重要的几何模型之中点模型（一）（解析版）-2024年中考数学常见几何模型

重要的几何模型之中点模型（-）

中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、

圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往

往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。

常见的中点模型:①垂直平分线模型;②等腰三角形“三线合一”模型;⑧“平行线+中点”构造全等或相似

模型（与倍长中线峰似）;④直角三角形斜边中点模型;⑤中位线模型;⑥中点四边形模型。本专题就中点模

型的后三类模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。

模型1:垂直四线

定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

如图，在三角形4BC中，且。为BC中点，则=

AA

模型运用条件:当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。

血（2023•河北廊坊•校考三模）如图，已知在菱形ABCD中，连接对角线力。，作BC边的垂直平分线EF,分

别交B。、力。、AD于点F、Q、E,若/EQD=21°,则/CAB的度数是（）

A.21°B.37°C.42°D.69°

【答案】B

【分析】如图，连接QB,证明QD=QB=QC,AADQ=90°-21°=69°,设4QDC=AQCD=2,证明D4

=DC,AB//CD,ABAC=ADAC=/ACO=①，可得/BAD+AADC=180°,再建立方程求解即可.

【详解】解:如图,连接QB,由菱形的对称性可得:DQ=BQ,

由作图可得:EF是BC的垂直平分线，,QB=QC,NQED=90°,而NEQD=21°,

QD—QB—QC,Z.ADQ—90°—21°=69°,设Z.QDC—Z.QCD=x,

•：菱形ABCD,；.DA=DC,ABIICD,ABAC=ADACAACD^x,

：./BAD+ZADC=180°,2«+69+o;=180，解得：2=37,二/CAB=37°;故选B

【点睛】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用方程

思想解题是关键.

吼2（2。23上•江西南昌•八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B两点为圆心

（LB的长为半径画圆弧，两弧相交于点此N,则人此。的周长为（）

【答案】A

【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质.熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键.

由作图可知，AiN垂直平分则DA=_DB,根据△BDC的周长为DB+DC+BC=AC+BC,计算求

解即可.

【详解】解：由作图可知,2W垂直平分AB,DA=DB,

的周长为DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.故选：A.

的3（2023•山东济南・统考二模）如图，在4ABC中，/ACB=90°,ABAC=15°,分别以A、B为圆心，大于

^AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两？点,作直线MN交AC于。点，若AD=2,则△ABC的面积为

（）

•M

【答案】8

【分析】连接，由作法得儿W垂直平分线AB,由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得

AABD=ABAD=15°,由三角形外角的性质得到ZBDC=30°,根据含30度直角三角形的性质和勾股定

理求出BC,CD,根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积.

【详解】解:连接BD,由作法得垂直平分线AB,：.AD=BD=2,

：.NABD=/BAD=15°,A2BDC=AABD+ABAD=30°,

在Rt"CD中，2BDC=30°,BD=2,BC=^BD=1,

CD=y/BD2-BC2=通，.IAC=2+通，

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质和勾股定理等知

识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键.

四4（2023上•辽宁营口•八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，90°,ABAC=30°,AB=U,AD

平分/BAG,点PQ分别是4B,AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是.

【分析】作点P关于直线AD的对称点P,连接PP、QP,根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得PQ

=PQ,则欲求PQ+BQ的最小值即为P'Q+BQ的最小值，即BP的最小值，则当BP_LAC时，BP即

/Q+BQ的值最小，最小值为BC的长.

【详解】解:如图，作点P关于直线AD的对称点尸，连接PP、QP,

AD是P、P的对称轴，即49是线段PP'的垂直平分线，,PQ=PQ,

：.PQ+BQ的最小值即为P'Q+BQ的最小值，即BP的最小值，

当BP_LAC时，BP即PQ+BQ的值最小，此时Q与。重合，P与。重合，最小值为BC的长,

•.•在△ABC中，/C=90°,ZBAC=30o,AB=14,•M

.♦.BC=9AB=7,.•.PQ+BQ的最小值是7.故答案为：7.

【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的

直角三角形的性质，解题关键是找出点P、Q的位置.

的5（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，AABC中，90°,点。在AC边上,连接BD,点、E是AB

的中点，EF，AB交BC于点F,4EFB=2ZCBD,若AE=5,CD=4,则CF的长为.

