庄浪县2024届高三年级下册第四次模拟考试数学试卷(含答案)

庄浪县紫荆中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知集合4={—1,124},B={x||x-l|<l),则AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2^2C.4D.4V2

r।sin6^(1+sin20)

4.若tan。二一2,则一^——i=()

sin"+cos"

A6

A.——B.--C.-D.-

5555

5.设％wR,贝！J“sinx=l”是"cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知数列｛4｝,若%=a“+a〃+2（〃eN*）,则称数列｛叫为“凸数列”.已知数列出｝

为“凸数列，，，且伪=1,2=-2,则也｝的前2024项的和为（）

A.OB.lC.-5D.-1

7.已知两个不等的正实数x,y满足ln±=3,则下列结论一定正确的是（）

A.x+y=1B.xy=lC.x+y>2D.x+y>3

8.正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PA-PD

取得最小值时，点P到的距离为（）

3A/2—A/6A/6—A/32A/2—A/3A/2

A.--------D.-------c.--------D.----

1212124

二、多项选择题

9.已知函数/（x）=sin（2x+o）（0<0<兀）的图像关于点［会中心对称，则（）

A./W在区间单调递减

B./U)在区间［-喂，岩］有两个极值点

C.直线x=4是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线是曲线y=/(x)的切线

10.已知正方体A3CD—AgGR，则()

A.直线BQ与所成的角为90°

B.直线与CA所成的角为90。

C.直线BC］与平面BBRD所成的角为45°

D.直线6a与平面ABCD所成的角为45。

11.已知直线/:+=0与圆C:V+V=/，点人色力)，则下列说法正确的是

()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆。相离

D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

12.已知。为坐标原点，点4(cosa,sintz),g(cosQ,-sin，)，

4(cos(a+£),sin(a+£)),A(l,0),则()

A.|M=|O闾=|叫

C.OAOF^=OF［O^D.OAO^=OP,OF^

三、填空题

13.已知函数/(%)=三,2-2-，)是偶函数，则。=.

14.已知｛a“｝为等比数列，a2a4a3=。3“6，a9a16=-8,则%=.

15.函数/(x)=|2x-1|-21nx的最小值为.

16.在△ABC中，AB=2,ZfiAC=60°,BC=娓,。为5c上一点，AD为NBAC

的平分线，则AD=.

四,解答题

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

（2）是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存

在，说明理由.

a+1,九为奇数,

18.已知数列｛4｝满足q=1,an

n+1+2,〃为偶数

⑴记包=%〃，写出伪，b2,并求数列也｝的通项公式;

⑵求｛4｝的前20项和.

19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若45=2,QD=QA=正,

QC=3.

（1）证明：平面QADJ_平面ABCD；

（2）求二面角3-Q£>-A的平面角的余弦值.

20.已知椭圆的一个顶点4（0,-1）,焦点在x轴上，离心率为手.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线y=Ax+加左/0）与椭圆交于不同的两点〃，N.当=时，求机的

取值范围.

21.某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特

级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽

取100箱（每箱有5kg）,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：

等级珍品特级优级一级

箱数40301020

（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是

一级品的概率；

（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出

售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.

等级珍品特级优级一级

价格/（元

36302418

/kg）

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽

取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值£（X）.

22.已知函数/（x）=xlnx.

（1）判断“力的单调性；

（2）设方程-2x+l=0的两个根分别为%，斗，求证：%1+x2>2e.

参考答案

1.答案：B

解析：法一：因为5={x|0WxW2},故A6={1,2},故选：B.

法二：1=-1代入集合3=卜卜-可得2<1,不满足，排除A、D；

%=4代入集合3={x||x-1归1},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

2.答案：D

解析：（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

3.答案：B

解析：设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则

nl=2式义血,解得/=20.故选B.

4.答案：C

解析：将式子进行齐次化处理得：

sin6（l+sin2e）sin^fsin*2^+cos2^+2sin^cos^）

=sin8(sin8+cos。)

sin6+cos0sin6+cos6

sine(sin6+cose)_tan26^+tan6^_4-2_2

sin2^+cos201+tan201+45

故选：C.

