2024年高考数学考前信息必刷卷2（新高考新题型专用）含答案

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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

/--------------------------------------------------------------------------------

随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填空题）+5（解

答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分

三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分

值依次为13分、15分、15分、17分、17分。

新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合

题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度

大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些

变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作

用。

九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念

的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现

了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数

学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的

思维素养。

试卷的命制体现‘多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递

进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现

了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，

建构高中数学的知识体系。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（1—奴）6的展开式中/的系数为160,则（）

B.-2D.-4

2.设是等比数列｛%｝的前〃项和，若1=4,%+生+。6=8,

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,X,13.24,则下列说法错误的是（）

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155,贝鼠=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,贝鼠=13.15

C.若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.90MxV13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

4.在。8C中，C=y,AB=413,AC+BC=5,则“3C的面积为（）

A.GB.273C.3A/3D.473

兀.17

5.已知0<尸<a<5，sinasin〃=元,cosacos4=历，贝|cos2a=（）

724

A.0B.—C.-D.1

2525

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3

个场馆4民。开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆8仅有2

名志愿者的概率为（）

321「63

A.—B.—C.—D.一

550114

TT

7.在平行四边形Z5CD中，AB=2AD=4,ZBAD=-,E,〃分别为48,的中点，将V4DE沿直线

折起，构成如图所示的四棱锥4-尸为HC的中点，则下列说法不正确的是（）

Af

EB

A.平面〃平面

B.四棱锥4-体积的最大值为3

c.无论如何折叠都无法满足⑷2c

D.三棱锥4-。EX表面积的最大值为+4

8.曲线C是平面内与三个定点片(-1,0),乙(1,0)和鸟(0」)的距离的和等于2啦的点的轨迹.给出下列四个

结论：

①曲线C关于x轴、丁轴均对称；

②曲线C上存在点P,使得|尸闾=手；

③若点尸在曲线C上，则△片Pg的面积最大值是1；

④曲线C上存在点P,使得/耳尸鸟为钝角.

其中所有正确结论的序号是()

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数/'(x)=cos4x+26sinxcosx-sin'x,则下列说法正确的是()

A.最小正周期为万

B.函数〃x)在区间(-兀，兀)内有6个零点

C.“X)的图象关于点他,对称

D.将〃x)的图象向左平移:个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在［(V］上的最大值为g(0),贝旷

的最大值为5兀?

0

10.已知直线/:(a+2)x—(a+l)y—1=0与圆=4交于点48,点尸中点为。，

则()

A.的最小值为2企

B.的最大值为4

C.刀.而为定值

D.存在定点使得为定值

11.已知函数〃x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,若/(x)是奇函数，/(2)=-〃1)*0,且对任意

x,ywR,+=+则（）

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

C.Ef(k)=lD.£/(左)=-l

k=lk=\

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

­2023_

12.若复数z=^—，则分=_______

1-21

n—2c

13.已知三个实数a、b、c,当c>0时，6W2a+3c且6c=",则的取值范围是________.

b

14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中

间部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为一

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数g(x)=，£*-ax?-2xlnx+2尤.

4

(1)当a=1时，求g(无)的图象在点(l,g(l))处的切线方程；

(2)若g'(x)20,求实数。的取值范围.

22

16.(15分)已知椭圆C:三+《=1(。>6>0)的右焦点与与抛物线必=4x的焦点重合，且其离心率为

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知与坐标轴不垂直的直线/与椭圆C交于M,N两点，线段九W的中点为P,求证km-kOP(O

为坐标原点)为定值.

17.(15分)如图，在正四棱台N5CD-4片GA中，/8=2/4=4.

(1)求证：平面48coi平面/CG4；

(2)若直线B.C与平面ACC^所成角的正切值为正，求二面角B-CC「A的正弦值.

6

18.(17分)某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙

餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据

a=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

就餐区域

性别合计

南区北区

男331043

女38745

合计711788

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为g；如果前

12

一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为可，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去

甲，乙餐厅的概率均为;.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为』，--

2442

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；

(ii)求第〃(〃eN*)天他去甲餐厅用餐的概率p“.

2

2_n(ad-bc)

附:/(a+Z))(c+d)(Q+c)0+d)n=a+b+c+d；

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

19.(17分)已知定义域为R的函数力(x)满足：对于任意的XER,者8有〃(1+2兀)=/7(])+//(2兀)，则称函

数〃(x)具有性质p.

(1)判断函数/(x)=2x,g(x)=cosx是否具有性质p；(直接写出结论)

(2)已知函数/(x)=sin(0x+e)]|<0<m，M<3，判断是否存在。，?，使函数“X)具有性质P?

若存在，求出。，夕的值；若不存在，说明理由；

(3)设函数“X)具有性质P,且在区间[0,2向上的值域为[〃。),/(2兀)].函数g(x)=sin(〃x)),满

足g(x+2#=g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(27I)=2K.

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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

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随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填空题）+5（解

答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分

三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分

值依次为13分、15分、15分、17分、17分。

新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合

题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度

大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些

变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作

用。

九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念

的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现

了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数

学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的

思维素养。

试卷的命制体现‘多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递

进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现

了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，

建构高中数学的知识体系。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（1—奴）6的展开式中/的系数为160,则（）

A.-4B.2C.4D.-2

【答案】D

【解析】二项式（1—ax）6展开式的通项为4+1=晨（—办丫（其中0<r<6且reN）,

令厂=3可得看=C：（—方丫=C：（—4./,所以c：（—不=160,解得a=-2.

故选：D

2.设S“是等比数列｛%｝的前〃项和，若$3=4,%+%+/=8,则*（）

»6

753

A.2B.-C.-D.

337

【答案】B

【解析】由题意得$6-$3=8,S6=$3+8=4+8=12,

因为$3,$6-$3，$9-反成等比数列，故旧-邑丫=邑⑸-工），

即8?=409-12）,解得Sg=28,

故$6123■

故选：B

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,x,13.24,则下列说法错误的是（）

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155,则x=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,贝鼠=13.15

C.若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.90VxV13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

【答案】A

【解析】对A,因为8x75%=6,当x=13,八名选手成绩从小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故该八名选手成绩的第75%百分位数为旦”詈竺=13.155,但

X=13N13.15,故A错误；

对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确;

对C,当x<12.9,极差为13.24-x>0.34,不符合题意舍去；

当12.90MxM13.24,极差为13.24-12.9=0.34,符合题意

3^>13.24,极差为x-12.9>0.34不符合题意舍去，综上，12.90<x<13.24,C正确;

j皿d12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+X.切〜斗八—

对D,平均数为-----------------------------------------=13.095,解得x=13.15,故D正确.

O

故选：A

4.在OBC中，C=1,AB=®AC+BC=5,则“8C的面积为()

A.4GB.2A/3C.38D.73

【答案】D

【解析】在中，C=—,AB-C->/?3,AC+BC=b+a=5,

由余弦定理可得c2=/+6?-2a6coslab-ab,解得出?=4,

所以S='a6sinC=4*—=^3>

MSC2322

故选：D

兀]/

5.已知Q<B<a<一,sinasin/?=—,coscrcos/?=一,则cos2a=)

D.1

【答案】A

【解析】已知sinasin/?=历,cosacos/=m，

714

贝Icos(6r-/7)=cosacos/?+sinsin/?=—+—=—,

713

cos(tz+/7)=cosacos-sin6zsin=---=—,

兀71

'：Q</3<a<—,/.0<cr-/?<—,0<6Z+/7<TI,

贝！Jsin(a-P)-^/l-cos2(6r-/7)=g,sin(a+0)=^/l-cos2(6Z+y0)=—,

则cos2a=cos[(a+£)+(a-/7)]=cos(a+/7)cos(a-0-sin(a+sin(a-尸)

与一x3=o.

5555

故选：A.

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3

个场馆48,C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆3仅有2名

志愿者的概率为（）

3

D.

4

【答案】B

【解析】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为

2

甲去场馆42,C的概率相等，所以甲去场馆3或C的总数为150x§=100,

甲不去场馆A,分两种情况讨论,

情形一，甲去场馆B,场馆B有两名志愿者共有C：C；W=24种;

情形二，甲去场馆C,场馆3场馆C均有两人共有C；C；=12种,

场馆B场馆A均有两人共有C；=6种，所以甲不去场馆A时，

场馆3仅有2名志愿者的概率为竺版上=急=合.

故选：B.

