人教版六年级下册数学知识点

人教版六年级下册数学知识点汇总

第一单元负数

【知识点归纳】

1、负数的由来：

2

为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），光有学过的0,1,3.4,y……是远远

不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负

2、负数：小于。的数叫负数（不包括0）,数轴上0左边的数叫做负数。

若一个数小于0,则称它是一个负数。

负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）

2

负数的写法：数字前面加负号号，不可以省略例如：-2,533,-45,--

3、正数：大于0的数叫正数（不包括0）,数轴上0右边的数叫做正数

若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数）

正数的写法：数字前面可以加正号'+”号，也可以省略不写。

2

例如：+2,5.33,+45,-

4、0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限

负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小，正数都比负数大

5、数轴：

负"正*

正“

负数分.

正数，

i

左边上右边承

6、比较两数的大小:

①利用数轴：

负数＜0〈正数或左边〈右边

1

②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大的反

而小，数字小的反而大。也可以先比较与其对应的两个正数的大小，对应的正数大的那个负数反而小。

1111

—一-V-——

3636

7.温馨提示：水结冰时的温度是0摄氏度，0在这里的意义不是表示“没有”，而是一个具体的数。在用正

负数表示具有相反意义的量时，要先规定哪个量为正（或负）。如果上升用正数表示，那么下降一定用负

数表示。

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第二单元百分比（二）

【知识点归纳】

（一）、折扣和成数

1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称‘打折”。

8

几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折=而=80%,

六折五=6.5+10=65+100=65%

解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几

分之几）的数的解题方法进行解答。

商品现在打八折：现在的售价是原价的80%

商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%

2、成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十。

1

例如：一成=而=10%八成五=8.5+10=85+100=80%

解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之

几）的数的解题方法进行解答。

这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10%

今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85%

（二）、税率和利率

1、税率

（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

（2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化

和国防安全等事业。

2

（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

（5）应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入x税率收入额=应纳税额+税率

2、利率

（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

（2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设,

也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

（3）本金：存入银行的钱叫做本金。

（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。

（6）利息的计算公式：利息=本金x利率x时间利率=利息+时间+本金xlOO%

（7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息x利息税率=利息x（1-利息税率）

税后利息=本金x利率x时间x（1-利息税率）

购物策略：

估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案

学后反思：做事情运用策略的好处。

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第三单元圆柱和圆锥

【知识点归纳】

一、圆柱

1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得的。

圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

两种方式：（1）以长方形的长为底面周长，宽为高；（2）以长方形的宽为底面周长，长为高。

其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。

2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的

3、圆柱的特征：（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。

（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。（3）高的特征：圆柱有无数条高

3

4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即5”=2兀1

②竖切（过直径）：切面是长方形（如果2r,切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的

底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh

5、圆柱的侧面展开图：

①沿着高展开，展开图形是长方形，如果2兀r则展开图形为正方形

②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形

③无论怎么展开都得不到梯形

6、圆柱的相关计算公式：

底面积：S=711^底面周长：C=2nr侧面积：S=2nrh

底底侧

表面积：S=2S+S=2nr2+2nrh体积：V=nr2h

表底侧柱

考试常见题型：

①已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积

⑤已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

无盖水桶的表面积=侧面积+一个底面积油桶的表面积=侧面积+两个底面积

烟囱通风管的表面积=侧面积

只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装

侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池

侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类

温馨提示：1）把一个圆柱截成n段后，其表面积增加了2（n-1）个底面积。

2）容积的计算方法和体积的计算方法相同，只是计算容积的数据要从里面测量。

3）圆柱的高不变，底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍，若底面半径、直

1

径或周长缩小到原来的n,则体积缩小到原来的一；。

4）在圆柱的立体图形中，两个底面圆心之间的距离是圆柱的高，但在圆柱的平面展开图中，长方形的宽（或

正方形的边长）才是圆柱的高。

5）两个圆柱的半径比是1：a（a>0）,高的比是a：1,则它们的体积之比是1：a。

4

二、圆锥

1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高

3、圆锥的特征：

（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面（3）高的特征：圆锥有

-"条|W]o

4、圆锥的切割：①横切：切面是圆②竖切（过顶点和直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是

圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积.

