2024年高考数学 全等与相似模型之十字模型（含答案）

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全等与相似模型之十字模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角

及一组全等的三角形。

1）如图1,在正方形N8CD中，若£、尸分别是8C、CD上的点，AE1BF；则AE=BF»

2）如图2,在正方形/BCD中，若E、F、G分别是2C、CD、上的点，AE1GF；则AE=GF。

3）如图3,在正方形48c。中，若£、F、G、〃分别是8C、CD、AB、40上的点，EHLGF-,则HE=GF。

模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

例1.（2223下•广东•课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点/折叠至DC边上的点

E,使DE=5,若折痕为尸。，则尸。的长为（）

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A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【分析】过点尸作PM18C于点由折叠得到P0L4E,从而得到乙乙4尸0,可得△PQM三A4DE,从

而得到「。=/£,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：过点尸作PM15C于点”，由折叠得到尸QL4E,.•.乙D/E+乙4P0=90。，

在正方形48CD中，AD\\BC,〃）=90。，CD1BC,

■■■ZJDAE+Z-AED=90°,■•■ZAED-/-APQ,/-APQ-Z.PQM,■■■/-PQM-/-APQ-/-AED,

■■■PMLBC,：.PM=AD,-：/-D=Z-PMQ=90a,:APQM三5DE,：.PQ=AE,

在RtA4DE中，DE=5,AD=12,由勾股定理得：AE=^52+122=13--.PQ=13.故选：A.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△尸0初三〜。片是解题

的关键.

例2.（2024年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形4BCD中，AB=12,点、E,厂分别在边3C,

CD上，/E与8尸相交于点G,若BE=CF=5,则8G的长为.

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■一60

【答案】F

【分析】根据题意证明A/BE会△8CF（SAS）,MEBG^MFBC,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：四边形ABCD是正方形，.•.N48E="=9O。，AB=BC,

■：BE=CF,.1△/BEgA8CF（SAS）,ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABG=90°,：.ZBAE+ZABG^90°,:.ZBGE=90°,ZBGE=ZC,

又•••ZEBG=NFBC,:VEBGWFBC,

BCBF

2222

vBC=AB=n,CF=BE=5,BF=^BC+CF=V12+5=13.

BG56060

••.『K.MG=ir故答案为：1r

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质

是解题的关键.

例3.（2024安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形/BCD中，点£、F、H分别是4B、BC、CD的中点,

CE、DF交于G,连接ZG、HG.下列结论：①CE工DF；@AG=DG；③NCHG=NDAG；

@2HG=AD.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用正方形的性质找条件证明V8CE丝VCD尸（SAS）,则=尸，ZBCE+ZECD=90°

得至叱ECO+/C。尸=90。，则NCGO=90。，即可判断①；连接/〃，同理可得：出△OCF（SAS）,

AH1DF,在Rt^CG。中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HG=^-CD=^-AD,即可判

22

断④；可得VDG〃是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到OK=GK,N”垂直平分DG,AG=AD；

假设/G=OG,推出矛盾，则/GwDG,即可判断②；证明△/DG是等腰三角形，由三线合一可知

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/DAG=2/DAH,由△4D"四△QC厂得到=NCD尸，由GH=DH得至I]/HDG=NHGD,由三角形

外角的性质得到NCHG=2ZCDF=2ZDAH,即可判断③.

【详解】解：•••四边形48。是正方形，.•.48=JBC=CD=4D,NB=/BCD=NADC=90°,

•••点E、F、〃分别是43、BC、CD的中点，.•.JBE=CF,

BE=CF

在VBCE与VCDF中,=NDCF,BCE会VCDF(SAS),NECB=NCDF,

BC=CD

■：ZBCE+ZECD=90°,：.AECD+NCDF=90°,

.■.ZCGD=90°,.-.CE1DF；故①正确；连接如图所示:

