2022北京八中高二（上）期末数学试题及答案

2022北京八中高二（上）期末

数学

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.（5分）已知A（2,6）,8（1,0）,则直线AB的倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（5分）（1+尤＞展开式中第3项的二项式系数为（）

A.6B.-6C.24D.-2

22

3.（5分）若直线y=质与双曲线L一匕=1相交，则人的取值范围是（）

94

AB，（―1°）

2222

C.（--，-）D.（-oo,--）U（-,+co）

4.（5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

g,一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

244248

5.（5分）已知平面c,〃的法向量分别为"=（3,-1,4）,v=（-2,3,一5）,贝）

A.a!!PB.a1/3

C.a,〃相交但不垂直D.a,£的位置关系不确定

6.（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

54312

7.（5分）已知长方体ABCD-A4G。中，AB=BC=4,CQ=2,则平面与平面ABC。所成的锐二面角的

余弦值为（）

A..6

RC.—D.-

3322

8.（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记4=｛两次的点数均为偶数｝,8=｛两次的点数之和为8｝,则

P（B|A）=（）

A.—B.-C.-D.-

12933

9.（5分）已知直线4:x-y+4=0和直线4:x=-2,抛物线/=8x上一动点P到直线4和直线/2的距离之和的最

小值是（）

A.3A/2B.472C.-V2D.2+2收

10.（5分）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个

项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）

A.60B.120C.150D.240

11.（5分）如图，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且=DC=2,点E为8c中点，若直线

AE与CD所成的角为60。，则三棱锥A-BCO的体积等于（）

B

A.-B.-C.2D.—

333

12.（5分）已知曲线皿上f+或+及口,则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）

A.-B.—C.2-72D.V2-1

22

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

13.（5分）（多+办旷的展开式中，各项系数之和为1,则实数a=一.（用数字填写答案）

X

22

14.（5分）已知百，尸?是椭圆C：/+Y=l的两个焦点，点M在C上，贝耳|・|g|的最大值为.

15.（5分）随机变量占的取值为0,1,2,若尸«=0）=（,颐?=1,则O（J）=.

16.（5分）已知点A（-2,-1）和8（2,3）,圆C:x2+y2="7,当圆C与线段AB没有公共点时，则实数根的取值范围

为-,

17.（5分）在正三棱柱ABC-A4cl中，AB=AAl=l,点尸满足2尸=2BC+〃8月，其中Xe[0,1],1],

则下列说法中，正确的有—.（请填入所有正确说法的序号）

①当4=1时，△A耳尸的周长为定值；

②当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值；

③当2=g时，有且仅有一个点P,使得AP^BP；

④当〃=g时，有且仅有一个点P,使得A3,平面AB7.

三、解答题共5道小题，共65分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

18.（10分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现

选派3人到法国的学校交流访问.

（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率;

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数J的分布列与期望.

19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-g,直线x-y-2=0与抛物线相交于M、N两点.

(I)求抛物线的方程；

(II)求弦长|MN|；

(III)设。为坐标原点，证明：OMLON.

20.(13分)一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6

点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得-12分).

(I)设每盘游戏中出现“6点”的次数为X,求X的分布列；

(II)玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；

(III)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统

计的相关知识分析解释上述现象.

21.(15分)如图，在直角梯形44由2中，ZAAB=90°,A,B}//AB,AB=AA,=2\B]=2.直角梯形通

过直角梯形444B以直线44,为轴旋转得到，且使得平面441cle，平面44由8.知为线段BC的中点.P为线段

BBt上的动点.

(I)求证：\CX1AP；

(II)当点P满足8P=2尸4时，求证：直线AC//平面AMP；

(III)是否存在点尸，使直线MP与平面ACM所成角的正弦值为*?若存在，试确定P点的位置；若不存在，

请说明理由.

22.(15分)如图，已知椭圆C:二+工=1("6>0)的短轴端点为瓦、B。,且|80|=2,椭圆C的离心率6=立,

ab2

点尸(0,2),过点P的动直线/椭圆C交于不同的两点M、N(与耳，层均不重合)，连接加4，NB2,交于点T.

(I)求椭圆C的方程；

(II)求证：当直线/绕点尸旋转时，点T总在一条定直线上运动；

(III)是否存在直线/,使得|MT|-|NT|=I4T|・|gT|?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.【分析】先求出直线AB的斜率，由此能求出直线AB的倾斜角.

【解答】解：AQ电),2(1,0),

二.直线的斜率上二上避=6，

1-2

二.直线的倾斜角为工.

3

故选：B.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

2.【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式即可求出展开式中第3项的二项式系数.

【解答】解：(l+x)4展开式中第3项的二项式系数为C；=6,

故选：A.

