信息必刷卷（天津专用）解析版-2024年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前

2024年高考考前信息必刷卷03（天津专用）

数学

天津卷考试题型为9（单选题）+6（填空题）+5（解答题），其中第19题第20题属

于压轴题目，去年高考第19题创新考查了数列的极限，此外对于数列的求和问题也是别出

心裁，具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。

天津卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，

形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。

即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想方

法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学科本

质，达到落实高考育人的目的。

天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽

象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生的创

新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。

本套试卷中选择题中第6题在对双曲线的考察中结合了圆的知识,运用勾股定理再加三

角形等面积法得到a,b,c的数量关系进而求出结果。第7题依旧考察数列的相关知识，着

重考察了等差数列的性质，及等差数列的求和公式。第8题借助实际问题的形式考察四面体

外接球的知识，考察学生的空间想象能力，以及做图能力。第9题综合性的考察了三角函数

的图像与性质，中间也涉及到辅助角公式的考察这在以往的高考题中是没有出现过的。

填空题方面13题考察了二项分布，延续高考的考察形式，并未涉及到数学期望，第14

题关于向量的综合考察，涉及到三点共线的推论，以及学生对于建立坐标系之后的运算。第

15题主要考察学生的数形结合能力，此外结合了导数的几何意义，整体难度不大。

大题方面在16题对于三角形的考察方面，考查内容较多，涉及正余弦定理，二倍角公

式，以及三角形面积公式，相对往年的高考题目更加全面。18题解析几何考察椭圆相关知

识，需要学生讲题干面积问题改为坐标比例问题进而进行化简运算。第19题关于数列的考

察整体难度不大，涉及到错位相减与裂项相消求和，本题难度主要在于计算量较大。第20

题作为导数压轴题，仍然常规考察切线方程，以及单调性最值问题，第三问需要将问题转化，

这个思路比较新奇，对学生而言难度较大。

总之，2024年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持

“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，三

个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数量观

念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精作风的

人。

第I卷（选择题）

一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.已知集合。={-1,1,3,5,7,9},A={1,5},B={-1,5,7},则e）=（

)

A.{3,9}B.［1,5,7}C.{-1,1,3,9}D.{-1,1,3,7,9)

【分析】先求出A1_B={T,1,5,7),由此能求出

【解答】解：・集合［/={-1,1,3,5,7,9},A={1,5},B={-1,5,7},

••.A|JB={-1,1,5,7),

B)={3,9}.

故选：A.

2.若孙wo,则“炉=丁”是“上+2=_2”的()

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意对两个条件进行化简，结合充要条件的定义判断出正确答案.

VXyX

［解答］解：若则或x=_y.当％=y时，上+_=2；当尤=_y时，^-+-=-2.

xy%y

vx

所以2”不是“』+_=_2”的充分条件；

xy

当？+二=―2时，即2+二="*'=—2=>(x—,了=0=>%=y=>兀2=y2,

xyxyxy

2

所以U+-=-2"是"炉=2”的必要条件.

冗y

VX

综上所述，若孙W0,则“尤2=2”是“二+二=_2"的必要不充分条件.

xy

故选：B.

52

-05

3.已知4=/"］,Z2=log031.5,c=(-),则()

A.b>oaB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

【答案】C

【分析】结合指数及对数函数单调性，利用0,1分段法求得正确答案.

【解答】解：b=log031.5<log031=0,Q=lnl<ln^=a<lne=l,

故选：C.

4.函数/(x)的部分图象如图所示，则/(X)的解析式可能为()

B./(x)=e*+/*—sinx一；

x+ex1

C./(%)=--e--------D.f(x)=ex+e-x+sinx--

sinx4

【答案】A

【分析】结合函数图象可知，/(x)的图象关于原点对称，人。)=。，然后结合函数的奇偶性

及『(0)=。检验各选项即可判断.

【解答】解：结合函数图象可知，〃尤)的图象关于原点对称，即7。)为奇函数，

由图象可知，/(0)=0,

A：定义域为/(-%)=^4=-/(%),/(0)=0,符合题意；

ex+ex

B-.定义域为H,/(-%)=+sinx-±/(x),即/(x)为非奇非偶函数，不符合题

4

忌；

C：由题意可知，当％=0时，sinx=0,函数显然没有意义，不符合题意；

D-.定义域为R,/(-%)=e-x+ex-sinx-^±f(x),即/(尤)为非奇非偶函数，不符合题

4

•

故选：A.