同理可得：A4DH出△DCF（SAS）,AHIDF,在RtACGZ>中，X是CO边的中点，

；.HG=；CD=；AD,即2HG=/。；故④正确；

=.•.VDG〃是等腰三角形，.•.！«=GK,垂直平分DG,：.AG=AD-,

若/G=Z）G,则△/OG是等边三角形，则/4DG=60。，ZCDF=ZADC-ZADG=30°,

贝=尸，而CF=；8C=；CD,与£>R>CD矛盾，

.-.ZCDF^30°,.-.ZADG^60°,：.AG^DG,故②错误；

•・・/G=4D,是等腰三角形，

■.■AH1DF,：.ZDAG=2ZDAH,^ADH^/XDCF,ADAH=ACDF,

•••GH=DH,ZHDG=ZHGD,.-.ZCHG=ZHDG+ZHGD=2ZCDF=2ZDAH,

；.NCHG=NDAG；故③正确；正确的结论有3个，故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的

性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键.

例4.（广西2024-2024学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形/BCD中，E为边48上一点（点

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£不与点重合），连接过点N作加工庞，交BC于点尸，证明：DE=AF.

（2）探究：如图②，在正方形/BCD中，E,尸分别为边48,C。上的点（点E,尸不与正方形的顶点重

合），连接斯，作斯的垂线分别交边AD,BC于点G,H,垂足为。.若E为48中点，DF=\,

4B=4,求G”的长.（3）应用：如图③，在正方形/BCD中，点£,尸分别在3C,CD上，BE=CF,

BF,/E相交于点G.若NB=3,图中阴影部分的面积与正方形48co的面积之比为2：3,则V/8G的面积

为,V/8G的周长为.

图①图②图③

【答案】（1）见解析；（2）GH=后；（3）-,V15+3

【分析】感知：由正方形的性质得出乙DAE=UBF=90。,证得乙4。£=必/尸，由4SL4证得

ADAE=AABFCASA）,即可得出结论；

探究：分别过点/、D作AN〃GH,DM〃EF,分别交BC、4B于点、N、M,由正方形的性质得出

AB//CD,AB=CD,乙DAB=4B=9G°,推出四边形。Affi户是平行四边形，ME=DF=\,DM=EF,证出

DM].GH,同理，四边形/GHN是平行四边形，GH=AN,ANA.DM,证得乙由/取证得

AADM=ABAN,得出推出DM=GH,由£为48中点，得出/£=：48=2,则4W=/E-

1-由勾股定理得出。=*7,即可得出结果;

应用：S正方/ABCD=9,由阴影部分的面积与正方形A8CD的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,

空白部分的面积为3,由"S证得A42E三ABC凡得出乙BE4=4FC,S&ABG=S四边形CEGF,贝US/8G=

313

乙FBC+乙BEA=90°,贝此5GE=90。，UGB=90。,设4G=eBG=b,则,仍=,,2ab=6,由勾股定

理得出序+〃=452=32,a2+2ab-^b2=15,即（a+b）2=15,得出即可得出结果.

【详解】证明：•・•四边形45CD是正方形，

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图②

AD=AB,ZDAE=ZABF=90°,

；AF_\_比,/.ZDAF+ZBAF=90°,ZDAF+ZADE=90°,/.ZADE=ZBAF,

ZADE=ZBAF

在VZUE和△48尸中，［AD=AB,：.\/DAE^/\ABF(ASA),；.DE=AF.

/DAE=/ABF

探究：解：分别过点4、。作/N〃GH,DM//EF,分别交BC、AB于点N、M,如图②所示:

•・・四边形45CD是正方形，.・.4B〃CQ,AB=CD,/DAB=/B=90。,

・••四边形。河£尸是平行四边形，.•.ME=DF=LDM=EF,

vAN//GH,GH1EF,；.DMLGH,

同理，四边形4GHV是平行四边形，.•.G”=AN,

-DM//EF,GH1EF,/.AN1DMf/.ADAN+ZADM=90°,

vADAN+/BAN=90°，:.ZADM=/BAN,

/ADM=/BAN

在河和VB/N中，\AD=AB,

ADAM=/ABN=90°

.♦.△ADMzYBAN(ASA),DM=AN,/.EF=GH=DM=AN,

•・・E为45中点，/.AE=-AB=2,/.AM=AE-ME=2-1=1,

2

-DM=^AD2+AM2=V42+12=V17，-GH=V17.