TT

7.在平行四边形/BCD中，AB=2AD=4,ABAD=-,E,H分别为48,的中点，将V4DE沿直线

OE折起，构成如图所示的四棱锥4-尸为4c的中点，则下列说法不正确的是（）

B.四棱锥4体积的最大值为3

C.无论如何折叠都无法满足⑷。_L8C

D.三棱锥4-表面积的最大值为2月+4

【答案】C

【解析】选项A,平行四边形”3C。,所以2E//D8,又/2=2/。=4,瓦以分别为/瓦。。中点，所以

BE=D”,即四边形BEDH为平行四边，所以8〃/,又AWO平面u平面A^DE，所以昉7/平

面/DE，又尸是HC中点，所以又尸平面/5>E,/Z>u平面期OE,所以9//平面4力£,又

FHC]BH=Hu平面BHF,所以平面BHF//平面A，DE,故A正确；

TT

选项B,当平面平面BCDE,四棱锥力-BCDE的体积最大，因为/B4D=§,所以最大值为

1I—(2+4)Xy/3itT

K=-XV3X-^------1----=3，故B正确；

32

选项C,根据题意可得，只要,H5nDB=B,H5,5Z)u平面所以3cl平面

4DB,即5C_LH。,故C错误；

选项D,当£〃，H£,根据对称性可得。此时的面积最大，因此三棱锥©-£>£//表

面积最大，最大值为s=S.ADE+S..H+S.D£H+S/郎=|x2x73x2+1x2x2x2=273+4，选项D正确.

故选：C

8.曲线C是平面内与三个定点片(TO),6(1,0)和鸟(0,1)的距离的和等于2万的点的轨迹.给出下列四个

结论：

①曲线C关于x轴、N轴均对称；

②曲线C上存在点尸，使得户闾=半；

③若点P在曲线C上，则△与尸耳的面积最大值是1；

④曲线C上存在点P,使得/耳尸鸟为钝角.

其中所有正确结论的序号是()

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

【答案】C

【解析】设曲线C上任意一点尸(x,y),由题意可知C的方程为

-^(x+1)2+y2+-^(x-1)2+y2+不x2=2^/2.

①错误，在此方程中用-x取代x,方程不变，可知C关于V轴对称；

同理用r取代V,方程改变，可知C不关于x轴对称，故①错误.

②错误，若忸尸3卜孚，则附|+附|=殍<阳阊=2,

曲线C不存在，故②错误.

③正确，|尸耳|+|尸用W尸耳|+|尸刃+忸阊=2a,

丫2

尸应该在椭圆D：彳+丁=1内(含边界)，

曲线C与椭圆。有唯一的公共点鸟(0,1),此时忸图=2,|。阊=1,

当点P为月点时，△片仍的面积最大，最大值是1,故③正确；

④正确，由③可知，取曲线C上点此时/用荣,=90。，

下面在曲线C上再寻找一个特殊点P(0j),0<y<l,

贝!)2止+F+「y=2也，

把2^1+丁=2亚一l+y两边平方,

整理得3/+(2-4扬了+4/-5=0,

解得尸4也-2±(8-4扬,即k1或三.

63

因为0<拽二则取点尸。,空二1］,

3I3)

此时/耳尸£>90°.故④正确.

故答案为：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=cos4%+26sinxcosx-sin'x,则下列说法正确的是()

A.最小正周期为九

B.函数/(%)在区间(-兀，兀)内有6个零点

C./(X)的图象关于点］1,o］对称

D.将〃x)的图象向左平移弓个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在［0用上的最大值为g⑼，贝/

的最大值为?

0

【答案】AD

【解析】/(X)=COS4X+2A/3sinxcosx-sin4x

二(cos2x-sin2%)(cos？x+sin2x)+2百sinxcosx

=cos2x+A/3sin2x

=2sin(2x+£

对于A：T=—=n,A正确；

对于B：当F<x<7t时，-坐<2x+2〈学，则2x+C分别取-私0,兀,2兀时对于的X的值为函数〃x)在区

6666

间(-兀，兀)上的零点，只有4个，B错误;

对于C：/S=2sin2x^+7=2$访弓=百片0,故点二,0不是〃x)的对称中心，C错误;

V127V12o/3)

7t

对于D：由已知g(x)=2sin+=2cos2x+—

6I6

TTJTTT

当时，一W2xH——,/>0,

666

因为g(x)在［Oj］上的最大值为g(o)=2cosm

0

TT11JTST?

所以N+Jw—,解得0</49,D正确.

故选：AD.