5.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，

成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()

A.频率分布直方图中。的值为0.004

B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70)内的学生人数为150

【答案】D

【分析】根据所有矩形的面积和为1,求出。，由此利用频率分布直方图能求出结果.

【解答】解：由频率分布直方图，得：

10(2a+3a+7a+6a+2a)=l,解得。=0.005,故A错误；

前三个矩形的面积和为1。(2。+3a+7a)=0.6,

这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80,故3错误；

这20名学生数学考试成绩的众数为75,故C错误；

总体中成绩落在［60,70)内的学生人数为34x10x1000=150,故O正确.

故选：D.

22

6.已知双曲线C:♦-斗=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为月，F2,以线段月居为直径

ab

的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|「耳|-|尸耳|=26.设C的离心率为e,则

/=()

A.B.C.出D.A/5

22

【答案】B

【分析】可设I尸耳1=根，I尸61=〃，运用直角三角形的勾股定理和渐近线方程和圆方程联立,

求得尸的坐标，再由直角三角形的面积公式，结合离心率公式，计算即可得到所求关系式.

【解答】解：可设1Ml=机，\PF2\=n,

可得m―①

在直角三角形尸耳&中，m2+n2=4c2,②

由①②可得板=2，一2/，

h

由渐近线方程y=2工和圆/+y2=02,

a

可得P(a,6),由三角形的面积公式可得：^mn=^-2cb,即c?-廿=",

22

可得=仍，

即有/=c2(c2—a2)=c4—c2a2,

由离心率6=反，可得I=e4-e2,

a

即有eJ/-l=0ne2=S5,（负值舍）.

2

故选：B.

7.若｛4｝是等差数列，S,表示3｝的前〃项和,%+%>0,S9<0,则｛S“｝中最小的项是

（）

A.S4B.S5C.S6D.S[

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前〃项和公式，即可求解.

【解答】解：Sg<。，

则9（4；%）=9%<0,解得生<0,

%+4>0，

则%+%>0，

故心>0，

等差数列的公差d=4-%>。，

所以｛"｝中最小的项是4.

故选：B.

8.蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠

最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今

日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非

物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A,B,C,。，四面体ABCD的体积为诋，

5D经过该鞠的中心，且AB=3C=1,ABLBC,则该鞠的表面积为（）

A.InB.167rC.8万D.4%

【答案】D

【分析】取AC中点连接氏0、OM,DN,易得AC为圆面/1BC的直径，平

面9C,进而得到DV，平面然后根据四面体MCD的体积为且，可求外接球半

6

径并求表面积.

【解答】解：如图，取AC的中点连接与球。交于另一点N,连接OM,DN,

D

次;滑

/(乎帙:$外i

易知AC为圆面ABC的直径，。暇，平面ABC,

因为O，M分别为血，8N的中点，所以OM//DV,

所以£W_L平面ABC,

%.ABc=；xgxlxlxON=*'...£W=五,

BPOM=—,在RtAABC中，AB=BC=1,

2

5

BM=—,,\BO=R=1,

2

球O的表面积为S=由收=4%.

故选：D.

9.如图是函数/(x)=Asin(5+G)(A>O,0>O,|°|<|o的部分图象，将函数/(元)的图象向右

平移三个单位长度得到g(x)的图象，给出下列四个命题:

6

①函数/(%)的表达式为/(x)=2sin(2x+^)；

②gW的一条对称轴的方程可以为尤=-工；

4

③对于实数m,恒有/(5+m)=/(y-in)；

④/(x)+g(尤)的最大值为2.其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】先根据图象确定函数的解析式，结合函数对称性和辅助角公式进行化简即可.

【解答】解：由图象知，A=2,=T=彳5万-三77r=三7T，即7="，则2万'=»,得@=2,

46124①

由五点对应法得2*?+°=2万，得夕=£,

63

TT

贝U，(无)=2sin(2x+y),故①正确，

当x=g时，”令=2sin"=0,则函数关于x=g不对称，故③错误，

将函数/(尤)的图象向右平移£个单位长度得到g(x)的图象，即

6

7171

g(x)=2sin[2(x--)H——]=2sin2x,

63

当x=-£时，g(-£)=2$皿/)=-2为最小值，则是函数g。)的一条对称轴，故

4424

②正确，

/(x)+g(x)=2sin(2x+—)+2sin2x=2sinxcos—+2cos2xsin工+2sin2x=3sin2x+A/3COS2x=2拒sin(2x+—)

则/(x)+g(x)的最大值为2后，故④错误，

故正确的是①②，

故选：B.