【答案”

4

【分析】设ZCBD=a,NBFE=2a=/BAC,延长AC至点T,使CT=CD,连接BT,AF,先证明△CBD

名△CBT(SAS)，得CT=CD=4,设CF=m,BF=AF=8一小,再在Rt/SACF中，根据勾股定理即可.

【详解】解：•.•点E是4B的中点，.•.4B=2AE=10,

•.•△48。中，/。=90°,EF_L4B交BC于点F,

ZA+AABC=90°,ABFE+AABC=90°,4BFE=ABAC,

设NCBD=a,ZBFE=2a=/BAC,延长AC至点T,使CT=CD,连接BT,AF,

•.•点七是AB的中点，EF_LAB,.•.AF=B尸，

•//BCD=ZBCT=90°,BC=BC,：.ACBD空/XCBT（SAS）,

:.CT=CD=4,ZBDC=/T=ABAC+/ABD=2a+ZABD=NABT,：.AT^AB^10,

AC=AT-CT=10-4=6,BC=AB2-AC2=V102-62=8,

设CF=m,BF=AF=8-nz,RtZVICF中，/ACF=90°,

勾股定理得：CF2+AC2=AF2,m2+62=（8-nz>,解得：巾=+,故0F的长为V.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是本题的

关键.

的6（2023上•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）如图，在4ABC中，/R4C为钝角，边48,AC的垂直平分

线分别交BC于点O,E.

•M

G

A

B-D

（1）若BD2+CE2^DE2,求ABAC的大小；（2）若/ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于

点F,过点F作FG垂直于BA的延长线于点G,求证:BC—AB=2AG.

【答案】（1）135°（2）证明见解析

［分析】⑴如图1,连接AD,AE,由垂直平分线的性质可知AD=BD,AE=CE,由BD2+CE2^DE2,可

得AD~+AE2=DE2，则△4DE为直角三角形，且ADAE=90°,由三角形内角和，三角形外角的性质可求

NABD+/AGE=45°,根据ABAC=180°—（/ABD+/ACE）,计算求解即可；

（2）如图2,在BC上截取使3河=48,连接FA,FC,作FN_LBC于N,则NABF=NMBF,

FG=FN,证明/\ABF空AMBF（SAS）,由等腰三角形的判定与性质可得MN=CN=寺CM,证明

RtAAGFgRt公CNF（HL），则AG=CN==CM,BC-AB=BC-BM=CM=2AG,进而结论得证.

【详解】（1）解:如图1,连接AD,AE,

,:DH、EF为迈AB,力。的垂直平分线，

：.AD=BD,AE=CE,：.ABAD=AABD,NCAE=2ACE,

•：BD2+CE2=DE2,：.AD2+AE2=DE2,

：./\ADE为直角三角形，且ADAE=90°，二/ADE+ZAED=90°,

NADE=ABAD+/ABD=2^ABD,NAED=/CAE+NACE=24ACE,

2/ABD+2NACE=90°，即NABD+NACE=45°,/.ABAC=180°-(/ABD+NACE)=135°;

(2)证明：如图2,在BC上截取BA"使AB,连接FM,FA,FC,作FN1BC于N,

BF是/AB。的平分线,FGLBG,FNA.BC,：.NABF=NMBF,FG=FN,

■：AB=BM,AABF=AMBF,BF=BF,：./\ABFZ4MBF(SAS),：.FA^FM,

•.•E尸是AC的垂直平分线，:.FA=FC,：.FC=FM,：.MN=CN*CM,

•：FA=FC,FG=FN,：.Rt^AGF空Rt4CNF(HL),：.AG=CN=-CM,

：.BC-AB=BC-BM=CM=2AG,：.BC-AB^2AG.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平

分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质.熟练掌握垂直平分线的性质，勾股定

理的逆定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三

角形的判定与性质是解题的关键.

模型2：等腰三角形的“三线合一”

定理:等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。

AA

如图,等腰三角形48。中，AB=AC,。为BC边上的中点,则ABAD=/CAD,AD±BC,BD=CD。

模型运用条件:等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。

题7（2023•河南驻马店•校考三模）如图，在中，分别以点4C为圆心，以大于yAC的长为半径作弧,

两弧相交于点河，N,作直线上W交4。于点。，交BC于点以连接AE.则下列结论不一定正确的是

（）

A.AB=AEB.AD=CDC.AE=CED.NAED=NCED

【答案】A

【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可.