已知直线/:)与圆：+「=交于点,点、尸中点为。,

10.(a+2x—(a+l)y—1=0C/4A,B(1,1),48

则()

A.|48|的最小值为W5

B.恒司的最大值为4

C.莎.而为定值

D.存在定点M,使得|九@|为定值

【答案】ACD

［解析］直线/：(a+2)x-(a+l)y—1=0,即a(x—y)+2x-y-1=0,

故直线过定点尸(1,1),且圆C:一+r=4的圆心为(0,0),半径为2,

­/12+12<4>故尸(1」)在圆。内，

对于A,当CP和直线/垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=|cp|=J5,

此时以用最小，=244^=2JL故A正确；

对于B,当|幺同=4时，48为圆的直径，此时直线过圆心，

•.•（。+2）*0-（。+1）义0-1=0方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；

对于C,设4（再,必）,3（%2，%），则

PZ•尸3=（七一1）（义一1）+（%—1）（%—1）=,％一（项+%）+%%—（必+%）+2,

当直线/斜率不存在时，l；X=l,联立圆=4得，y=±5

止匕时万•方=1—3—2+2=—2

当直线/斜率存在时，设直线歹―1=左（》—1）,联立圆。：/+/=4,

得/+[左（x—1）+17=4,即（r+1）%2+（2左一2/）x+/—2左一3=0,

-2k—2k2

x+x=-------

]127F+l

••）c，

k2-2k-3

Mx。=----；-----

I12k2+l

%+=左（X]+9）+2—2左，

%%=[%（石—+[左—1）+1]=左2国》2+（左一左一）（X]+/）+（1—k）一,

PA-PB=X[X,—（X]+%）+必%—（％+必）+2=（左，+1）X]X,—（左~+1）（X]+X,）+k+1,

带入得：PA-PB^k2-2k-3+2k-2k2+k2+1=-2，

故方•而为定值-2，故C正确；

对于D,N3中点为。，故C。，23,且尸（U）在4g上，

所以C。，尸。，故APQC是直角三角形，

当M为尸C中点[g,：]时，]〃。|=3尸。|=字为定值，故D正确.

故选：ACD

11.已知函数/（x）及其导函数/'（X）的定义域均为R,若“X）是奇函数，/（2）=-/（1）^0,且对任意

x/eR,/(x+y)=/(x)/,(y)+/,(x)/(j),则()

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

C.2/(左)=1D.£/(左)=T

左=1&'=1

【答案】ABD

【解析】因为f(x+y)=/(x)八力+。(0/(力,

令x=y=l得：〃2)=2〃1)八1),又因为〃2)=-〃1)/0,所以广(1)=一；，故A正确;

因为/(x)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,且/'(x)为偶函数.

令尸1,可得:/(x+i)=/(x)r(i)+r(x)/(i)@

再用一%代替x可得:/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-^)/(i)=-/W/,(1)+//W/(1)

=/⑴-r(x)/⑴②

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)^/(x+l)=-/(x)-/(x-l)

所以：/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

/(x+3)=-/(^+2)-/(x+l)=/(x+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以〃x)是周期为3的周期函数，所以：/(6)=/(3)=/(0)=0,故B正确.

因为:/(0)=0,/(2)=-/(1)^/(1)+/(2)=0,所以:/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：2y㈤=674X[/(1)+〃2)+〃3)]+[/(1)+〃2)]=0,故C错误；

k=\

又因为/'(无)亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以广(-2)=/<1)=/''⑵

令x=i,y=o可得：/(1)=/(i)r(o)+r(i)/(o)r(o)=i=r(3)-

所以/'⑴+/'(2)+/'(3)=0.

2024

所以：£/")=674x[r⑴+/⑵+/")]+[/(1)+八2)]=-1.故口正确.

k=\

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

•2023_

12.若复数z=^—,则「=_________

l-2i

【答案】I

•2023-2023_•-i(l+2i)2i._2+i—1

【解析】••,z=—,.-.z==-、一、,则zz=一

1-21l-2i1-21(l-2i)(l+2i)5555

a—2c

13.已知三个实数a、b、c,当c>0时，6V2a+3c且灰;=",则的取值范围是

b

【答案】f

【解析】当。>0时满足：儿2a+3c且6c=/,

„2a+3c,BPa2-lac—3c2<0,®ffO(_)2-2•--3„0,解得一1”3,3.

cccc

c1c

所以二2;或£4-1,

⑺=一2〃+/=一21一；）+1>

由于代!,+°o^u（-co-l]

所以在fe（一如-1]单调递增，在/eg,+coj单调递减，

当f时，当”一1时，/（-1）=-3,

所以〃

故答案为：（一°01•

14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间

部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为

【答案】487r

【解析】如图:

设。为正四面体尸—45C的外接球球心，Q为△N4G的中心,H为A4BC的中心，M为BC的中点,

因为正四面体尸—48C棱长为8,易得尸平面N8C,

易得=3x8=生叵，P//，平面48。，2/7匚平面88,

33

则PH1AH,PH=Js2-(—)2=—，

由正四面体外接球球心为0,则。在,则。尸=CM=R为外接球半径，

由282+。,2=8。2得(孚)2+(半一尺)2=小，解得R=2血，

即P0=2屈,

在正四面体尸—4片。1中，易得4a=g,22—俨=与,尸a=小二半=半，所以

4^/6

00[=P0—P0[亍

则该八面体的外接球半径4。="0；+40；=26,

所以该球形容器表面积的最小值为4兀=4871.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数g(x)=；/-ax?-2xlnx+2x.