第n卷(非选择题)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

10.复数3的实部为.

2+z

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解・3")、二

腑口腑-2+i(2+Z)(2-Z)55

复数R的实部为£.

2+i5

故答案为：g.

IL(Y+0)4的展开式中含炉的项的系数为8,则。=.

x

【答案】2.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于5,求出厂的值，可得展开式中含V

的项的系数，从而可求得“的值.

【解答】解：（/+@）4的展开式的通项公式为却|=禺.产3,,

X

令8-3r=5,求得r=l,可得展开式中含丁的项的系数为C：=8,

所以。=2.

故答案为：2.

12.已知直线4x-y=匕被圆Y+,2-2x-2y+1=0截得的弦长为2,则。的值为.

【分析】根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得.

【解答】解：圆f+y2-2x-2y+l=0的圆心为（1,1）,半径厂=1,

因为直线4x-y=6被圆/+〉2一2%一2»+1=0截得的弦长为2,

所以直线4x-y-6=0经过圆心（1,1）,

二4一1—6=0,解得6=3.

故答案为3

13.袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，

恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是—，有3个人参与这个游

戏，则恰好有1人获奖的概率是—.

【分析】根据计数原理，所有的取球方法共有C；种，而三种球各有一个共包含个，故

获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则乂~3（3,：）,故X=1的概

率可求.

【解答】解：设中奖为事件A,则事件A,则事件A包含的基本事件个数为（C；尸=8,所

Q9

有的基本事件共有C；=20个，所以中奖概率为尸（A）=《=：.

有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则丫~3（3,令，所以

尸(X=l)=C；x|x(l-|)2喂.

254

故填：j

125

14.在AABC中，AB=4,AC=3,CACB=9.若点。为边BC的中点，则Ar>-8C=；

若点。在边3C上（不包含端点），延长4）到尸，使得川=9,且满足

3

PA=mPB+(--m)PC(m,贝小。4+。2|=

72A/37

【答案】-

5

【分析】首先在三角形中，将AD和8c用A5和AC表示，即可进行运算；再由题设条件,

推出AB垂直于AC,建立坐标系，经过运算解出。点的坐标，进一步求解.

【解答】解：在A4BC中，因为。为BC中点，

](2217

所以AD.gC=5(A5+AC).(AC_AB)=/(AC-AB)=-x(32-42).

由CAS=9可得：-AC(AB-AC)=-ABAC+AC2=-4x3xcosZAFC+32=9-

所以cosNABC=0,即AB_LAC,

如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,＞轴建立平面直角坐标系,

则3(4,0),C(0,3),.-.AB=(4,0),AC=(0,3),

3

由PA=mPB+(--m)PC,

3

得丛=帆(PA+AB)+(5-*(PA+AC),

整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC,即尸A=(-8m,6m-9),

由AP=9,得64帆2+（6机一9>=81,解得加=一或m=0.

当m=0时，PA=(0,—9),

此时C与。重合，不合题意，舍去;

当噜II时，直线"的方程为k徭与直线%的方程为%六1,

联立两直线方程可得％=方-,y=3-2m.即0（天,石）,

729128214442

止匕时DA=(一玄，--),DB=(―,--),则ZM+£)5=(一玄，--),

:.\DA+DB\=^!^-

15.设函数f^x)=\elWC，X>0，若不等式/(尤),,2|x-41恒成立,则实数。的取值范围为一.

[e.x，0

1P

【答案】耳，|/»2].

【分析】作出y=/(x)的图象，平移y=g(x)=2|x-o|,考虑y=g(x)的图象经过点(0,1)和

与丁=〃质相切的这一段，可满足不等式恒成立，结合导数的几何意义，可得所求取值范围.

【解答】解：作出y=/(*)的图象，平移y=g(x)=2|x-a|,

发现当y=g(x)的图象经过点(。,1)和y=g(x)的图象与y=elnx相切时，

不等式〃幻,,2|—|恒成立.

由2|0-。|=1,解得(负的舍去)，

2

设切点为0,6例叫，,二3加的导数为了=£,

X

P

即切线的斜率为

m

由图象可得£=2,即有机=1e,切点为(1e,e吟,

m222

则2(]-a)=e1n~，解得a=§n2.