5、圆锥的相关计算公式：

1

底面积：Sjri底面周长：C=2nr体积：Vft=-^h

考试常见题型：①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体

积，底面积③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积。以上几种常见题型的解题方法，通常

是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

三、圆柱和圆锥的关系

1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。

3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。

2

4、圆柱与圆锥等底等高，体积相差w

四、温馨提示：

（1）已知圆锥的底面半径和高，可以直接利用公式：布备+3来求圆锥的体积；（2）已知圆锥的底面直径和

高，可以直接利用公式：n（d+2）2h+3求圆锥的V;（3）已知圆锥的底面周长和高，可以直接利用公式：n

（C+2F）2h+3求出圆锥的体积。

1

4）利用+3计算圆锥的体积时不要忘记除以3或乘go

题型总结①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积。

分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化。

分析清楚两个圆柱（或两个圆锥）半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比。

②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与圆柱圆锥之间）。

③横截面的问题。

5

④浸水体积问题：（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度）。

容积是圆柱或长方体，正方体。

⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不

1

要乘以3。

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第四单元比例

【知识点归纳】

1、比的意义

（1）两个数相除又叫做两个数的比

（2）”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后

项所得的商，叫做比值。

（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

（5）比的后项不能是零。

（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比：

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4、按比例分配：

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比

例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做

外项，中间的两项叫做内项。

判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是不是相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相

等，则不能组成比例。

温馨提示：1）比例中等号的两侧必须都是一个比。

2）把等式改写成比例式后，a和x必须同时为外项，或同时为内项。

6

判断两个比能否组成比例，也可以根据比的基本性质把这两个比化成最简比，如果所化成的最简比相同，

那么这两个比就能组成比例，否则不能。判断四个数是否能组成比例，先把最大数与最小数相乘，再把其

余两数相乘，如果这两个积相等，那么这四个数就能组成比例。

6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。如果c发axd,

那么与c能组成比例。

7、比和比例的区别

（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两

个内项和两个外项）。

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。

8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数

的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示（一

定）

9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数

的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示xxy（一定）

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：

关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一

定，就成反比例。

正比例与反比例的异同点：

相同点：（1）都是两种相关联的量。（2）一种量随着另一种量变化。

不同点：正比例（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。（2）相对应的两个

数的比值（商）一定。（3）关系式：xy（一定）。

反比例（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。（2）相对应的两个数的乘

积一定。（3）关系式：xxy（一定）。

温馨提示：D当两种相关联的量相对应的两个数的积不一定，而和一定时，它们不成任何比例。铺地面积

一定时，方砖边长与所需块数不成反比例，但是方砖面积与所需块数成反比例。

2）如果axb=c（a、b、c均为非0的自然数），那么当a一定时，b和c成正比例；当b一定时，a和c成正比

例；当c一定时，a和b成反比例。

11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

温馨提示：比例尺是一个比，因此不能带有计量单位。

比例尺是图上距离比实际距离得到的最简整数比，可以写成带比号的形式，也可以写成分数形式。

7

在大小相同的地图上，比例尺越大，反映的实际范围越小。

12、比例尺的分类

（1）数值比例尺和线段比例尺。线段比例尺可以改写成数值比例尺。改写方法为：根据线段比例尺，写出

图上距离和实际距离的比，统一单位后再化成最简比的形式。

（2）缩小比例尺和放大比例尺

13、图上距离：图上距离/实际距离=比例尺实际距离x比例尺=图上距离图上距离:比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤：（1）写出图的名称；（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）

画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺

15、保持图形原来的形状而使图形变小，叫做图形的缩小；保持图形原来的形状而使图形变大，叫做图形

的放大。图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，

形状相同，大小不同。

温馨提示：1）通常缩小比例尺的前项为1,放大比例尺的后项为1。

2）形状相同，大小不同的两个图形是相似图形，把一个图形放大或缩小，就可以得到原图形的相似图形。

3）在方格纸上按一定的比例将图形放大或缩小分为三步：一看，看原图形每边各占几格；二算，计算按给定

的比例将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边长各占几格；三画，按计算出的边长画出原图形的

放大或缩小图。

16、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么

比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

17、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）

单价x数量=总价单产量x数量=总产量速度x时间=路程工效x工作时间=工作总量

18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。

已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。

19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？

答：每天播种的公顷数x天数=播种的总公顷数

已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷数和

要用的天数成反比例。

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第五单元数学广角一一鸽巢问题

【知识点归纳】

1、鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理在解决数学问题时有非常重要的作用

①什么是鸽巢原理,先从一个简单的例子入手，把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放法，如下表

放法盒子1盒子2

130

221

312

403

无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果这个结论是在“任意放法”的情

况下,得出的一个“必然结果”。类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或

2只以上的鸽子如果有6封信,任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把‘盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巢，可以得到鸽

巢原理最简单的表达形式

②利用公式进行解题：物体个数十鸽巢个数=商……余数至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数=颜色数x（至少数一1）+1

②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有

两个球是同色的。

③公式：两种颜色：2+1=3（个）三种颜色：3+1=4（个）四种颜色：4+1=5（个）

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第六单元

数和代数

一、概念

（-）整数

1、整数和自然数

像-8,-4,-1,0,1,3,9,......这样的数都是整数。

9

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

2、基数和序数

自然数用来表示物体多少时，叫作基数；用来表示物体次序的时候叫作序数。

如：教室里一共20把椅子，20就是基数；小红是第12个进教室的学生，12就是序数。

3、计数单位和十进制计数法

一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。

10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10o这样的计数法叫做十进制计数

法。

4、数位顺序表

数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。如：2019中的2排在右起第四位,

也是就千位。

位数：位数是指一个自然数中含有数位的个数。如：1234含有四个数位，则1234就是四位数。

数级：我国采用四位分级法，从个位起，每四个数作为一级。如：个、十、百、千四位称作个级。

数位顺序表：

数级......亿级万级个级

数位......千百十亿千百十万千百十个

亿亿亿万万万

位位位位位位位位位位位位

计数......千百十亿千百十万千百十

单位亿亿亿万万万/个

5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一

个"亿"或''万"字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个。都只读一个零。

6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

7、整数的改写：一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时

还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

(1)准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后

的数是原数的准确数。例如，把1254300000改写成以“万”做单位的数是125430万；改写成以“亿”做

10

单位的数是12.543亿。

(2)近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。

例如：1302490015省略“亿”后面的尾数是13亿。

(3)四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位

进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。

如：732890省略万后面的尾数，732890p73万

8、整数大小的比较：位数不同的，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，

那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。以此类推。

(-)小数

1、小数的意义

(1)把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用

17

小数表示。如而记作0.1,而记作°・07。

(2)一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

(3)一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整

数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

(4)小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一(0.1)；第二位叫百分位，计数单位是百分之一

(0.01)……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做

几位小数。如0.36是两位小数，3.066是三位小数

(5)在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部

分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次

读出每一位数位上的数字。

3、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写

出每一个数位上的数字。

4、比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大

的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

5、小数的分类

按整数部分分：

11

「触小数

小数J

L带小数(混小数)

按小数部分分：

r有限小数

C纯循环小数

小数J「无限循环小数1

无限小氮，〔混循环小数

无限不循环小数

(1)纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25,0.368都是纯小数。

(2)带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。

(3)有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。

(4)无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……3.1415926……

(5)无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

例如：口

(6)循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

例如：3.555...0.0333...12.109109...

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

例如：3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。

(7)纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……

(8)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上

各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

(三)分数

1、分数的意义

(1)把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数

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线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

(2)把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

2、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

3、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

4、比较分数的大小：

(1)分母相同的分数，分子大的那个分数就大。

(2)分子相同的分数，分母小的那个分数就大。

(3)分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。

(4)如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部

分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。

(5)分子分母都不同的分数还可以采用交叉相乘再比较。

(6)与1做差比较，与1的差大的分数反而小。

(7)比较倒数，倒数大的这个分数小。

(8)化为小数比较大小

(9)约分后比较大小

(10)找中间数作差

5、分数的分类

按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数

(1)真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

(2)假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

(3)带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

6、分数和除法的关系及分数的基本性质

(1)除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成

被除数就是分子。

(2)由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。

(3)分数的分子和分母都乘或者除以相同的数S除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是

约分和通分的依据。

7、约分和通分

(1)分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

(2)把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

B

(3)约分的方法：用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

(3)一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如

果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

(4)把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

(5)通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

8、倒数

(1)乘积是1的两个数互为倒数。

(2)求一个数(0除外)的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。

(3)1的倒数是1,0没有倒数。

(四)百分数

1、百分数的意义

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数也叫做百分率或百分比。百分数通常用“％”来表示。

百分号是表示百分数的符号。

2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“％”来表示。

4、百分数与折数、成数的互化：

例如：三折就是30%,七五折就是75%,成数就是十分之几，如一成就是10%,则六成五就是65%。

5、纳税和利息：

税率：应纳税额与各种收入的比率。

利率：利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。

利息的计算公式：利息=本金X利率X时间

6、百分数与分数的区别主要有以下三点：

(1)意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，

不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的20%,不可以说“一段绳子长为20%米。”因此，百分

数后面不能带单位名称。分数是“把单位T'平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅可

33

以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3,乙数是4,甲数是乙数的工；还可以表示一定的数量，如：-

44

米等。

(2)应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测

14

量、计算中，得不到整数结果时使用。

(3)书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十五，写作:

45%；百分数的分母固定为100,因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公因数，都不约分；百分数