【详解】由作图可知，儿W垂直平分线段AC,：.AD=DC,EA=EC,ZADE=ZCDE=90°,

.♦.乙=（等腰三角形“三线合一”）故选项B,正确，故选：A.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形“三线合一”性质，正确掌握线段垂直平分线的

性质是解题关键.

吼巨（2023・山东济宁・统考二模）如图，A4BC中，AB=AC,AO平分/BAG,点H是AC的中点.若AD=

12,3。=10,则。豆的长是（）

•M

A

【答案】。

【分析】先由三线合一定理得到AD_LBC,囱？=。0=。3。=5,再由勾股定理求出AB=13,最后证明

DE是4ABC的中位线，即可得到DE=^-AB=苧.

【详解】解：•••4B=4。，4D平分/BAC,

AD工BC,BD=CD=^BC=5,.「4、。为BC的中点，

在Rt/\ABD，由勾股定理得AB=-JAEP+BD1=13,

•.•点E是AC的中点，.•.£）£；是△ABC的中位线，.•.。七=/人3=号，故选。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题

的关键.

的9（2023•广东梅州•九年级校联考期末）如图，已知AAOB=60°,点P在边。4上，OP=12,点M,N在边

OB上，PM=PN,若MN=2,则OM=_.

【分析】过P作PDLOB,交OB于点。，先说明ZOPD=30°,再根据含30度直角三角形的性质可得OD

的长；由PM=PN,利用等腰三角形三线合一可得D为MN中点、,再根据MN录出的长，最后根据

OM=OD-MD即可解答.

【详解】解:如图：过P作PD_LOB交OB于点。，

•M

在Rt/\OPD中，AAOB=60°AOPD=30°,VOP=12,/.OD=}OP=6,

•：PM=PN,PDJLMN,MN=2,：.MD=ND=qMN=\,

：.OM=OD-MD=6-1=5.故答案为：5.

【点睛】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的

性质是解本题的关键.

血］10（2023上•重庆渝中•八年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，=延长BC至点。，使得.BD

=/出,过点。作。£，4。,垂足为七,延长。£至点尸,连接6打,若/人39=22人。及48=12.5,5皿

=75,则OF=.

【答案】24

【分析】过点A作AG_LBC于点G,过点B作BH±DF于点H,设ZABC=乙4cB=a,根据三角形内

角和定理求出/BDA的度数,的度数，于是求出/ADE的度数，根据乙4BF=2/ADE即可求出

乙4BF的度数，根据周角的定义求出/DBF,于是可求出/BED的度数，从而得出△BED是等腰三角形，

再证ADBH和AACG全等得出4G,根据△ABD的面积求出入G的长，于是得出08的长，再根据

等腰三角形三线合一即可求出DF的长.

【详解】解:如图，过点A作AG_LBC于点G,过点B作BH_LDF于点、H,

•/AB=AC,2ABe=ZACB,设2ABe=ZACB=a,

BD=AB,；.ABAD=ABDA=-1-(180o-AABC)=90°--a,

•：DE_LAC,：.AAED=90°,又•/ADCE=NACB=a,：.ABDE=90°-ADCE=90°-a,

NADE=ZBDA+NBDE=90°--a+90°-a=180°--a

AABF=2ZADE,：.4ABF=2(180°-a)=360°-3a

AZDBF=360°-AABF-NABC=360°-(360°—3a)-a=2a,

在ABED中，NBFD=180°-ZBDF-ADBF=180°-(90°-a)-2a=90°-a,

•••

2BFD=ABDF,/.BF=BD,即△BED是等腰三角形,

由等腰三角形三线合一的性质得4DBH=J/DBF=告x2a=a

,/AB=AC,BD=AB,AB=12.5,BD=AC=12.5,

在ADBH和△ACG中，ZDBH=4ACG=a,4BHD=4CGA=90°,DB=AC,

：./XDBH法△ACG（AAS）,；.DH=AG,

•/S^BD=75,BD=12.5,.AG=75AG=12,ADH^12,

•.•△BED是等腰三角形，8H_LDF,DF=2DH=24,故答案为：24.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积

公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键.

吼旦（2023上•山东荷泽•九年级统考期中）如图，在△48。中，AB=AC=13,BC=10,点。为反7的中点,

DELAB于点E,则tan/BDE的值为（）

【答案】。

【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质.

