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文档简介
庄浪县紫荆中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学试卷
学校:___________姓名:班级:考号:
一、选择题
1.已知集合4={—1,124},B={x||x-l|<l),则AB=()
A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}
2.(2+2i)(l—2i)=()
A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i
3.已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()
A.2B.2^2C.4D.4V2
r।sin6^(1+sin20)
4.若tan。二一2,则一^——i=()
sin"+cos"
A6
A.——B.--C.-D.-
5555
5.设%wR,贝!J“sinx=l”是"cosx=0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知数列{4},若%=a“+a〃+2(〃eN*),则称数列{叫为“凸数列”.已知数列出}
为“凸数列,,,且伪=1,2=-2,则也}的前2024项的和为()
A.OB.lC.-5D.-1
7.已知两个不等的正实数x,y满足ln±=3,则下列结论一定正确的是()
A.x+y=1B.xy=lC.x+y>2D.x+y>3
8.正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点,当PA-PD
取得最小值时,点P到的距离为()
3A/2—A/6A/6—A/32A/2—A/3A/2
A.--------D.-------c.--------D.----
1212124
二、多项选择题
9.已知函数/(x)=sin(2x+o)(0<0<兀)的图像关于点[会中心对称,则()
A./W在区间单调递减
B./U)在区间[-喂,岩]有两个极值点
C.直线x=4是曲线y=/(x)的对称轴
6
D.直线是曲线y=/(x)的切线
10.已知正方体A3CD—AgGR,则()
A.直线BQ与所成的角为90°
B.直线与CA所成的角为90。
C.直线BC]与平面BBRD所成的角为45°
D.直线6a与平面ABCD所成的角为45。
11.已知直线/:+=0与圆C:V+V=/,点人色力),则下列说法正确的是
()
A.若点A在圆C上,则直线/与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线/与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线/与圆。相离
D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切
12.已知。为坐标原点,点4(cosa,sintz),g(cosQ,-sin,),
4(cos(a+£),sin(a+£)),A(l,0),则()
A.|M=|O闾=|叫
C.OAOF^=OF[O^D.OAO^=OP,OF^
三、填空题
13.已知函数/(%)=三,2-2-,)是偶函数,则。=.
14.已知{a“}为等比数列,a2a4a3=。3“6,a9a16=-8,则%=.
15.函数/(x)=|2x-1|-21nx的最小值为.
16.在△ABC中,AB=2,ZfiAC=60°,BC=娓,。为5c上一点,AD为NBAC
的平分线,则AD=.
四,解答题
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+l,c=a+2.
(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出。的值;若不存
在,说明理由.
a+1,九为奇数,
18.已知数列{4}满足q=1,an
n+1+2,〃为偶数
⑴记包=%〃,写出伪,b2,并求数列也}的通项公式;
⑵求{4}的前20项和.
19.在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若45=2,QD=QA=正,
QC=3.
(1)证明:平面QADJ_平面ABCD;
(2)求二面角3-Q£>-A的平面角的余弦值.
20.已知椭圆的一个顶点4(0,-1),焦点在x轴上,离心率为手.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线y=Ax+加左/0)与椭圆交于不同的两点〃,N.当=时,求机的
取值范围.
21.某冰糖橙是甜橙的一种,以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类:珍品、特
级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽
取100箱(每箱有5kg),利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表:
等级珍品特级优级一级
箱数40301020
(1)若将频率作为概率,从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱,求恰好有2箱是
一级品的概率;
(2)利用样本估计总体,果园老板提出两种方案供采购商参考:方案一:不分等级出
售,价格为27元/kg;方案二:分等级出售,橙子价格如下表.
等级珍品特级优级一级
价格/(元
36302418
/kg)
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱,再从抽取的10箱中随机抽
取3箱,X表示抽取的珍品的箱数,求X的分布列及均值£(X).
22.已知函数/(x)=xlnx.
(1)判断“力的单调性;
(2)设方程-2x+l=0的两个根分别为%,斗,求证:%1+x2>2e.
参考答案
1.答案:B
解析:法一:因为5={x|0WxW2},故A6={1,2},故选:B.
法二:1=-1代入集合3=卜卜-可得2<1,不满足,排除A、D;
%=4代入集合3={x||x-1归1},可得3W1,不满足,排除C.
故选:B.
2.答案:D
解析:(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,
故选:D.
3.答案:B
解析:设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则
nl=2式义血,解得/=20.故选B.
4.答案:C
解析:将式子进行齐次化处理得:
sin6(l+sin2e)sin^fsin*2^+cos2^+2sin^cos^)
=sin8(sin8+cos。)
sin6+cos0sin6+cos6
sine(sin6+cose)_tan26^+tan6^_4-2_2
sin2^+cos201+tan201+45
故选:C.
5.答案:A
解析:方法一:由sinx=l,得x=2左兀+](左£Z),贝iJcos12Z兀+3)=cos/=0,故充
分性成立;由cosx=0,得%=%兀+曰(左£Z),而sin,兀+鼻=1或-1,故必要性不成
立.所以“sinx=l”是“cosx=0”的充分不必要条件,故选A.
方法二:由sinx=l,得%=2左兀+乌(左£Z),贝!Jcos(2Z兀+^]=cos二=0,故充分性成
2I2)2
立;又cos型=0,sin—=-1,故必要性不成立.所以“sinx=l"是“cosx=。”的
充分不必要条件,故选A.
6.答案:D
解析:因为。〃+2=。〃+1-2,所以4=%-4=一2-1=一3,2=&—4=—3—(―2)=—1,
b5=b^—Z?3=—1—(—3)=2,Z?6—b5—b4=2—(—1)=3,bn=b6—b5=3—2=1,
则数列出}是以6为周期的周期数列,又36=1-2-3-1+2+3=0,
所以^2024—S337X6+2=伪+4=—1,
故选:D.
7.答案:C
解析:因为ln±=^--,所以Inx-lny=工一工,BPInx+—=Iny+—,
yxyyxxy
令函数/(x)=lnx+Lx>Q,则--=
XXXX
xe(O,l)时尸(x)<0,/(x)单调递减,xe(l,+oo)时/⑴>0,/(x)单调递增.
函数/(x)在x=1处取得极小值/(I)=1,如图所示:
依题意/(x)=/(y),x^y,不妨设x<y,由图象可知,0<x<l<y,故x+y>l,A
错误;
假设孙=1成立,可取x=g,y=2,则/(x)=/];]=2—ln2,
/(y)=〃2)=;+ln2,易见不满足题意/⑴=/(y),即B不正确;
如图取l<yW2时,设/(x)=/(y)=/,则由0<%<1知,可有x+y<3,故D错误;
由函数/(x)=lnx+L(x>0)中,0<x<l时,/(x)e(l,+oo),x>l时,
X
/(x)e(l,+oo),可知/(x)=/(y),xwy时极值点x=l左偏,即2xlvx+y,即
x+y>2一定成立,C正确.
故选:C.
8.答案:A
解析:因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体,
所以其体积为W1X1X且x^=也.
322312
设正四面体ABC。内切球的半径为r,
贝lj4x!xLxlxlxxr=,得r=-.
3221212
如图,取AD的中点为5贝!]巳4・。。=(。2+功),(。石+石。)
22|
=PE+PE(EA+ED)+EAED=PE
显然,当PE的长度最小时,PAPD取得最小值.
设正四面体内切球的球心为。,可求得。4=0。=逝.
所以球。上的点P到点E的最小距离为d—r=&&=述=用
41212
即当PAPD取得最小值时,点尸到AO的距离为逆二逅.
12
故选:A.
A
与+0]=(),所以4事兀+0=4兀,keZ,
3
Ep(0—----Fkit,左£Z,
3
又0<0<兀,所以k=2时,(p=—,/(x)=sin|^2x+—J.
对A,当xe[o,|||时,2x+ge[g,g],由正弦函数y=sin”图象知y=/(x)在
上是单调递减;
对B,当时,2%+会e[}5],由正弦函数y=sin”图象知y=/(x)
只有1个极值点,由2",手解得.合即.力为函数的唯一极值点;
对C,当》=一时,2/f=3兀,/(—)=0,直线x=—不是对称轴;
6366
对D,由y=2cos[2x+g)=-1得:cos[2x+g)=一:,
角由2xH----------F2kli2%H-----------\-2klikeZ,
3333
从而得:工=衍1或%=—+左兀,GZ,
3
所以函数y=/(x)在点处的切线斜率为k=巩=°=2COSy=-1,
切线方程为:丁一岑=一(》一0)即>
故选:AD.
10.答案:ABD
解析:如图,连接用。,BG,因为£>4〃与。,所以直线3G与。4所成的角即为直线
BQ与4c所成的角.因为四边形5用GC为正方形,则与C_L3C],故直线Bq与DA1所
成的角为90。,A正确;
连接A。,因为44,平面吕0匚平面吕耳。]。,所以4月,Bq.因为
B}C1BCX,A}B}B]C=B],所以30,平面A4c.又4Cu平面,所以
BQ1CA,故B正确;连接AG,设ACBA=O,连接3。,因为5用,平面
AGGD,GOU平面A4GD,所以反因为G。,与2,BRB}B=B},所
以CXO±平面BBRD,所以NGBO为直线BCi与平面BB.D.D所成的角.设正方体棱长
为1,则。1。=乎,BC、=亚,sinZQBO=1^=1,所以直线3G与平面BBQQ
所成的角为30。,故C错误;因为平面A3CD,所以NG3C为直线3G与平面
ABCD所成的角,易得NGBC=45。,故D正确.故选ABD.
11.答案:ABD
解析:由题意知,圆C的圆心为C(0,0),半径为N,
对于A,若点A在圆C上,则储+/=产,
,\ax0+bx0-r2\
所以圆心C到直线/的距离d=J~7------------L=|r|,
所以直线/与圆C相切,因此A正确;
对于B,若点A在圆C内,则储+32<72,
所以圆心C到直线/的距离"L’>二=|八,
yla2+b2y/a2+b2E
所以直线/与圆C相离,因此B正确;
对于C,若点A在圆C外,则储+〃>产,
所以圆心C到直线/的距离d」"。;""。—"="(二=6,
y/a2+b2y/a2+b2犷
所以直线/与圆C相交,因此C不正确;
对于D,因为点A在直线/上,所以储+匕2=产,所以圆心C到直线/的距离
2
d=,r=\r\,所以直线/与圆C相切,因此D正确.
故选ABD.
12.答案:AC
解析:方法一:对于选项A,因为=(coso,sina),OP2=(cos/?,-sinp),所以
2222
=yjcosa+sina=1,\pP21=^cos(3+{-sin/?)=1,则|oq|二|。且,故A正
确;对于选项B,因为裕二(cosa-l,sin。),AP2=(cos/3-\,-sin/3),
所以阿卜/cosa-1)2+sin2a=j2-2cosa,
22
|AP21=y1(cos-1)+(-sin/3)=^2-2cosP,当cos2wcos/7时,|A7]||A/^|,故B
错误;对于选项C,04=(1,0),C%=(cos(a+力),sin(a+/)),所以
OA-OP^=cos(a+/?),OROR=cosacos/3-sinasinJ3=cos(a+p),
所以Q4・OA=Oq・OR,故C正确;对于选项D,Q4・O《=cosa,
OROR=cos13cos(6Z+6)一sin(3sin(a+分)=cos[#+(a+/?)]=cos(a+2/3),当£w左兀
且左兀—"(AwZ)时,OAORwOgO鸟,故D错误.故选AC.
方法二:如图,由图可知=|四=1,故A正确;当且仅当cosa=cos分时,
,用=|阿成立,故B错误;因为(。4,0丹=。+/,«P],OP)=a、B,且
|0A|=|0^|=|c>^|=|0^|,故C正确;3,0P)=a,(OP2,OP3)=a+2j3,因为
cos(QA,。为与cos(O£,O年不一定相等,故D错误.故选AC.
解析:因为〃尤)=三(。2-2-,,故/(-尤)=-丁(小2--2,),
因为〃力为偶函数,故/(r)=/(£),
时%3(a-T-2-x)=-x\a-2-x-2V),整理得到(a-1)(2X+2~X)=0,
故a=l,
故答案为:L
14.答案:-2
解析:解法一:设等比数列{」“}的公比为式4。0),则由题意,
“3425
,日aiq-a^q-a^q-axqqq,
行489
axqqq=-8,
5
解得<'所以%=%q6=a1q-q=-2.
q=-2,
解法二:根据等比数列的性质得。4。5=。3幺。0,所以。2=1.因为。9%0=-8,所以
a2cf=-8,所以如=一2,所以%=%/.