5.答案：A

解析：方法一：由sinx=l,得x=2左兀+]（左£Z）,贝iJcos12Z兀+3）=cos/=0,故充

分性成立；由cosx=0,得%=%兀+曰（左£Z）,而sin，兀+鼻=1或-1,故必要性不成

立.所以“sinx=l”是“cosx=0”的充分不必要条件，故选A.

方法二：由sinx=l,得%=2左兀+乌（左£Z）,贝！Jcos（2Z兀+^]=cos二=0,故充分性成

2I2）2

立；又cos型=0,sin—=-1,故必要性不成立.所以“sinx=l"是“cosx=。”的

充分不必要条件，故选A.

6.答案：D

解析：因为。〃+2=。〃+1-2，所以4=%-4=一2-1=一3,2=&—4=—3—(―2)=—1,

b5=b^—Z?3=—1—(—3)=2,Z?6—b5—b4=2—(—1)=3,bn=b6—b5=3—2=1,

则数列出｝是以6为周期的周期数列，又36=1-2-3-1+2+3=0,

所以^2024—S337X6+2=伪+4=—1，

故选：D.

7.答案：C

解析：因为ln±=^--,所以Inx-lny=工一工，BPInx+—=Iny+—,

yxyyxxy

令函数/(x)=lnx+Lx>Q,则--=

XXXX

xe(O,l)时尸(x)<0,/(x)单调递减，xe(l,+oo)时/⑴>0,/(x)单调递增.

函数/(x)在x=1处取得极小值/(I)=1,如图所示：

依题意/(x)=/(y),x^y,不妨设x<y,由图象可知，0<x<l<y,故x+y>l,A

错误；

假设孙=1成立，可取x=g,y=2,则/(x)=/］；］=2—ln2,

/(y)=〃2)=；+ln2,易见不满足题意/⑴=/(y),即B不正确；

如图取l<yW2时，设/(x)=/(y)=/,则由0<%<1知，可有x+y<3,故D错误；

由函数/(x)=lnx+L(x>0)中，0<x<l时，/(x)e(l,+oo),x>l时，

X

/(x)e(l,+oo),可知/(x)=/(y),xwy时极值点x=l左偏，即2xlvx+y,即

x+y>2一定成立，C正确.

故选：C.

8.答案：A

解析：因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体,

所以其体积为W1X1X且x^=也.

322312

设正四面体ABC。内切球的半径为r,

贝lj4x!xLxlxlxxr=,得r=-.

3221212

如图，取AD的中点为5贝！］巳4・。。=（。2+功）,（。石+石。）

22|

=PE+PE（EA+ED）+EAED=PE

显然，当PE的长度最小时，PAPD取得最小值.

设正四面体内切球的球心为。，可求得。4=0。=逝.

所以球。上的点P到点E的最小距离为d—r=&&=述=用

41212

即当PAPD取得最小值时，点尸到AO的距离为逆二逅.

12

故选：A.

A

与+0]=(),所以4事兀+0=4兀，keZ,

3

Ep(0—----Fkit,左£Z,

3

又0<0<兀，所以k=2时，(p=—,/(x)=sin|^2x+—J.

对A,当xe[o,|||时，2x+ge[g,g],由正弦函数y=sin”图象知y=/(x)在

上是单调递减；

对B,当时，2%+会e[}5]，由正弦函数y=sin”图象知y=/(x)

只有1个极值点，由2"，手解得.合即.力为函数的唯一极值点;

对C,当》=一时，2/f=3兀，/(—)=0,直线x=—不是对称轴;

6366

对D,由y=2cos[2x+g)=-1得：cos[2x+g)=一：，

角由2xH----------F2kli2%H-----------\-2klikeZ,

3333

从而得：工=衍1或%=—+左兀，GZ,

3

所以函数y=/(x)在点处的切线斜率为k=巩=°=2COSy=-1,

切线方程为：丁一岑=一(》一0)即>

故选：AD.