此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.连接AD,由△ABC中，AB=

47=13,BC=10，。为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质,可证得AD±BC,再利用勾股定理,

求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tanZBAD，然后根据同角的余角相等得

出Z.BDE—Z.BAD,于是tanNBDE—tanZBAD.

【详解】解:连接AD,

•/△ABC中,AB=AC=13,BC=10,。为3。中点，

AAD_LBC,BD=3BC=5，,AD=A/AB2-BZ?2=12，,tanABAD=粤=磊.

/2T.1.Z-LZ

AD±BC,DEYAB,：.NBDE+NADE=90°,ABAD+NADE=90°,

ZBDE=ABAD,：.tan^BDE=tanZBAD=--.故选：C.

的12（2023•黑龙江・统考三模）如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,/BAD=90°,作OE，AC于点

E,OE=8,连接BE,BE=BC,则AE的长为（）

A

A.10B.8C.6D.4

【答案】。

【分析】过点F作BF，AC交力。与点F,根据等腰三角形的性质得出CF=EF,根据同角的余角相等易

证△ABF=,根据全等三角形的性质得出AF=DE=8,设AE=①，则力C=4D=Va：2+82,从而

得出4F=o+-，,再将AF=8建立方程,求解即可得出答案.

【详解】解：过点F作BF，AC交力。与点F,

■：BE=BC,CF=EF-：ABAD=90°,DE^AC

/EDA+NDAE=90°,NDAE+/FAB=90°/./FAB=/EDA

(AAFB=ZDEA

在AABF和ADAE中(AFAB=/EDA：./\ABF会/\DAE：.AF=DE=8,

[AB=DA

设=则AC^AD^y/AE'2+DE2=V^+85

AF=AE+FE=x+婚+一匹,.../+—，=

rAF=88

2x+Ja?+64—a;=16;Va：2+64=16—z;.'.x=6

经检验t=6符合题意，即AE=6,故选。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、无理方程，熟练掌握性质定

理是解题的关键.

模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型

我们把这种情况叫做不1间夹中点.处理这种情况的一般方法是:延长过中点的线段和平行线相交,即“延长

中线交平行”

如图，AB〃CD,点E是BC的中点，可延长OE交AB于点F。

模型运用条件:构造8字型全等（平行线夹中点）。

血]13（2023上•天津西青・八年级统考期末）如图，已知等边△AB。,过AB边上一点P作于点E,

点Q为BC延长线上一点，取PA=CQ,连接PQ,交AC于河，已知的长为2,则等边三角形△ABC

的边长为.

【答案】4

【详解】过P作PF〃口。交力。于F,如图所示:

•.•PF〃BG,△ABC是等边三角形，/.LPFM=2QCM,AAPF=ZB=AAFP=Z.ACB=ZA=60°,

.•.△APF是等边三角形，.•.>1P=PF=FA,•.•PE_L?1。，：.AE=EF=^AF,-：PA=CQ,：.PF=

CQ,

（APFM^AQCM

在△PFM和△QCM中，//LPMF=AQMC,：.^PFM=AQCM（AAS）,/.FM=CM=yFC,

[PF^CQ2

.•.£酎=七尸+'=寺”+京0=104?+/。）=^40,二百二？，.一。二七故答案为：4.

【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线

的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键.

题14（2023•山东济南•校联考一模）如图,在菱形ABCD中，E、F分别是AB、边的中点，EPLCD于点

P,/BAD=110°,则/FPC的度数是（）

•M

A.35°B.45°C.50°D.55°

【答案】。

【分析】延长PF、EB交于点G;连接EF,根据菱形的性质易证ABGF空△CPF,根据全等三角形的性质

可得PF=GF,即可得点F为PG的中点，又因NGEP=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半可得FP=FG=FE,所以ZFPC=AFGB=NGEF;连接AC,即可得2GEF=/BAC=^ABAD

=55°,所以NFPC的度数是55°.

【详解】延长PF、EB交于点G;连接EF,

•/四边形ABCD是菱形，AG〃DC,：.ZGBF=ZPCF,

（NGBF=NPCF

是BC中点，.•.BF=CF,在△BGF和△CPF中，,

[/BFG=2CFP

：.ABGFW△CPF,PF=GF,.•.点F为PG的中点，

•：^GEP=90°,：.FP=FG=FE,：.AFPC=ZFGB=ZGEF,

连接47,则ZGEF=ZBAC=^-ZBAD=55°,"PC的度数是55°.故选D

【点睛】本题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键.