【点评】本题主要考查二项式定理，二项式系数的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

22

3.【分析】直线y=质与双曲线上—匕=1无公共点，求出双曲线的渐近线，即可推出人的范围.

94

尤223*5

【解答】解：由题意直线)=依恒过原点，双曲线土-V匕=1的渐近线为：y=±2-x,

943

22

.,直线>=丘与双曲线上—匕=1相交，

94

2,2

—<左<一•

33

故选：C.

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题，这是研究

两曲线有交点的问题时常用的转化方向.

4.【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解.

【解答】解：从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别

出111

234

一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为：

1111111111

Pn=—X—x(1----)+—Xz(1——)X—+z(1----)x—X—=—.

2342342344

故选：B.

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

5.【分析】由二工上。一,得夕不平行，由〃“=-29。0,得万不垂直；从而a,夕相交但不垂直.

-2-14

【解答】解：平面a,。的法向量分别为a=(3,-1,4),v=(-2,3,-5),

对于A,—^―^―,.'.a,。不平行，故A错误；

-2-14

对于8,M-V=-6-3-20=-290,：.a,£不垂直；

对于C,由A,B得a,£相交但不垂直，故C正确；

对于D,a,相交但不垂直，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查两个平面的位置关系的判断，考查法向量、面面平行、面面垂直的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

6•【分析】利用排列求出基本事件总数和A事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：设甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻为事件A,

■基本事件总数为&=120,

A事件包含的基本事件数为国•尺•出=24,

241

:.P(A)

1205

故选：A.

【点评】本题考查古典概型，排列组合的应用，是基础题.

7•【分析】以。为坐标原点，为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面

4BG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.

【解答】解：以D为坐标原点，D4为无轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(4,0,2),8(4,4,0),CJO,4,2),

A,B=(0,4,-2),AG=(-4,4,0),

设平面的一个法向量为机=(x,y,z),

nl[AB'm=4y-2z=0口…

则7,取z=2,则机=(1,1,2),

AG=-4x+4y=0

平面ABC。的一个法向量为〃=(0,0,1),

设平面\BC｛与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为0,

则平面AtBCt与平面ABC。所成的锐二面角的余弦值为:

\m-n\2V6

cos8=

\m\-\n\763

故选：A.

【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

8.【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A包含的基本事件数，与在A发生的条件下，事件3包含的

基本事件数，再用公式求出概率.

【解答】解：由题意事件记A={两次的点数均为偶数},包含的基本事件数是(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),

(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共9个基本事件，

在A发生的条件下，8={两次的点数之和为8},

包含的基本事件数是{2,6},{4,4},{6,2}共3个基本事件，

31

P(B|A)=-=-.

93

故选：C.

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题.

9•【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线乙和直线4的距离之和d=PB+PA=PB+PF，当

B,P,尸三点共线时，尸3+/最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【解答】解：,抛物线y=8x,

.•.抛物线的准线为尤=-2,焦点为尸(2,0),

.•.点P到准线x=-2的距离PA等于点P到焦点F的距离PF,即PA=PF,

点P到直线Z,和直线12的距离之和d=PB+PA=PB+PF,

.•.当B,P,尸三点共线时，PB+PP最小,

2=厂。+4|=3亚

=3四，

点P到直线4和直线的距离之和的最小值为3夜.

故选：A.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查数形结合的能力，属于中档题.

10•【分析】先将5名志愿者分为两组，然后每组全排列即可.

【解答】解：5名志愿者可分为如下的两组,

①一组3人，其余两组都是1人，则排法为生•q・禺=60,

4

②一组1人，其余两组都是2人，则排法为以用=90,

A

，所有排法的总数为60+90=150，

故选：C.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是中档题.

11•【分析】以。为原点，为x轴，0c为y轴，D4为z轴建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角可得AD,

再由棱锥体积公式求解.

【解答】解：如图，以。为原点，1)3为x轴，。。为y轴，ZM为z轴，建立空间直角坐标系,

设AD=a,则A(0,0,a),D(0,0,0),C(0,2,0),EQ,1,0),

AE=(lf1,-a),DC=(0,2,0),

设直线AE与。。的夹角为e,

则cose=|cos<AE,DC>\==/2=1

\AE\-\DC\72+7-22

解得a=V2.

・.匕BCD=-S^BDC.0A=—x—X2x2Xy/2=.

A-zjvLz3/\rii>(,323

故选：D.

【点评】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题.

12.【分析】化简方程尸"+及|=1,得到f=l_2|y|,作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到原点距

离的最小值.

【解答】解：户"+|丫|=1即为

=1-1y|,

两边平方,可得尤2+y2=i+y2-2|y|,

即有炉=1_23,

作出曲线卬的图形，如右：

则由图象可得，。与点（0,；）或（0,-手的距离最小，且为;.

