苏教版高数选修2-3第5讲：二项分布(教师版)

二项分布____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型.3.熟练掌握二项分布及其公式.4.能利用二项分布解决简单的实际问题.1.条件概率(1)条件概率的定义：一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(A|B).(2)条件概率的公式：P(A|B)=P(B)>0(有时P(AB)也记作P(AB)，表示事件A、B同时发生的概率).2.两个事件的相互独立性(1)相互独立事件的概率乘法公式，对于等可能性事件的情形可以一般地给予证明.设甲试验共有种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有种，乙试验共有种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有种.由于事件A与B相互独立，这里的种数与之间互相没有影响.那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有种不同的搭配，显然，这些搭配都是具有等可能性的.现在考察属于事件AB的试验结果.显然，凡属于A的任何一种甲试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有种，因此得所以P(AB)=P(A)·P(B).(2)一般地，可以证明，事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)=0，于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A与B相互独立，则事件A与，与B，与也都相互独立.3.n次独立重复试验一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)=p>0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验.4.二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)=其中0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n，p).5.二项分布公式在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为k=0，1，2，…，n，它恰好是的二项展开式中的第k+1项.其中每次试验事件A发生的概率为p(0<p<1)，即P(A)=p，P()=1-p=q.类型一.条件概率例1：抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________.[答案][解析]令点数不超过3为事件A，点数为奇数为事件B，则P(AB)=又P(A)所以练习1：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张.已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.[答案][解析]设第1次抽到A为事件M，第2次抽到A为事件N，两次都抽到A为事件MN，从52张扑克牌中不放回地抽2张的事件总数为2652，由分步计数原理，事件M的总数为故P(M)事件MN的总数为故P(MN)由条件概率公式，得类型二.两个事件的相互独立性例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任抽一件.(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？[解析]分别用A，B表示从甲、乙机床的产品中抽得正品.由题意知A，B是相互独立事件.(1)P(AB)=P(A)·P(B)=0.96×0.95=0.912；(2)(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.练习1：袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件若上题中的“不放回”改为“有放回”，则A与B是()[答案]Ｄ，Ｂ[解析]由题意知P(A)=，P(B)=，用AB表示第一次摸得白球且第二次也摸得白球.则P(AB)而P(A)·P(B)≠P(AB)，故A与B，是不相互独立事件；若改为有故回地摸球，则P(A)=，P(B)=P(AB)故P(A)·P(B)=P(AB)，所以A与B是相互独立事件类型三.n个事件相互独立例3：有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验.(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(结果都精确到0.001).[解析]设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.(1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，则因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)至少有两件不合格的概率为0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012.故至少有两件不合格的概率为0.012.练习1：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率.[解析](1)设事件A为“甲投篮一次，投中”，事件B为“乙投篮一次，投中”，则事件AB为“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件A与B相互独立，则所求概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)所求概率为：=0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.因此,至少有一人投中的概率为：1-0.16=0.84.类型四.n次独立重复试验及二项分布例4：某一种玉米种子，如果每一粒发芽的，概率为0.9.播下五粒种子，则其中恰有两粒末发芽的概率约是()A.0.07 B.0.27 C.0.30 D.0.33[答案]A[解析]相当于做5次独立重复试验.练习1：某射击手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标次数X的概率分布表.[解析]本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的概率分布属二项分布，可直接由二项分布公式得出.在独立重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布X～B(n，p).由已知，n=4，p=0.8，P(X=k)k=0，1，2，3，4，所以P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=所以，X的概率分布表为：Ｘ０１２３４Ｐ0.00160.02560.15360.40960.4096类型五.独立重复试验和二项分布的应用例5：某排球队参加比赛，每场比赛取胜的概率均为80%，计算：(1)5场比赛中恰有4场胜出的概率；(2)5场比赛中至少有4场胜出的概率.[解析](1)记“比赛1场，结果胜出”为事件A，比赛5场相当于做5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式，5场比赛中恰有4场胜出的概率，即5场比赛中恰有4场胜出的概率约为0.41.(2)5场比赛中至少有4场胜出的概率，就是5场比赛中恰有4场胜出的概率与5场比赛都胜出的概率的和，即0.74.即5场比赛中至少有4场胜出的概率约为0.74.练习1：某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9.求他至少有2次中靶的概率.[解析]在5次射击中恰好有2次中靶的概率为在5次射击中恰好有3次中靶的概率为在5次射击中恰好有4次中靶的概率为在5次射击中5次均中靶的概率为至少有2次中靶的概率为0.0081+0.0729+0.32805+0.59049=0.99954.1.甲射击命中目标的概率是eq\f(1,2)，乙命中目标的概率是eq\f(1,3)，丙命中目标的概率是eq\f(1,4).现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)[答案]A2.面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投篮一次投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是则小明在一次上学中遇到红灯的概率[答案]B3.下列说法正确的是()A.P(A|B)=P(B|A) B.0<P(B|A)<1C.P(AB)=P(A)·P(B|A) D.P(AB|A)=P(B)[答案]C4.独立重复试验应满足的条件是：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是()A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④[答案]C5.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次试验中发生k次的概率为()A. B. C. D.[答案]D6.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A. B. C. D.[答案]C7.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A. B. C. D.[答案]D8.篮球运动员在三分线投球的命中率是他投球10次，恰好投进3个球的概率为________.(用数值作答)[答案]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.（2014新课标全国卷Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45[答案]A2.设随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)等于()A.eq\f(5,16) B.eq\f(3,16) C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,8)[答案]A3.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．[答案]eq\f(3,5)4.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．[答案]0.725.设随机变量X～B则P(X=3)为()A. B. C. D.[答案]A6.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是()A.0.18 B.0.28 C.0.37 D.0.48[答案]A7.把10枚骰子全部投出，记出现6点的骰子个数为则P(≤2)等于()A. B.C. D.以上都不对[答案]B8.有5粒种子，每粒种子发芽的概率均是98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是()A. B. C. D.[答案]C能力提升1.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则P(Y≥2)的值为()A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27) C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)[答案]B2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取红球，,1，第n次摸取白球，))如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(5) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5)[答案]B3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________.(精确到0.01)[答案]0.944.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为假设他们破译密码彼此是独立的，则此密码被破译的概率为()A. B. C. D.不能确定[答案]A5.某射手每次击中目标的概率是eq\f(2,3)，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．[答案]6.（2015安徽卷节选）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；[解析]P==7.（2014山东卷节选）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1­4所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,2)，在D上的概率为eq\f(1,3)；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,5)，在D上的概率为eq\f(3,5).假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；[解析]记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq