教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷3

教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷3一、计算题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√3sinAcosA－√3sinBcosB．1、求角C的大小；标准答案：∵△ABC中，a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√2sinAcosA－√3sinBcosB,∴即cos2A—cos2B=√3sin2A－√3sin2B，即－2sin(A+B)sin(A—B)=2√3cos(A+B)sin(A—B)．∵a≠b，∴A≠B，sin(A—B)≠0，∴tan(A+B)=－√3，∴A+B=∴C=知识点解析：暂无解析2、若sinA=，求△ABC的面积．标准答案：∵sinA=(舍去)，∴cosA=．由正弦定理可得∴sinB=sinf(A+B)－A]=sin(A+B)cosA—COS(A+B)sinA=，∴△ABC的面积为知识点解析：暂无解析已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．3、求an和bn；标准答案：∵a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)①，当n≥2，n∈N*时，a1a2a3…an-1=(√2)bn-1②，由①②知：an=(√2)bn-bn-1，令n=3，则有a3=(√2)b3-b2．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则q2==4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．∴an=2n(n∈N*)．又由a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)得：21×22×23…×2n=(√2)bn，=(√2)bn,∴bn=n(n+1)(n∈N*)．知识点解析：暂无解析4、设cn=(n∈N*)．(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．标准答案：(i)∵cn=．∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=(ii)因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，cn=－1]，而＜1，所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)，其中a∈R，θ∈5、当a=√2，θ=时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；标准答案：当a=√2，θ=时，f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sin(x+)+√2cossinx+cosx－√2sinx=－cosx=sin(—x)=－sin(x－)．∵x∈[0，π]，∴x－∈，故f(x)在区间[0，π]上的最小值为－1，最大值为.知识点解析：暂无解析6、若f()=0，f(π)=1，求a，θ的值．标准答案：∵f(x)=sin(x+θ)+scos(x+2θ)a∈R，θ∈=0，f(π)=1，∴cosθ－asin2θ=0①，－sinθ－acos2θ=1②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ=再根据cos2θ=1－2sinθ，可得－，求得a=－1，∴sinθ=－．综上可得，所求的a=－1，θ=－．知识点解析：暂无解析给定常数c＞0，定义函数f(x)=2|x+c+4|—|x+c|，数列a1，a2，a3…满足an+1=f(an)，n∈N*．7、若a1=－c－2，求a2及a3；标准答案：因为c＞0，a1=－(c+2)，故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|—|a2+c|=c+10．知识点解析：暂无解析8、求证：对任意n∈N*，an+1－an≥C；标准答案：要证明原命题，只需证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c2|x+c+4|—|x+c|≥x+c即只需证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c＞0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+cx+c+4＞x+c显然成立．综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1－an≥c．知识点解析：暂无解析9、是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．标准答案：由(Ⅱ)知，若{an}为等差数列，则公差d≥c＞0，故n无限增大时，总有an＞0此时，an+1=f(an)=2(anc+4)－(an+c)=an+c+8即d=c+8故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，当a1+c≥0时，等式成立，且n≥2时，an＞0，此时{an}为等差数列，满足题意；若a1+c＜0，则|a1+c+4|=4[*]a1=－c－8，此时，a2=0，a3=c+8，…，an=(n－2)则a1=－(c+8)也满足题意；综上，满足题意的a1的取值范围是[－c，+∞)∪{－c－8)．知识点解析：暂无解析在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A—B)cosB—sin(A—B)sin(A+C)=－.10、求sinA的值；标准答案：由cos(A－B)cosB—sin(A－B)sin(A+C)=－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB=．则cos(A－B+B)=－，即cosA=－．又因为0＜A＜π，则sinA=.知识点解析：暂无解析11、若a=4√2，b=5，求向量方向上的投影．标准答案：由正弦定理，得．所以sinB=由题知a＞b，则A＞B，故B=．根据余弦定理，有(4√2)2=52+c2－2×5c×，解得c=1或c=－7(负值舍去)．故向量方向上的投影为知识点解析：暂无解析在△ABC中，a=3，b=2√6，∠B=2∠A，12、求cosA的值；标准答案：因为a=3，b=2√6，∠B=2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.所以知识点解析：暂无解析13、求C的值．标准答案：由(1)知，cosA=，所以sinA=．又因为∠B=2∠A，所以cosB=2cos2A－1=．所以sinB=．在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以c==5．知识点解析：暂无解析在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A－3cos(B+C)=1．14、求角A的大小；标准答案：由已知条件得：cos2A+3cosA=1．∴2cos2A+3cosA－2=0，解得cosA=，角A=.