特殊的四边形（能力提升）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

特殊的四边形

【知识梳理】

考点一、几种特殊四边形性质、判定

性质判定

四边形

边角对角线

1、有一个角是直角的平行四边形是

矩形；中心、轴

对边平

四个角是相等且互相2、有三个角是直角的四边形是矩形；对称图

矩形行且相

直角平分3、对角线相等的平行四边形是形

等

矩形

1、有一组邻边相等的平行四边形是

垂直且互相

菱形；中心、轴

对角相平分，每一条

四条边2、四条边都相等的四边形是菱形；对称图

菱形等，邻角对角线平分

相等3、对角线互相垂直的平行四边形是形

互补一组对角

菱形.

相等、垂直、1、邻边相等的矩形是正方形

中心、轴

平分，并且每2、对角线垂直的矩形是正方形

四条边四个角是对称图

正方形一条对角线3、有一个角是直角的菱形是正方形

相等直角形

平分一组对4、对角线相等的菱形是正方形

角

1、两腰相等的梯形是等腰梯形；

两底平同一底上

等腰梯2、在同一底上的两个角相等的梯形轴对称

行，两的两个角

形相等是等腰梯形；图形

腰相等相等

3、对角线相等的梯形是等腰梯形.

方法指导：

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.

考点二、梯形

1.解决梯形问题常用的方法：

。）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点,

方法指导：

解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为己经熟

悉的平行四边形和三角形问题来解决.在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对

于学好梯形内容很有帮助.

2.特殊的梯形

（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

性质：①等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等.

②同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

③等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线.

（2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

考点三、中点四边形相关问题

1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边

形.

2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；

若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；

若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等.

方法指导：

中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.

【专项训练】

一、选择题

1.如图,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,P为CE上任

意一点，PQLBC于点Q,PRJ_BE于点R,则PQ+PR的值是（）.

A.正B.-C.且D.-

2223

3

2.如图,在梯形ABC。中，AB//CD,中位线MN=7,对角线AC_L3D,N3OC=30°,

则梯形的高为（）.

A.7/B.C.-y/3D.也

22

入

cD

3.四边形ABCD的对角线AC=BD,且AC1_BD,分别过A、B、C、D作对角线的平

行线，得到四边形EFGH,则它是（）.

A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形

宽为b,如果S=S2=」（S+&），则用的值为

4.如图，矩形ABCD中，其长为a,

2

（）.

31

A.-abB.-ab

82

23

C.-abD.-ab

34

BYC

5.如图，在菱形ABCD中，上氏4D=30。，力3的垂直平分线FE交对角线AC于点F,

E为垂足，连接DF.则JCDF等于（）.

A.80°B.70°c.65°D.60°

6.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、

BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC

于点M、N.下列结论：

©△APE^AAME；②PM+PN=AC；®PE2+PF2=PO2；©APOF^ABNF；

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

7.如图，点E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且

AE=BF=CG=DH=二AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

3

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃:BC,AC与BD相交于点O.下面结论正确的是

①AC=BD；®ZDAO=ZDBC；③SABOC=-S梯形ABCD；©△AOB^ADOC.

2

I)

9.如图，圆柱形玻璃杯，高为8cm,底面周长为12cm,在杯内离杯底2cm的点C处

有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到

达蜂蜜的最短距离是.

蚂蚁/

C隆蜜

10.如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色

m47

菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若一=」，则4ABC的边长是.

n25

11.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,BE平分NABC且交CD于E,E为

CD的中点，EF〃:BC交AB于F,EG/7AB交BC于G,当AD=2,BC=12时，四边形BGEF

的周长为.

AD

12.如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形AiBiCiDi，再以AiBiCQi各边的

中点为顶点作四边形A2B2c2D2,…,如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2(W若ABCD

对角线长分别为a和b,请用含a、b的代数式表示四边形A20UB2011C2011D20H的周长

三、解答题

13.已知，如图，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在

正方形ABCD边AB,CD,DA上，AH=2,连接CF.

(1)当DG=2时，求AFCG的面积；

(2)设DG=X,用含X的代数式表示AFCG的面积；

(3)判断△FCG的面积能否等于1,并说明理由.

14.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，AMPN为直角三角形,

ZMPN=90°.正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终

在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.

(1)如图1,当点P与点。重合时，0E与OF的数量关系为；

(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你

的猜想结果给予证明；

(3)如图3,当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为；位置关系为

15.如图1,P是线段AB上的一点，在AB的同侧作4APC和4BPD,使PC=PA,PD=PB,

ZAPC=ZBPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、

F、G、H.

(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

(2)当点P在线段AB的上方时，如图2,在4APB的外部作^APC和4BPD,其他

条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)如果(2)中，ZAPC=ZBPD=90°,其他条件不变，先补全图3,再判断四边形

EFGH的形状，并说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0),ZOBA=90°,BC〃OA,OB=8,点E

从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位

长度沿OB向点B运动.现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运

动.

(1)求梯形OABC的高BG的长；

(2)连接E、F并延长交0A于点D,当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；

(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、

F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由.

答案与解析

一.选择题

1.【答案】A.

2.【答案】B.

3.【答案】A.

4.【答案】A.

【解析】由题意耳■易BB~-.DF~-,£C--,FC~--+

5.【答案】D.

