±AP交AP的延长线于点M,过点G作GN±AP交AP于点N.VZABH+ZBAH=90°,ZEAM+ZBAH

=90°,AZABH=ZEAM.

在^BHA和^AME中，

(ABHA=/-AME

\AABH=/-EAM

(BA=AE

:•△BHA❷△AME(AAS),，AH=EM.同理可证:△CHA^AANG,.*.AH=GN,JEM=GN.

EMJ_AM,GN_LAM,EM//GN,ZMEP=ZNGP.

在4PME和^PNG中,

(Z.PEM=乙PGN,

EM=GN,

IKPME=乙PNG,

：.APME^APNG(ASA),PE=PG,

.••P是EG的中点.

5.模型拓展

引例8(2022.阿坝)如图,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的点，将EA绕点E顺时针旋转90。得EF,交CD于点G,连接CF.

⑴求证:“BAE=NCEF;

(2)求ZECF的度数；

⑶当CG的长最大时，直接写出CF的长.

解析(1)在正方形ABCD中,NB=90。,ZBAE+ZAEB=90°.VZAEF=90。,二ZAEB+ZCEF=90°,ZBAE+ZAEB=ZAEB+

ZCEF,ZBAE=ZCEF.

(2)如图，过点F作FH1BC交BC的延长线于点H.在△ABE和AEHF中,

ZABE=Z.EHF,

-ZBAE=ZHEF,AABE义△EHF

AE=EF,

(AAS),；.BE=HF,AB=EH.又AB=BC,；.BC=EH,；.BE=CH,.,.FH=CH，XZH=90°,.,.NFCH=45°,；.ZECF=135°.

(3)CF=2&..设BE=x，则EC=4-x.由题意得ABE。ECG,：.若=等代入得CG=三*.当x=2时,CG取到最大值，

Cu4-XCG4

此时.BE=2,CF=y[2FH=y/2BE=2遮.

◎引例9(2021.牡丹江)如图1,四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点,/AEF=90。,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,过点

F作FG±BC于点G,连接AC.易证:AC=迎(EC+FG)..(提示取AB的中点M,连接EM)

⑴当E是边BC上任意一点时,如图2;当点E在BC延长线上时，如图3.请直接写出AC、EC、FG的数量关系,并对图2进行证

明；

(2)已知正方形ABCD的面积是27,连接人日当^ABE中有一个内角为30。时,则AF的长为___.

解析⑴当E在边BC上时,AC=V2(EC+FG);当点E在BC延长线上时,AC=史(FG-EC).

如图在AB上取点M使得BM=BEQ!UBME是等腰直角三角形,，ZBME=NBEM=45。,：.ZAME=135°,.\ZAME=ZECF.

VBM=BE,AM=EC.VZBAE+ZAEB=90°,ZCEF+ZAEB=90°,AZBAE=NCEF,AAME之△ECF(ASA),AE=EF,ME=C

F,Z.BE=?ME=/CF=FG,：.EC+FG=EC+BE=BC.*AC=y/lBC,.■AC=V2(EC+FG)

(2)S=AB2=27,AB=3V3.

若NBAE=30。,贝！］BE=^AB=3,AE=6,.-.AF=&E=6鱼;

若NAEB=30。,则AE=2AB=6^3,AF=y/2AE=6限

综上,AF的长为6注或(6V6.

归纳总结

以上两个例题虽然图形很相似，但解法完全不同，对你有什么启发？注重归纳图形中不同条件的用法，有助于快速筛选出正

确方法.

m真题演练

1.（2022.贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形QA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转9

0。得到△OAE,则点B，的坐标为

2.（2023•北京）如图,点A、B、C在同一条直线上，点B在点A、C之间点D、E在直线AC同侧,AB<BC,ZA=NC=90°,△EAB^A

BCD,连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c，给出下面三个结论:①a+b<c;circle2a+b>Va2+b2;circle3y[2[a+b）>c.上述结论中，所

有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

3.（2022.枣庄）如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为（4,0）,点B在y轴上,若反比例函数y=§（k手0）的图像过点C,则k的值为

()

A.4B.-4

C.-3D.3

4.（2023・威海）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数y=3（x>0）的图像上.点A的坐标为（m,2）.连接OA、OB、AB若OA

=AB,NOAB=90。,贝！Jk的值为

5.（2020.南京）将一次函数y=-2x+4的图像绕原点O逆时针旋转90°,所得到的图像对应的函数表达式是—.

6.（2019・无锡）如图.在4ABC中,AB=AC=5,BC=4V5,.D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF.连接BEJIJABDE

面积的最大值为一.

7.（2021.广州）在平面直角坐标系xOy中.矩形OABC的点A在函数y=|（x>0）的图像上，点C在函数y=-<0）的图像上，若点

B的横坐标为-多则点A的坐标为（）

MMB陪，吟

C.（2，|）D.枢嗡

8.（2021•乐山）如图,已知点A（4,3）,B为直线y=-2上的一动点点C（0,n）,-2<n<3,ACJ_BC于点C,连接AB,若直线AB与x正半轴所夹的锐

角为a,那么当sina的值最大时，n的值为

9.（2023・丽水）如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,NO45。以AB为腰作等腰直角4BAE,顶点E恰好落在CD边上，若AD=1,则CE的

长是（）

A.V2B,C.2D.1

10.(2022•绵阳)如图,四边形ABCD中,ZADC=9()o,AC_LBC,NABC=45o,AC与BD交于点E,若AB=2V10,CD=2,则AABE的面积为.

11.(2020・宿迁)【感知】如图1,在四边形ABCD中,NC=ND=90。,点E在边CD上,NAEB=90。,求证:熬=工

CDCD

【探究】如图2,在四边形ABCD中,NC=NADC=90。,点E在边CD上.点F在边AD的延长线上,NFEG=NAEB=90。,且葛=笫

连接BG交CD于点H.

求证:BH=GH;

【拓展】如图3,点E在四边形ABCD内,NAEB+NDEC=180。,且替=能过E作EF交AD于点F,若NEFA=NAEB延长FE交BC

于点G.求证:BG=CG.

图1图2

12.(2021.常州)在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T,使得/.ATA'=90。,且TA=TA\则称A、A两点互相关

联，把其中一个点叫作另一个点的关联点.已知点M(-2,0)、N(-l.0),点Q(m,n)在一次函数y=-2x+l的图像上.

⑴①如图在点B(2,0)、C(0,-l),D(-2,-2)中，点M