血]15（2023•天津•中考真题）如图，LJABCD的顶点。在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G

为。E的中点，连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为.

F

ABE

【答案居

【分析】延长DC交EF于点、见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM■是等边三角

形,BF=BE=EF=BC+CP=5,可求出CF=CM=MF=2,可得C、G是DM和DE的中点，根据中

位线的性质，可得出CG=5刚/,代入数值即可得出答案.

•••

【详解】解:如下图所示，延长交于点AD=3,AB=CF=2,

•.•平行四边形ABCD的顶点。在等边ABSF的边上，

：.DM〃AE,：.4CMF是等近三面形，：.AB=CF=CM=MF=2.

在平行四边形ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,

文,；4BEF是等近三角形，；.BF=BE=EF=BC+CF=3+2=5,：.EM=EF-MF=5—2=3.

G为。E的中点，8=67以=2,二。是DM■的中点，且CG是ADEM■的中位线，

:.CG=^EM=菅.故答案为：得.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长。。交EF于点河，利用

平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG是ADEM的中位线是解题的关键.

网］16(2023下•重庆黔江•八年级统考期末)矩形ABCD与矩形CEFG,如图放置，点B,C,E共线，点C,

E共线，连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()

【答案】B

【分析】延长GH交AD于加点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1,BC=EF=CG=3,跳;〃AD〃

FG,推出DG=CG—CD=2,NHAM=AHFG,由ASA证得AAMH咨AFGH，得出AM^FG=1,

7WH=GH,则MD=AD-4W=2,在Rt/\MDG中，根据勾股定理可得GAI,即可得出结果.

【详解】解:如图，延长GH交AD于点”，

•.•四边形ABCD与四边形CEFG鄢是矩形，：.CD=CE=FG=\,BC=EF=CG=2,BE"AD"FG,

：.DG=CG-CD=2-1=1,NHAM=NHFG,；点、H为AF的中点，：.AH=FH,

(ZHAM=ZHFG

在AAMH和AFGH中，•：(AH=FH,：.4AMHg4FGH(ASA),：.AM=FG=1,MH=GH,

[ZAHM=AFHG

MD=AD-AM=2-1=1,在Rt/XMDG中，GM=y/MD2+DG2=V2,：.GH=*.故选:

B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明

三角形全等是解题的关键.

血］17(2023•浙江宁波•校联考一模)如图，在平行四边形4BCD中,CD=2AD,BE垂直4D于点E,F为

的中点，连接EF,BF,下列结论(1)/ABC=2/4BF；(2)/DEF+/EBF=90°；(3)S四边形=

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【分析】延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H连接FH,根据四边形ABCD是平行四边形，CD=

2AD,F为。。的中点，可证明4DFE名ACFG(ASA)，则EF=FG,BE_LBG,又由H是AB的中点，得

FH=AD==CF=BC,所以四边形BCFH是菱形,通过这些条件，即可解决问题.

【详解】如图，延长EF交3C的延长线于G,取AB的中点H,连接FH,则AH=BH,

(1)VCD=2AD,DF=FC,：.CF=CB：.ACFB=ACBF

■：四边形ABCD是平行四边形CDIIAB：.ZCFB=AFBA

：.NCBF=NFBA：.2/ABF,故(1)正确；

⑵；四边形ABCD是平行四边形/.AD//BC：.AD=ZFCG

■：F为。。的中点，；.DF=CF在ADFE和4CFG中,

(ZD=ZFCG

■：\DF^CF，:.ADFEZ/\CFG(ASA)：.FE=FG-：BE_LAD：.NDEB=AAEB=90°

\/DFE=/CFG

■：AD//BC：.NAEB=ZEBG=90°/.BF=春EG=EF：.4BEF=ZEBF

•：ADEF+ZBEF=90°/.NDEF+NEBF=90°,故⑵正确；

(3)S^J)FE—SACFG,••S四边形DEBC~^/^EBG~2sAsm，故⑶正确；

⑷；AH=HB,DF=CF,AB=CD：.CF=BH•：CFIIBH：.四边形BCFH是菱形：.ZBFC=ABFH

；FE=FB,FH//AD,BE±AD：.FH±BE：.NBFH=2EFH=NDEF

：.2CFE=3/DEF,故(4)正确；其中正确结论的个数共有4个,故选D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中