应用：解：・・・Z3=3,・・.S_/8CD=3x3=9,

・•・阴影部分的面积与正方形45cZ)的面积之比为2：3,

・•・阴影部分的面积为：枭9=6,••.空白部分的面积为：9-6=3,

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1BE=CF

在a/BE和尸中，\£）ABE=QBCF=9Q°,.-.AABE^ABCF（SAS）,

\AB=BC

工乙BEA=cBFC,SMBG=S四边形CEGF,

13

.­.S^5G=-x3=-,dBC+乙BEA=9b,；/BGE=90。,；2GB=90。,

设4G=〃，BG=b,贝.•.2qb=6,

,：a2+b2=AB2=32,^.a2+2ab+b2=32+6=15,即（a+b）2=15,而a+b>0,

3

--a+b=415,即3G+NG=JiW,.•.AABG的周长为岳+3,故答案为：-,V15+3.

【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角

形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关

键.

模型2.矩形的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

如图1,在矩形/BCD中，若E是48上的点，5.DELAC,则%=些.

ACAB

如图2,在矩形/BCD中，若E、尸分别是48、CD上的点，>EF1AC,则——=—.

ACAB

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FFRC

如图3,在矩形/BCD中，若E、F、M,N分别是48、CD、AD、2c上的点，且EFLMN,则——=—

MNAB

例L（2223下•广西•九年级期中）如图，把边长为43=2应，8C=4且N8=45。的平行四边形Z3CD对

折，使点8和。重合，求折痕AGV的长.

【分析】先证明△。河G,得至IJT7==R7，求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的长度，再

利用全等三角形的性质，即可得到答案.

ZMDF=ZDFB=90°，:.ZMDB+ZBDF=90°,

又,：MN工BD,：.ZDMG+ZMDG=90°,ZBDF=ZDMG,

DFBF

又•••ZBFD=ZDGM=90°,：-ABDF一丛DMG,——=——，

MGDG

AB=2正且N4BF=45°,：.BE=DF=2,

又•；BC=4.：.BF=BC+CF=BC+DF=6,

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BD=y/BF2+DF2=A/62+22=2V10>:.DG=；BD=5，

：.MG=0F，DG=2x710=Vw,BG=DG,MN±BD,ZMDB=ZDBF，

BF63

:.丛DMG”丛BNG,：.MG=NG,MN=2MG=.

3

【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到△8〃尸"从而求出所需边的长

度.

例2.（2223下•河北•九年级期中）如图，在矩形/8C。中，E、F、G、H分别为40、BC、AB、CD

边上的点，当即_LG〃时，证明：EF:GH=AB:BC.

【答案】见解析

【分析】过点尸作尸于点“，过点G作GNLCD于点N,先根据余角的性质证明

4MEF=ZGHN,再证明△GN〃即可证明结论成立.

【详解】证明：如解图，过点尸作为0，/。于点M,过点G作GNLCD于点N,

■.■FM1AD,且四边形/BCD为矩形，

FMI/CD,：.N1=NGHN,ZEFM+ZMEF=90°.

又•:EF1GH,：.NEFM+N1=9Q°,："MEF=NGHN.

又•:NFME=NGNH=90°,:.丛FME“丛GNH,

EF:GHMF:GN=AB:BC.

【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解答本题的关键.

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例3.（22-23・贵港・中考真题）己知：在矩形/BCD中，AB=6,AD=20尸是3c边上的一个动点，将

矩形"BCD折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处，折痕为EF.

（1）如图1,当点P与点C重合时，则线段£2=,EF=；

（2）如图2,当点尸与点8,C均不重合时，取E尸的中点O,连接并延长尸。与G厂的延长线交于点",

连接尸尸，ME,MA.

①求证：四边形ME尸尸是平行四边形：②当tan/M4D=g时，求四边形MEPF的面积.