10.答案：ABD

解析：如图，连接用。，BG，因为£>4〃与。，所以直线3G与。4所成的角即为直线

BQ与4c所成的角.因为四边形5用GC为正方形，则与C_L3C],故直线Bq与DA1所

成的角为90。，A正确；

连接A。，因为44,平面吕0匚平面吕耳。]。，所以4月，Bq.因为

B}C1BCX,A}B}B]C=B],所以30，平面A4c.又4Cu平面，所以

BQ1CA,故B正确；连接AG，设ACBA=O,连接3。，因为5用，平面

AGGD，GOU平面A4GD，所以反因为G。，与2，BRB}B=B},所

以CXO±平面BBRD,所以NGBO为直线BCi与平面BB.D.D所成的角.设正方体棱长

为1,则。1。=乎，BC、=亚,sinZQBO=1^=1,所以直线3G与平面BBQQ

所成的角为30。，故C错误；因为平面A3CD,所以NG3C为直线3G与平面

ABCD所成的角，易得NGBC=45。,故D正确.故选ABD.

11.答案：ABD

解析：由题意知，圆C的圆心为C(0,0),半径为N，

对于A,若点A在圆C上，则储+/=产，

,\ax0+bx0-r2\

所以圆心C到直线/的距离d=J~7------------L=|r|,

所以直线/与圆C相切，因此A正确；

对于B,若点A在圆C内，则储+32＜72,

所以圆心C到直线/的距离"L’＞二=|八,

yla2+b2y/a2+b2E

所以直线/与圆C相离，因此B正确；

对于C,若点A在圆C外,则储+〃＞产，

所以圆心C到直线/的距离d」"。；""。—"="(二=6,

y/a2+b2y/a2+b2犷

所以直线/与圆C相交，因此C不正确；

对于D,因为点A在直线/上，所以储+匕2=产，所以圆心C到直线/的距离

2

d=,r=\r\,所以直线/与圆C相切，因此D正确.

故选ABD.

12.答案：AC

解析：方法一：对于选项A,因为=(coso,sina),OP2=(cos/?,-sinp),所以

2222

=yjcosa+sina=1,\pP21=^cos(3+{-sin/?)=1,则|oq|二|。且，故A正

确；对于选项B,因为裕二(cosa-l,sin。)，AP2=(cos/3-\,-sin/3),

所以阿卜/cosa-1)2+sin2a=j2-2cosa,

22

|AP21=y1(cos-1)+(-sin/3)=^2-2cosP,当cos2wcos/7时，|A7]||A/^|,故B

错误；对于选项C,04=(1,0),C%=(cos(a+力),sin(a+/)),所以

OA-OP^=cos(a+/?),OROR=cosacos/3-sinasinJ3=cos(a+p),

所以Q4・OA=Oq・OR,故C正确；对于选项D,Q4・O《=cosa,

OROR=cos13cos(6Z+6)一sin(3sin(a+分)=cos[#+(a+/?)]=cos(a+2/3),当£w左兀

且左兀—"(AwZ)时，OAORwOgO鸟,故D错误.故选AC.

方法二：如图，由图可知=|四=1,故A正确；当且仅当cosa=cos分时，

,用=|阿成立，故B错误；因为(。4,0丹=。+/，«P],OP)=a、B,且

|0A|=|0^|=|c>^|=|0^|,故C正确；3,0P)=a，(OP2,OP3)=a+2j3,因为

cos(QA,。为与cos(O£,O年不一定相等，故D错误.故选AC.

解析：因为〃尤)=三(。2-2-，，故/(-尤)=-丁(小2--2，),

因为〃力为偶函数,故/(r)=/(£),

时%3(a-T-2-x)=-x\a-2-x-2V),整理得到(a-1)(2X+2~X)=0,

故a=l,

故答案为：L

14.答案：-2

解析：解法一：设等比数列｛」“｝的公比为式4。0),则由题意，

“3425

,日aiq-a^q-a^q-axqqq,

行489

axqqq=-8,

5

解得<'所以%=%q6=a1q-q=-2.

q=-2,

解法二：根据等比数列的性质得。4。5=。3幺。0，所以。2=1.因为。9%0=-8，所以

a2cf=-8,所以如=一2,所以％=%/.

15.答案：1

解析：由题设知：/(x)=|2x-1|-21口]定义域为(0,+8),

.•.当0<犬《：时，f(x)=l-2x-2]nx,止匕时了(%)单调递减；

12

当一<九V1时，f(x)=2x-l-2lnx,有/(%)=2——<0,此时/(%)单调递减;

2x

当1>1时，/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2——>0,止匕时/(%)单调递增；

又/(X)在各分段的界点处连续,

.•.综上有：0<xWl时，/(x)单调递减，1>1时，/(x)单调递增；

故答案为：L

16.答案:2

解析：由余弦定理可得，22+Z72-2X2XZ7XCOS60°=6,因为Z?>0,解得:b=l+Q,

由正弦定理可得，4—=—竺=:—，解得:sinB=C+忘,sinC=Y2,

sin60°sinBsinC42

因为1+百>6>应，所以。=45。，B=180o-60°-45o=75°,

又N&l£)=30。，所以ZADB=75。,即A。=AB=2.故答案为:2.