的压轴题.•••

的18（2023・吉林长春・统考三模）【感知】如图①，正方形4BCD中，点F在BC边上,AE平分/D4F.若我

们分别延长力E与BC,交于点G,则易证AF=FG.（不需要证明）

【探究】如图②，在矩形ABCD中，点E在CD边的中点，点F在边上，AE平分ZDAF.求证：AF=

4D+FC.【应用】在【探究】的条件下，若4D=6,DE=2,直接写出FC的长.

【答案】【感知】见解析;【探究】见解析;【应用

（分析】感知:如图①,根据平行线的性质和角平分线的定义可得出结论；

探究：如题②，作辅助线，证明△AED空△GEC,得到AD=CG=BC,再由感知中得到AF=FG,可得出

结论；

应用：设FC=2，则A歹=2+6,BF=6—c,由勾股定理列方程可得结论.

【详解】感知：证明：如图①•.•四边形ABCD是正方形，二AD//BC,：.NDAE=/G,

•••AE平分/ZMF,/.ZDAE=AFAG,：.ZFAG=ZG,：.AF=FG.

探究：解:如图，分别延长AE与BC,交于点G.

•.•点E是CD边的中点，:.DE=EC;；矩形ABCD,：.AD=BC,ZADE=ZGCE=90°,

又NAED=AGEC,：.^AED=^GEC（ASA）,：.AD=CG=BC,/DAE=ZG,

AE是ZDAF的平分线，.•./E4F=ZDAE=/G,AF=FG=CG+FC=AD+FC.即AF=AD

+FC.

应用：解:加图②，设FC=c,则AF=x+6,BF=6—x,

•.•点E是。。的中点，OE=2,4,在Rt/XABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2,

（6+7）2=42+（6―域解得：2=春,二FC—卷.

OO

【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，掌握正方形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判

定以及全等三角形的判定和性质是解题的关键.

课后专项训练

［题目―（2023上•河北张家口•八年级统考期中）如图，在4ABC中，=90°,依据尺规作图痕迹,下列判断

正确的是（）

结论I：/CDE=/CAB；结论II：AB+EC=AC.

A

A.i,ii都对B.i对，n错c.i错，n对D.i,n都错

【答案】A

【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，AD为

ABAC的角平分线，DE为AC的垂线，可得△ABD星4AED，可判断结论II,再由ADCE+ACDE=90°,

ADCE+ZCAB=90°,可得结论I正确.

【详解】解：由尺规作图痕迹可知,AD为ABAC的角平分线，OE为的垂线，

民4D,△AED为直角三角形，二ZB=90°,/AED=90°,

(^DBA=/DEA

在△ABD和AAED中,《ABAD=ZEAD：./XABD笃/\AED(AAS)：.AB^AE,

[AD=AD

•：AE+EC=AC：.AB+EC=AC故结论II正确；

ADCE+ZCDS=90°,ADCE+/CAB=90°,4CDE=/CAB故结论I正确，故选：A.

题目可(2022.河北石家庄.校考模拟预测)如图，48是半圆。的直径，。为半圆上一点，4B=10,BC=6,

过。作交AC于点E,则CE的长为()

【答案】B

【分析】连接BE,由是半圆。的直径得到乙4cB=90°,则I。=NA&—BG=8,由题意可知E。垂直

平分则AE=BE,设CE=a;,则AE=BE=4C-CE=8—①，在Rt/\BCE中，由勾股定理得到BC2

+无2=迎2,即6?+4=(8—必门,求出力的值即可.

【详解】解：连接BE,如图所示：

AB是半圆。的直径，乙4cB=90°,AC=^AB'2-BC2=V102-62=8,

•.•过。作OE_LAB交入。于点E,O是AB的中点，.•.EO垂直平分AB,，人七二BE,

设CE=a;,则AE=BE=AC-CE=8—①,在Rt/SBCE中，BC2+CE2^BE2,即62+a;2=(8-a;)2,

16

解得,=即CE的长为］,故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是

直角是解题的关键.