图1图2

【答案】（1）2,4；（2）①见解析；②竽

【分析】（1）过点F作FH1AB,由翻折的性质可知：AE=CE,ZFEA=ZFEC,NG=NA=90。根据平行线的性

质和等量代换可得NCFE=NFEC,由等角对等边可得：CF=CE,设AE=CE=x,BE=6-X,在Rt^BCE中，由

勾股定理可得关于x的方程，解方程求得X的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF

是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；

（2）①根据折叠的性质可得MG//PE,进而可得/儿不。=/P£。，根据已知条件可得。尸=。£,从而易证

△FOMHEOP,进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；

②连接P4与EF交于点H,则EF_LPN且尸〃=又由①知：PO=MO,MAIIEF,则

继而易证NMAD=PAB,接根据三角函数求得PB,设PE=x,则3£=6-x,根据勾股定理可得关于x的方

程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解.

【详解】解：（1）EB=2,EF=A；过点F作FH1AB,

,•,折叠后点A、P、C重合，.AE=CE,ZFEA=ZFEC,

•••CD||AB；.NCFE=NFEA,.-.ZCFE=ZFEC,.・.CF=CE=AE,

设AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-x,

在RSBCE中，由勾股定理可得2c2+m2=以2,gp（2V3）2+（6-X）2=X2

解得：x=4,即AE=CE=CF=4;.BE=2、DF=2,

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•.2D=NA=NFHA=90。.•.四边形DAHF是矩形,

••.FH=AD=2百、EH=AB-BE-AH=6-2-2=2

在RtaEFH中，由勾股定理可得:

(2)①证明：如图2,•••在矩形48co中，CDHAB,

由折叠(轴对称)性质，得：MG//PE,ZMFO=ZPE0,

,•,点。是E尸的中点，.5=0E,XZF0M=ZE0P,,­,AFOM^^EOP,

；.MF=PE,.•.四边形MET方是平行四边形：

②如图2,连接R4与交于点〃，则即_LR4且=,

又由①知：PO=MO,：.MAHEF,则

又DALBA,.­.ZMAD=ZPAB,•­,tanZMAD=tanZPAB=-

3

PB1

在RNPAB,tanZPAB=—=-,^AB^6,：.PB=2,

AB3

又在RNPEB中,若设尸E=x,则BE=6-x,

由勾股定理得：x?—(6—x)=2~,贝!］尸E=x=w，而PG_LAfG且尸G=40=2,

又四边形MEPF是平行四边形，.•・四边形MEPF的面积为尸ExPG=3x26=迎.

33

【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判

定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线.

例4.(2024年四川乐山中考数学适应性试卷)解答

图1图2图3

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⑴如图1,矩形ZBCQ中，EFLGH,EF分别交AB,CD于点E,F,G”分别交4),3C于点G,H.求证:

FFADFF11RN

华=*；(2)如图2,在满足(1)的条件下，点/，N分别在边8C,上，若优=£，求*的值;

GHABGH15AM

DN

⑶如图3四边形/BCD中，4LBC=90。，42=40=10,AMLDN,点、M,N分别在边8C,AB±.,,求——

AM

的值.

114

【答案】⑴见解析(2)石⑶]

【分析】(1)过点/作/川斯，交CD于P,过点2作B0IIG8,交4D于0,如图1,易证4P=ERGH

=BQ,△PDAMQAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

(2)只需运用(1)中的结论，就可得到名=与=整，就可解决问题；

GHABAM

(3)过点。作平行于的直线，交过点/平行于2c的直线于凡交8C的延长线于S,如图3,易证四

边形/3SR是矩形，由(1)中的结论可得器=当.设SC=x,DS=y,则4R=8S=5+x,RD=10-y,

AMAB

在M/kCSD中根据勾股定理可得N+J?=25①，在必ZUR。中根据勾股定理可得(5+无)2+(10-y)2=

100②，解①②就可求出x,即可得到/R,问题得以解决.

(1)解：过点N作/尸||£尸，交CD于P,过点8作BQIIG”,交4。于0，如图1

O,PFCD----FNCRDS

AEBAEB

ANB

图图

12图3

•••四边形"BCD是矩形，••4BILDC,ADWC.

，四边形/£户尸、四边形都是平行四边形，GH=BQ.

又rGHLEF,-.AP1BQ,：./.QAT+/-AQT=90°.