的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、

带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。

7、数的互化

(D小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，

能约分的要约分。

(2)分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，

一般保留三位小数。

(3)一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如

果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

(4)小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

(5)百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

(6)分数化成百分数：通常先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

(7)百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

(五)数的整除

1、整除的意义

整数a除以整数b(bW0),除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

除尽的意义：甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为。时，我们就说甲数能被乙数除尽，(或

者说乙数能除尽甲数)这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数(乙数不能为0)。

2、因数和倍数

(1)如果数a能被数b(b#0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约

数是相互依存的。

(2)一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。

(3)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3、奇数和偶数

(1)自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

①能被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。

E

②不能被2整除的数叫做奇数。

(2)奇数和偶数的运算性质：

①相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。

②奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数，

奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；奇数X奇数=奇数，奇数X偶数=偶数，偶数义偶数=

偶数。

4、整除的特征

(1)个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

(2)个位上是。或5的数，都能被5整除。

(3)一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

(4)一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

(5)能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

(6)一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。

(7)一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。

5、质数和合数

(1)一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100以内的质数有：2、3、5、

7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

(2)一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。

(3)1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同

分类，可分为质数、合数和1。

6、分解质因数

(1)质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，

例如15=3X5,3和5叫做15的质因数。

(2)分解质因数

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。先用能整除这

个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

(3)公因(约)数

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。

公因数只有1的两个数，叫做互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况：

E

①和任何自然数互质；

②相邻的两个自然数互质；

③当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；

④两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

（4）公倍数

①几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。

求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，

然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。

②几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两

两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

二、性质和规律

（-）商不变的规律

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。

（二）小数的性质

小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

I、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点

向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……

2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点

向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……

3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0〃补足位。

（四）分数的基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

V

三、运算法则

(-)整数四则运算的法则

1、整数加法：

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。

加数+加数=和一个加数=和一另一个加数

2、整数减法：

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分

别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3、整数乘法：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。

在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。

一个因数X一个因数=积一个因数=积+另一个因数

4、整数除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。

被除数个除数=商除数=被除数+商被除数=商乂除数

(二)小数四则运算

1、小数加法：

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2、小数减法：

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算

3、小数乘法：

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是

E

求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。

4、小数除法:

小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

(三)分数四则运算

1、分数加法：

分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2、分数减法:

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

3、分数乘法:

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。

4、分数除法:

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

(四)运算定律

1、加法运算定律

(1)加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

(2)加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的

和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。

2、乘法运算定律

(1)乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb=bXa。

(2)乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们

的积不变，即(aXb)Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，即(a+b)Xc=aXc+b

Xco

(4)乘法分配律扩展：

两个数的差与一数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减，即(a-b)Xc=aXc-bXc

E

3、减法运算定律

(1)从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。

(2)一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数，即a-b-c=a-c-b。

4、除法运算定律

(1)一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的集，即a+b+c=a+(bXc)。

(2)一个数连续除以两个数，可以先除以第二除数，再除以第一个除数，即a+b+c=a+c+b。

5、其它

a-b+c=a+c-b

a-b+c=a+(b-c)

a-?bXc=aXc4-b

a+bXc=a+(b+c)

6、积的变化规律：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，积也扩大(或缩小)相

同的倍数。

推广：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。

一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。

7、商不变性质：在除法中，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。

mWOa+b=(aXm)+(bXm)=(a+m)+(b+m)

推广：被除数扩大(或缩小)A倍，除数不变，商也扩大(或缩小)A倍。

被除数不变，除数扩大(或缩小)A倍，商反而缩小(或扩大)A倍。

利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要注意余数。如：8500・

200=可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85+2=,商不变，但此时的余数1是被缩小100被后

的，所以还原成原来的余数应该是100。

(五)计算方法

1、整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

2、整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起,

再减。

3、整数乘法计算法则：

23

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的

末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。

4、整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的

哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。

5、小数乘法法则：

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；

如果位数不够，就用“0”补足。

6、除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就

在余数后面添“0”，再继续除。

7、除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补'"'），然后按照除数

是整数的除法法则进行计算。

8、同分母分数加减法计算方法：

同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

9、异分母分数加减法计算方法：

先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。

10、带分数加减法的计算方法：

整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

11、分数乘法的计算法则：

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分

母相乘的积作分母。

12、分数除法的计算法则：

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

（六）运算顺序

1、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

3、没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

2L

4、有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。

6、第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。

四、应用

(一)整数和小数的应用

1、简单应用题

(1)简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。

(2)解题步骤:

A审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄

明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。

B选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的

条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。

C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现

错误，马上改正。

2、复合应用