15.答案:1
解析:由题设知:/(x)=|2x-1|-21口]定义域为(0,+8),
.•.当0<犬《:时,f(x)=l-2x-2]nx,止匕时了(%)单调递减;
12
当一<九V1时,f(x)=2x-l-2lnx,有/(%)=2——<0,此时/(%)单调递减;
2x
当1>1时,/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2——>0,止匕时/(%)单调递增;
又/(X)在各分段的界点处连续,
.•.综上有:0<xWl时,/(x)单调递减,1>1时,/(x)单调递增;
故答案为:L
16.答案:2
解析:由余弦定理可得,22+Z72-2X2XZ7XCOS60°=6,因为Z?>0,解得:b=l+Q,
由正弦定理可得,4—=—竺=:—,解得:sinB=C+忘,sinC=Y2,
sin60°sinBsinC42
因为1+百>6>应,所以。=45。,B=180o-60°-45o=75°,
又N&l£)=30。,所以ZADB=75。,即A。=AB=2.故答案为:2.
17.答案:(1)受互
4
(2)存在,且a=2
解析:(1)因为2sinC=3sinA,则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,
cosC,+"一/J,所以,。为锐角,则sinC=Jl—cos2C=£Z,
lab88
ra,.k°J7・<377_1577
因止匕,SARC=—cibsinC——x4x5x-----=-------.
△AABC2284
(2)显然c〉Z?〉a,若△ABC为钝角三角形,则C为钝角,
由余弦定理可得cosC==十/一°2=/+S+;)2―(:+2)2==丁一:<0,
解得-贝!JOv〃v3,
由三角形三边关系可得Q+Q+1>Q+2,可得Q>1,故〃=2.
18.答案:(1)4=2,4=5,bn=3n-l
(2)300
解析:(1)由题设可得4=%=%+1=2,
b2=g—+1—+2+1=5,
又a2k+2=a2k+\+1,%左+1=2k+29
故。2*+2=%+3,即%=2+3,%1-2=3,
所以也}为等差数列,
故2=2+(〃-1)x3=3〃一1.
(2)设{〃〃}的前20项和为S20,
贝!J5*2Q=4+%+生++〃20,
因为a3=aA-X,・••,tz19=<220-1,
所以52Q=2(%+%++《8+%0)-1。
=2(4+4++4+/?]。)_10
(9x10\
=2x10x2+^—x3-10=300.
19.答案:(1)证明见解析
⑵-
3
解析:(1)取A。的中点为。,连接QO,CO.
因为24=QD,OA=OD,则QOLAD,
而A£>=2,QA=y/5,故。。=7^=2.
在正方形ABCD中,因为AO=2,故£>0=1,故CO=逐,
因为QC=3,故呢2=。。2+。。2,故△QOC为直角三角形且QO,OC,
因为OCAD=O,故QO_L平面ABCD,
因为QOu平面QAD,故平面QADL平面ABCD.
(2)在平面ABC。内,过。作O77/CD,交BC于T,则
结合(1)中的QOL平面ABCD,故可建如图所示的空间坐标系.
z
A
y
则£>(0,1,0),g(0,0,2),5(2,—1,0),故BQ=(—2,1,2),BD=(-2,2,0).
设平面QBD的法向量"=(羽y,z),
[n-BQ=0口口j-2x+y+2z=0口1
则〈*即4),取x=l,则nry=l,z=-,
n-BD-0[—2x+2y-02
而平面040的法向量为加=(1,0,0),故cos(私〃)=——-=—.
lx-3
2
二面角B-QD-A的平面角为锐角,故其余弦值为三.
20.答案:(1)—+y2=i
4
⑵(1,3)
22
解析:⑴设椭圆的标准方程为=+2=1(。〉6〉0),
ab
b=l
则<=解之得:a=2,b=l9c=y/3.
a2
a2=b2+c2
2
故椭圆的标准方程为二+y2=i.
4
(2)设尸(%,%)弦脑V的中点,设“(%,%),N(%2,%),
y=kx+m
22
V得(4左2+l)x+8bnx+4(m-1)=0,
由X221
—+y=1
14'
2
—8km4(m-l
因为直线与椭圆相交,所以石+马=
4公+1'为”2-4左2+1
2
A=(8—2)2—16(4左2+l)(m—1)>0n<1+4左2,①
m
x+x94km匚匚J”7
x=-------"()+9•
0,/TT以%=加=—2
°24左2+1%04k+1
_%+1m+l+4k2
••KAD=~,
xQ4km
又|皿=|训,APLMN,
贝1]_加+1+4,2=_1,即3m=4左2+1,②
4kmk
把②代入①得m2<3m,解得0V加<3,
由②得42=网二1〉0,解得相>L
43
综上可知机的取值范围为31
21.答案:(1)受
625
(2)方案一
(3)分布列见解析,|
解析:(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱,抽到一级品”为事件A,
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