•••四边形/BCD是矩形，.-.ADAB=^D=90a,：.乙DAP+乙DPA;=90°,

APADEFAL

.■.^AQT=^DPA..-.APDA^QAB,—=—,-

(2)如图2,"EF1GH,AMLBN,

,,、EFADBNADBNEl11

.♦.由(1)中的结论可得——=——，——=——，——=—

GHABAMABAMG1i15,

(3)过点。作平行于N3的直线，交过点/平行于8C的直线于凡交2C的延长线于S,如图3,

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则四边形是平行四边形.・••乙48C=90。，.・・□/AST?是矩形,

・・・〃=ZS=9O°,RS=4B=10,AR=BS.

,_i_/_L_>A—r/口DNA.R

•.♦NMirw,•,.由（ix）中的结论可得——=——.

AMAB

设SC=x,DS=y,贝l|NR=8S=5+x,7?。=10-y,•••在&△GST）中，x2+y2=25（l）,

在RDM中，（5+x）2+（10-y）2=100②，由②-①得x=2y-5③，

x2+y2=25x=3

解方程组（舍去），或

x=2y-5y=4

DN_AR84

•••4R=5+x=8,

105

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等

知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键.

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如图1,已知等边BD=EC（或CD=/E）,则且ND和8E夹角为60。，AABC。

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如图2,在A42C中，AB=BC,AB±BC,①。为2c中点，②BFLAD,③AF：FC=2：1,④

乙BDA"CDF,⑤乙AFBMCFD,⑥乙4EC=135°,@AE=y[lEC,以上七个结论中，可“知二得五”。

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3）直角三角形中的十字模型：

如图3,在三角形48c中，BC=kAB,ABLBC,。为8c中点，BFLAD,贝UNF：FC=2：F,（相似）

例：1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△/8C中，D、£分别是8C、NC上的点，且3O=CE,AD

与BE相交于点P.下列结论：®AE=CD-,（2）AP=BE；③NPAE=/ABE；@ZAPB=nO°,其中正

确的结论是（填序号）

【解答】解：①因为NC=BC,BD=CE,所以/£=CD.故①正确,

②•.•△43C是等边三角形，；./4BZ）=/C=60°,AB=BC.

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rAB=BC

在△48。与△2CE中，，NABD=NC，:•△ABD"ABCE(SAS)；:.AD=BE.故②错误；

LBD=CE

③由②知等△3CE,所以NDAB=/CBE,则NP/£=N/8£,故③正确；

④\,由②知等△BCE.；.NBAD=NEBC,；./BAD+NABP=NABD=60°.

；//PE是△NAP的外角，ZAPE=ZBAD+ZABP=60°,ZAPB=nO°,故④正确.

例2.(2223下,淄博•一模)如图，等边VABC,点、E,尸分别在NC,8c边上，AE=CF,连接//，BE,

相交于点尸.⑴求NAPF的度数；(2)求证：BPBE=BFBC.

BFC

【答案】(1)/BPF=6O。；(2)见解析

【分析】(1)根据SAS证明△A4E之利用三角形的外角性质即可得解;

(2)证明45尸尸利用对应边对应成比例列式即可.

【详解】(1)解：•••V/8C是等边三角形，.•.48=/C,ZBAE=ZACF=60°,

又AE=CF,；.ABAE2AACF(SAS)ZABE=/CAF,

ZBPF=AABP+ZBAP=ZCAF+NBAP=ABAC=60°；

(2)证明：/BPF=60°,ZBCE=60°,："BPF=NBCE.

BPBF

•：4BF=NCBE：.ABPFs^BCE,：.—=—,BP-BE=BF-BC.

BCBE

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据等边三角形的性质和已知条

件证明三角形全等是解题的关键.

例3.Q223下•无锡•阶段练习）如图，在边长为6的等边V/BC中，D、E分别为边BC、/C上的点，AD

与3E相交于点P,若8£>=CE=2,则44尸£=。；则V/8P的周长为.