［题目可（2022•安徽•合肥校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O,EP经过点。且EFLBD,

EF分别与交于点E,F,若AB=2,BC=4,则等于（）

【答案】A

【分析】连接BE,由矩形的性质可得OB=OD,4D=BC=4,ABAD=90°,由线段垂直平分线的性质可

得BE=DE=4D-AE,由勾股定理可得（4—AEf=2?+人炉，求解即可.

【详解】解:如图，连接BE,

•.•四边形ABCD是矩形，.•.OB=OD,AD=BC=4,=90°,

•：EF±BD,OB=OD,：.EF是BD的垂直平分线，；.BE=DE=AD-AE=4—AE,

在Rt^ABE中，BE2=AB2+AE2，则（4-AE）2=22+AE2,解得：AE=今,故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平分线

的性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

、题目⑷（2023•重庆九龙坡•校考三模）如图,正方形ABCD的边长为12,点石为BC边上一点,BE=4,点、F

为。。边上一动点，连接交于点G,连接AG,当AG=BG时，则FG的长为（）

A.'B.>C.詈D.5

【答案】。

【分析】通过作辅助线HG〃AD,以及等腰三角形三线合一、梯形中位线定理得出，HG的长，再经过勾股定

17

理及两个三角形相似计算出BG与RF长，最终得到答案.

【详解】解:作HG〃AD,

•.•在正方形ABCD中，_LAB,•力G=BG,AB=12,BH=^-AB=6,

在梯形ABED中，/为中点，且HG〃AO,BE=4,

：.HG=f（BE+AD）=8.根据勾股定理得：BG=y/HB2+HG2=10.

AB//CDAABF=ABFC,-：ABHG=ABCF=90°,：.AHBG〜ACFB（AA）

:.需=需，解■得BF=15,：.FG=BF-BG=15-10=5.故答案选D.

JDCk>r

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形中位线定理、相似三角形的判定及应

用等知识，其中相似三角形对应边成比例是解题的关键.

题目可（2023•陕西西安・校考三模）如图,在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,点。为BC的中点，

。£;，人5于点七,则$也乙8。£；的值为（）

【答案】A

【分析】连接AD,根据等腰三角形的性质得出BD=CD=yBC=12,AD，8。,进而可得ABAD=

/BOE,根据正弦的定义即可求解.

【详解】解:连接A。,如图所示，

R^——木——

•/AB=AC=13,BC=24,AD±BC,BD=CD=^-BC=12,/.ZB+ABAD=90°,

•/DE.LAB,：.ZB+4BDE=90°,ABAD=ABDE,sin/BDE=sinZBAD=察=署•故选：4

AB13

【点睛】本题考查了求角的正弦值，等腰三角形的性质，得出/B4D=ABDE是解题的关键.

题目⑥（2023•广西贵港・统考一模）如图,在平行四边形ABCD中，AD=2AB,F是BC的中点，作4E，

CD于点E,连接EF、AF,下列结论:①2ABAF=ABAD；②EF=AF；③S^ABF=S^AEF；④ABFE=

3ZCEF.其中一定成立的个数是（）

18

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

(分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行,再由全等三角形的判定得出△7WBF空

AECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案.

【详解】解:①F是BC的中点，BF=FC,

UABCD,AD=2AB,：.BC=2AB=2CD,：.BF=FC=AB,：.NAFB=NBAF,

•：ADUBC,：.NAFB=NDAF,：.ZBAF=AFAD,：.2/BAF=/BAD,故①正确；

②延长EF,交AB延长线于•.•四边形ABCD是平行四边形，.•.AB〃CD,

ZMBF=AC,'：F为BC中点，/.BF=CF,

(/LMBF=AC

在AMBF和A£?CF中，IBF^CF,：.4MBFW^ECF(ASA),：.FE=MF,4CEF=/M,

[ZBFM=ZCFE

•：CE±AE,：.ZAEC=90°,：.NAEC=NBAE=90°,；FM=EF,：.EF=AF,故②正确;

③EF=FM,：.SAAEF=SAAFM,；E与。不重合，r.S.ABF<S^AEF,故③错误；

④设NFEA=c,则AFAE=ABAF=AAFB=90°-x,：.NEFA=180°—2c,

ZEFB=90°-x+180°-2x=270°-3a;,V/CEF=90°-rc,ANBFE=3/CEF,故④正确,故选：C.

【点睛】此