(1)当。=1时，求g(x)的图象在点(l,g(D)处的切线方程；

⑵若g，(x)N0,求实数。的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，g(x)=—x4-x2-2xlnx+2x,求导得g，(x)=--2x-21nx,

5S9

贝Ug'⑴=T，而g⑴=工，于是＞-^=一("-1)，即x+y-*=0,

9

所以g(x)的图象在点处的切线方程是x+y-a=0.

(2)函数g(x)=；%4一办2—2x]nx+2x定义域为(0,+8),求导得/(%)=d—2q%—21nx,

0ITI丫O]nv

由g'(x)NO,得令/(x)=、2—£^,%>o,

XX

求导得/'(x)=2%-2~2bx=2/+2?X-2，令函数以X)=2x3+2InX-2,X>0,

XX

显然函数〃(X)在(0,+8)上单调递增，而〃(1)=0,则当0<x<l时,h(x)<0,/'(无)<0,

当x>l时，h(x)>0,f'(x)>0,函数，(x)在(0,1)上递减，在(1,+◎上递增，/«in=/(1)=1,

因此2a<1,解得Q4/,

所以实数。的取值范围是

22

16.(15分)已知椭圆C:=+2=l(">6>0)的右焦点与与抛物线/=4x的焦点重合，且其离心率为1;.

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知与坐标轴不垂直的直线/与椭圆C交于M,N两点,线段九W的中点为P,求证kMN-kOP为坐

标原点)为定值.

【解析】(1)..•抛物线/=4x的焦点为(1,0),

•••椭圆C的半焦距为c=l,

c1__________

又e=—=不，得。=2，b=\Ja2—c2=V3-

a2

22

J椭圆。的方程为土+匕=1

43

(2)证明：由题意可知，直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=h+加(左。0),

y=kx+m

22

联立Xy,得(3+4左2)12+8左加x+4加2_]2=0

143

A>0,即加2<4左2+3,

设N(x2,y2),

rm8hnj/\c6m

则3+/=_2，=后(=+工2)+2加=R，

3-r^TKJ十^TK

.「4km3m)

「二中，二中J

3m

一3+4a2=3

4km4k'

-3+4后2

3

•,^MN-k（）p=-W为定值

17.(15分)如图，在正四棱台/8CD-4片GA中，AB=2AlBl^4.

(1)求证：平面48CD1平面/CC/i；

(2)若直线BXC与平面ACC.A,所成角的正切值为正,求二面角B-CC.-A的正弦值.

6

【解析】(1)延长441,8综CG，。。］交于一点P,连接AD交/C于O；

由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点尸，且四棱锥P-/BCD为正四棱锥,

^PA=PB=PC^PD,又点。分别为NC双)的中点，

故尸。L/C,P。，8。，^jAC^BD=O,4。,3。€1平面480),

故尸。/平面/BCD,又尸。u平面NCG4,

故平面ZCC/1，平面/BCD,即平面/8。。4平面/。。［4；

（2）由（1）知。4。2,。P两两垂直，

故分别以方，砺，而为x，%z轴建立空间直角坐标系，

设棱台的高为h,则C卜2立,0,0）,片（0,血,，,B（0,2^,0），G（-72,0,/z）,

又平面/CO/的法向量可取为成=（0,1,0），而束=卜2贬,-也,，

由题意知直线qC与平面/CJ4所成角的正切值为也，

6

曲＞1

则其正弦值为府赤;而’

\m-B^C\y［21

则sin6=解得〃=4,

加H配「赤奇一而

r/、8c・万=-2缶-2岳=0

设平面2CC4的法向量为〃=,贝I]_-

BB}-n=-V2j?+4z=0

令z=l,贝U万=(-2行

\m-n\2^2

故cos〈流元〉=KT=y,而二面角范围为［0,兀］,

\m\-\n\V17

故二面角B-CG-4的正弦值为1一（签了=独I

\V1717

18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙

餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据a=0.100

的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

就餐区域

性别合计

南区北区

男331043

女38745

合计711788

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为g；如果前一天

12

在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为鼻，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐

厅的概率均为;.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为,，

2442

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；

(ii)