知识点解析：暂无解析15、若△ABC的面积S=5√3，b=5，求sinBsinC的值．标准答案：S=bcsinA=5√3c=4，由余弦定理得：a2=21，(2R)2==28∴sinBsinC=.知识点解析：暂无解析已知等比数列{an}满足：|a2－a3|=10，a1a2a3=125．16、求数列{an}的通项公式；标准答案：由已知条件得：a2=5，又∵a2|q－1|=10，∴q=－1或3，所以数列{an}的通项为an=5×3n-2或an=5×(－1)n-2．知识点解析：暂无解析17、是否存在正整数m，使得≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．标准答案：若q=－1，或0，不存在这样的正整数m；若q=3，，不存在这样的正整数m．知识点解析：暂无解析设向量a=(√3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，].18、若|a|=|b|，求x的值；标准答案：由|a|2=(√3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1，及|α|=|b|，得4sin2x=1．又∵x∈，从而sinx=，所以x=知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)=a·b，求f(x)的最大值．标准答案：f(x)=a·b=√3sinx·cosx+sin2x=，当x=时，sin(2x－)取最大值1．所以f(x)的最大值为.知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．当x∈[0，1]时，20、求证：1－x≤f(x)≤标准答案：要证：x∈[0，1]时，(1+x)e-2x≥1－x，只需证明(1+x)e-x≥(1－x)ex．记h(x)=(1+x)e-x(1－x)ex，则h＇(x)=x(ex－e-x)，当x∈(0，1)时，h＇(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0．所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要证x∈[0，1]时，(1+x)e-2x≤，只需证明ex≥x+1．记K(x)=ex－x－1，则K＇(x)=ex－1，当x∈(0，1)时，K＇(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(z)≥K(0)=0．所以f(x)≤，x∈[0，1]．综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析21、若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．标准答案：解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e-2x一(ax++1+2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcosx=－x(a+1++2cosx)．设G(x)=+2cosx，则G＇(x)=x－2sinx．记H(x)=x－2sinx，则H＇(x)=1一2cosx，当x∈(0，1)时，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3．所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤记I(x)=+a+G(x)，则I＇(x)=+G(x)，当x∈(0，1)时，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a+1+2cos1，a+3]．因为当a＞一3时，a+3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．解法二：先证当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－x2．记F(x)=cosx－1+x2，则F＇(x)=－sinx+x．记G(x)=－sinx+x，则G＇(x)=－cosx+1，当x∈(0，1)时，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)=0，从而F(x)在[0，1]上是增函数．因此F(x)≥F(0)=0，所以当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx．同理可证，当x∈[0，1]时，cosx≤1－x2．综上，当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－x2．因为当x∈[0，1]时，f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－(ax++1+2xcosx)≥(1－x)－ax－－1－2x(1一x2)=－(a+3)x,所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－一(a+3)x≤，所以存在x0∈(0，1)(例如x0取中的较小值)满足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(一∞，一3]．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=√2cos(x－),x∈R．22、求的值；标准答案：知识点解析：暂无解析23、若cosθ=，求标准答案：=cos2θ－sin2θ因为cosθ=.所以sinθ=－，所以sin2θ=2sinθcosθ=－，cos2θ=cos2θ－sin2θ=－所以f(2θ+)=cos2θ－sin2θ=—.知识点解析：暂无解析设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1，,n∈N*．24、a2的值；标准答案：依题意，2S1=a2－，又因为S1=a1=1，所以a2=4．知识点解析：暂无解析25、求数列{an}的通项公式；标准答案：当n≥2时，2Sn=nan+1－n3—n2－n，2Sn-1=(n—1)an－(n—1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－，整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)，即=1，又因为=1故数列是首项为=1，公差为l的等差数列，所以：1+(n－1)×1=n，所以an=n2.知识点解析：暂无解析26、)证明：对－切正整数n，有标准答案：当n=1时，；当n=2时，；当n≥3时，综上，对－切正整数n，有.知识点解析：暂无解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=27、求a，c的值；标准答案：由余弦定理，得cosB=．∴ac=9，故a=c=3．知识点解析：暂无解析28、求sin(A—B)的值．标准答案：由cosB=，得sinB=：cosA=．sinA=；∴sin(A—B)=sinAcosB—sinBcosA=知识点解析：暂无解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2，a2n=2an+1．29、求数列{an}的通项公式；标准答案：设