【点评】本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

13•【分析】通过给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出a.

【解答】解：令尤=1,得各项系数之和为（2+。）9=1,解得a=一1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查二项式定理，在求二项展开式的各项系数和问题时常用赋值法，属于基础题.

14.【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可.

22

【解答】解：耳，外是椭圆C:土+?=1的两个焦点，点〃在C上，耳|+|班|=6,

所以LWM&I（I吗?./）=9,当且仅当|=|Mg1=3时，取等号，

所以|町|•|M居|的最大值为9.

故答案为：9.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题.

15•【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出尸e=1）,尸©=2）,根据已知条件结合分布列的性质和期望的计

算公式不难求得.

,41

【解答】解析：设尸G=l）="，尸（4=2）=9，则由已知得P+.==，Oxg+lx夕+2q=l,

解得夕=［，4=:，

i312

所以£>(?=(0-1)2Xg+(1—1)2Xy+(2-1)2Xg=g.

故答案为：-

5

【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.

16•【分析】当点4-2,-1)和8(2,3)都在圆的内部时，/>4+9=13,解得〃?>岳或相〈-加，再结合点到直线

的距离公式，即可求解.

【解答】解：当点A(-2,-l)和8(2,3)都在圆的内部时，/>4+9=13,解得〃z>a或机<-屈，

—a

直线AB的方程为y-3=------(x-2),即x-y+l=0,

-2—2

圆心0(0,0)到直线AB的距离d=d*=e,

V22

当圆心(0,0)到直线■的距离大于半径时，

有史〉|小|w0,解得一立<用<0或0<根<也，

222

综上所述，实数相的取值范围为｛m|机>Ji3或加〈-屈或-注<〃?<0或。<加<丫二｝.

22

故答案为：｛m\m>V13^m<-V13BK-------<m<0^Q<m<——).

22

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.

17•【分析】①结合4=1得到尸在线段CG上，结合图形可知不同位置下周长不同；

②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；

③结合图形得到不同位置下有APLBP，判断出③错误；

④结合图形得到有唯一的点尸，使得线面垂直.

【解答】解：由题意得：BP=2BC+〃BB「/e[0,1],〃e[0,1],所以P为正方形BCC/内一点，

①当4=1时，BP=BC”BB\,BPCP=juBBt,〃e[0,1],

所以尸在线段CG上，所以△487周长为A4+AP+BXP,

如图1所示，当点P在，，外处时，B^+AP^B^+AP,,故①错误；

②如图2,当〃=1时，BPBP=2BC+BB1,即=Ze[0,1],

=

所以尸在B£上,Vp_AiBC~'S.A1BC,h)

因为B|G//BC,B|C|C平面ABCU,BCU平面AJBC,所以点尸到平面AJBC距离不变，即〃不变，故②正确；

③当2=g时，即=+如图3,

M为4G中点，N为BC的中点，P是MN上一动点,

易知当〃=0时，点尸与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点,

所以AN_L8C,又A41_L8C,例'AN=A,

所以BN_1_平面ANMA,,

因为4尸＜=平面AMWA，则8尸_LA尸，

当〃=1时，点P与点M重合时，可证明出AM，平面BCGB],

而8河u平面BCQB],则A.M±BM,即4尸_L8尸，故③错误；

当"=；时，即=+：阴，如图4所示，。为的中点，E为Ct；的中点，

则尸为DE上一动点，易知48LA4，

若4B_L平面A4尸，只需14P即可，

取4G的中点尸，连接4尸，BF,

又因为4尸，平面BCG4,所以4尸，尸与，

若只需4P_L平面A/8,即耳尸_LFB即可，

如图5,易知当且仅当点尸与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得AB_L平面AB7,故④正确.

故答案为：②④.

图4

G

图3

G

ACB

图1

【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的相关知识及用特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化

等思路进行解决，难点在于对每一选项作出对应图象，属于难题.

三、解答题共5道小题，共65分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

18•【分析】（1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可.

（2）J的取值为0、1、2、3,求出对应的概率，得到分布列然后求解期望.

「2cl4

【解答】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为P（A）=^^=方；…（5分）

（2）J的取值为0、1、2、3,则P（^=0）=4=—，尸«=1）=可=羽，尸（。=2）=笑=上，

仁35C；35C；35

5强/

分布列为:

0123

P418121

35353535

E^=lx—+2x—+3x—=—=...(13分)

353535357

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力.

19•【分析】(1)丁=2「15>0)的准线方程为》=一空，故p=l.由此能求出抛物线方程.

(2)将直线与抛物线联立得到关于M,N的韦达定理，利用弦长公式MN=^/i*•J(占+尤2)2-4%X2.

2

(3)将x=y+2代入y=2x,得y~-2y-4=0,设M{xx,N),N(x2,%),则yty2=-4,由y；=2占，

y；=2X2,得%％=4,由此能导出OM_LON.

【解答】解：(1)•.•丁=2°双〃>0)的准线方程为尤=?!，

••p=1.

二.抛物线方程为丁=2"

(2)将犬=y+2代入/=2x,消去x,整理，y2-2y-4=0,

设“a，y),N(%2，%)，

-M,N的纵坐标切，为是•/-2y-4=0的两个根，

.••%+%=2，乂%=-4，

2

MN=Jl+^y/(yi+y2)-4y,y2=石L/4+16=25,

(3)证明：将苫=>+2代入;/=2x,消去x,整理，得)/_2y-4=0,

设%),阳马，%)，

-M,N的纵坐标必，为是丁-2丁-4=0的两个根，

「•弘％=-4，

由必=2%，%=2%2，

得=4%也，

OM-ON=xxx2+必％=0，

/.OMVON,

OMLON.

【点评】本题主要考查抛物线与直线联立后的弦长公式及韦达定理的联立，属于抛物线的中档题

20.【分析】(/)X的可能取值为0,1,2,3.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为尸=L利用二项分布列的计算公

式即可得出.

(ID设“第，盘游戏获得分15分”为事件4(，=1,2),利用互斥事件与对立事件的概率计算公式即可得出.

(in)设每盘游戏得分为y.由(D知y的分布列，即可得出结论.

【解答】解：(DX可能的取值为0,1,2,3.

每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P=L.

6

尸(X=0)=1°(l)3=黑，尸(X=l)=Qx；x(l)2=黑,

o2100o210

尸(X=2)=Q2(52(1_》=蔡，尸(X=3)=C“53=+，

所以X的分布列为：

X0123

p1252551

2167272216

905

(II)设“第i盘游戏获得”为事件4(7=1,2),则尸(4)=尸(4)=尸(X=1)+P(X=2)=—=—.

所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为1-P(1)P(4)=—.

因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为2.

144

(III)设每盘游戏得分为L

由(D知，y的分布列为：

Y-1215120

P12551

21612216

y的数学期望为EY=-12x空+15x』+120x-^-=—9

2161221636

这表明，获得分数y的期望为负.

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

【点评】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21•【分析】(/)建立空间直角坐标系求两直线的方向向量，根据数量积为o可证的结论；

di)求得直线的方向向量和平面的法向量，证得两向量垂直即可；

din求直线的方向向量平面和法向量的夹角即可.

【解答】(1)证明：由已知可得，,AC,AB两两垂直，

以A为坐标原点，"，AC,AB所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，

.AB=A4j=2A1B1=2.

A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),4(0,0,2),B,(0,1,2),G(1,0,2),M(1,1,0),

AG=(1,0,0),Ag=(0,1,0),4Al=(0,0,2),

.•・4。1・4瓦二(1,0,0>=(0,1,0)=0,AiCiAAi=(lf0,0)-(0,0,2)=0,

AG-L4与，4G-L朋,

即AG"4，4G-LM,AAJA4=a，

.•.AC_L平面4男胡，又"匚平面4旦及1,

.-._LAP；

(〃)证明：设P点坐标为(x,y,z),贝!JBP=(X,y-2,z),PB,=(-x,1-y,2-z),

BP=2PBi,x=-2x,y-2=2-2y,z=4—2z,

=1

解得x=o,y~z=—J即尸(o，—,

3333

设平面4WP的一个法向量为〃=(x,y,z),

又AM=(1,1,0),AP=(0,

33

「4“八(x+y=°

AM-n=0an人e

1，即｛44，令x=l,则y=—l,z=lf

AP-n=0~y+~z=^

i133

平面AMP的一个法向量为〃=(1,-1,1),

又AC=(2,0,-2),

4/〃=(2,0,-2)-(1,-1,1)=0,

二.直线A。//平面AMP；

(〃/)解：^BP=ABB1=(0,-A,2%),则P(0,2-2,24),MP=(-1,1-A,24),

设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),

4。二(2,0,-2),CM=(-1,1,0),

-m=0即]，令x=l,则y=l,z=l,

CM-m=0[-x+y=0

平面4cM的一个法向量为加=(1,1,1),

设MP与平面\CM所成角为e,

小1」四尸.卜1+1-彳+2目一岳

则sin6=|cos<MP,

|MP|X|7W|Jl+(l_Y)2+(22)2X由45

解得2」或(舍去),

54

故存在点P,BP=^BBl,即点尸与为距8的第一个五等分点.

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的证明是否存在的判断与求法,

考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

22.【分析】(I)根据离心率和|3超2|=2,通过计算即