第四章 指数函数与对数函数（B能力卷）（解析版）

指数函数与对数函数（B能力卷）班级______姓名_______考号______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．下列函数中，在区间上是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，由于，结合指数函数单调性可知，函数在区间上单调递增；对于B，的底数为10，且，结合对数函数单调性可知，函数在区间上单调递增；对于C，幂函数中指数为3，，结合幂函数单调性可知,函数在区间上单调递增；对于D，反比例函数，即，结合反比例函数单调性可知，函数在区间上单调递减.故选：D2．对任意实数a<1，函数y＝(1－a)x＋4的图象必过定点（）A．(0，4) B．(0，1)C．(0，5) D．(1，5)【答案】C【详解】解：令x＝0得y＝5，即函数图象必过定点(0，5).故选：C.3．已知f(x)＝log3x，则，f，f(2)的大小关系是（）A．f>f>f(2) B．f<f<f(2)C．f>f(2)>f D．f(2)>f>f【答案】B【详解】.因为f(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又因为2>>，所以f(2)>>故选：B4．若存在满足()，则a的取值范围是().A． B． C． D．【答案】A【详解】由存在满足可得，存在使得成立，所以小于的最大值.因为，所以在上单调递增，所以当时有最大值1.所以.故选：A.5．关于函数的单调性的说法正确的是（）A．在R上是增函数 B．在R上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数【答案】D【详解】由函数的解析式知定义域为，设，在上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，由复合函数的单调性可知在上是减函数，故选：D.6．设，则=（）A．3 B．-3 C．1 D．-1【答案】C【详解】因为，所以，则，所以，故选：C7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EFAC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：当点在上时，四边形是正方形，边长为2，，，，，，，，，，，，，，，，当点在上时，同理可得：，，故选：B8．已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵函数，方程有三个不等的实数根∴作出函数和图象，如图所示：设，根据函数对称性可得.令，得，所以，则的取值范围为.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．已知函数，则（）A． B．的最小值为2C．为偶函数 D．在上单调递增【答案】BC【详解】A：，错误；B：令，则当且仅当，即时取等号，正确；C：且，为偶函数，正确；D：由B，若，，则在上递减，在上递增，所以在上递减，上递增，错误；故选：BC.10．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（）A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0C．方程有无数个根 D．函数是增函数【答案】BC【详解】画出函数的图象，如下图所示：，对选项A，由图象得，函数无最大值，故A不正确；对选项B，由图知：函数的最小值为0，故B正确；对选项C，函数每隔一个单位重复一次，所以函数与函数有无数个交点，即方程有无数个根，故C正确；对选项D，图象可知函数不是单调递增，故D不正确.故选：BC.11．已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（）A．－4 B．－2 C．2 D．3【答案】AB【详解】当时，，即，则的值域为，当时，，则的值域为，若存在，使得，则，若，则或，解得或.所以当时，的取值范围为.故选：AB12．下面说法正确的有（）A．的零点是B．与互为反函数C．已知，则；D．不是偶函数【答案】BD【详解】A.令，所以的零点是，不是，所以错误；B.与互为反函数，所以正确；C.已知，则或，所以错误；D.的定义域是，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以正确.故选：BD三、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知方程的两个根为、，则________.【答案】##【详解】由韦达定理可得，故.故答案为：.14．函数的定义域为__________.【答案】【详解】由题意知：，∴，所以原函数的定义域为：，故答案为：.15．某种药物在病人血液中的含有量以每时25%的比例衰减.现在医生为某个病人注射了2500该药物，那么h后病人血液中这种药物的含有量为________.【答案】【详解】由题可知，一小时后药物含量为：，两小时后为，则h后病人血液中这种药物的含有量为：故答案为：16．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则=_______.【答案】【详解】解：根据题意，满足，则，则函数是周期为8的周期函数，则，又由为奇函数，则，而，则，又由当，时，，则，则有，则，故答案为：．四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）17．设函数，其中.（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.【详解】由题设，开口向上且对称轴为，，（1）当，即或时，在区间上有唯一零点；当，即或时，要使在上有唯一的零点，只需，解得或；综上，或或时在上有唯一的零点.（2）由题设，即或，∴或，可得或.综上，或时在上有两个零点.18．设，试研究关于x的方程在区间上的解的个数.【详解】令，开口向上且对称轴为，，∴当，即时，在上单调递增，而，，故此时在上有一个零点，即原方程有一个解.当，即时，显然，且，，又在上递减，在上递增，故此时在上有一个零点，即原方程有一个解.当，即时，显然且，显然在上无零点，即即原方程无解.当，即时，显然，且，，又在上递减，在上递增，故此时在上有一个零点，即原方程有一个解.当，即时，在上单调递减，而，，故此时在上有一个零点，即原方程有一个解.综上，时原方程在有一个解；时原方程在无解.19．已知函数，其中且.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的x的集合.【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，即的定义域为关于原点对称，因为，所以是定义域上的奇函数.（2）由，可得，解得，所以函数，又由，则，可得，解得，故不等式的解集为.20．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上.已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且，若剪去的正十字形部分面积为4平方分米.（1）请用x表示y，并写出x的取值范围；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小.当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值.【详解】（1）由题意可得：，则：且，即关于的解析式为，定义域为（2）设正十字形的外接圆的直径为当且仅当，即时取等号即时，正十字形外接圆面积：即正十字形外接圆面积的最小值为：，此时21．如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点.（1）试利用相似形的知识，证明O，C，D三点在同一条直线上；（2）当轴时，求A点的坐标.【详解】（1）如图所示：设点、的横坐标分别为、，由题设知，，．则点、纵坐标分别为、．因为、在过点的直线上，，，所以，从而，即．因为点、坐标分别为，，，．由于，，而，，所以，即，而，所以，，即有．由此可知，即、、在同一条直线上．（2）由平行于轴知，即得，．代入得．由于知，．考虑解得．于是点的坐标为．22．设函数（，，），是定义域为R的奇函数.（1）确定k的值；（2）若，函数，，求的最小值；（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所