17.答案：(1)受互

4

(2)存在，且a=2

解析：(1)因为2sinC=3sinA,则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,

cosC，+"一/J,所以，。为锐角，则sinC=Jl—cos2C=£Z,

lab88

ra,.k°J7・<377_1577

因止匕，SARC=—cibsinC——x4x5x-----=-------.

△AABC2284

(2)显然c〉Z?〉a,若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，

由余弦定理可得cosC==十/一°2=/+S+；)2―(：+2)2==丁一：<0,

解得-贝！JOv〃v3,

由三角形三边关系可得Q+Q+1>Q+2,可得Q>1,故〃=2.

18.答案：(1)4=2,4=5,bn=3n-l

(2)300

解析：(1)由题设可得4=%=%+1=2,

b2=g—+1—+2+1=5,

又a2k+2=a2k+\+1，％左+1=2k+29

故。2*+2=%+3，即％=2+3，%1-2=3,

所以也｝为等差数列，

故2=2+(〃-1)x3=3〃一1.

(2)设｛〃〃｝的前20项和为S20，

贝!J5*2Q=4+%+生++〃20，

因为a3=aA-X,・••，tz19=<220-1,

所以52Q=2(%+%++《8+%0)-1。

=2(4+4++4+/?］。)_10

(9x10\

=2x10x2+^—x3-10=300.

19.答案：(1)证明见解析

⑵-

3

解析：(1)取A。的中点为。，连接QO,CO.

因为24=QD,OA=OD,则QOLAD,

而A£>=2,QA=y/5,故。。=7^=2.

在正方形ABCD中，因为AO=2,故£>0=1,故CO=逐，

因为QC=3,故呢2=。。2+。。2,故△QOC为直角三角形且QO,OC,

因为OCAD=O,故QO_L平面ABCD,

因为QOu平面QAD,故平面QADL平面ABCD.

(2)在平面ABC。内，过。作O77/CD,交BC于T,则

结合(1)中的QOL平面ABCD,故可建如图所示的空间坐标系.

z

A

y

则£>(0,1,0),g(0,0,2),5(2,—1,0),故BQ=(—2,1,2),BD=(-2,2,0).

设平面QBD的法向量"=(羽y,z),

[n-BQ=0口口j-2x+y+2z=0口1

则〈*即4),取x=l,则nry=l,z=-,

n-BD-0[—2x+2y-02

而平面040的法向量为加=(1,0,0),故cos(私〃)=——-=—.

lx-3

2

二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为三.

20.答案：(1)—+y2=i

4

⑵(1,3)

22

解析：⑴设椭圆的标准方程为=+2=1(。〉6〉0),

ab

b=l

则<=解之得：a=2,b=l9c=y/3.

a2

a2=b2+c2

2

故椭圆的标准方程为二+y2=i.

4

(2)设尸(%,%)弦脑V的中点，设“(%,%),N(%2，%)，

y=kx+m

22

V得（4左2+l）x+8bnx+4（m-1）=0,

由X221

—+y=1

14'

2

—8km4（m-l

因为直线与椭圆相交，所以石+马=

4公+1'为”2-4左2+1

2

A=（8—2）2—16（4左2+l）（m—1）>0n<1+4左2,①

m

x+x94km匚匚J”7

x=-------"（）+9•

0，/TT以％=加=—2

°24左2+1%04k+1

_%+1m+l+4k2

••KAD=~，

xQ4km

又|皿=|训，APLMN,

贝1]_加+1+4,2=_1,即3m=4左2+1,②

4kmk

把②代入①得m2＜3m,解得0V加＜3,

由②得42=网二1〉0,解得相＞L

43

综上可知机的取值范围为31

21.答案：（1）受

625

（2）方案一

（3）分布列见解析，|

解析：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A,