B

D

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42+18/

【答案】120

7

【分析】根据“S证V/5D丝V8CE,得出乙4尸8=120。，在上取一点尸使C7=CE=2,则

BF=BC-CF=4,证YAPBsVBFE,根据比例关系设8P=x,则4P=2x,作14D延长线于77,利

用勾股定理列方程求解即可得出BP和好的长.

【详解】解：••・V/8C是等边三角形，.1/8=8。，/4&D=/C=60。,

AB=BC

在△48。和V3CE中,<AABD=NCNABD到BCE(SAS),；.ABAD=ACBE,

BD=CE

/.NAPE=ZABP+ABAD=NABP+ACBE=/ABD=60°,ZAPB=120°,

在。5上取一点厂使CF=CE=2,贝产=5C—CF=4,

ZC=60°,「.VCE户是等边三角形，ZBFE=120°,BPZAPB=ZBFE,:VAPBs'BFE,

APBF4

A—=—=-=2,设BP=x,贝!]4P=2x,作皿延长线于

BPEF2

x八r5

•/ZBPD=ZAPE=60°,:.ZPBH=30°,:.PH=-,BH=—X,**-AH=AP+PH=2x+-=-x,

2222

在RtV/8”中，AH2+BH2=AB2,B|J(|X)2+(^X)2=62,解得工=字或-亨(舍去)，

;.AP=^~,BP=—,,V/BP的周长为/8+2P+8P=6+^^+辿=6+^^=^^^,

777777

故答案为：120,42+180.

7

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等

知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键.

例4.（2223下•六安•一模）如图1,等边V4BC中，点。、E分别在BC、AC±,S.BD=CE,连接/£＞、BE

交于点凡⑴求证：///芭=60。；⑵如图2,连接CF,若BD=；BC,判断CF与的位置关系并说明理

由；（3汝口图3,在（2）的条件下，点G在NE上，GF的延长线交2。于“，当/G=/G=5时，请直接写出

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线段F”的长.

图1图2图3

【答案】①详见解析⑵，详见解析(3)2

【分析】(1)因为V/3C为等边三角形，所以4BD=4CE=60",AB=AC=BC,又BD=CE,即可判定

△ABDmYBCE,根据全等三角形的性质得出ABAD=NCBE,利用三角形外角性质解答即可；

(2)延长2E至使厂”=/尸，连接NM、CM,取印的中点N,连接。V,可证得是等边三

角形，得出NE4M=60°,AF=AM=FM,再证得/三V/C"(SNS),推出a4FM=NCW,

CM//AF,证得△/MsVCE”，推出FA/=2CM,结合点N是尸N的中点，得出CM=MN=FN,MCMN

是等边三角形，进而可得NMCN=NMVC=60。，CN=MN,推出

ZAFC=ZAFM+ZNFC=600+30°=90°,即CF_L4D；(3)延长AE■至使FA/=4F,连接

DFBD1

AM.CM,取4D的中点K,连接GK,可得YBDF“YBCM,——=—=一，推出40=7。/，再由GK

CMBC3

是V/CA的中位线，可得GK//BC,G^=1cz>=|xy=y,FK=DK-DF=^DF,再由V。尸〃一

\IKFG,可得里=变=2,进而可得出7=2,再证得NB尸〃=/C8E,得出FH=BH=2.

GKFK5

【详解】(1)为等边三角形，.•.4g=ZC=5C,ZABD=ZBCE=600,

AB=BC

在4ABD和\JBCE中，*ZABD=ZBCE,；NABD=YBCE(SAS),/BAD=ZCBE,

BD=CE

■：ZADC=ACBE+ZBFD=ABAD+NB,：,ZBFD=NB=ZAFE=60°；

(2)CF±AD,理由如下：

如图，延长BE至朋r，使=N尸，连接/M、CM,取R0的中点N,连接。V,

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由⑴得：NAFE=60°,r是等边三角形，=60°,AF=AM=FM,