1e

所以0的取值范围是百，?”2].

22

三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且百a2+6片=垂石2-2ac.

(I)求sing;

(II)若。=百，6=2.

(i)求cos(2A-令的值；

(ii)求AABC的面积.

【答案】(I)必；(II)(i)遮；(ii)k2/l.

322

【分析】(I)根据条件及余弦定理即可求出cosB=-且，从而可求出sin8=«l；

33

(II)((i)根据正弦定理可求出sinA=1，从而可得出A=f,然后即可求出cos(2A-f)

243

的值；

(ii)根据余弦定理可求出。的值，然后根据三角形的面积公式即可求出AA5c的面积.

【解答】解：(I)由岛2+&02=扬2一2比得，a2+c2-b2=-^ac,

由余弦定理得，a2+c2-b2一亍的百，且3e(CU),

cosDB=---------------=——------=-------

sinB=A/1—cos2B=

(II)(i)由正弦定理知,

sinAsinB

JI

又AG(0,1),

2

A=—,cos(2A--)=cos(---)=cos—=-：

432362

(ii)由"+c°—2accosB,即/+2c=l,解得,=忘—1(舍去负根),

.•.^45€7的面积5=3。。0m2=3、6、(近一1)*?=^^1

17.如图，在三棱锥尸—ABC中，B4_L底面ABC,44C=90。，点。，E,N分别为棱

PA,PC,3c的中点，M是线段")的中点，B4=4,AB=AC=2.

(1)求证：MN//平面BDE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)已知点”在棱9上，且直线N”与直线3E所成角的余弦值为士，求线段AH的长.

p

⑵缘

【分析】（1）取"中点尸，连接MF,NF,根据条件证明出平面RMN//平面BDE,

由此可证明〃平面BDE.

（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面BDE的法向量，然后根据直线方向向量与平面

法向量夹角的余弦值求解出结果.

（3）设出点”的坐标，分别表示出直线NH,3E的方向向量，根据方向向量夹角的余弦

值求解出的长度.

【解答】解：（1）证明：取中点连接"/，NF,如下图所示：

所以MF//BD,

又因为M尸仁平面BDE,BDu平面BDE,

所以MFV/平面BDE,

因为N,F为AB,CB中点，D,E为PA,尸C中点,

所以NF//AC,DE//AC,

所以NF//DE,

又因为NF仁平面BDE,DEu平面BDE,

所以NR//平面

又因为距“一时尸=尸，NF,MFu平面RWN,

所以平面RMN//平面5DE,

又因为A/Nu平面EVW,

所以〃平面3AE.

(2)建立如下图所示的空间直角坐标系，

所以CE=(0,-1,2),DB=Q,0,-2),DE=(0,1,0),

设平面BDE一个法向量为"=(x,y,z),

n•DB=0

所以,所以

n•DE=0

令尤=1,贝!]y=。，z=i,

所以〃=(1,0,1),

设直线CE与平面BDE所成角为e,

|0+0+2|A/10

所以sin6=|cos(CE,n)\=

5/5x收

所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为手.

(3)设”(0,0,㈤(喷物4),且N(l,1,0),

所以NH=(-1,-1,%),BE=(-2,1,2),

|2—1+2川4

所以|cos〈N”,5E〉|=

+2.J1+4+49

化简得20m2+36m-23=0,

123

解得机=一或机=---（舍），

210

所以

2

22

18.已知椭圆C：t+】=l（o>6>0）的左、右焦点分别为耳，F,,过点月的直线/与C交

ab

于M,N两点，AMAq的周长为8,当直线/垂直于x轴时，|MN|=3.

（I）求椭圆C的标准方程；

（H）设椭圆C的右顶点为A,直线AM,AN分别交直线尤=T于尸，。两点，当APQ£

的面积是AAAW面积的5倍时，求直线/的方程.

22

【答案】（I）土+匕=1.

43

72

（II）>=±争尤+1）.

【分析】（I）由AMAq的周长为8,\MN\=3,列方程组，解得a,b,即可得出答案.

（II）设直线/的方程为》=殁-1,M（my1-1,%）,N{my2-1,%），2（-4,“）,N（-4,y0）,

联立直线/与椭圆的方程，由韦达定理可得%+%，X%，由P，M,A三点共线，可解

得尸点纵坐标，同理得。点纵坐标，则学也」孙一可,即可解得小的值.

S&AMNIM-%I

4。二8

【解答】解：（I）由2/,

解得a=2,b=#>，

22

所以椭圆C的方程为土+乙=1.

43

（II）设直线/的方程为％=磔-1,M（jnyx-1,%），N（my2-1,%），户（一4"），阳-4,为），

、一（x=my

联立（3x2+4/_12=0'

所以3（殁一1）2+4/-12=0,

所以（3m2+4）y2—6my-9=0,

6mQ

所以X+%=q2~4,2上4,

3m+43m+4

—6y.

由p,M,A三点共线可得yp—~，

myx-3

同理可得几=

my2—3

所以包强二正业=1----------------------

S&AMNIX-%I(阳1-3)(-3)

_________18_________1,

=1|=-(3m2+4)=5,

疗%%-3加(％+%)+9

解得加=±四，

J?

所以直线/的方程为y=±与（x+1）.

19.已知｛%｝为等差数列，｛6“｝为等比数列，4=2q=2,%=%+%，d=3（2々—3,）,

（1）分别求数列｛%｝和｛么｝的通项公式；

（II）在6“与6用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为c.的等差数列，

（i）求证c；+|<%c,+2，〃eN*；

（4"5）2T”为奇数

（ii）对任意的正整数〃，设或=⑥+1）（膈2+1），求数列｛4｝的前2〃项和.

为偶数

【答案】（I）%=〃；b,=2x3"T；（II）（i）证明见解答；（ii）3+四二»亘二n

882x32n+l

【分析】（I）设等差数列｛%｝为的公差为d,等比数列｛2｝的公比为9,运用等差数列和

等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；

4X邛T

（II）（i）求得％=土匚，由作差比较法，可得证明；

〃+1

（ii）求得4,再由数列的裂项相消求和与错位相减法求和，结合等比数列的求和公式,

化简可得所求和.

【解答】解：（I）设等差数列｛乙｝为的公差为d,等比数列｛2｝的公比为4,

由Z?i=2q=2,%=%+/，％=3(2片一3,),

可得1+4d=2+3d,2q5=3(4/-6/),

解得d-\,q=3,

-1

所以4“=1+〃-1=〃；bn=2x3"；

%也2〉3"-2〉3"4x3”一

(II)(i)证明：c„

n+2—1n+1n+\

2,4x3"、24X3"T4x3"+i

c„-c„e=(—)--

+1n+2n+3

1

<0

5+2)2由篇:?台:U『J6X3'+2)“LX〃+3)

所以q；+i<c,c“+2，〃eN*；

(ii)

2(4〃-5)x3〃-J1弟★粉

(4H-5)Z?„-17——J——77——7，几为奇数\(n-1〃+1

,为奇数(2x3n-1+l)(2x3n+1+l)为奇数

4=(〃+i)di)512x3"T+12x3n+1+l

4。"〃/为偶数〃(几+i)•史y—，〃为偶数为偶数

n+\

设数列｛4｝的奇数项的和为4,偶数项的和为用，

可得

A=-(—----------+-----------++—2-2-----2n=j_(0----2n=----n

22x30+l2X32+12X32+12X34+1…2x32,-2+l2x32"+l22x32"+l2x32"+l

321362n+1

Bn=4X2X3+4X4X3+...+4X2M-3"-,9Bn=4x2x3+4x4x3+...+4x2zz-3,

两式相减可得-8纥=24+8(33+...+32n-1)-4x2«-32M+1=24+8-27"5)一4x2〃•32n+1,

化简可得用=3+(8DA.

88

所以数列MJ的前2〃项和为，(.一?一—白.

882x3+1

20.已知函数/(九)=◎?-2仇x.

(1)当，=1时，求)=/(%)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若对Vxe[l,3],都有/(x),,L恒成立，求。的取值范围；

4

(3)已知a>0,若切，/且满足。<玉<%2，使得/(%)=/(%2),求证：

&(演+%2)2-2(再+X2)>0.

【答案】⑴y=i.

(2)(-00,1],

(3)证明详情见过程.

【分析】(1)当。=1时，f(x)=£—2lwx,求导，根据导数的几何意义可得题=广(1),

由两点式可得切线的方程为(1)化简即可得答案.

(2)问题可转化为了(元).,,：，对7(无)求导，分析单调性，求出/(x)得最大值，使得它小

于等于进而可得。的取值范围.

4