6.【答案】B.

【解析】在正方形ABCD中，ZPAE=ZMAE=45°,

'NPAE=NMAE

在4APE和4AME中，,AE-AE，

NAEP=NAEM=90°

.♦.△APEq△AME(ASA),故①正确；

；.AP=AM,

•••△APM是等腰直角三角形，

.•.PM=«AP,

同理可得PN=&PB,

.".PM+PN=V2AB,

又：AC=&AB,

；.PM+PN=AC,故②正确；

VPM±AC,PN±BD,AC±BD,

四边形PEOF是矩形，

.*.PF=OE,

在R3POE中，PE2+OE2=PO2,

.\PE2+PF2=PO2,故③正确；

•.•矩形PEOF不一定是正方形，

APOF是不一定等腰直角三角形，

VZOBC=45°,BF_LFN,

•••△BNF是等腰直角三角形，

APOF与ABNF相似不一定成立，故④错误；

综上所述，正确的结论有①②③共3个.故选B.

二.填空题

2

7.【答案】一.

5

【解析】把△APD旋转到△DCM,把△ABF旋转到△BCN,则多边形PFBNMD的

面积被分成10份，阴影部分占4份.

8.【答案】①②④.

9.【答案】10cm.

【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A\

连接AC,则AC即为最短距离，

由题意可得出：A'D=6cm,CD=8cm,

A，C=/

VAD2+CD2=1°（cm）.

Al\\.........................ID

I\I

2'\'2

E

2

10.【答案】12.

【解析】设正△ABC的边长为x,则高为lx,

2

:所分成的都是正三角形，结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为括,

2

较短的对角线为（走x-g）—=-x-l,

232

黑色菱形的面积=’（且x-6小/）邛22,

22

—，整理得，llx2-144x+144=0,

25

解得xi=—（不符合题意，舍去），X2=12,所以，△ABC的边长是12.

11.【答案】28.

【解析】先根据EF〃:BC交AB于F,EG〃AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四

边形，再由BE平分NABC且交CD于E可得出NFBE=NEBC,由EF//BC可知,

NEBC=NFEB,故NFBE=FEB,由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中

点，AD=2,BC=12求出EF的长，进而可得出结论.

12.【口木】2】。。4•

【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2.1B2ale2n_D2Z是矩形，长为巴，宽

T

为2；

T

-Ja2+b2

脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为

2“+1

y/a2+b~

...四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为21006

4力？+b2

周长为21006,即21004

b

四边形A2011B2011C20UD2011是矩形,长为21005，宽为21005

abct~\-bI.，—),“a+b

.,.四边形的周长为:2)=尹・故答案为:

A2011B2011C2011D2011(^6?+2100521004

三.综合题

13.【解析】(1)*衿=4.

(2)作FM_LDC,M为垂足，连结GE,

VAB/7CD,NAEG=/MGE,

HE〃GF,/.ZHEG=ZFGE.

/AEH=NMGF.

在AAHE和AMFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

AAHE也△MFG

FM=HA=2,

即无论菱形EFGH如何变化，点F的直线CD的距离始终为定值2.

因此x)=6-x

(3)若当JOT=1，由必R»=6-X,得X=5,此时在ADGH中，HG=

相应地，在AAHE中，AE;后＞6,即点E已经不在边AB上.

故不可能有AKGT-

14.【解析】

(1)OE=OF(相等)；

(2)OE=OF,OE±OF；

证明：连接BO,

;在正方形ABCD中，。为AC中点，

.•.BO=CO,BO±AC,ZBCA=ZABO=45°,

VPF±BC,ZBCO=45°,

ZFPC=45°,PF=FC.

:正方形ABCD,ZABC=90°,

VPFXBC,PE±AB,

/.ZPEB=ZPFB=90o.

四边形PEBF是矩形，

；.BE=PF.

/.BE=FC.

/.△OBE^AOCF,

.\OE=OF,ZBOE=ZCOF,

VZCOF+ZBOF=90°,

.,.ZBOE+ZBOF=90°,

.,.ZEOF=90°,

AOEXOF.

(3)OE=OF(相等)，OE±OF(垂直。

15.【解析】

(1)四边形EFGH是菱形.

(2)成立.理由：连接AD,BC.

,?ZAPC=ZBPD,

ZAPC+ZCPD=ZBPD+ZCPD.

即NAPD=NCPB.

又：PA=PC,PD=PB,

/.△APD^ACPB(SAS)；.AD=CB.

：E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，

；.EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.

1111

.,.EF=-BC,FG=-AD,GH=-BC,EH=-AD.

2222

EF=FG=GH=EH....四边形EFGH是菱形.

(3)补全图形.

判断四边形EFGH是正方形.

理由：连接AD,BC.

(2)中已证△APDgZkCPB.

.,.ZPAD=ZPCB.

•.*ZAPC=90°,

.,.ZPAD+Zl=90o.

又；/l=N2.

.,.ZPCB+Z2=90°.

AZ3=90°.

V(2)中已证GH,EH分别是△BCD,△ACD的中位线,

，GH〃BC,EH/7AD.

/.ZEHG=90°.

又：（2）中已证四边形EFGH是菱形，

，菱形EFGH是正方形.

16.【解析】（1）根据题意，AB