ABAC=ZFAM=ZAMF=60°,/.NBAC-ACAD=ZFAM-ACAD,即ZBAF=ZCAM,

在/和△/CM中，vAB=AC,NBAF=/CAM,AF=AM,

:.MABF三MACM(SAS),...ZAFB=ZAMC=180°-60°=120°,

ACME=ZAMC-ZAMF=120°-60°=60°,ZAFM=ACME,

CM//AF:.VAEF—VCEM,-----=,

AFAE

iiCE1

BD=—BC,BD=CE,BC=AC,:.CE=—AC即---=—,

33fAE2

gpAF=2CM,FM=2CM,

AF2

••,点N是尸M的中点，FM=2FN=2MN,CM=MN=FN,

又•.•NCM7V=6O。，是等边三角形，.•.NMCN=NJWC=60。，CN=MN,

：.CN=FN,ZNFC=ZNCF=30°,/.ZFCM=ZNCF+AMCN=300+60°=90°,

ZAFC=AAFM+ZNFC=600+30°=90°,/.CF1AD■,

(3)如图，延长BE至/,使FAf=4F,连接/M、CM,取4D的中点K,连接GK,

由(2)知：AF=FM=2CM,AABF空AACM,CM//AF,ZAFC=90°,

DFBD1

:MBDFBCM,——=—=一，CM=3DF,AF=6DF,AD=IDF,

CMBC3

AG=FG=5,ZCAF=ZAFG,ZCAF+ZACF=90°,ZAFG+ZCFG=90°,

ZACF=ZCFG,:.CG=FG=5=AG,.,.点G是NC的中点，AC=10=BC,

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,・,点K是的中点，，GK是V4CZ）的中位线，厂.GK〃8C,GK=—CD=—x--=--,

2233

175

vAK=DK=-AD=-DF,FK=DK-DF=-DF,

222

■：GK//BC,NDFHsX/KFG,—=—=DH=-GK=-x—=-,

GKFK55533

BD=-BC=—,:.BH=BD-DH=---=2,

3333

NBFH=ZEFG=ZAFE-NAFG=600-ZAFG=60°-ZCAF=ABAD=NCBE,FH=BH=2.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质,

三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线

构造全等三角形和相似三角形.

例5.（2223上•深圳,期中）如图，在MV/8C中，ZABC=90°,氏4=8C=3,点。为8C边上的中点，

连接4D,过点8作2EL4D于点E,延长3E交/C于点足则3尸的长为.

【答案】亚

【分析】以342C为邻边作正方形，延长3尸交CG为//,先求出NEBD=/B4D,再证明出

RtMABD^RtMBCH,得出即H为CG的中点，再证明V4F8svC,利用相似比及勾股定理即可求解.

【详解】解：以B48C为邻边作正方形，延长3尸交CG为如下图：

•.・ZBDE=ZADB,ABED=ZABD=90°,.MBED^MABD,：.NEBD=ZBAD,

itRtMABDRt\JBCH41，;NEBD=/BAD,ZHBC=ZDAB,

■：ZABD=ZBCH,AB=BC,：.RtMABD^RtMBCH,BD=CH,即H为CG的中点,

AB//CH,：.ZABF=ZCHF,ZBAF=NHCF.MAFB^MCFH,

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HFCH

:.BF=-BH,

3

■l-BH=^BC2+CH2=—,:.BF=-BH=-x—=45,故答案为：B

2332

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利

用相似三角形的相似比来求解.

例6.（2223下•沧州•二模）如图，在Rt445C中，ZABC=90°,48=8。，点。是线段a8上的一点,

连接CD,过点8作2GLCZ）,分别交C。、C4于点E、F,与过点/且垂直于的直线相交于点G,连

接DF,下列结论错误的是（）

AfZAT7B

A.冬=芸B.若点。是45的中点，则Zb

ABFC3

1

C.当2、C、F、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若二二刀，贝USV«BC=9SVB°F

ALJZ.

【答案】D

［分析］由\JAFGsVCFB,可确定A项正确；由7ABG4BCD可得4G=g43=g8C,进而由NAFGsVCFB

确定点厂为C4的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、。四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性

质得到/CED=//BC=90。，得到CD为圆的直径，因为5GLC。，根据垂径定理得到。尸=,故C项

Ap1

正确；因为D为的三等分点，V/FGsVCEB即次=刀，可得凡”©=，由此确定。项错误.

Cr3